RS Üerlige, Stru A B Zhlereihe. Gze Zhle. Rtiole Zhle. Poteze (große/kleie Zhle, Potezgesetze) 4. Wurzel, reelle Zhle Alger. Terme. Biomishe Formel. Liere Gleihuge 4. Liere Gleihugssysteme 5. Qudrtishe Gleihuge 6. Bruhterme, Bruhgleihuge 7. Liere Fuktioe [ y mx + ] 8. Qudrtishe Fuktioe [ z.b. y (x d)² + ] C Geometrie, Stereometrie. Dreiekstype, Vierekstype. Umfg ud Fläheihlt vo Dreieke ud Vieleke. Mittelsekrehte, Wikelhlierede, Höhe, Seitehlierede 4. Wikelsumme ud Kostruktioe 5. Kreis, Kreiserehuge [ π ] 6. Zetrishe Strekug, Strhlesätze 7. Stzgruppe des Pythgors [ z.b. ² + ² ² ] 8. Trigoometrie [ si, os, t ] 9. Würfel, Quder, Gerde Prisme 0. Zylider, Kugel. Pyrmide, Kegel. Zusmmegesetzte Körper, Drehkörper D Shrehe. Proportiole ud umgekehrt proportiole Zuorduge. Prozetrehe [ G +, G -, Verküpfug vo Prozetsätze, Shuilder ]. Zisrehe, Ziseszis, Zuwhsspre, Rtespre [ z.b. K K 0 q ] E F G Dte ud Zufll. Zufllsexperimete ud Whrsheilihkeit. Sttistik Sostiges Wiederholug Vermishtes Prüfugsvorereitug Shriftlihe Areite Klssereite Kurztests Veresseruge
A. Gze Zhle Zur Drstellug ud Beshreiug vo Temperturge uter Null, Shulde oder Tiefege setzt m ei Miuszeihe vor die türlihe Zhl, z.b. -8; -7; -5. Diese Zhle heiße egtive gze Zhle. Zur deutlihere Utersheidug k m vor positive gze Zhle ds Vorzeihe + setze, z.b. +8; +7; +5 Die Mege der positive gze Zhle Z + etspriht der Mege der türlihe Zhle N: + N { 0;;;;... } Z Die Mege der positive gze Zhle Z + { 0; ; ; ;...} ud die Mege der egtive gze Zhle Z { ; ; ;...} die Mege der gze Zhle Z {... ; ; ; ; 0; ; ; ;...} Soll die Zhl 0 usgeshlosse werde, so shreit m Z* De Astd eier gze Zhl zur Zhl 0 et m ihre Betrg Wir shreie dfür z.b. 5 (lies "Betrg vo mius 5") Es gilt z.b. 5 5 oder + ilde zusmme Zwei vershiedee Zhle, die de sele Astd zur Zhl 0 esitze, et m Gegezhle z.b. -6 ud +6 sid Gegezhle Gegezhle he de gleihe Betrg, z.b. 4 + 4 4 A. Gze Zhle Drstellug M erweitert de Zhlestrhl zur Zhlegerde + -4-7 -6-5 -4 - - - 0 + + + +4 +5 +6 +7 egtive gze Zhle positive gze Zhle Rehts der Null stehe die positive gze Zhle mit dem Vorzeihe + Liks der Null stehe die egtive gze Zhle mit dem Vorzeihe - Die kleiere vo zwei gze Zhle liegt uf der Zhlegerde weiter liks, z.b. 5< Auf der Zhlegerde edeutet eie Zuhme eie Bewegug h rehts, eie Ahme eie Bewegug h liks: Zuhme lsse sih durh positive Zhle eshreie (z.b. +) Ahme lsse sih durh egtive Zhle eshreie (z.b. -4) Rehe mit gze Zhle Für die gze Zhle gelte die gleihe Rehegesetze wie für die rtiole Zhle (siehe A. ) RS Üerlige, Stru
A. Rtiole Zhle Die Mege der gze Zhle Z {... ; ; ; ; 0; ; ; ;...} erweitert durh die Mege der positive ud egtive Bruhzhle (z.b.,7; ; 0,5; + ; +, 9 ) ezeihet m ls die 4 0 4 Mege der rtiole Zhle Q Für die rtiole Zhle gelte die gleihe wie für die gze Zhle (siehe A. ) Drstellug Alle rtiole Zhle lsse sih uf der Zhlegerde drstelle, z.b. A. Rtiole Zhle 0 4 5-4,7 - -0,5 + + +,9-7 -6-5 -4 - - - 0 + + + +4 +5 +6 +7 egtive rtiole Zhle positive rtiole Zhle Allgemeie ud Rehegesetze Additio: Summd + Summd Summe z.b. ( + 5,) + ( ) ( 6,8 ) Sutrktio: Miued - Sutrhed Differez z.b. ( 6,8) ( + 5,) ( ) Multipliktio: Fktor Fktor Produkt z.b. ( 7) ( + 0,5) (,5 ) Divisio: Divided : Divisor Quotiet z.b. (,5) : ( + 0,5) ( 7) Für die Rehereihefolge gilt immer Klmmer vor Pukt vor Strih : Klmmer erehe (vo ie h uße) Puktrehuge ( :) Strihrehuge ( + ) Bei Brühe ersetzt der Bruhstrih die Klmmer um Zähler ud Neer Ei Reheusdruk wird stets h der Rehert et, die zuletzt usgeführt wird Beim Rehe sid folgede Gesetze hilfreih: Kommuttivgesetz (Vertushugsgesetz) + + Assozitivgesetz (Veridugsgesetz) ( + ) + + (+ ) ( ) ( ) Distriutivgesetz (Verteilugsgesetz) ( + ) + Rehegesetze für rtiole Zhle Für die Additio ud Sutrktio rtioler Zhle k die Shreiweise vereifht werde: + ( + ) + z.b. ( + 7) + ( + 4) 7 + 4 4 ( + ) z.b. ( + 7) ( + 4) 7 4 7 + ( ) z.b. ( + 7) + ( 4) 7 4 7 ( ) + z.b. ( + 7) ( 4) 7 + 4 4 Beim Auflöse eier Plusklmmer leie die Vorzeihe i der Klmmer gleih z.b. 4 + ( 6, + 9,9) 4 6, + 9, 9 Beim Auflöse eier Miusklmmer äder sih die Vorzeihe i der Klmmer z.b. 4 ( 6, + 9,9) 4 + 6, 9 +, 9 Bei der Multipliktio oder Divisio zweier Zhle mit gleihe Vorzeihe ist ds Ergeis positiv, ei utershiedlihe Vorzeihe ist ds Ergeis egtiv + + + z.b. ( + 7) ( + 4) + 8 + : + + z.b. ( + 6) : ( + 8) + + z.b. ( + 6) ( ) + : z.b. ( + 6) : ( 9) 4 + z.b. (,5) ( + ) 4, 5 : + z.b. ( 7,5) : ( + ), 5 + z.b. ( 4) (,5) + 0 : + z.b. ( 6) : (,5) + 4 RS Üerlige, Stru
A. Poteze Die Potez ist ei Produkt mit gleihe Fktore, z.b. 7 Im folgede Beispiel ist 5 die Bsis (Grudzhl), 4 der Expoet (Hohzhl) ud 65 der Potezwert: 5 4 5 5 5 5 65 Eigeshfte Bei eier egtive Bsis gilt für eie gerde Expoete positiver Potezwert, z.b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ugerde Expoete egtiver Potezwert, z.b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Poteze der Form heiße Qudrtzhle, Poteze der Form Für de Expoete gilt ei jeder Bsis 0 : 4, z.b. 7 7 5 heiße Kuikzhle Für de Expoete 0 gilt ei jeder Bsis 0 : 0, z.b. ( 4) 0 Ei egtiver Expoet üer eier gzzhlige Bsis edeutet, dss der Kehrruh der Potez geildet werde muss: [ 0 ] Dies gilt uh für egtive Expoete üer eiem Bruh: ( ) ( ) [, 0 ] Große Zhle Große Zhle lsse sih ls Produkt eier Zhl zwishe ud 0 ud eier Zeherpotez 7 0 drstelle, z.b. 6500000 6,5 0 0 0 0 0 0 0 6,6 0 Im Zusmmehg mit Größe werde ei Zeherpoteze, dere Expoete ei Vielfhes vo sid, oft Vorsile eutzt, z.b. 0 Ω 000 Ω Kiloohm (k Ω ) 6 0 Hz 000 000 Hz Megherz (MHz) 9 0 GB 000 000 000 GB Gigyte (GB) 0 Tm 000 000 000 000 Tm Termeter (Tm) Kleie Zhle Kleie Zhle lsse sih ls Produkt eier Zhl zwishe ud 0 ud eier Zeherpotez drstelle, z.b. 0,000 05 8,58,58,58 0 5 00000 Im Zusmmehg mit Größe werde häufig Vorsile eutzt, die de Expoete der Zeherpotez estimme, z.b. 0 m m 0, m Dezimeter (dm) 0 0 m m 0,0 m Zetimeter (m) 00 0 l l 0,00 l Milliliter (ml) 000 6 0 g g 0,000 00 g Mikrogrmm ( g) 000000 9 0 s s 0,000 000 00 s Nosekude (s) 000000000 0 F 000000000 000 Potezgesetze F 0,000 000 000 00 F Piofrd (pf) Für ds Multipliziere ud Dividiere vo Poteze gilt ei gleiher Bsis gleihe Expoete m m+ ud 0 m ( ) ud ( ) m m Für ds Poteziere vo Poteze gilt ( ) 5 m [ 0] [, 0] 0 A. Poteze RS Üerlige, Stru
A 4. Wurzel, reelle Zhle Die -te Wurzel eier positive Zhl ist die Zhl, dere -te Potez gleih der Zhl ist:, we ud 0 (z.b. 64 4, d 4 64 ) Im Term ezeihet m ls Rdikd ud ls Wurzelexpoet Sttt 4 4 k m uh die Shreiweise verwede (z.b. 6 6 ) Bei Qudrtwurzel k m uf de Wurzelexpoet verzihte: 5 5 Ds Berehe des Wurzelwertes et m Rdiziere oder Wurzel ziehe Die Zhle us Mege der rtiole Zhle Q lsse sih ls rehede oder periodishe Dezimlrühe drstelle. Zhle, die sih iht so drstelle lsse (z.b.,44..., π,4... ), heiße irrtiole Zhle. Die Mege der rtiole ud der irrtiole Zhle ilde zusmme die Mege der reelle Zhle R. Eigeshfte/Rehegesetze Eie Wurzel ist immer positiv Es gilt 0 0 D m sttt der Wurzelshreiweise immer uh die Potezshreiweise verwede k, gelte uh hier die Gesetze für Poteze (siehe A ). Für ds Multipliziere ud Dividiere vo Wurzel gilt dher ei m m+ m gleihe Rdikde ud 0 gleihe Wurzelexpoete ud, 0 Beim teilweise Wurzelziehe (teilweise Rdiziere) wird der Rdikd so i ei Produkt umgewdelt, dss eier der Fktore eie Qudrtzhl ist, z.b. 75 5 5 5 Wurzel im Neer eies Bruhs köe durh Erweiter mit eier Wurzel eseitigt werde. M et dies Rtiolmhe des Neers, z.b. 8 7 8 7 8 7 8 7 7 7 7 ( 7 ) 4 7 m A 4. Wurzel, reelle Zhle RS Üerlige, Stru
B. Terme Terme sid Reheusdrüke, i dee Zhle, Vrile ud Rehezeihe vorkomme köe z.b. ( x + ) x Ersetzt m die Vrile durh Zhle, so lsse sih Termwerte erehe z.b. für 7 ud ist der Termwert vo 5 + 4 5 7 + 4 5 + 47 I eiem Term wie 6 x ist 6 der Zhlfktor (Koeffiziet) Utersheide sih Terme wie 5x, 6x ud x ur i ihrem Koeffiziete, et m sie gleihrtig Die Terme w+ 4w ud 5w liefer de sele Wert, ds heißt sie sid gleihwertig (äquivlet) Termumformuge wdel eie Term i eie äquivlete Term um Rehegesetze Zwishe dem Koeffiziete ud der folgede Vrile ud zwishe Vrile drf der Mlpukt wegflle, z.b. y z yz Mlpukte zwishe Fktore ud hfolgede Klmmer dürfe wegflle, z.b. 7 (e + f) 7(e + f) Der Koeffiziet drf wegflle, z.b. oder ( ) Gleihrtige Terme lsse sih durh Addiere ud Sutrhiere zusmmefsse, vershiedertige dgege iht, z.b. 5 + + 9 4 + Ei Produkt us Terme lässt sih vereifhe, idem m die Zhlfktore ud die Vrile getret multipliziert, z.b. x 9y ( 9) x y 8xy Beim Dividiere durh eie Zhl wird ur der Koeffiziet dividiert Komme eim Multipliziere vo Terme gleihe Vrile vor, werde sie ls Potez geshriee, z.b. 4 5 ( 4 5) 60 Behte de Utershied zwishe z.b. + ud Es gelte ds Kommuttivgesetz, ds Assozitivgesetz ud ds Distriutivgesetz (siehe Kp. A), z.b. Additio eier Summe: + ( + ) + + (Auflöse eier Plusklmmer) Sutrktio eier Summe: Multipliktio eier Summe: Divisio eier Summe: ( + ) (Auflöse eier Miusklmmer) ( + ) + (Ausmultipliziere) ( + ) : : + : Ds Ausklmmer (Fktorisiere) ist der umgekehrte Vorgg des Ausmultiplizieres, z.b. 6 + 8 + 4 ( + 4) Zwei Summe werde miteider multipliziert, idem m jede Summde der erste Summe mit jedem Summde der zweite Summe multipliziert, z.b. ( + ) ( + d) + d + 6 + d B. Terme RS Üerlige, Stru
B. Biomishe Formel D Terme wie ( + ) oder ( ) us zwei Summde estehe, ezeihet m diese Ausdrüke ls Biome iomis (lt.): zweimig Bei der. ud. iomishe Formel wird ds -Glied ls gemishtes Glied ezeihet Formel B. Biomishe Formel Die. iomishe Formel lutet ( + )( + ) ( + )² ² + + ² Die. iomishe Formel lutet ( )( ) ( )² ² + ² Die. iomishe Formel lutet ( + )( ) ² ² Für Vergesslihe: Die Formel köe durh Ausmultipliziere ud shließedes Zusmmefsse hergeleitet werde Beispiele Beispiele zur. iomishe Formel: (x + )² x² + 6x + 9 (d + e)² d² + 4de + 4e² (p + 4q)² 9p² + 4pq + 6q² Beispiele zur. iomishe Formel: (x 5)² x² 0x + 5 (d 5e)² d² 0de + 5e² (p 8q)² 9p² 48pq + 64q² Beispiele zur. iomishe Formel: (x + )(x ) x² 9 (m + 5)(m 5) m² 5² (7p + 8q)(7p 8q) 49p² 64q² RS Üerlige, Stru
B. Liere Gleihuge Eie Gleihug esteht us zwei Terme, die durh ei Gleihheitszeihe verude sid z.b. 4 6 Bei eier liere Gleihug kommt die Vrile ur i der erste Potez vor, z.b. x x Die Zhle, die für die Vrile eier Gleihug eigesetzt werde dürfe, ilde die Grudmege G z.b. G die Mege ller ugerde Zhle oder G IN (Mege der türlihe Zhle) Setzt m Zhle us der Grudmege i eie Gleihug ei, so etsteht eie whre (w) oder eie flshe (f) Aussge Die Zhl oder die Zhle, die zu eier whre Aussge führe, ilde die Lösugsmege L z.b. ist ei der Gleihug x + 6 x mit L 4 Für eie uerfüllre Gleihug gilt L { } G IN die Lösugsmege { } Für eie llgemeigültige Gleihug gilt L G Gleihuge mit gleihe Lösugsmege et m äquivlet (gleihwertig) B. Liere Gleihuge Lösugsverfhre Eifhe Gleihuge k m durh gezieltes Proiere löse Zur reherishe Lösug eier Gleihug wedet m Äquivlezumformuge : M drf uf eide Seite der Gleihug die sele Zhl ddiere oder sutrhiere M drf eide Seite der Gleihug mit der sele Zhl (ußer 0) multipliziere oder dividiere Vor de Äquivlezumformuge ist es mhml ötig, die Gleihug durh Termumformuge zu vereifhe (z.b. durh Ausmultipliziere, Klmmer uflöse oder Zusmmefsse der Terme) RS Üerlige, Stru
B 4. Liere Gleihugssysteme Zwei liere Gleihuge mit zwei Vrile ilde zusmme ei lieres Gleihugssystem Die Lösugsmege L des liere Gleihugssystems LGS erfüllt eide Gleihuge Lösugsverfhre Grfishe Lösug: Die Koordite des Shittpukts S(x s y s ) der eide Gerde gee die Lösugsmege L{(x s ;y s )} des LGS Reherishe Lösug: Zuähst ermittelt m mit eiem der drei hfolged eshrieee Verfhre (hägig vo der Aufgestellug) de Wert für die erste Vrile. Dieser Wert wird zur Bestimmug des zweite Vrilewerts i eie der gegeee Gleihuge eigesetzt. Gleihsetzugsverfhre: () y 5x 7 () y x + Gleihsetze vo () ud () 5 x 7 x + Term- ud Äquivlezumformuge x Eisetze i () y 5 7 8 L {(;8)} B 4. Liere Gleihugssysteme Eisetzugsverfhre: () 5 x + y 4 () y x Eisetze vo () i () 5 x + ( x) 4 Term- ud Äquivlezumformuge x Eisetze i () y ( ) L {( ;)} Additiosverfhre: () x+ y 4 () 5 x y Addiere vo () ud () 8 x+ 0 6 Term- ud Äquivlezumformuge x Eisetze i () + y 4 y 4 L {(;4)} Eigeshfte Die Lösugsmege eies LGS k grfish vershuliht werde: Ei LGS ht geu eie Lösug L{(x s ;y s )}, we sih die Gerde i eiem Pukt S(x s y s ) sheide keie Lösug L{ }, we die eide vershiedee Gerde prllel verlufe uedlih viele Lösuge, we die Gerde zusmme flle RS Üerlige, Stru
B 5. Qudrtishe Gleihuge Bei rei-qudrtishe Gleihuge kommt die Lösugsvrile x usshließlih im Qudrt vor: x + 0 Bei gemisht-qudrtishe Gleihuge tritt Lösugsvrile x sowohl im Qudrt ls uh i der erste Potez uf: x + x+ 0 Dividiert m diese gemisht-qudrtishe Gleihug durh ud ersetzt m die etstehede Brühe durh p ud q, so etsteht die Normlform: x + px+ q 0 p p I der p,q-lösugsformel x ± ( ) q ezeihet m de Rdikde ( ) q Diskrimite Lösugsverfhre, Lösugsshritte für die grfishe Lösug: Die zugehörige Fuktiosgleihug ilde: y x + px+ q p p Diese Fuktiosgleihug uf die Sheitelform umstelle: ( ) ( ) Die Sheitelkoordite p p ( ) y x + + q p ls S q lese ud die vershoee Normlprel zeihe Die x-werte der Shittpukte mit der x-ahse (Nullstelle) lese Die Lösugsmege gee B 5. Qudrtishe Gleihuge Lösugsshritte für die reherishe Lösug: Die gemisht-qudrtishe Gleihug uf die Normlform umstelle: x + px+ q 0 p Die p,q-lösugsformel wede: x ± ( ) q Die Lösugsmege gee Eigeshfte Ist die Diskrimite größer ls Null, so ht die Gleihug zwei Lösuge L { x ; } zwei Nullstelle x Ist die Diskrimite gleih Null, so ht die Gleihug eie Lösug L { x } eie Nullstelle 0 Ist die Diskrimite kleier ls Null, so ht die Gleihug keie Lösug L { } keie Nullstelle, p Der Stz vo Viet: Sid x ud x Lösuge der qudrtishe Gleihug x + px+ q 0, d gilt: x + x p ud x q x RS Üerlige, Stru
B 6. Bruhterme, Bruhgleihuge Terme, die im Neer eie Vrile ethlte, heiße Bruhterme Die Defiitiosmege D ethält lle Zhle der Grudmege, die i eie Bruhterm eigesetzt werde dürfe Bei Bruhgleihuge kommt die Lösugsvrile i midestes eiem Neer vor Lösugsverfhre Bestimmug der Defiitiosmege: Setzt m de zw. die Neer gleih Null, k m die uszushließede Zhle estimme Die Lösugsshritte für ds Löse eier Bruhgleihug sid: De Hupteer estimme: z.b. Neer : x, Neer : 4x 6, Neer : x HN: x(x ) Die Defiitiosmege festlege: ; 5, we die Zhle zw. 5 zu Neer gleih 0 führe z.b. D R\{ } Die Bruhgleihug mit dem Hupteer durhmultipliziere Durh Kürze eie Gleihug ohe Bruhterme herstelle Die Gleihug löse Die i der Defiitiosmege ethltee Lösuge gee (die Lösugsmege L estimme) Beispiele Bestimmug der Defiitiosmege 4x B 6. Bruhterme, Bruhgleihuge 4 x 0 + : 4 x 4 D Q\{ } 4 lies Die Defiitiosmege ist die Mege ller rtiole Zhle ohe die Zhl 4 Löse eier Bruhgleihug x + 8 x(x + ) x x + Bestimmug des Hupteers durh Fktorisiere: Neer : x (x+ ) Neer : x Neer : x+ HN: x (x+ ) Bestimmug der Defiitiosmege: x (x+ ) 0 x 0 ; x D Q\{ ; } 0 lies Die Defiitiosmege ist die Mege ller rtiole Zhle ohe die Zhle 0 ud Lösug der Gleihug: x + 8 x(x + ) x x + HN Kürze x + 8 (x + ) Termumformuge x + 8 6 8 x L d.h. die Lösugsmege ist leer, d iht zur Defiitiosmege gehört { } RS Üerlige, Stru
B 7. Liere Fuktioe Liere Fuktioe sid eideutige Zuorduge, ei dee die Vrile ur i der erste Potez vorkommt Huptform: y mx+ Pukt-Steigugs-Form: m Zwei-Pukte-Form: ) m y y x x y y x x Ds Shuild eier liere Fuktio ist eie Gerde mit der Steigug m dem y-ahseshitt ud dem Shittpukt (0 ) dem x-ahseshitt ud der Nullstelle (x N 0) Eigeshfte y x ) y x Für 0 verläuft ds Shuild durh de Ursprug O(0 0). M spriht i diesem Fll vo eier proportiole Fuktio Die Gerde verläuft für m 0 prllel zur x-ahse m > 0 vo liks ute h rehts oe m < 0 vo liks oe h rehts ute Beispiele ) y x ) y x + ) y x B 7. Liere Fuktioe ) RS Üerlige, Stru
B 8. Qudrtishe Fuktioe Fuktioe, ei dee die Vrile im Qudrt vorkommt, werde ls qudrtishe Fuktioe ezeihet: y x + x+ zw. i der Sheitelformdrstellug y ( x + ) + 4 Die Shuilder qudrtisher Fuktioe heiße Prel Ds Shuild der eifhste qudrtishe Fuktio y x heißt Normlprel Bei rei-qudrtishe Fuktioe kommt die Vrile usshließlih im Qudrt vor: Ds Shuild der Fuktio y x y x + px+ q (ohe Fktor ) ist eie vershoee Normlprel p p Umgestellt uf die Sheitelform lutet diese Fuktiosgleihug ( ) ( ) y Vereifht wird die vershoee Normlprel uh mit y ( x d) x + + + q drgestellt, woei d die Vershieug i x-rihtug ud die Vershieug i y-rihtug git De tiefste zw. höhste Pukt eier Prel ezeihet m ls Sheitel S Eigeshfte Der Sheitel der Normlprel ist der Pukt S (0 0) Der Sheitel der rei-qudrtishe Fuktio ist der Pukt S (0 ) Der Sheitel der vershoee Normlprel mit der Fuktiosgleihug Pukt p p ( ) + y x + px+ q ist der S q zw. mit der Fuktiosgleihug y ( x d) + der Pukt S ( d ) Der Sheitel der llgemeie qudrtishe Fuktio ist der Pukt S( ) Bei qudrtishe Fuktioe estimmt die Form ud die Öffugsrihtug der Prel: > die Prel wird shlker, < die Prel wird reiter > 0 die Prel ist h oe geöffet, < 0 die Prel ist h ute geöffet die Lge der Prel: > 0 die Prel ist h oe vershoe, < 0 die Prel ist h ute vershoe 4 B 8. Qudrtishe Fuktioe Beispiele y x² y x² + 4 y x²-x RS Üerlige, Stru
C. Dreiekstype, Vierekstype Dreiektype Eiteilug der Dreieke h der Größe ihrer Wikel: Ei Dreiek, desse Wikel lle kleier ls 90 si d, heißt spitzwiklig Ei Dreiek mit eiem 90 -Wikel heißt rehtwiklig Ei Dreiek mit eiem Wikel, der größer ist ls 90, heißt stumpfwiklig C C C γ γ γ α β α β α β A B A B A spitzwiklig rehtwiklig stumpfwiklig B C. Dreiekstype, Vierekstype Eiteilug der Dreieke h der Größe ihrer Seite: Ds gleihsheklige Dreiek ht eie Symmetriehse, zwei gleih lge Seite ud zwei gleih große Wikel Ds gleihseitige Dreiek ht drei Symmetriehse, drei gleih lge Seite ud drei gleih große Wikel Spitze C C Shekel Shekel B A Bsis B A B gleihsheklig gleihseitig RS Üerlige, Stru
Fortsetzug zu C. Dreiekstype, Vierekstype (Rükseite) Vierekstype Viereke köe eie, zwei oder vier Symmetriehse ud/oder ei Symmetriezetrum he: Drhe Prllelogrmm gleihshekliges Trpez Rute, Rhomus Rehtek Qudrt Zwei Viereke ohe Symmetrie sid ds llgemeie Trpez (ei Pr prlleler Seite) ud ds llgemeie Vierek llgemeies Trpez llgemeies Vierek RS Üerlige, Stru
C. Umfg ud Fläheihlt (vo Dreieke ud Viereke), Akürzuge Der Fläheihlt wird mit A gekürzt ud z.b. i km², Hektr, Ar, dm² oder m² gegee. Die Umrehugszhl ist 00 Der Umfg u ist die Läge des Strekezuges um die Figur ud setzt sih us der Summe der eizele Seiteläge zusmme. Die Eiheite sid z.b. dm oder mm, die Umrehugszhl ist 0 Digole sid Streke zwishe gegeüer liegede Pukte ud werde mit e ud f ezeihet Die Mittelprllele m verläuft geu zwishe zwei prllele Seite Als Höhe h ezeihet m eim Dreiek de Astd eies Ekpuktes vo der gegeüerliegede Seite zw. eim Vierek de Astd der prllele Seite Formel Allgemeies Dreiek: h h h A, u + + Rehtwikliges Dreiek ( χ 90 ): A, u + + h h h C. Umfg ud Fläheihlt Gleihseitiges Dreiek: A, u 4 Qudrt: A ², u 4, e e e Rehtek: A, u (+ ), e ² + ² Prllelogrmm: A h, u (+ ) h h h Trpez: A m h, + m, u + + + d d h m Rute: e f A, u 4 Drhe: e f A, u (+ ) f e f e RS Üerlige, Stru
C. Mittelsekrehte, Höhe, Wikel- ud Seitehlierede Mittelsekrehte ud Umkreis Der Shittpukt M der Mittelsekrehte ist der Umkreismittelpukt, r ist der Umkreisrdius C m r A Wikelhlierede ud Ikreis M m m B Der Shittpukt W der Wikelhlierede ist der Ikreismittelpukt, ρ (lies rho ) ist der Ikreisrdius C γ w γ W w w ρ β α α β A B Höhe Die drei Höhe eies Dreieks sheide sih i eiem Pukt H C C. Mittelsekrehte, Höhe, Wikel- ud Seitehlierede h H h h A B Seitehlierede ud Shwerpukt Der Shwerpukt S teilt die Seitehlierede (Shwerliie) im Verhältis : C s s S s A B RS Üerlige, Stru
C 4. Wikelsumme ud Kostruktioe Wikelsumme Für die Summe der Wikel α, β ud γ eies jede Dreieks gilt: α + β + γ 80 C α β γ α β A B Die Wikelsumme im Vierek eträgt 60 Die Wikelsumme im -Ek eträgt ( ) 80 C 4. Wikelsumme ud Kostruktioe Kostruktioe Ds Zeihe eier geometrishe Figur mit Liel (Geodreiek) ud Zirkel et m Kostruktio I de Grudkostruktioe werde ur Seite ud Wikel eutzt Vorgehesweise ei Kostruktiosufge: Die gegeee Mße werde otiert ud - we ötig - umgerehet. Zum Kostruiere eies Dreieks müsse midestes drei Stüke gegee sei I eier Plfigur (Skizze) werde die Mße oh iht erüksihtigt ud die gegeee Stüke frlih hervorgehoe Die Kostruktioszeihug wird durh eie sivolle Reihefolge der Kostruktiosshritte erstellt Ds Ergeis k sei: eie Lösug (eie estimmte geometrishe Figur) mehrere Lösuge (zueider iht kogruete Figure) keie Lösug (die Kostruktio ist mit de gegeee Mße iht durhführr) Gegee Plfigur Kostruktio Ergeis RS Üerlige, Stru
C 5. Kreis, Kreiserehuge ud Akürzuge F Rdius r M B A Durhmesser AB D C Sehe CD Sekte E Tgete Eigeshfte d s r h α C 5. Kreis, Kreiserehuge Der Durhmesser eies Kreises ist doppelt so groß wie der Rdius ( d r ) u Der Kreisumfg ist zum Kreisdurhmesser proportiol:,45965589798466... d Diese irrtiole Kreiszhl wird mit dem griehishe Buhste π ( pi ) ezeihet. Für de Kreisumfg gilt u πd πr Für de Fläheihlt eies Kreises gilt A πr π d 4 Für die Läge des Kreisoges gilt πrα 60 πrα 80 Für de Umfg eies Kreisusshitts (Sektor) gilt u r+ πr α r Für de Fläheihlt eies Kreisusshitts gilt A 60 Für de Umfg eies Kreisshitts (Segmet) gilt u + s Für de Umfg eies Kreisrigs gilt u π (r r ) uße + ie uße ie Für de Fläheihlt eies Kreisrigs gilt A π (r r ) Für die Wikel α (Mittelpuktswikel), β (Umfgswikel) ud γ (Sehetgetewikel) gilt: α β γ β β β t α γ s RS Üerlige, Stru
C 6. Zetrishe Strekug, Strhlesätze Bei eier Strekug werde lle Strekeläge des Origils mit dem sele Fktor k multipliziert, z.b.: AB k A'B' Die Vergrößerug oder Verkleierug vo eiem feste Pukt Z us heißt zetrishe Strekug Eigeshfte Jede Origilgerde ht ls Bild eie prllele Gerde Jeder Origilwikel ht ls Bild eie gleih große Wikel Bei eier Strekug mit dem Fktor - < k < verkleiert sih ds Bild gegeüer dem Origil Bei eier Strekug mit eiem egtive Strekfktor k < 0 trägt m ds Bild uf der Hlgerde i etgegegesetzter Rihtug vo Z. Beim Fktor k - erhält m somit eie Puktspiegelug Wird eie Streke AB durh eie Pukt T geteilt, so wird die Bildstreke Verhältis geteilt Für die Fläheihlte A vo Origil ud Bild gilt Strhlesätze Origil A k A Bild A 'B' durh T im sele Werde zwei Strhle mit Afgspukt Z vo zwei prllele Gerde i de Pukte A ud B zw. A' ud B' geshitte, so gilt ZB ' ZA'. Strhlestz: ZB ZA. Strhlestz: Ählihkeit A'B' ZA' ZB' AB ZA ZB Zwei Figure heiße ählih, we sie durh zetrishe Strekug ud Kogruezildug ieider üerführt werde köe. Sie stimme üerei i etsprehede Wikel i de Verhältisse etspreheder Seite Für Dreieke gelte drei Ählihkeitssätze: Zwei Dreieke sid ählih, we sie üereistimme i zwei Wikel i eiem Wikel ud dem Verhältis der liegede Seite i zwei Seiteverhältisse Z Z B k B,6 A A, C 6. Zetrishe Strekug, Strhlesätze RS Üerlige, Stru
C 7. Stzgruppe des Pythgors Im rehtwiklige Dreiek ezeihet m die eide Seite, die de rehte Wikel eishließe, ls Kthete (hier die Seite ud ) Die Seite, die dem rehte Wikel gegeüer liegt, heißt Hypoteuse (hier die Seite ) Die dzugehörige Höhe (hier h ) teilt die Hypoteuse i die zwei Hypoteuseshitte p ud q Eigeshfte Höhestz Im rehtwiklige Dreiek ist ds Qudrt üer der Höhe flähegleih mit dem Rehtek us de eide Hypoteuseshitte h p q Kthetestz (Stz des Euklid) Im rehtwiklige Dreiek ist ds Qudrt üer eier Kthete flähegleih mit dem Rehtek us der Hypoteuse ud dem liegede Hypoteuseshitt p ud q Stz des Pythgors Im rehtwiklige Dreiek ist die Summe der eide Kthetequdrte flähegleih mit dem Qudrt üer der Hypoteuse + A Kthete q Hpoteuse h C p Kthete B C 7. Stzgruppe des Pythgors Höhestz C Kthetestz ud Stz des Pythgors A h q p q h p p B A q q C p p B Ageleitete Formel q + p ² Im Koorditesystem gilt für die Etferug P P vo zwei Pukte P (x y ) ud P (x y ) die Formel PP ( x x ) ( y ) y + Für die Digole e im Qudrt gilt: e Für die Höhe h im gleihseitige Dreiek gilt: h RS Üerlige, Stru
C 8. Trigoometrie Ds griehishe Wort Trigoometrie edeutet Dreieksmessug Die Seiteverhältisse im rehtwiklige Dreiek mit Wikel α werde mit Sius vo α, Kosius vo α ud Tges vo α ezeihet C 8. Trigoometrie Eigeshfte Im rehtwiklige Dreiek ABC mit χ 90 gilt: siα osα tα Gegekthete vo Hypoteuse Akthete vo Hypoteuse α Gegekthete vo Akthete α α α β Zwishe de Wikelfuktioe git es folgede Beziehuge: si α + os α siα t α für 0 α 90 osα siα os(90 α) osα si(90 α) Besodere Werte α 0 0 45 60 90 si α 0 os α 0 t α 0 Eigeshfte im llgemeie Dreiek Siusstz: Kosiusstz: Umkreisrdius r: Fläheihlt: r siα si β siα si χ + osα + osβ + osχ siα siβ siχ siβ si χ A siχ siβ siα RS Üerlige, Stru
C 9. Würfel, Quder, gerdes Prism Bei eiem Würfel sid lle drei Kte gleih lg ud stehe zueider sekreht. Die Oerflähe esteht us sehs gleih große Qudrte Bei eiem Quder stehe die drei Kte, ud sekreht zueider. Die Oerflähe esteht us sehs Rehteke, woei die gegeüerliegede Flähe jeweils zueider kogruet sid Ei Körper, desse Grudflähe ei Vielek ist ud desse Seiteflähe Rehteke sid, heißt sekrehtes Prism Formel Würfel: V O 6 e e C 9. Würfel, Quder, gerdes Prism Quder: V O + + (+ + ) d + e + + Prism (G Grudflähe): V G h O G + M M u h e d h RS Üerlige, Stru
C 0. Zylider, Kugel Ei Zylider ist ei Körper, der us zwei zueider prllel liegede ud kogruete Kreise hervorgeht Der Mtel ildet i der Eee ei Rehtek Ds Netz eies Zyliders setzt sih zusmme us eiem Rehtek ud zwei kogruete Kreise Jeder Pukt der Kugeloerflähe ht de gleihe Astd r zum Kugelmittelpukt M Niht eiml ei kleies Stük der Kugeloerflähe lässt sih zu eiem eee Flähestük glätte d.h. es ist iht möglih, ds Netz eier Kugel zu zeihe C 0. Zylider, Kugel Eigeshfte Für die Mtelflähe des Zyliders gilt M u h πrh Für die Oerflähe des Zyliders gilt O A + M πr + πrh πr(r + h) Für ds Volume des Zyliders gilt O A h πr h Für ds Volume der Kugel gilt Für die Oerflähe der Kugel gilt V 4 πr O 4πr πd 6 πd r d h M r RS Üerlige, Stru
C. Pyrmide, Kegel Veridet m de Rd eies eee Flähestüks mit eiem Pukt ußerhl des Flähestüks durh Streke, d etsteht ei (llgemeier) Kegel Oft versteht m uter eiem Kegel ur eie solhe, ei welhem die Grudflähe ei Kreis ist (Kreiskegel) Ist ds Flähestük ei -Ek (Polygo), d et m de Kegel eie (llgemeie) Pyrmide Meistes eshäftige wir us mit gerde qudrtishe Pyrmide ud gerde Kreiskegel: C. Pyrmide, Kegel h s hs h s r α r Eigeshfte Pyrmide llgemei qudrtish dreiseitig, regelmäßig sehsseitig, regelmäßig ² ² V A h V ² h V h V h U h M s M h s M h M h s s O ( + h s ) O O A+ M ( + hs ) ² O ² hs h² + ( + 6 hs ) 4 ² hs h² + 4 hs h² + 4 ² 4 ² hs h² + s h² + r² s h² + s h² + ² ² s h² + Kreiskegel π V r² h O π r (r + s) M π r s s h² + r² RS Üerlige, Stru
C. Zusmmegesetzte Körper, Drehkörper Vereit m geometrishe Grudkörper zu eiem Gesmtkörper, so spriht m vo eiem zusmmegesetzte Körper. Hier z.b. ist der Körper us eiem Zylider ud eiem zylidrish durhohrte Würfel zusmmegesetzt: Wird eie Flähe um eie Ahse gedreht, so etsteht ei Drehkörper (uh Rottioskörper ), hier z.b. ei Zylider mit ufgesetzter Hlkugel C. Zusmmegesetzte Körper, Drehkörper Eigeshfte Ds Volume V zusmmegesetzter oder usgehöhlter Körper erehet m us der Summe oder der Differez der Eizelkörper Die Oerflähe O zusmmegesetzter oder usgehöhlter Körper erehet m us der Summe ller Eizelflähe RS Üerlige, Stru
D. Proportiole ud umgekehrt proportiole Zuorduge Bei Zuorduge gehört zu jeder Größe us eiem erste Bereih eie Größe us eiem zweite Bereih We ei eier Zuordug zum -fhe (-fhe, 4-fhe...) der erste Größe ds -fhe (-fhe, 4-fhe...) der zweite Größe gehört, spriht m vo eier proportiole Zuordug, z.b. kg Käse kostet 8,50 ; kg koste 7,00 ; kg koste 5,50 We ei eier Zuordug zum -fhe (-fhe, 4-fhe...) der erste Größe die Hälfte (der. Teil, der 4. Teil...) der zweite Größe gehört, spriht m vo eier umgekehrt proportiole Zuordug (m sgt uh tiproportiol), z.b. der Futtervorrt für 4 Pferde reiht 4 Tge, für 8 Pferde Tge, für Pferde 8 Tge Eigeshfte Alle Quotiete der eider zugeordete Werte sid ei eier proportiole Zuordug immer gleih (Quotietegleihheit) Alle Produkte der eider zugeordete Werte sid ei eier umgekehrt proportiole Zuordug immer gleih (Produktgleihheit) Drstellug Beshreiug mit eier Telle, z.b. eie Notetelle: Pukte 69-80 58-68 47-57 6-46 8-5 0-7 Zesur 4 5 6 Beshreiug mit eiem Shuild, z.b. i eiem Mege-Preis-Shuild: Preis 60 50 40 0 0 0 0 0 0,5,5,5,5 4 Preis Mege D. Proportiole ud umgekehrt proportiole Zuorduge Ds Shuild (der Grph) eier proportiole Zuordug ist immer eie Hlgerde (ei Strhl), die im Ursprug O (0 0) des Koorditesystems egit Die erste Größe wird uf der Rehtshse (x-ahse), die zugehörige zweite Größe uf der Hohhse (y-ahse) getrge Beshreiug mit eier Rehevorshrift, z.b. Körpergröße Normlgewiht: Körpergröße i m mius 00 ergit ds Normlgewiht i kg eies Erwhsee Lösugsverfhre Beim Zweistz shließt m vo der gegeee Größe uf ds Vielfhe der Größe Bei Dreistzufge mit proportiole Zuorduge shließt m erst uf die Eiheit durh Dividiere, d uf ds Vielfhe durh Multipliziere : 5 7 Az. Pkete Preis 5 4,00 0,80 7 5,60 : 5 7 RS Üerlige, Stru
D. Prozetrehe Ds Wort Prozet k mit vo hudert üersetzt werde ud wird mit dem Zeihe % gekürzt Ds Wort Promille k mit vo tused üersetzt werde ud wird mit dem Zeihe %0 gekürzt 00 50 Wihtige Prozetsätze sid: % 0, 0 00 % 50 % 0, 5 00 00 00 0 00 5 0 % 0, 00 % 5 % 0, 5 00 00 00 4 Der Grudwert G etspriht immer 00 % Der Prozetwert P etspriht dem Prozetstz p% Die Zhl p wird ls Prozetzhl ezeihet Der veräderte Prozetstz q erleihtert die Berehug des vermehrte Grudwerts G + zw. des vermiderte Grudwerts G - Beispiele Ei Moutiike kostet etto 450,00. Hizu kommt oh die Mehrwertsteuer vo 9%, lso 85,50. Der Kude muss lso 9% des Nettopreises ezhle. Dies sid 55,50 (Bruttopreis). Begriff Akürzug im Bsp. dere Shreiweise Grudwert G 450,00 Prozetwert P 85,50 Prozetstz p% 9% 0,9 Prozetzhl p 9 Veräderter Prozetstz q 9%,9 Vermehrter Grudwert G + 55,50 D. Prozetrehe Ei Fhrrd kostete ursprüglih 5,00. Der Hädler gewährt eie Rtt vo 5%. Ds Rd wird lso um 48,75 güstiger geote. Der Kude muss lso oh 85% ezhle, lso 76,5. Begriff Akürzug im Bsp. dere Shreiweise Grudwert G 5,00 Prozetwert P 48,75 Prozetstz p% 5% 0,5 Prozetzhl p 5 Veräderter Prozetstz q 85% 0,85 Vermiderter Grudwert G - 76,5 Formel p p P 00 p ± P G p% G p % G P q ± p% ± G G q 00 00 G p 00 Wiederholte prozetule Veräderuge lsse sih durh ds Produkt der eizele veräderte Prozetsätze gee (Verküpfug vo Prozetsätze): q q q... q Gesmt Bsp.: Ohe 9% MwSt ud % Skoto kostet ei Fhrrd 450,00. Gesuht ist der Edpreis x. x 450,9 0,98 450,66 54,79 Drstellug Prozetstreife/Streifedigrmm Prozetkreis/Kreisdigrmm (% etspriht,6 ) 55% 0 50 00 55% 0% 5% RS Üerlige, Stru
D. Zisrehe, Ziseszis Beim Zisrehe werde folgede verwedet: Kpitl K zw. Afgskpitl K 0 (vgl. Grudwert G) Zisstz p% (vgl. Prozetstz p%) ud Zise Z (vgl. Prozetwert P) Edkpitl K (vgl. vermehrter Grudwert G + ) Der Zisstz p% ezieht sih i der Regel uf ei Jhr (p.. pro o) zw. i Aushmefälle uf eie Mot (p.m. pro Mot), woei im Bkwese folgede Vereiruge gelte: Jhr Mote 60 Tge; Mot 0 Tge Für eie Lufzeit t, die kürzer ist ls der Vorgezeitrum, muss der Zeitfktor i ls Bruhteil erüksihtigt werde, z.b. t 5 Mote: 5 i 67 t 67 Tge: i 60 Legt m eie Geldetrg läger ls ei Jhr, d werde die Zise mitverzist. Die zusätzlih etstdee Zise ezeihet m ls Ziseszise Beim Zuwhsspre werde i der Regel vo Jhr zu Jhr utershiedlih hohe Zissätze geote (z.b. für ds erste Jhr 4,5%, für ds zweite Jhr 5%, für ds dritte Jhr 6%...) Beim Rtespre wird i gleih leiede Zeitstäde stets diesele Rte R eigezhlt. Der Zisstz leit währed der Lufzeit i der Regel uverädert Formel Zur Berehug der Zise ierhl des Vorgezeitrums gelte folgede Formel: Z K p% i K p% t 60 Zur Berehug des Edkpitls K für eie elieige Azhl vo gze Jhre ud kosttem Zisstz p% gilt die Ziseszisformel K K 0 q [ mit q + p% ud N ] Die Ziseszisformel gilt ur für volle Jhre. Wird ei Kpitl läger ls ei Jhr, jedoh iht üer volle Jhre hiweg verzist, d ist ds Edkpitl getret für Jhre ud Mote zu erehe Beim Zuwhsspre gilt die Formel K K q q... q Beim Rtespre gilt die Formel K R(q + q + q +... q) Beispiel 0 + 400,00 werde ei eiem Zisstz vo 5% gelegt. Wie hoh ist ds Edkpitl h zwei Jhre ud ht Mote? D. Zisrehe, Ziseszis Geg.: Ges.: Afgskpitl K 0 400,00, Zisstz p% 5%, Algezeitrum t Jhre ud 8 Mote Edkpitl K J8M Ber.: q + p% + 0,05, 05 K J K q 400,00,05 44, 00 i 8 0 8 Z 8M p% i 44,00 0,05 4, 70 K J K J8M K J + Z 8M 44,00+ 4,70 455, 70 Erg.: Ds Edkpitl eträgt 455,70. RS Üerlige, Stru
E. Zufllsexperimete ud Whrsheilihkeit Alle möglihe Ausgäge heiße Ergeisse Die Ergeismege wird i Megeklmmer geshriee, z.b. Würfel: {; ; ; 4; 5; 6}, Müze: {Wppe; Zhl} {W; Z} Die Whrsheilihkeit vo Ergeisse wird mit P gekürzt, z.b. Würfel: P() 6 Ei Ereigis umfsst die für die Frgestellug güstige Ergeisse, z.b. Würfel: Ereigis Augezhl ist durh teilr ud 6. Whrsheilihkeit P(;6) 6 Ei siheres Ereigis E tritt stets ei: P(E) Ei umöglihes Ereigis E tritt ie ei: P(E) 0 Ds Gegeereigis E erlut mhml eie elegtere Lösug: P(E) P(E) Die Ergeisse zweistufiger Zufllsversuhe sid geordete Pre. Lösugsverfhre Ds Gesetz der große Zhle: Eie Versuhsreihe mit möglihst viele Wiederholuge liefert eie gute Shätzwert für die Whrsheilihkeit Sehr shulih ist die Lösug mit Hilfe eies Bumdigrmms. Die Summe der Whrsheilihkeite m Ede der Äste ist immer. Die Whrsheilihkeit m Ede eies Astes ergit sih us dem Produkt seier Eizelwhrsheilihkeite (Pfdregel). z.b. Müzwurf mit Stufe: P(w;w) 4. Wurf w. Wurf w z 4 4 E. Zufllsexperimete ud Whrsheilihkeit z w z 4 4 RS Üerlige, Stru
E. Sttistik E. Stistik RS Üerlige, Stru
F Sostiges Wiederholug Prüfugsvorereitug... E Sostiges RS Üerlige, Stru
G Shriftlihe Areite Klssereite Kurztests Veresseruge... G Shriftlihe Areite RS Üerlige, Stru