Ferenkurs Theoretsche Physk: Mechank Sommer 2017 Vorlesung 2 (mt freundlcher Genehmgung von Merln Mtscheck und Verena Walbrecht) Technsche Unverstät München 1 Fakultät für Physk
Inhaltsverzechns 1 Systeme von Massenpunkten 3 1.1 Schwerpunktsmpuls.............................. 3 1.2 Drehmpuls................................... 4 1.3 Energe..................................... 4 2 Beschleungte Bezugssysteme 6 2.1 Lnear beschleungte Bezugssysteme..................... 6 2.2 Roterende Bezugssysteme........................... 7 3 Lagrange Glechungen 1. und 2. Art 10 3.1 Zwangsbedngungen.............................. 10 3.2 Verallgemenerte Koordnaten......................... 11 3.3 Lagrange Glechungen 2.Art.......................... 12 3.4 Lagrange Glechungen 1.Art.......................... 13 Technsche Unverstät München 2 Fakultät für Physk
1 Systeme von Massenpunkten Im folgenden werden Systeme von N-Telchen beschreben. Herzu werden weder Impuls, Drehmpuls und Energe des Systems dskutert. Grundlegend glt für en System von N-Telchen: N-Telchen (,...,N), Ortsvektor r, Massen m Geschwndgketen ṙ = v = dr Impuls p = m v Innere Kräfte: Kräfte zwschen zwe Telchen F j = F j,j = (1,...,N) und j Äußere Kräfte: Zusätzlch kann auf jedes Telchen noch ene äußere Kraft F ext wrken Gesamtkraft auf Telchen : F = j F j + F ext = ṗ = dp Bewegungsglechungen snd en System von N gekoppelten Dfferentalglechungen 2. Ordnung: d 2 2 m r = F ext + j F j (1) Mt F ext = F ext und den nneren Kräften j F j = 0 1.1 Schwerpunktsmpuls Der Schwerpunkt enes Veltelchensystems st we folgt defnert: R = 1 M m r mt M = m (2) Hermt ergbt sch de Bewegungsglechung für den Schwerpunkt: F ext = M d2 R 2 (3) De Bewegung des Schwerpunktes fndet also so statt, als ob de Masse n hm verengt st und als ob de Summe der äußeren Kräfte auf hn wrkt. Weterhn können wr den Gesamtmpuls defneren: P = p und F ext = d P (4) Technsche Unverstät München 3 Fakultät für Physk
Der Schwerpunktsmpuls P st erhalten (P = const), falls F ext = N sch also um en abgeschlossenes System handelt. F ext = 0 st, es Be der Beschrebung von Systemen von Massenpunkten verwendet man bevorzugt en Inertalsystem, n dem der Schwerpunkt ruht. 1.2 Drehmpuls Analog zum Gesamtmpuls defnert man den Gesamtdrehmpuls als de Summe der enzelnen Drehmpulse l : L = l = r p (5) Weterhn st das Gesamtdrehmoment defnert als: M ext = r F ext und dl = M ext (6) Handelt es sch um en abgeschlossenens System, also F ext = 0, so glt Drehmpulserhaltung (L = const). 1.3 Energe Für Veltelchensysteme glt: knetsche Energe: T = 1 2 m v 2 p 2 = (7) 2m konservatve Kräfte: F j = U j (r r j ) und F j = + j U j (r r j ) (8) Heraus folgt, dass U j = U j symmetrsch und U = 0 (*) potentelle Energe(für konservatve Kräfte): U = U(r 1, r 2,..., r N ) = ( ) = U ext (r ) + 1 2 N 1 U ext (r ) + U j (r r j ) (9) j> U j (r r j ) (10) j, Technsche Unverstät München 4 Fakultät für Physk
De zetlche Änderung der Gesamtenerge E = T + U entsprcht der Lestung der äußeren Kräfte: d N (T + U) = v F ext (11) Für en abgeschlossenes System (F ext = 0) st de Energe erhalten, also: E = T + U = const (12) Technsche Unverstät München 5 Fakultät für Physk
2 Beschleungte Bezugssysteme Systeme, n denen de Newton schen Axome gelten, heßen Inertalsysteme. Weterhn gbt es jedoch Bezugssysteme n denen de Axome ncht gelten. Dese snd relatv zu enem Inertalsystem beschleungt. De her entstehenden Zusatzterme n den Bewegungsglechungen sollen m folgenden dskutert werden. 2.1 Lnear beschleungte Bezugssysteme Betrachtet werden zwe Bezugssysteme. En Inertalsystem (IS) und en beschleungtes Bezugssystem (KS ). Abbldung 1: Lnear beschleungtes Bezugssystem Da der Ursprung von KS relatv zu IS konstant beschleungt st, glt: Woraus sch folgende Transformaton ergbt: d(t) = 1 2 at2 (13) r(t) = r (t) + 1 2 at2 (14) Somt defnert sch de Bewegungsglechung für en kräftefrees Telchen n KS : Technsche Unverstät München 6 Fakultät für Physk
m r(t) = 0 n IS = m r (t ) = ma n KS (15) Der Zusatzterm entsprcht enem konstanten Kraftfeld F = ma. Dese auftretenden Kräfte werden Träghetskräfte oder auch Schenkräfte genannt, da se hren Ursprung n dem Träghetsterm m r haben bzw. wel se n Inertalsystemen ncht auftreten. Bespel: Legt man das Bezugssystem n enen Fahrstuhl, der konstant beschleungt wrd, so wrkt auf hn ncht nur de Gravtatonskraft F Grav = mg, sondern auch de Träghetskraft F T rae = ma. De transformerte Bewegungsglechung lautet dann: m r = m(g a) 2.2 Roterende Bezugssysteme Das Beschleungte Bezugssystem KS rotert mt ω = dϕ (16) gegenüber dem Inertalssystem IS. Abbldung 2: Roterendes Bezugssystem Technsche Unverstät München 7 Fakultät für Physk
Zunächst betrachtet man enen Vektor G, welcher von KS zetunabhängg st, sowe ene konstante Länge bestzt und ene konstante Wnkelgeschwndgket ω. Aus Abbldung 3 kann man herauslesen, dass de Änderung deses Vektors gegeben st durch: Abbldung 3: Änderung enes Vektors durch Drehung Da dg rot ω und dg rot G folgt: dg rot = G dϕ sn θ (17) De Änderung von G n IS st dann glech: dg rot = dϕ G = (ω) G (18) Woraus man folgende Zetabletung erhält: dg IS = dg KS + dg rot (19) ( ) dg = IS ( ) dg + ω G (20) KS Dese Erkenntnsse über den Vektor G können nun auf enen Ortsvektor r übertragen werden. Somt erhält man für de Geschwndgket: Nochmalges Dfferenzeren ergbt de Beschleungung: ṙ = ṙ + ω r (21) Technsche Unverstät München 8 Fakultät für Physk
( ) dṙ = IS ( dṙ + ω r ) KS + ω (ṙ + ω r ) (22) r = r + 2(ω ṙ ) + ω (ω r ) (23) ( d 2 ) r Mt der Beschleungung und dem 1. Axom (für frees Telchen n IS: m r = 2 = 0) kann man de Bewegungsglechung enes frees Telchens m roterenden Bezugssystem formuleren: m r = 2m(ω ṙ ) mω (ω r ) (24) De Träghetskräfte auf der rechten Sete bezechnet man als Corolskraft und Zentrfugalkraft. Bespel: Auf der Erdoberfläche mt der geometrschen Brete ϕ 0 steht en Turm der Höhe h. Der Platz auf dem der Turm steht legt n der x y Ebene, der Turm n der z -Achse des roterenden Bezugssystem KS (ω 2 -Terme sollen vernachlässgt werden). De Bewegungsglechung lautet also mt der Gravtatonskraft F Grav = mg: m r = mg 2m(ω ṙ) (25) da de Zentrfugalkraft ω 2 wrd der Term mω (ω r ) vernachlässgt. Technsche Unverstät München 9 Fakultät für Physk
3 Lagrange Glechungen 1. und 2. Art 3.1 Zwangsbedngungen Bewegungen n der Mechank snd oft Zwangsbedngungen unterworfen. En Bespel herfür st en starres Pendel: Abbldung 4: Starres Pendel Für deses Pendel glt de Zwangsbedngung: x 2 + y 2 l 2 = 0 (folgt aus dem Satz des Pythagoras) (26) Man bezechnet en System als holonom, wenn de Zwangsbedngungen n der Form f k (r 1,..., r N ; t) = 0 mt k = 1,..., p snd. Für Zwangskräfte kann man folgende wchtge Aussagen zusammenfassen: Ist ene holonome Zwangsbedngung ene explzte Funkton der Zet, so bezechnet man se als holonom-rheonom und holonom-skleronom falls t f k = 0 Zwangsbedngungen erzwngen Zwangskräfte (Lagerkräfte, Auflagenkräfte, Fadenspannung, usw.) Zwangsbedngungen führen zu ener Redukton n der Anzahl der unabhänggen Frehetsgrade Technsche Unverstät München 10 Fakultät für Physk
Allegmen glt: In enem System von N-Telchen mt 3N Koordnaten {r 1,..., r N } exsteren p Zwangsbedngungen. So st de Zahl der unabhänggen Frehetsgrade: S = 3N p 3.2 Verallgemenerte Koordnaten Für de Anzahl der unabhänggen Frehetsgrade muss man nun geegnete verallgemenerte Koordnaten, sogenannte generalserte Koordnaten, wählen: {q 1, q 2,..., q S } (27) De Wahl der neuen Koordnaten st so zu treffen, dass de verallgemenerten Koordnaten q de Lage aller Massenpunkte festlegen, also: r N = r N (q 1, q 2,..., q S ) (28) En Bespel herfür st das Fadenpendel, welches n der x-y-ebene schwngt. Es gelten folgende Zwangsbedngungen: x 2 + y 2 = l 2 z = 0 (29) Somt bestzt das System S = 3N p = 3 2 = 1 unabhänggen Frehetsgrad und damt ene verallgemenerte Koordnate. Man führt folgende neue Koordnaten en: Somt st de verallgemenerte Koordnate: x(ϕ) = l cos ϕ und y(ϕ) = l sn ϕ (30) Weterhn kann man de allgemene Geschwndgket defneren: q = ϕ (31) q = dq N = q ṙ k r k mt q r k = (r 1,..., r N ) (32) Mt Hlfe der allgemenen Geschwndgket kann man de knetsche Energe (T = 1 2 N k=1 m kṙ 2 k) und potentelle Energe (U = U(r 1,..., r N )) n den neuen Koordnaten ausdrücken: T = 1 r k r k a j q q j (, j = 1,..., S) mt a j = m k (33) 2 q q j,j k=1 U = U(q 1,...q S ) mt S = 3N p (34) Technsche Unverstät München 11 Fakultät für Physk
3.3 Lagrange Glechungen 2.Art De Lagrange Funkton st we folgt defnert: Weterhn kann man de Wrkung defneren L(q, q, t) = T (q, q) U(q) (35) S = t2 t 1 L(q, q, t) = S[q] (36) mt welcher man das Hamlton sche Prnzp formuleren kann: Zu zwe Zeten t 1 und t 2 > t 1 nehme en mechansches System de Konfguraton q (1) = q(t 1 ) und q (2) = q(t 2 ) en. De Bewegung zwschen desen zwe Punkten verläuft stets so, dass de Wrkung S zwschen t 1 und t 2 enen statonären Wert (Extremalwert) ennmmt. De Lösung deses Problems st en Problem der Varatonsrechnung. Herzu werden alle möglchen Pfade, de zwschen q (1) und q (2) exsteren, betrachtet. Daraufhn wrd der Weg q(t) gewählt, be dem de Wrkung S extremal wrd. Um nun auf de Lagrange-Glechung 2. Art zu kommen, mnmert man de Wrkung. Herzu werden folgende Annahmen getroffen: q(t) se de gesuchte Funkton (be der de Wrkung mnmal st) De Änderung von q(t) st: q(t) + δq(t). δq wrd mt αη(t) parametrsert, also: δq = αη(t) Es gelten de Randbedngungen: δq 1 = δq 2 = 0, wel de Varaton des Weges an den Anfangs- und Endpunkten null st. Man erhält für de verallgemenerte Koordnate: q(t, α) = q(t, α = 0) + dη(t) S = S(α) Um nun den statonären Zustand zu fnden, muss de Extremalbedngung angewendet werden: ds α dα = 0 (37) α=0 ds t2 [ α L dα = q t 1 q α + L ] q = 0 (38) q α Durch de Parametrserung st bekannt, dass q q = η(t) und α α = dη(t). Setzt man des n obge Glechung en und ntegrert den hnteren Tel partell erhält man: Technsche Unverstät München 12 Fakultät für Physk
t2 t 1 [ L q η(t) + L q ] dη t2 [ P.I. L = t 1 q η(t) η(t) d ] L = 0 (39) q ] t2 [ L mt q η(t) = 0 wegen δq 1 = δq 2 = 0, woraus η(t 1 ) = η(t 2 ) = 0 folgt. t 1 Durch Ausklammern von η(t) erhält man: t2 [ L t 1 q d ] L η(t) = 0 (40) q [ L Da η(t) laut Voraussetzung ncht null st, muss q d ] L null werden damt S q mnmal wrd. Somt folgt de Lagrange-Glechung 2. Art: L q d L q = 0 (41) Bestzt en System mehrere Frehetsgrade, so erhält man für jede verallgemenerte Koordnate ene Lagrange-Glechung. Weterhn defnert man an deser Stelle den verallgemenerten Impuls: p = L q ṗ = L q (42) 3.4 Lagrange Glechungen 1.Art Zwangs- und Nebenbedngungen können auch systematsch durch Enführung von Lagrange- Multplkatoren behandelt werden. Allgemen bestzt en System von N Massenpunkten mt 3N-kartesschen Koordnaten de Lagrange-Funkton: L(x, ẋ, t) = 1 2 3 m ẋ 2 U(x 1,..., x 3N, t) Dese System unterlegt p Zwangsbedngungen mt der Glechung: G α (x, t) = G α (x 1,..., x 3N, t) = 0 mt (α = 1,..., p) Man erhält ene neue veränderte Lagrange-Funkton: p L (x, ẋ, t) = L(x, ẋ, t) + λ α G α (x, t) = 0 (43) Das Prnzp der statonären Wrkung führt auf de Lagrange-Glechung 1. Art: d L = dl p G α + λ α (44) ẋ dx x α=1 α=1 Technsche Unverstät München 13 Fakultät für Physk