F F A E t Teil 1 5/11-014 T Klassische Theoretische Physik Lehramt (0 LA), WS 014/15 Thomas Tauris AIfA Bonn Uni. / MPIfR
Kapitel 6+7 + Anhang C Weiterführende Literatur: - Introduction to Special Relatiity Robert Resnick - Space and Geometry (Introduction to GR) Sean M. Carroll KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni.
1: Historische Perspektien Lorentz-Transformation Zeitdilatation Längenkontraktion, Experimentelle Tests : Relatiistische Geschwindigkeit, Masse, Impuls und Energie Lorentz-Transformationen Der relatiistische Doppler-Effekt 3: Viererektoren Zeit-Ort, Energie-Impuls, Vektorpotential, Ladung-Stromdichte Vierergradienten und die Maxwell-Gleichungen Lorentz-Inarianz des Vierer-Skalarprodukts Minkowski-Diagramm F 0 Ex / c Ey / c Ez / c Ex / c 0 Bz By Ey / c Bz 0 Bx Ez / c By Bx 0 A z c 4: Relatiistische Elektrodynamik Die Lorentz-Kraft als relatiistische Ergänzung der Coulomb-Kraft Transformationen des elektromagnetischen Feldes Der elektromagnetische Feldstärkentensor Elektrische Feld eines relatiistischen Teilchens 5: Repetition KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 3
Historische Perspektien Galilei-transformation Inertialsysteme Gleichzeitigkeit unter Galilei-transformationen Elektromagnetismus und Newton sche Relatiitätstheorie Die Äther Hypothese Michelson-Morley Experiment Die Lorentz-Fitzgerald Kontraktionshypothese de Sitters Doppelstern Argument Die Postulate der speziellen Relatiitätstheorie Lorentz-Transformation Beweis der Lorentz-Transformation Gleichzeitigkeit - ein relatier Begriff Zeitdilatation und Längenkontraktion Herleitung Experimentelle Tests KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 4
x x y S S * y z z t Laborsystem Bewegtes system (Ruhesystem des Teilchens) Diese Bezugssysteme sind durch die Galilei-Transformation miteinander erknüpft: y x x * S S* Bezugssysteme t z P O O* t t y * 0 z * z z * S ( x, y, z ) Betrachten ein Koordinatensystem, das sich mit der konstanten Geschwindigkeit parallel zur z-achse des Laborsystem S ( x, y, z) bewegt. Zur Zeit fallen die Nullpunkte beider Systeme zusammen. Geschwindigkeiten werden erändert: Beschleunigungen bleiben inariant: z z z z (z.b. Newton sche Gleichung ist in beiden Bezugssystemen gültig). F mr KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 5
Inertialsysteme spielen eine fundamentale Rolle in der Speziellen Relatiitätstheorie. Nicht-beschleunigte Bezugssysteme (konstanter Geschwindigkeit) zkonstant z0 In diesen Systemen gilt das Trägheitsgesetz (daher der Name Inertialsystem: Massen werden nur dann beschleunigt, wenn Kräfte auf sie einwirken Newtons 1. Gesetz). y x x * S S* z O O* t y * z * P konstant z z * Mit beschleunigten Bezugssystemen beschäftigt sich die Allgemeine Relatiitätstheorie Grundlage der Speziellen Relatiitätstheorie is das Relatiitätsprinzip: die physikalischen Gesetze haben in allen Inertialsysteme dieselbe Gestalt. Eine physikalische Aussage darf nicht on dem speziell gewählten System abhängen. Außerdem ist es unmöglich, durch Messerungen innerhalb eines Intertialsysteme dessen absolute Geschwindigkeit zu ermitteln. KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 6
Um die Länge einer schwimmenden Fischen zu messen muss man die Stellungen der Kopf und Schwanz gleichzeitig markieren (a), und nicht zu beliebigen Zeitpunkten (b). z z t z z ( z t ) (z t ) ( z z ) (t t ) B A B B A A B A B A z z z z B A B A und nicht zu beliebigen Zeitpunkten z t z ( ) B t0 ( ) A 0 Die Annahme, dass die Messungen in der gleichen Zeit gemacht werden - das heißt, gleichzeitig - ist ein entscheidender Teil unserer Definition der Länge eines bewegten Stabes unter Galilei-Transformationen. Länge, Masse und Zeit gibt drei grundlegende Mengen unabhängig on der Bewegung des Betrachters in Newton schen mechanik. z ( ) A t0 z ( ) B t1 KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 7
Elektromagnetische Wellen breiten sich mit der Geschwindigkeit on Licht, welche nicht unter einem Galilei Transformation inariant ist (z.b. erschiedene Beobachter die sich mit Geschwindigkeit bewegen, Messen eine Geschwindigkeit des Lichtimpulses on c- nach c+ ). Dies bedeutet, dass es ein eindeutiges Inertialsystem gibt in dem die gemessene Lichtgeschwindigkeit genau c ist. Das Medium der Lichtausbreitung erhielt den Namen Äther c+ KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 8
Das Galilei-Relatiitätsprinzip gilt in den Newton schen Gesetze der Mechanik aber nicht in Maxwells Gesetzen des Elektromagnetismus 1. Ein Relatiitätsprinzip existiert für die Mechanik, aber nicht für den Elektromagnetismus. Für den Elektromagnetismus gibt es ein beorzugtes Bezugssystem, den Äther Rahmen, c 1/ wobei 0 0 Michaelson-Morley Experiment oder. Ein Relatiitätsprinzip existiert sowohl für Mechanik und Elektromagnetismus, aber Maxwell lag falsch. oder 3. Ein Relatiitätsprinzip existiert sowohl für Mechanik und Elektromagnetismus, aber Newton lag falsch. KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 9
I B Das Magnetfeld als relatiistischer Effekt: Ein reines elektrisches Feld wird on einem Beobachter in Bewegung auch als Magnetfeld gemessen. KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 10
Ein Experiment, die Existenz des Äthers nachzuweisen (1887). Die größte Fehlenanzeige in der Geschichte der Physik! Streifenerschiebung bei Drehung des Interferometers 30 km s 1 / c10 4 KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 11
t 1 Strahlteiler Spiegel Transersale Komponente: L ct1 L ( t1) t1 c t total L L L 1 1 c c 1 / c c c Parallele Komponente: L ct1 L t1 t1 c L ct L t t c L L L c L ttotal c c c c 1 / c t total L 1 c c t total t total c Streifenerschiebung bei Drehung des Interferometers n L c KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 1
Versuche, das Konzept einer beorzugten Äther Rahmen zu bewahren - Die Lorentz-Fitzgerald Längenkontraktion (189) Alle Objekte sind in der Bewegungsrichtung relati zu dem ruhenden Äther um den Faktor 1 / c zusammengezogen. Daher sollte keine Streifenerschiebung bei Drehung des Interferometers zu erwarten sein. l 0 l l0 1 / c Siehe auch die Äthermitführungshypothese und das Fizeau Experiment KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 13
Mit einer Emissionstheorie (Walter Ritz, 1908), die besagt, dass die Lichtgeschwindigkeit abhängig on der Geschwindigkeit der Lichtquelle ist, könnte der negatie Ausgang der Ätherdriftexperimente (Michelson-Morley) ebenfalls erklärt werden. Aber eine Reihe on Tests hat jedoch gezeigt, dass die Lichtgeschwindigkeit unabhängig on der Quellgeschwindigkeit ist. Beispielsweise bei die Beobachtung on Doppelsternen (de Sitter, 1913), deren Umlaufbahnen bei unterschiedlich schneller Ausbreitung des Lichtes erzerrt erscheinen müssten. x c c Das schnellere" Licht, welsches bei Annäherung obgestrahlt wird, überholt das langsamere" Licht. KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 14
c 3.0010 m s 8 1 1. Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen. (Die Lichtgeschwindigkeit ist auf die Bewegung des emittierenden Objekt unabhängig ). Die Physikalischen Gesetze haben in allen Inertialsystemen dieselbe Form. 3. Raum und Zeit sind homogen und isotrop, d.h. prinzipiell ist kein Raum- oder Zeitpunkt und keine räumliche Richtung or anderen ausgezeichnet. Albert Einstein, 1905 Konsistente Theorie der Elektrodynamik für bewegter Körper 1. Wir müssen die Gleichungen der Transformation zwischen zwei Inertialsysteme erhalten (Die Lorentz-Transformationen).. Wir müssen prüfen, ob alle Gesetze der Physik unter dieser Transformation inariant sind. Wenn nicht, müssen die Gesetze korrigiert werden. KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 15
S S * Laborsystem Bewegtes system (Ruhesystem des Teilchens) Diese Bezugssysteme sind durch die Lorentz-Transformation miteinander erknüpft: (6.) + (6.3) t t z c x x y y z z t 1 1 1 ( / c) 1 y x x * S S* Bezugssysteme t z P O O* t t y * 0 und entsprechend: z * S ( x, y, z ) Wir betrachten ein Koordinatensystem, das sich mit der konstanten Geschwindigkeit parallel zur z-achse des Laborsystem S ( x, y, z) bewegt. Zur Zeit fallen die Nullpunkte beider Systeme zusammen. t t z c x y x y z z * z z t KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 16
Wir betrachten zwei Bezugssysteme S und, die sich mit der konstanten Geschwindigkeit in z- Richtung relati zueiander bewegen. Zur Zeit t t 0 fallen die Nullpunkte beider Systeme zusammen. Aufgrund des 3. Postulats, muss die Transformationen der Raum- und Zeitkoordinaten linear sein, d.h. z a z a t, t b t b z ( C.1) 1 1 S Die Koeffizienten hängen on der Relatigeschwindigkeit ab. Senkrecht zur Bewegungsrichtung bleiben die Koordinaten inariant: x x, y y ( C.) Der Ursprung on S (Koordinate z = 0) bewegt sich, on aus gesehen, mit der Geschwindigkeit in der negatien z-richtung. Daher gilt: 1 1 1 Definiere: (einer noch zu bestimmenden Konstanten) a 1 S 0 a ( t ) a t a a z a ( z t ) ( C.3) Wegen Postulat (1) gilt: KTP-L, 014-015 t 0 r 0 r r x y z r ct r ct c t r c t r C ( ) ( ) 0 (.4) Das Quadrat der inarianten Länge im ierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum. Der koariante Viererektor : X ( ct, r) Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 17
c t r c t r Für beliebige Raum-Zeit-Punkt ( C.1) c t ( x y z ) c t ( x y z ) c ( b t b z ) ( x y ( a z a t ) ) c t ( x y z ) 1 1 c ( b t b z b b t z ) ( x y ( a z a t a a t z )) c t ( x y z ) 1 1 1 1 t : c b a c ( C5. a) 1 z : c b a 1 a c b 1 ( C5. b) 1 1 t z : c b b a a 0 a a c b b ( C5. c) 1 1 1 1 ( C.3) : a a a 1 1 ( C5. a) b 1 c 1 ( C5.b) b c 1 4 4 1 ( C5.c) a1 a c b1 b c 1 c c 4 c 4 c 4 1 1 1 1 c KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 18
1 1 / c der Lorentz-Faktor 1 ( C.1) : t b t b z t 1 t z c c 1 Man kann leicht zeigen: 1 1 c c c ( C.1) z a z a t z t 1 In der Relatiitätstheorie gibt es keine absolute Zeit t t z c x x y y z z t Q.E.D. 1 1 1 ( / c) 1 KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 19
S S S S Die Signale A und B wurden zu unterschiedlichen Zeiten emittiert Die Signale A und B wurden zur gleichen Zeit emittiert Einstein: Beide Beobachter haben Recht. Gleichzeitigkeit ist ein relatier Begriff. Längenmessung wird relati. Zeitinteralle on Uhren werden relati. http://www.youtube.com/watch?=wteiuxyqtom KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 0
Angela Ruhesystem der Uhr (Angela, S*): Laborsystem (Franz, S): Einsteins Gedankenexperiment zur Zeitdehnung: die Lichtuhr. B: Blitzlampe, S: Spiegel, D: Detektor. Links wird die Uhr in ihrem Ruhesystem gezeigt, rechts im Laborsystem. d (6.5) c c d ( ) (6.6) 1 / c Franz (6.7) Lorentz-Transformation: t t z t t1 t t1 z z c c c ( t t ) t t 1 1 KTP-L, 014-015 http://www.youtube.com/watch?=khjpbjgimvk
Angela L B D L 0: Emission Lichtimpuls 1: Reflexion on Lichtimpuls : Detektion on Lichtimpuls M B 0 B1 B Gedankenexperiment zur Längenkontraktion: B: Blitzlampe, M: Spiegel, D: Detektor. Links wird dir Uhr in ihrem Ruhesystem gezeigt, rechts im Laborsystem. D Franz M 0 t 1 M1 M Ruhesystem der Uhr (Angela, S*): Laborsystem (Franz, S): Zeitdilatation: L / c L L t1 L t1 / c t L t / c c c L L Lc L / c t1 t c c c 1 / c L / c 1 L L / c L (6.8) 1 / c 1 / c KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni.
-Teilchen ( - -Leptonen) T½ 1.5 s e e e Halbwertzeit (Eigenzeit) 0-30 km Oberer Rand der Atmosphäre Proton kollidiert mit einem atmosphärischen Molekül Selbst wenn sich der Lichtgeschwindigkeit, c nähert können sie innerhalb ihrer Halbwertzeit nur 457 m zurücklegen. Wahrscheinlichkeit dass ein -Teilchen eine Strecke on 0 km überlebt, die (0 000 / 457) = 44 Halbwertzeiten entspricht: 14 Warum wurden so iele -Teilchen an der Oberfläche der Erde entdeckt? I. II. Wie wom erdfesten Bezugssystem gesehen: Wie wom -Teilchen gesehen: 1 T½ T½ z. B. 16 1 / c KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 3 ½ 44 5.710 Die -Teilchen können innerhalb ihrer Halbwertzeit 16*457 m = 731 m zurücklegen. Damit ist die Überlebens-Wahrscheinlichkeit: (0000 /731) ½ 15% Eigenlänge L (150 / 457) L 150 m W ½ 15%
Gleichzeitigkeit ist ein relatier Begriff. Die größte Länge wird gemessen wenn das Objekt in Ruhe relati zum Beobachter ist. In Bewegung: Längenkontraktion! L L Eine Uhr wird gemessen am schnellsten zu läufen, wenn sie in Ruhe relati zum Beobachter ist. In Bewegung: Zeitdilatation! 1 1 / c 1 Experimentelle Tests bestätigen die Lorentz-Transformationen Geschwindigkeit / c KTP-L, 014-015 Thomas Tauris - AIfA, Bonn Uni. 4