Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 2 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 2 Hausaufgaben Aufgabe 2.1 Sei [a, b] R ein Intervall und ( ) n N [a, b] eine Folge mit n = c. Zeigen Sie: Es gilt c [a, b]. Gilt eine solche Behauptung auch, wenn wir das offene Intervall (a; b) statt [a; b] betrachten? Lösung zu Aufgabe 2.1 vgl. Mitschrift aus der Zentralübung vom 7.5.2010 Aufgabe 2.2 Berechnen Sie die folgenden Funktionengrenzwerte oder zeigen Sie, dass die Grenzwerte nicht existieren. x a) 2x 2 +1 x 4 +2x 3 2x 1 [ 1] 8 ( ) b) tan 2 x 1 cos x π/2 x [ 1] c) x 2x 4x 2 + 2x 1 [ 1 2 ] 1 d) x+1 [ 1] x 0 x 2 Lösung zu Aufgabe 2.2 a) x 3 2x 2 + 1 x 4 + 2x 3 2x 1 = = (x 2 x 1) (x 3 + 3x 2 + 3x + 1) = 1 8 (x 1)(x 2 x 1) (x 1)(x 3 + 3x 2 + 3x + 1) b) ( tan 2 x 1 ) x π/2 cos 2 x = x π/2 sin 2 x (sin 2 x + cos 2 x) cos 2 x sin 2 x 1 = x π/2 cos 2 x = x π/2 cos 2 x) cos 2 x = 1 1
c) 2x 4x 2 (4x 2 + 2x 1) 4x 2 + 2x 1 = x x 2x + 4x 2 + 2x 1 = x 2 + 1 x = x 2 + 4 + 2 = 2 1 2 + 4 = 1 2 x x 2 2x + 1 2x + 4x 2 + 2x 1 d) 1 x + 1 x 0 x 1 (x + 1) = x 0 x (1 + x + 1) = 1 x 0 1 + x + 1 = 1 2 Aufgabe 2.3 Zeigen Sie, dass jedes Polynom über ganz R stetig ist. Lösung zu Aufgabe 2.3 Aus der Vorlesung wissen wir, dass konstante Funktionen und die Funktion x x stetig sind. Da Produkte stetiger Funktionen wieder stetig sind, folgern wir, dass auch Funktionen der Form x a k x k für a k R stetig auf ganz R sind. Ein Polynom der Form a n + +a 1 x+a 0 ist die Summe von solchen Funktionen, und damit ebenfalls nach Vorlesung wieder auf ganz R stetig. Aufgabe 2.4 Untersuchen Sie, wo die folgenden Funktionen definiert sind, wo sie stetig sind und ob sie sich in die Definitionslücken stetig fortsetzen lassen. a) x 2 x 2 +3x 10 1 4 b) 2+x 3x 3 3x 2 11 5x Lösung zu Aufgabe 2.4 a) f(x) := x 2 x 2 +3x 10 1 4 Wir bestimmen zunächst die Nullstellen sämtlicher Nenner: x 2 + 3x 10 = 0 x { 5, 2} x + 3 = 0 x = 3 1 4 = 0 4 = 0 x = 1 2
Der Definitionsbereich von f ist alo D f := R \ { 5, 3, 1, 2}. Nun vereinfachen wir den Term f(x) soweit wie möglich, um die Grenzwerte schneller ablesen zu können: f(x) = x 2 x 2 +3x 10 1 4 (x 2)(x + 3) 0 (x 2)(x + 5)(x 1) = x + 3 (x + 5)(x 1) Damit gilt an den Definitionslücken: f(x) existiert nicht x 5 x 3 f(x) = 0 f(x) existiert nicht x 2 f(x) = 5 7 Damit sind die Definitionslücken bei 3 und bei 2 hebbar, die Funktion lässt sich dort stetig fortsetzen. An den beiden anderen Definitionslücken gibt es dagegen keine stetige Fortsetzung. b) g(x) := 2+x 3x 3 3x 2 11 5x Zunächst müssen die Terme unter den Wurzeln immer nichtnegativ sein. Damit folgt: 2 + x 0 x 2 3x 3 0 x 1 3x 2 0 x 2 3 11 5x 0 x 11 5 Außerdem muss der Nenner des Bruchs ungleich 0 sein: 3x 2 11 5x = 0 8x = 13 x = 13 8 Zusammen folgt: Der Definitionsbereich von g ist D g = [1; 11] \ { } 13 5 8. Für eine stetige Fortsetzung kommt nur x = 13 in Frage, also berechnen wir hier noch den Grenzwert. 8 Wir stellen fest, dass der Zähler des Bruchs für x = 13 einen positiven, endlichen Wert 8 annimmt, der Nenner geht dagegen gegen 0. Damit ist klar, dass der Grenzwert nicht existiert, g ist also in keine der Definitionslücken stetig fortsetzbar. Aufgabe 2.5 Für jedes n N sei die Funktion g n : R R definiert durch g n (x) := a) Skizzieren Sie die Funktion für n {1, 2, 3}. nx 1 + nx. b) Zeigen Sie, dass g n für jedes n N auf ganz R stetig ist. c) Zeigen Sie, dass der Grenzwert n g n (x) für jedes x R existiert. 3
d) Die Funktion g : R R sei definiert durch g(x) := n g n (x). Untersuchen Sie, in welchen Punkten die Funktion g stetig ist. Lösung zu Aufgabe 2.5 vgl. Mitschrift aus der Zentralübung vom 7.5.2010 Aufgabe 2.6 Zeigen Sie, dass für alle x ( π; π ) \ {0} gilt, dass 2 2 Leiten Sie daraus ab, dass cos x sin x x 1 cos x. sin(x) x 0 x = 1. Lösung zu Aufgabe 2.6 vgl. Mitschrift aus der Zentralübung vom 7.5.2010 Aufgaben für die Tutorübung Aufgabe 2.7 Berechnen Sie die folgenden Funktionengrenzwerte oder zeigen Sie, dass die Grenzwerte nicht existieren. a) x 5 x 2 x 4 +3x 2 4 b) x 0 sin x cos x x 2 +3x x cos x c) x 4x 16x(x 1) Lösung zu Aufgabe 2.7 a) x 5 x 2 x 4 + 3x 2 4 = (x 1)(x 4 + x 3 + x 2 ) (x 1)(x 3 + x 2 + 4x + 4) (x 4 + x 3 + x 2 ) = (x 3 + x 2 + 4x + 4) = 1 + 1 + 1 1 + 1 + 4 + 4 = 3 10 b) x 0 sin x cos x x 2 + 3x x cos x = sin x x 0 x x 0 cos x x + 3 cos x = 1 1 0 + 3 1 = 1 2 4
c) Achtung: Das Zerlegen in ein Produkt von zwei Grenzwerten klappt nur, wenn beide Einzelgrenzwerte existieren. ( Existieren bedeutet auch, dass keiner der beiden Grenzwerte ± sein darf!) ( 4x 4 x2 4x x ) ( 4x + 4 x 2 x ) 16x(x 1) = x x 4x + 4 x 2 x = x 16x 2 16(x 2 x) 4x + 4 x 2 x = x 4 1 + 1 1 x = 4 2 = 2 = x 4x x + x 2 x Aufgabe 2.8 Die Funktion f : Q R sei definiert durch Zeigen Sie, dass f auf ganz Q stetig ist. 0, für x < π f(x) := 1, für x > π. Lösung zu Aufgabe 2.8 Wir benutzen zur Illustration die ε-δ-definition für Stetigkeit. Sei also x 0 Q und ε > 0 gegeben. Dann müssen wir ein δ > 0 finden, so dass f(x) f(x 0 ) < ε für alle x, die x x 0 < δ erfüllen. Dazu stellen wir erst einmal fest, dass die Funktion f fast überall konstant ist nur an der Stelle x = π macht sie einen Sprung von 0 auf 1. Da wir nur zeigen sollen, dass f auf Q stetig ist, und da π / Q ist, muss x 0 π gelten, also ist f in einer ausreichend kleinen Umgebung von x 0 sicher konstant. Wir müssen also δ nur so klein machen, dass π nicht mehr in der für uns relevanten Umgebung von x 0 enthalten ist (wir bleiben also komplett auf einer Seite der Sprungstelle). Dafür setzen wir beispielsweise δ := x 0 π. Dann ist x 2 0 π > δ, also ist f konstant für alle x {x Q : x x o < δ}, und damit ist f(x) f(x 0 ) = 0 < ε für all diese x. Aufgabe 2.9 Sei f : (0; ) R definiert durch x, für f(x) := 1 /x N, 0, für 1 /x / N. Untersuchen Sie die Funktion f auf Stetigkeit. Lösung zu Aufgabe 2.9 Zunächst mal stellen wir fest, dass f für jedes x 0 > 1 stetig ist: Für jedes solche x 0 gibt es eine Umgebung von x 0, in der nur Zahlen > 1 enthalten sind, auf dieser ganzen Umgebung ist 5
die Funktion also konstant 0 (weil 1 keine natürliche Zahl sein kann) und damit auch stetig x (das kann man ausführlich wie in der vorigen Aufgabe begründen). Wir vermuten, dass f für alle x M := { 1 n : n N} nicht stetig ist, für alle x (0; 1) \ M aber stetig. Für den Beweis verwenden wir zur Abwechslung das Folgenkriterium für Stetigkeit: Eine Funktion f ist genau dann stetig an x 0, falls für jede gegen x 0 konvergente Folge ( ) n N gilt: n f( ) = f(x 0 ). Wir betrachten zunächst ein x 0 (0; 1] mit 1 x 0 N. Sei ( ) n N eine gegen x 0 konvergente Folge mit < x 0 für alle n N (wir untersuchen zunächst den linksseitigen Grenzwert). Dann 1 gilt natürlich n = 1 x 0 und 1 > 1 x 0. Wegen der Folgenkonvergenz gibt es ein N N, so dass 1 x 0 < 1 < 1 x 0 + 1 für alle n N gilt. Damit liegt aber 1 für all diese n im Intervall zwischen zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen 1 x 0 und 1 x 0 + 1, also ist 1 / N für alle n N. Damit ist f( ) = 0 für all diese n und somit n f ( ) = 0 x 0 = f(x 0 ). Damit ist klar: Selbst wenn der Grenzwert der Folge f( ) existiert, kann die Folge nicht mehr gegen f(x 0 ) konvergieren (man könnte den Fall natürlich auch analog zu diesem noch untersuchen). Also ist f in x 0 unstetig. Sei jetzt x 0 (0; 1] so, dass 1 x 0 / N. Wir betrachten wieder eine beliebige Folge ( ) n N, die gegen x 0 konvergiert. Damit konvergiert auch ( 1 1 ) n N und es gilt n = 1 1 x 0. Weil x 0 nicht in N ist, gibt es ein ε > 0, so dass im Intervall I := ( 1 x 0 ε; 1 x 0 + ε) keine natürliche Zahl liegt. Wegen der Konvergenz von ( 1 ) n N gibt es andererseits ein N N, so dass 1 I für alle n N gilt. Für alle diese n gilt damit f( ) = 0, also muss n f( ) = 0 sein. Das bedeutet aber, dass f( ) = f(x 0 ) ist, und da die Folge ( ) n N zu Beginn beliebig gewählt war, zeigt das die Stetigkeit von f in x 0. 6