Technische Informatik I Mathematische Grundlagen (1) Boolesche Algebren: BMA, BAA (2,3) Kombinatorische Schaltungen (4,5) Automaten (6,7) Sequentielle Schaltungen (8) Programmierbare Strukturen (9) Rechneraufbau und ~funktion (10,11) Informationskodierung (12,13,14) H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 1
Technische Informatik I 3. Vorlesung 2. Funktion digitaler Schaltungen: Ausdruck => Wertetabelle Wertetabelle => Ausdruck Elementarkonjunktion, KDNF Elementardisjunktion, KKNF Überführung Normalformen Umformungsregeln, wertverlaufsgleiche Umformungen H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 2
Technische Informatik I 3. Vorlesung 2. Funktion digitaler Schaltungen: Ausdruck => Wertetabelle Wertetabelle => Ausdruck Elementarkonjunktion, KDNF Elementardisjunktion, KKNF Überführung Normalformen Umformungsregeln, wertverlaufsgleiche Umformungen H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 3
schaltalgebraische Ausdrücke... sind Zeichenreihen zur strukturorientierten Beschreibung digitaler Schaltungen BAA Weitere Sicht: Wertetabellen BMA eindeutige Abbildung Eingangsbelegung => Ausgangsbelegung => funktionsorientierte Beschreibung H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 4
Wertberechnung Wertberechnung: BAA Rechenregeln für Konstante: Negation: 1=0 0=1 x 1 x 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 Konjunktion: 1 1=1; 0 1=0 0=0 Disjunktion: 0 0=0; 0 1=1 1=1 H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 5
Wertberechnung Wertberechnung für Ausdrücke W(h i, X k ): Schrittweise Berechnung des Wertes 1. Belegung aller Variablen (Bits) Variable x j => Bit der Belegung X k (x j ) 2. Verknüpfung der Werte H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 6
Ausdruck => Wertetabelle Berechnung der Werte aller Belegungen: Wertverlauf Notation in Wertetabelle => jeder Ausdruck repräsentiert eine Wertetabelle (für je eine Ausgangsvariable) H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 7
Technische Informatik I 3. Vorlesung 2. Funktion digitaler Schaltungen: Ausdruck => Wertetabelle Wertetabelle => Ausdruck Elementarkonjunktion, KDNF Elementardisjunktion, KKNF Überführung Normalformen Umformungsregeln, wertverlaufsgleiche Umformungen H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 8
Beispiel Addition Strukturbild + S 0 a 0 b 0 Ü 0 + S 1 a 1 b 1 Ü n-1 1 + S n2 a n2 b n2 Ü n2 + S 3 a 3 b 3 Ü 3 H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 9
Beisp ieladdition Wertetabelle Vorbereich Nachbereich ü i-1 a i b i ü i s i Adder x 2 x 1 x 0 y 1 y 0 intern X 0 0 0 0 0 0 Y 0 X 1 0 0 1 0 1 Y 1 X 2 0 1 0 0 1 Y 1 X 3 0 1 1 1 0 Y 2 X 4 1 0 0 0 1 Y 1 X 5 1 0 1 1 0 Y 2 X 6 1 1 0 1 0 Y 2 X 7 1 1 1 1 1 Y 3 H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 10
Elementarkonjuktion k 3 => KDNF 0 1 1 = 1 W(k 3, X i ) =1 falls i = 3 X 3 = [ 0,..., 0, 1, 1] W(k 3, X i ) =0 falls i 3 k 3 = x n-1... x 1 x 0 h i =y 1 = k 3 k 5 k 6 k 7 h i in KDNF KDNF = Disjunktion von Elementarkonjunktionen H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 11
Elementardisjuktion d 2 => KKNF 0 1 0 =0 X 2 =[0,..., 0, 1, 0] W(d 2, X i ) = 0 falls i = 2 d 2 = x n-1... x 1 x 0 W(d 2, X i ) = 1 falls i 2 h i = d 0 d 1 d 2 d 4 h i in KKNF KKNF = Konjunktion von Elementardisjunktionen H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 12
Technische Informatik I 3. Vorlesung 2. Funktion digitaler Schaltungen: Ausdruck => Wertetabelle Wertetabelle => Ausdruck Elementarkonjunktion, KDNF Elementardisjunktion, KKNF Überführung Normalformen Umformungsregeln H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 13
KKNF => KDNF Für vollständig bestimmte Funktionen gilt: I 0 =I 1 Index für d: I 0 h i = d 0 d 1 d 2 d 4 Index für k: I 1 = k 3 k 5 k 6 k 7 H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 14
Überführung Norm alfo rm en De Morgan: h i h j = h i h j h i h j = h i h j KDNF => KNANF KKNF => KNONF k i k j = k i k j d i d j = d i d j H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 15
Normalformen Applet zum Üben ( =+, =*) weiteres Beispiel: h i = k 1 k 2 k 5 k 6 k 7 KDNF /x 2 */x 1 *x 0 +/x 2 *x 1 */x 0 +x 2 */x 1 *x 0 +x 2 *x 1 */x 0 +x 2 *x 1 *x 0 h i = d 0 d 3 d 4 KKNF (x 2 +x 1 +x 0 )*(x 2 +/x 1 +/x 0 )*(/x 2 +x 1 +x 0 ) H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 16
Selbststudium Applet zum Üben Gegeben: 1.) M0={0,4,3} 2.) M1={1,2,5,6,7} H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 17
Technische Informatik I 3. Vorlesung 2. Funktion digitaler Schaltungen: Ausdruck => Wertetabelle Wertetabelle => Ausdruck Elementarkonjunktion, KDNF Elementardisjunktion, KKNF Überführung Normalformen Umformungsregeln H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 18
Umformungsregeln Siehe Arbeitsblätter Axiome und Regeln H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 19
Umformungsregeln Beispiele: H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 20
Kürzungsregel Kürzen: x2*x1*/x0+x2*x1*x0 = x2*x1*(/x0+x0) H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 21
Kürzungsregel Kürzen: x2*x1*/x0+x2*x1*x0 = x2*x1*(1) H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 22
Kürzungsregel Kürzen: x2*x1*/x0+x2*x1*x0 = x2*x1 H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 23
Kürzen Erw eitern Kürzen Applet zum Vergleich ( =+, =*) H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 24 x3*x0+ x3*x1+ x2*x1
Das war s für heute Viel Spaß beim Wiederholen! Bis nächsten Donnerstag 9.00... H.-D. Wuttke `12 18.10.2012 www.tu-ilmenau.de/iks 25