Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg
Grundlagentest Bruchrechnen!
Testfrage: Bruchrechnung 1 Wie lautet das Ergebnis des folgenden Ausdrucks (Rechnung ohne Taschenrechner)? 1 2 + 2 3 5 6 2 3 Antwort: A 3 5 B 7 C 5 36 D 9 15 E Keine Ahnung / Keine der Lösungen oben! Richtig: B
Testfrage: Bruchrechnung 2 Erni, Bert und das Krümelmonster essen Kekse. Ernie isst 3 2 Kekse, Bert ist 4 3 der Menge die Ernie isst, und das Krümelmonster isst 6 7 der Menge, die Bert und Ernie zusammen essen. Wieviele Kekse essen alle zusammen (Rechnung ohne Taschenrechner)? Antwort: A 13 2 B 6 C 57 14 D 54 7 E Ich habe ein anderes Ergebnis oder ich weiß nicht wie das geht.
Testfrage: Bruchrechnung 3 Falls x, y 1 und x ±y gilt: Wie kann man den folgenden Ausdruck noch schreiben? x x+1 y y+1 x y x+y Antwort: A B C D E x+y xy+x+y+1 x+y x y x + y (x+1)(y+1) x+y Ich habe ein anderes Ergebnis oder ich weiß nicht wie das geht.
Testauswertung: Ihr Ergebnis: 3 Antworten richtig: Sie können Bruchrechnen! 2 Antworten richtig: Rechnen Sie mindestens die Hälfte der Aufgaben! Nur 1 Antwort richtig: Rechnen Sie alle Aufgaben! Keine Antwort richtig: Rechnen Sie alle Aufgaben und suchen Sie noch nach weiterem Übungsmaterial zu diesem Thema! Übungsmaterial Zu diesem Thema: Aufgaben 3.1-3.7 aus http://goo.gl/qhwn7x
: Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Lineare Algebra 5 Lineare Programme 6 Folgen und Reihen 7 Finanzmathematik 8 Reelle Funktionen 2 Grundlegende Notation von Summen Binomische Formel Doppelsummen Grundbegriffe der Logik Grundlegendes über Mengen 9 Differenzieren 1 10 Differenzieren 2 11 Integration
Summenzeichen Oft sinnvoll: Abkürzen von längeren Summen durch das Summenzeichen (Großes griechisches Sigma) Beispiel: Summe von 6 durchnumerierten Zahlen: N 1 + N 2 + N 3 + N 4 + N 5 + N 6 = 6 Sprechweise: Summe von i gleich 1 bis 6 über N i Obere und untere Summationsgrenze kann variieren, z.b. q a i = a p + a p+1 +... + a q i=p Auch konkrete Berechnungsvorschriften sind möglich, z.b. 8 i 2 = 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 2 i=3 N i 2.1. Notation von Summen 2.2. Binomische Formel 2.3. Doppelsummen 2.4. Grundbegriffe der Logik 2.5. Grundlegendes über Mengen 38
Summenzeichen Rechenregeln für das Summenzeichen n n (a i + b i ) = a i + n n c a i = c a i n b i Damit leicht zu zeigen (Setze µ x = 1 n n (a i µ x ) = 0 ( n n (a i µ x ) 2 = a 2 i Additivität Homogenität n a i ): ) n µ 2 x 2.1. Notation von Summen 2.2. Binomische Formel 2.3. Doppelsummen 2.4. Grundbegriffe der Logik 2.5. Grundlegendes über Mengen 39
Produktzeichen Analog zum Summenzeichen: Das Produktzeichen n a i = a 1 a 2... a n 2.1. Notation von Summen 2.2. Binomische Formel Zum Beispiel: 2.3. Doppelsummen 2.4. Grundbegriffe der Logik 2.5. Grundlegendes über Mengen 2 ( x + ( 1) i ) = (x 1)(x + 1) Spezielle Abkürzung: n i = 1 2... n = n! n Fakultät 40
Binomialkoeffizient Man definiert den Binomialkoeffizienten als: ( ) m = k m i=(m k+1) k j j=1 Wobei 0! = 1 gesetzt wird. Also: ( ) m 0 = 1 Beispiel: ( ) 5 = 5 4 2 1 2 = 10 Rechenregeln: ( ) ( ) m m = k m k und i = m! k! (m k)! ( ) m + 1 = k + 1 ( ) ( ) m m + k k + 1 2.1. Notation von Summen 2.2. Binomische Formel 2.3. Doppelsummen 2.4. Grundbegriffe der Logik 2.5. Grundlegendes über Mengen 41
Binomische Formel Newtons binomische Formel Kurzform: Zum Beispiel: ( ) ( ) m m (a + b) m = a m + a m 1 b + 0 1 ( ) ( ) m m + ab m 1 + b m m 1 m (a + b) m = m k=0 ( ) m a m k b k k (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 2.1. Notation von Summen 2.2. Binomische Formel 2.3. Doppelsummen 2.4. Grundbegriffe der Logik 2.5. Grundlegendes über Mengen 42
Doppelsummen Beispielsituation: Daten in Tabellenform in n Spalten und m Zeilen Einzelne Einträge: a ij mit i 1,..., m und j 1,..., n Summe über alle Zahlen mit Doppelsummen: m m m a i1 + a i2 +... + a in = ( n m ) a ij j=1 2.1. Notation von Summen 2.2. Binomische Formel 2.3. Doppelsummen 2.4. Grundbegriffe der Logik 2.5. Grundlegendes über Mengen Es gilt: m n n m a ij = j=1 j=1 a ij 43
Sätze, Implikation und Äquivalenz Satz: Aussage, die als wahr oder falsch nachgewiesen werden kann Implikation: Wenn Aussage A wahr ist muss Aussage B wahr sein. Andernfalls ist Implikation falsch. Schreibweise: A B 2.1. Notation von Summen 2.2. Binomische Formel 2.3. Doppelsummen 2.4. Grundbegriffe der Logik Gilt A B sagt man auch: A ist eine hinreichende Bedingung für B B ist eine notwendige Bedingung für A Äquivalenz: Gilt A B und B A gleichzeitig, sind A und B äquivalent: A B 2.5. Grundlegendes über Mengen 44
Gleichungen und Äquivalenz Warum Äquivalenzumformungen bei Gleichungen? Gegeben: Kette von Äquivalenzumformungen f(x) = 0... x = 1 x = 17 Ersetzen von durch? Bedeutung: Lösungsmenge {1, 17} Ersetzen von durch? Bedeutung: Lösungsmenge {1, 17} 2.1. Notation von Summen 2.2. Binomische Formel 2.3. Doppelsummen 2.4. Grundbegriffe der Logik 2.5. Grundlegendes über Mengen 45
Mengen und Elemente Menge: Sammlung von Elementen Aufzählung in geschweiften Klammern. Zum Beispiel Menge E: E = {Fisch, Nudeln, Huhn, Eis} Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn jedes Element von A auch in B ist und andersherum, also: {a, 1, 4} = {4, 1, a} Darstellung von Mengen durch Beschreibung der Elemente, z.b. Zugehörigkeit zu einer Menge: M = {x R : 0 x < 1} 2.1. Notation von Summen 2.2. Binomische Formel 2.3. Doppelsummen 2.4. Grundbegriffe der Logik 2.5. Grundlegendes über Mengen x A x ist ein Element der Menge A 46
Teilmengen und Verknüpfungen Teilmengen Ist Jedes Element einer Menge A auch Element der Menge B, so heißt A Teilmenge von B A B Damit gilt: Mengenverknüpfungen A = B A B und B A Notation Sprechweise Die resultierende Menge besteht aus den Elementen, die A B Vereinigungsmenge von A und B mindestens zu A oder B gehören A B Schnittmenge von A und B sowohl in A als auch in B liegen A\B A ohne B zu A, aber nicht zu B gehören 2.1. Notation von Summen 2.2. Binomische Formel 2.3. Doppelsummen 2.4. Grundbegriffe der Logik 2.5. Grundlegendes über Mengen 47
: Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Lineare Algebra 5 Lineare Programme 6 Folgen und Reihen 7 Finanzmathematik 8 Reelle Funktionen 9 Differenzieren 1 4 Lineare Algebra Matrizen und Vektoren Matrixalgebra Punktmengen im R n Lineare Gleichungssysteme Inverse Matrizen Determinanten Eigenwerte 10 Differenzieren 2 11 Integration
Warum beschäftigen wir uns mit linearer Algebra? Quantitative tabellarische Daten (Excel) sind aus betriebs- und volkswirtschaftlichen Fragestellungen nicht wegzudenken Methoden der Matrizenrechnung erleichtern beziehungsweise ermöglichen die Analyse solcher Daten Wesentliche Lernziele Kennenlernen der Eigenschaften von Matrizen Beherrschen elementarer Matrixoperationen Fähigkeit, lineare Gleichungssysteme aufzustellen, zu lösen und diese Lösung darzustellen Beherrschen des Invertierens spezieller Matrizen 4.1. Matrizen und Vektoren 4.2. Matrixalgebra 4.3. Punktmengen im R n 4.4. Lineare Gleichungssysteme 4.5. Inverse Matrizen 4.6. Determinanten 4.7. Eigenwerte 58
Einführung Beispiel 1 Eine Unternehmung stellt mit Hilfe der Produktionsfaktoren F 1, F 2, F 3 zwei Produkte P 1, P 2 her. Zur Produktion für jede Mengeneinheit von P j (j = 1,2) werden a ij Mengeneinheiten von F i (i = 1,2,3) verbraucht. Verbrauch Grafisch dargestellt: für eine Einheit des Produkts P 1 P 2 von Einheiten F 1 a 11 a 12 der F 2 a 21 a 22 Produktionsfaktoren F 3 a 31 a 32 F 1 F 2 F 3 a 11 a 12 a 21 a 22 P 1 P 2 a 31 a 32 4.1. Matrizen und Vektoren 4.2. Matrixalgebra 4.3. Punktmengen im R n 4.4. Lineare Gleichungssysteme 4.5. Inverse Matrizen 4.6. Determinanten 4.7. Eigenwerte 59
Einführung Beispiel 2 Für fünf gleichartige Produkte P 1,..., P 5 werden drei Merkmale erhoben, und zwar der Preis, die Qualität und die Art des Kundenkreises, der das jeweilige Produkt nachfragt. Ergebnis: Merkmale Preis Qualität Kundenkreis Fragen: Produkte P 1 20 sehr gut A P 2 18 sehr gut B P 3 20 sehr gut A P 4 16 mäßig C P 5 18 ordentlich B 4.1. Matrizen und Vektoren 4.2. Matrixalgebra 4.3. Punktmengen im R n 4.4. Lineare Gleichungssysteme 4.5. Inverse Matrizen 4.6. Determinanten 4.7. Eigenwerte Ähnlichkeit von Produkten Finden von Kundensegmenten Zuordnen zu diesen Segmenten Marktforschung 60
Definitionen Definition Matrix Ein geordnetes, rechteckiges Schema von Zahlen oder Symbolen a 11 a 12... a 1j... a 1n a 21 a 22... a 2j... a 2n A =.... a i1 a i2... a ij... a in = (a ij ) m,n.... a m1 a m2... a mj... a mn mit m, n N heißt Matrix mit m Zeilen und n Spalten oder kurz m n-matrix (Im Folgenden: a ij R). a 11,..., a mn heißen Komponenten der Matrix. Dabei gibt i die Zeile und j die Spalte an, in der a ij steht. i heißt Zeilenindex und j Spaltenindex von a ij. Sind alle Komponenten a ij reelle Zahlen, so spricht man von einer reellen Matrix. 4.1. Matrizen und Vektoren 4.2. Matrixalgebra 4.3. Punktmengen im R n 4.4. Lineare Gleichungssysteme 4.5. Inverse Matrizen 4.6. Determinanten 4.7. Eigenwerte 61
Transponierte Matrix Definition Zu jeder m n-matrix a 11... a 1n A =.. a m1... a mn heißt die n m-matrix a 11... a m1 A T =.. a 1n... a mn die zu A transponierte Matrix 4.1. Matrizen und Vektoren 4.2. Matrixalgebra 4.3. Punktmengen im R n 4.4. Lineare Gleichungssysteme 4.5. Inverse Matrizen 4.6. Determinanten 4.7. Eigenwerte 62
Transponierte Matrix Definition Zu jeder m n-matrix a 11... a 1n A =.. a m1... a mn heißt die n m-matrix a 11... a m1 A T =.. a 1n... a mn die zu A transponierte Matrix ( A T ) T = A 4.1. Matrizen und Vektoren 4.2. Matrixalgebra 4.3. Punktmengen im R n 4.4. Lineare Gleichungssysteme 4.5. Inverse Matrizen 4.6. Determinanten 4.7. Eigenwerte 62
Beispiel transponierte Matrix a) A = ( 1 2 3 4 ) 5 1 3 5 2 4 1 1 2 3 A T = 3 5 4 2 5 4 b) A T = 1 2 3 1 3 4 ( A ) T T = A = 1 1 2 2 3 5 2 5 0 3 4 0 4.1. Matrizen und Vektoren 4.2. Matrixalgebra 4.3. Punktmengen im R n 4.4. Lineare Gleichungssysteme 4.5. Inverse Matrizen 4.6. Determinanten 4.7. Eigenwerte 63
Vektoren Definition n 1-Matrix heißt Spaltenvektor mit n Komponenten: a = a 1. a n 1 n-matrix heißt Zeilenvektor mit n Komponenten: a T = (a 1,..., a n ) 4.1. Matrizen und Vektoren 4.2. Matrixalgebra 4.3. Punktmengen im R n 4.4. Lineare Gleichungssysteme 4.5. Inverse Matrizen 4.6. Determinanten 4.7. Eigenwerte 64
Geometrische Veranschaulichung von Vektoren a 1 1 0 1 2 ( ) 1.8 0.6 a 2 1 ( 1 2) 1 ( ) 0 1 a 1 a 3 a 2 1 1 0 2 0 1 3 2 2 3 0 2 4.1. Matrizen und Vektoren 4.2. Matrixalgebra 4.3. Punktmengen im R n 4.4. Lineare Gleichungssysteme 4.5. Inverse Matrizen 4.6. Determinanten 4.7. Eigenwerte 65
Relationen zwischen Matrizen Definition Seien A = (a ij ) m,n und B = (b ij ) m,n reelle Matrizen mit übereinstimmender Zeilenzahl m und Spaltenzahl n. Dann wird definiert: A = B a ij = b ij für alle i = 1,..., m, j = 1,..., n A B a ij b ij für mindestens ein Indexpaar (i, j) A B a ij b ij (i, j) A < B a ij < b ij (i, j) 4.1. Matrizen und Vektoren 4.2. Matrixalgebra 4.3. Punktmengen im R n 4.4. Lineare Gleichungssysteme 4.5. Inverse Matrizen 4.6. Determinanten 4.7. Eigenwerte Entsprechend A B und A > B. 66
Spezielle Matrizen Definition a) A = (a ij ) n,n heißt quadratisch b) A = (a ij ) n,n mit A = A T heißt symmetrisch c) A = (a ij ) n,n heißt Dreiecksmatrix, wenn a ij = 0 für i < j (untere Dreiecksmatrix) oder a ij = 0 für i > j (obere Dreiecksmatrix) d) A = (a ij ) n,n heißt Diagonalmatrix, wenn a ij = 0 für alle i j e) A = (a ij ) n,n heißt Einheitsmatrix, wenn a ii = 1 für alle i und a ij = 0 für alle j j 4.1. Matrizen und Vektoren 4.2. Matrixalgebra 4.3. Punktmengen im R n 4.4. Lineare Gleichungssysteme 4.5. Inverse Matrizen 4.6. Determinanten 4.7. Eigenwerte 67