16 Oberflächenintegrale

16 Oberflächenintegrale Nachdem wir im vergangenen Abschnitt gesehen haben, wie man das Volumen eines dreidimensionalen Körpers z.b. das Volumen einer Kugel) mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen kann, wenden wir uns nun den lächeninhalten gekrümmter lächen zu wie z.b. der Oberfläche einer Kugel), für die wir einen geeigneten Integralbegriff entwickeln. 16.1 lächen, Tangenten und Normalen Wir haben früher Kurven als Bilder von Intervallen bzgl. stetiger Abbildungen beschrieben. Ganz analog definieren wir nun lächenstücke als Bilder ebener Bereiche bzgl. geeigneter Abbildungen. efinition 16.1 Sei R 2 eine beschränkte offene Menge, und ihre Abschließung sei Jordan-messbar. Weiter sei : R 3 eine stetig differenzierbare unktion mit rang x 1,x 2 ) = 2 für alle x 1,x 2 ). 16.1) ann heißt das Bild von unter, d.h. die Menge := {x 1,x 2 ) R 3 : x 1,x 2 ) } 16.2) ein lächenstück im R 3 und die Abbildung : heißt eine Parameterdarstellung des lächenstücks oder kurz eine läche. Genau wie bei Wegen und Kurven unterscheiden wir wieder sorgfältig zwischen der Abbildung und ihrem Bild. Offenbar kann es für ein- und dasselbe lächenstück verschiedene Parametrisierungen geben. Wichtige Vereinbarung. Wir haben früher die ifferenzierbarkeit einer Abbildung : X R 3 nur für offene Mengen X R 2 erklärt. ie stetige ifferenzierbarkeit von : R 3 haben wir wie folgt zu verstehen: ie unktion läßt sich zu einer stetig differenzierbaren unktion : G R 3 auf eine offene Menge G fortsetzen. iese Menge G ist für die efinition des lächenstücks offenbar unerheblich. Wir möchten jedoch auch in den Randpunkten von die partiellen Ableitungen x1 und x2 bilden können und verlangen daher, dass sich auf eine offene Umgebung G von stetig differenzierbar fortsetzen läßt. ie Rangbedingung 16.1) wird nur für Punkte aus gefordert; auf dem Rand = \ muss sie nicht erfüllt sein. Mit x 1,x 2 ) = 1 x 1,x 2 ), 2 x 1,x 2 ), 3 x 1,x 2 ) ) T 241

lautet die Rangbedingung 16.1) rang 1 1 x 1 x 2 2 2 x 1 x 2 3 3 x 1 x 2 = 2 16.3) in allen Punkten von. Beispiel 1 Sei = 0, 2π) π/2, π/2). ann ist das Rechteck [0, 2π] [ π/2, π/2]. Sei weiter r > 0 und u,v) := r cos u cos v, r sin u cos v, r sin v) T für u,v). ann ist stetig differenzierbar auf und sogar auf ganz R 2 ), und die unktionalmatrix r sin u cos v r cos u sin v u,v) = r cos u cos v r sin u sin v 0 r cosv hat für alle u,v) den Rang 2. as zugehörige lächenstück ist die Oberfläche einer Kugel um den Nullpunkt mit dem Radius r. Beispiel 2 Sei f : R eine stetig differenzierbare unktion und : R 3, u,v) := u,v, fu,v) ) T. ann ist auch stetig differenzierbar auf, und die unktionalmatrix 1 0 0 1 f u von hat offenbar den Rang 2. as durch definierte lächenstück ist gerade der Graph von f. Mit = {u,v) R 2 : u 2 + v 2 < 1} und fu,v) = uv erhält man beispielsweise eine Sattelfläche hyperbolisches Paraboloid). Beispiel 3 Seien a = a 1,a 2,a 3 ) T und b = b 1,b 2,b 3 ) T linear unabhängige Vektoren und sei x 0 R 3. Auf = [ 1, 1] [ 1, 1] hat die unktion u,v) = u a + v b + x 0 die unktionalmatrix a 1 b 1 a 2 b 2, a 3 b 3 f v 242

die wegen der linearen Unabhängigkeit von a und b den Rang 2 hat. as zugehörige lächenstück ist ein Teil der durch a und b aufgespannten und durch x 0 verlaufenden Ebene. Sei : R 3 die Parametrisierung eines lächenstücks. Ist durch X = X 1,X 2 ) T : [a,b] ein stetig differenzierbarer Weg in gegeben, so ist Y : [a,b] R 3, Y t) = Xt) ) ein stetig differenzierbarer Weg, der komplett in verläuft. ür t 0 [a,b] wird die Richtung der Tangente an den Weg Y im Punkt Y t 0 ) = Xt 0 ) ) beschrieben durch den Vektor Kettenregel!) mit Ẏ t 0 ) = u Xt0 ) ) Ẋ 1 t 0 ) + v Xt0 ) ) Ẋ 2 t 0 ) 16.4) u Xt0 ) ) = Xt0 ) ) 1 = Xt0 ) ), 2 Xt0 ) ), 3 Xt0 ) )) u u u u und v Xt0 ) ) = Xt0 ) ) 1 = Xt0 ) ), 2 Xt0 ) ), 3 Xt0 ) )). v v v v ie Rangbedingung 16.1) besagt gerade, dass die beiden Vektoren u Xt0 ) ) und v Xt0 ) ) für alle Punkte Xt 0 ) linear unabhängig sind. Wir schreiben Xt 0 ) = u 0,v 0 ). Betrachten wir alle Wege X durch den Punkt u 0,v 0 ), so können in 16.4) die Ableitungen Ẋ1 und Ẋ2 beliebige Werte annehmen. ie beiden Vektoren u u 0,v 0 ) und v u 0,v 0 ) spannen also die komplette Tangentialebene an die läche im Punkt u 0,v 0 ) auf. Eine Beschreibung der Tangentialebene in Parameterform lautet {u 0,v 0 ) + λ u u 0,v 0 ) + µ v u 0,v 0 ) : λ,µ R}. 16.5) en Normalenvektor an die läche : R 3 im Punkt u,v) mit u,v) erklären wir durch das Vektorprodukt Nu,v) := uu,v) v u,v) u u,v) v u,v). 16.6) Man beachte, dass u u,v) v u,v) 0 ist, da beide Vektoren linear unabhängig sind.) Aus den Eigenschaften des Vektorprodukts wissen wir, dass der Vektor Nu,v) senkrecht auf u u,v) und v u,v) und damit auf der gesamten Tangentialebene 16.5)) steht. Außerdem hat er die Länge 1, so dass man auch vom Normaleneinheitsvektor spricht. Es stellt sich die rage, inwieweit die eingeführten Begriffe Tangential- und Normalenvektoren) von der Parametrisierung oder nur vom lächenstück abhängen. azu zunächst eine efinition. 243

efinition 16.2 a) Seien,E offen in R 2. Eine bijektive Abbildung ϕ : heißt iffeomorphismus, wenn ϕ und die Umkehrabbildung ϕ 1 stetig differenzierbar sind. b) Zwei Parameterdarstellungen : R 3 und G : E R 3 heißen äquivalent, wenn es einen iffeomorphismus ϕ : E gibt mit = G ϕ und detϕ > 0 auf. Sind und G äquivalent, so sagt man auch, dass sie durch eine Parametertransformation ϕ auseinander hervorgehen. Bei äquivalenten Parametertransformationen bleiben die wesentlichen lächengrößen und lächeneigenschaften wie die Tangentialebenen und Normalenvektoren) unverändert. Beispiel 4 Seien und wie in Beispiel 1 Kugeloberfläche). ann ist u u,v) = r sin u cos v, r cos u cos v, 0) T, v u,v) = r cos u sin v, r sin u sin v,r cos v) T, u u,v) v u,v) = r 2 cosucos 2 v,r 2 sin u cos 2 v,r 2 sin v cos v) T, u u,v) v u,v) und damit = r 2 cos v Nu,v) = cosucos v, sin u cos v, sin v) T für alle Punkte u, v) 0, 2π) π/2, π/2). Beispiel 5 Sind,f und wie in Beispiel 2 unktionsgraphen), so ist u = 1, 0, f u ) T, v = 0, 1, f ) T, v u v = f u, f v, 1) T, u v = und damit schließlich Nu,v) = f u f u 1 f ) 2 + f ) 2 u, f v, 1) T. v + 1 ) 2 f ) 2 + + 1 v Beispiel 6 Sei = E = {u,v) R 2 : u 2 + v 2 < 1}. ie Parametrisierungen und : R 3, G : E R 3, u,v) = u,v,uv) T Gu,v) = u, v, uv) T 244

liefern das gleiche lächenstück. Wir bestimmen die Normalenvektoren im Punkt 0, 0) = G0, 0) = 0, 0, 0) T. Zunächst ist also u u,v) = 1, 0,v) T, v u,v) = 0, 1,u) T, u u,v) v u,v) = v, u, 1) T und u 0, 0) v 0, 0) = 0, 0, 1) T, und andererseits ist G u u,v) = 1, 0, v) T, G v u,v) = 0, 1, u) T und damit G u u,v) G v u,v) = v,u, 1) T und G u 0, 0) G v 0, 0) = 0, 0, 1) T. Bei Verwendung von erhalten wir also 0, 0, 1) T als Normaleneinheitsvektor im Punkt 0, 0, 0) T an die Sattelfläche, und bei Verwendung von G den Vektor 0, 0, 1) T. Man beachte, dass zwar und G durch den iffeomorphismus ) ) ϕ : E, 1 0 u u,v) T = u, v) T 0 1 v auseinander hervorgehen, dass aber detϕ u,v) = det ) 1 0 = 1 < 0 0 1 ist. Also sind und G nicht zueinander äquivalent. Anschaulich ist klar, dass jedes lächenstück in jedem Punkt genau einen Tangentialraum, aber zwei Normaleneinheitsvektoren nach oben und nach unten ) besitzt. Ist = G ϕ, so liefern und G den gleichen Normalenvektor, wenn detϕ > 0, und sie liefern entgegengesetzte Normalenvektoren, wenn detϕ < 0. In letzterem all sagt man auch, dass die Orientierung von gewechselt wird. 16.2 lächenintegrale Wir wollen nun lächenintegrale bestimmen. Als Motivation gehen wir ähnlich vor wie bei der Herleitung der Substitutionsregel in Abschnitt 15.4. Sei : R 3 eine Parametrisierung eines lächenstückes, wobei wir der Einfachheit halber annehmen, dass ein achsenparalleles Rechteck in der uv- Ebene ist. as Rechteck sei in Teilrechtecke Q 1,...,Q m zerlegt. Ihre Bilder Q 1 ),...,Q m ) nennen wir Maschen. Aus diesen Maschen setzt sich das lächenstück zusammen. 245

v Q i v i 00 11 00 11 00 11 0 u i u 00 11 000 111 000 111 000 111 000 111 Q i ) Ist die Rechteckzerlegung von fein genug, so haben die Maschen nahezu die Gestalt eines Parallelogramms. Ist Q i ein Teilrechteck in mit den Seitenlängen u i und v i und ist u i,v i ) der linke untere Eckpunkt von Q i, so ist die Masche Q i ) ungefähr gleich dem Parallelogramm, das von den Vektoren u i + u i,v i ) u i,v i ) und v u i,v i + v i ) u i,v i ) aufgespannt wird. iese Vektoren sind nach efinition der partiellen Ableitungen ungefähr gleich u u i,v i ) u i und v u i,v i ) v i. iese beiden Vektoren spannen ein Parallelogramm auf, dessen lächeninhalt gleich der Länge des Vektorprodukts dieser Vektoren ist, also gleich der Länge von σ i := u u i,v i ) v u i,v i ) ) u i v i. Man kann daher σ i als ungefähren lächeninhalt der Masche Q i ) ansehen und m m σ i = u u i,v i ) v u i,v i ) u i v i 16.7) i=1 i=1 als Näherung für den lächeninhalt des lächenstückes. Ist kein Rechteck, so schöpfen wir von innen durch rechteckzerlegte Bereiche aus. Lassen wir auf der rechten Seite von 16.7) die Zerlegung immer feiner werden, d.h. lassen wir max i { u i, v i } gegen 0 streben, so gelangen wir zum Integral u u,v) v u,v) du,v). Um sicherzustellen, dass dies tatsächlich dem lächeninhalt von entspricht, müssen wir noch ähnlich wie bei Kurven) garantieren, dass nicht Teile des lächenstücks mehrfach durchlaufen werden. efinition 16.3 ie Parameterdarstellung : R 3 und das durch sie definierte lächenstück heißen doppelpunktfrei, wenn auf eineindeutig ist. 246

efinition 16.4 Ist : R 3 eine doppelpunktfreie Parameterdarstellung eines lächenstückes, so ist der lächeninhalt von die Zahl I) = u u,v) v u,v) du,v) 16.8) as Integral in 16.8) schreibt man auch als dσ, wobei dσ symbolisch für u u,v) v u,v) du,v) steht und lächenelement heißt. efinition 16.4 wird wie folgt verallgemeinert: efinition 16.5 urch : R 3 sei ein lächenstück gegeben, und H : R sei stetig auf. ann heißt das Integral H u,v) ) u u,v) v u,v) du,v) = H dσ 16.9) das lächenintegral von H über manchmal auch lächenintegral erster Art). Als Motivation kann man sich ein elektrostatisch geladenes lächenstück vorstellen, wobei die Ladungsdichte H in jedem Punkt von bekannt und die Gesamtladung gesucht ist. Man kann und muss) sich überlegen, dass die Integrale in 16.8) und 16.9) bei Parametertransformation und Orientierungswechsel invariant bleiben. Im alle der oppelpunktfreiheit ist die Schreibweise rechts in 16.9) völlig eindeutig, da je zwei zugehörige Parameterdarstellungen entweder äquivalent oder entgegengesetzt orientiert sind. Beispiel 7 Seien und wie in Beispiel 1 Kugeloberfläche). Mit Beispiel 4 erhalten wir 2π π/2 I) = r 2 cos v du,v) = r 2 cosv dv du = 4πr 2 als lächeninhalt der Kugeloberfläche. 0 π/2 Beispiel 8 Sind, f und wie in Beispiel 2 unktionsgraphen), so ist I) = dσ = 1 + f 2 u + fv 2 du,v) der lächeninhalt des unktionsgraphen. Vergleichen Sie dieses Resultat mit ormel 14.2) für die Kurvenlänge des Graphen einer unktion f : [a,b] R. 247

efinition 16.6 urch : R 3 sei ein lächenstück gegeben, und H : R 3 sei ein stetiges Vektorfeld auf. ann heißt H d σ := H u,v) ) u u,v) v u,v) ) du,v) 16.10) das lächenintegral zweiter Art) von H über. Schreiben wir u u,v) v u,v) = uu,v) v u,v) u u,v) v u,v) uu,v) v u,v) = Nu,v) u u,v) v u,v), so geht das Integral auf der rechten Seite von 16.10) über in H u,v) ) Nu,v) u u,v) v u,v) du,v), 16.11) so dass man das Integral H d σ zweiter Art auch als das Integral H N dσ erster Art auffassen kann. lächenintegrale zweiter Art sind ebenfalls invariant bezüglich äquivalenter Parametertransformationen. Bei einem Orientierungswechsel ändern sie jedoch ihr Vorzeichen, da die Normalenvektoren ihre Richtung ändern. Zur Motivation der lächenintegrale zweiter Art stellen wir uns ein stationäres zeitunabhängiges) Geschwindigkeitsfeld V : R 3 R 3 einer strömenden lüssigkeit vor und fragen nach der lüssigkeitsmenge, die ein gegebenes lächenstück pro Zeiteinheit durchfließt. Sinnvollerweise soll orientiert sein, d.h. wir können uns etwa vorstellen, dass eine Unterseite und eine Oberseite hat und dass die Normalenvektoren in Richtung der Oberseite zeigen. Wie bei der Motivation zum lächeninhalt denken wir uns in Maschen unterteilt, die näherungsweise Parallelogrammform haben. Es sei σ i der lächenvektor eines solchen Parallelogramms i, d.h. σ i steht senkrecht auf i und zeigt in Normalenrichtung, und σ i ist gleich dem lächeninhalt von i. ann ist V x i ) σ i mit einem x i i ) das lüssigkeitsvolumen, das näherungsweise pro Zeiteinheit durch i fließt. Pro Zeiteinheit schiebt sich nämlich ein Parallelflach mit dem Grundflächeninhalt σ i und der Höhe V x i ) cos ϕ vgl. die folgende Skizze), d.h. mit dem Volumen V x i ) σ i cos ϕ = V x i ) σ i durch i. In erster Näherung nehmen wir V als konstant auf i an.) 248

V x i ) σ i ϕ i ließt die lüssigkeit aus der Seite von i heraus, in die der lächenvektor σ i zeigt, so ist V x i ) σ i 0 und andernfalls 0. as Vorzeichen von V x i ) σ i gibt also an, in welche Richtung i durchflossen wird. ie Summation der urchflüsse über alle Maschen V x i ) σ i i und der Übergang zu beliebig kleinen Maschenweiten führen zum lächenintegral 2. Art U = V x) d σ. ie Größe U gibt also das Gesamtvolumen an, das pro Zeiteinheit das lächenstück durchströmt, wobei die Anteile beider Strömungsrichtungen durch gegeneinander aufgerechnet sind. as Vorzeichen von U gibt an, an welcher Seite des lächenstücks mehr herausfließt: Ist U > 0, so strömt mehr lüssigkeit in Richtung der Normalenvektoren von, ist U < 0, so in entgegengesetzter Richtung. Man nennt U auch den luss von V durch. Beispiel 9 Seien und wieder wie in Beispiel 1 Kugeloberfläche), und sei H : R 3 R 3 die identische Abbildung, d.h. Hx,y,z) = x,y,z). ann ist nach Beispiel 4 Nu,v) = cosucos v, sin u cos v, sin v), und mit H u,v) ) = u,v) = r cos u cos v,r sin u cos v,r sin v) = r Nu,v) erhalten wir mit 16.11) für das lächenintegral 2. Art H d σ = H N dσ = r dσ = r as lächenintegral dσ ist gleich dem lächeninhalt der Kugeloberfläche. Wir haben es in Beispiel 7 berechnet und erhalten damit H d σ = 4πr 3. 249 dσ.