Wintersemester 2017/18 Prof. Dr. Henning Kempka Übungen zu Mathematik für ET Übungsblatt 0 zum Thema Elementaraufgaben. Aufgabe 1 Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke so weit wie möglich: a) 100 [(b + 20) (40 b)] b) [3a 2(4b + 2x)] 2[3b (4x 2a + b)] c) (a + 4)(a 2) (a + 2)(a 1) d) x 3 y 3 (x y)(x 2 + xy + y 2 ) e) [a(a 2 + a 1) a 2 (a + 1)] 5. Aufgabe 2 Berechnen Sie : a) (2 3 ) 2 b) 2 (32 ) c) 2 3 2. Aufgabe 3 Berechnen Sie für x = 0 und x = 1 die Ausdrücke: a) (e x ) 1 b) e x 1. Aufgabe 4 Kürzen Sie die Terme so weit wie möglich: a) 3a2 b 3 c 4ab 2 c 3 b) 5(x 2) 5x 2 c) 2a + a2 + 1 2a 2 2 Aufgabe 5 Fassen Sie folgende Ausdrücke jeweils zu einem Bruch zusammen: a) 3 4a 2 5b b) 2x 3 x 2 (x + 1) 3 4x x(x + 1) 2 c) m m + n + 2mn m 2 n 2 n m n. Aufgabe 6 Folgende Wurzelausdrücke sind zu vereinfachen: a) 3 4 1 a 16 2 b 2 2 8 b) 15 3 c) d) x 2 a + b a b 64x e) 3 x 9 f) 4 x 6 g) 12 xy 2 h) x y. 1
Aufgabe 7 Schreiben Sie folgende Terme in Potenzschreibweise (ohne Verwendung von Wurzelzeichen): a) x x x b) a3 3 a 5 b ab c) 4 xy 3 6 x 3 y Aufgabe 8 Berechnen Sie ohne Taschenrechner: a) lg 0, 001 b) log 8 1 c) log 5 125 d) log 2 64 1 e) log 3 27 3 f) ln e 3. Aufgabe 9 Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke mit Hilfe der Logarithmengesetze: a) ln(x 2 5y 5 5 ) b) log 2 2 4 c) lg(10 4 4 10 ) d) ln(3e x e 2x ) e) lg xy 1 lg y. 2 Aufgabe 10 Berechnen Sie ohne Taschenrechner mit Hilfe der Logarithmengesetze: a) lg 2 + lg 5 b) log 7 2 log 7 14 c) ln e 2 ln e + ln e 3 2. Aufgabe 11 a) Zeigen Sie durch Anwendung der Logarithmengesetze, daß log 5 20 = 1 + log 5 4 gilt. b) Drücken Sie w = log 5 20 ausschließlich mit Hilfe des dekadischen Logarithmus aus. c) Berechnen Sie w mit Hilfe des Taschenrechners. Aufgabe 12 Lösen Sie folgende Gleichungen nach x auf: a) log 7 49 = x b) log x 1024 = 10 c) log 3 x = 4 d) log x 0, 1 = 1 e) 2 ln x = ln 4 f) lg 5 x + lg 2 x 1 = 0 g) lg x 6 = lg x 3 + 6 h) 2 lg x = 2 3 lg x. Aufgabe 13 Berechnen Sie die folgenden Summen beziehungsweise Produkte : a) d) 2 (2k + 1) b) k= 3 2 3 m=0 k=1 (k 2m) e) 6 3 c) i=2 5 (j + 1) f) j=2 N+3 m=n 1 k= 8 (2N m) k 7. 2
Aufgabe 14 Bestimmen Sie der Wert der folgenden Binomialkoeffizienten: a) ( ) 7 4 b) ( ) 100 96 c) ( ) n. n 1 Aufgabe 15 Für welche natürlichen Zahlen k und l gilt ( k+1) ( 2 = 78 und l+2 ) l = 66? Aufgabe 16 Wenden Sie die binomischen Formeln an und vereinfachen Sie folgende Ausdrücke: a) ( a b)(a b) b) (3b + 2) 2 (5b 3) 2 c) 2u(u + v) (u v)(u + v). Aufgabe 17 Zerlegen Sie folgende Summen in Faktoren : a) 49x 2 81y 2 b) (2m n) 2 (n + 2m) 2 c) 25x 2 100y 4 + 100xy 2. Aufgabe 18 Stellen Sie die Formeln nach den angegebenen Größen um : R 1 R a) E pot = mg(h 2 h 1 ) nach h 1 b) C = 4πK R 1 R nach R c) I = I 0 e t U T nach t d) E = r ln( r 2 r 1 ) nach r 2. Aufgabe 19 Aufgabe 20 Lösen Sie die beiden folgenden Gleichungen: a) x = x und b) x = x. Welche Schlußfolgerungen können aus dem Lösungsverhalten der beiden Gleichungen gezogen werden? Aufgabe 21 Bestimmen Sie alle Lösungen folgender Gleichungen : a) 3 2 x 2 = 5 b) x 1 + 4x = x 2 + 3. 2 Aufgabe 22 Lösen Sie folgende Gleichungen : a) 18x 2 3x = 10 b) x 1 + x + 8 = 9 c) lg(25x + 20) lg(3x + 1) = 1 d) (a x 2) x+2 = (a x+3) x 4 e) x 2 x + 2 x + 4 38 = 2x x 2 x 2 4. 3
Aufgabe 23 Durch einen Rohrbruch wurde ein Keller überflutet. Er wird durch die Feuerwehr mit drei gleichmäßig und gleichzeitig arbeitenden Pumpen leergepumpt. Wieviel Minuten werden dafür benötigt, wenn die erste Pumpe allein 6 Stunden, die zweite 4 Stunden und die dritte 2 Stunden brauchen würde? Aufgabe 24 Durch Verbesserungen im Betrieb kann ein Eisenbahnzug eine um 9 km/h höhere Durchschnittsgeschwindigkeit erreichen und erzielt dadurch auf einer Strecke von 180km eine Zeiteinsparung von 40 Minuten. Welche Zeit benötigt der Zug nach dieser Einsparung für die Strecke? Aufgabe 25 Für welche Werte des reellen Parameters λ besitzt die quadratische Gleichung (λ 1)x 2 2(λ + 1)x + λ 2 = 0 zusammenfallende Lösungen? Aufgabe 26 Wieviel Liter einer 4% -igen Säure sind zu 14l einer 10%-igen hinzuzufügen, um im Resultat eine 5%-ige Säure zu erhalten? Aufgabe 27 Blütennektar enthält rund 70% Wasser; der von den Bienen daraus gewonnene Honig nur noch rund 17%. Wieviel Nektar müssen die Bienen(mindestens) sammeln, um 1kg Honig zu gewinnen? Aufgabe 28 Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch die Punkte (2; 1) und (5; 8). Wie lautet die zu dieser Geraden senkrecht stehende und durch den Punkt (1; 1) verlaufende Gerade? Aufgabe 29 Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel durch die Punkte ( 1; 3), (0; 1) und (1; 3). Aufgabe 30 Stellen Sie das Volumen V eines Zylinders mit gegebener Oberfläche A als Funktion seiner Höhe dar. Aufgabe 31 Zwei Orte A und B haben eine Entfernung von 140 km. Ein LKW fährt von A nach B mit 60 km/h, der andere von B nach A mit 45 km/h. Wann und wo begegnen sie sich bei gleicher Abfahrtszeit? Aufgabe 32 Skizzieren Sie die folgenden Punktmengen in der x-y-ebene: a) x y = 1 b) 2x 3y 4 c) x 2 > 2 y d) x y. Aufgabe 33 Skizzieren Sie jeweils die Lösungsmenge folgender Systeme, die aus Gleichungen und/oder Ungleichungen bestehen, in der x-y-ebene: a) x + y 3 0 b) x 2 + 1 y c) 2x 2 4y + 1 x y 4 y + x > 2 x + y = 2. y 17 4
Lösungen 1 a) 120 2b b) a 12b + 4x c) a 6 d) 0 e) 5a 2 a) (2 3 ) 2 = 64 2 (32) = 512 b) 2 3 2 = 2 (3 2) = 512 3 x = 0 : (e x ) 1 = 1 = 1 e 0 1 = 1, ex 1 nicht definiert x = 1 : (e x ) 1 = 1 e, ex 1 = e 4 a) 3 4 ab c 2 b) 5(x 2) 5x 2 c) 1 2 a + 1 a 1 5 a) 6 15b 8a 20ab b) 6x2 4x 3 x 2 (x + 1) 2 c) 1 a) 4 5 2 b) 6 a + b c) 4 2 d) x e) x 3 f) x 4 x 2 = x x g) x 4 8x 2 h) y x 7 a) x 7 8 b) a 25 6 b 1 2 c) x 3 4 y 11 12 8 9 a) lg 0, 001 = 3 b) log 8 1 = 0 c) log 5 125 = 3 d) log 2 64 1 = 6 e) log 3 27 3 = 9 f) ln e 3 = 3. a) ln(x 2 5y 5 ) = 2 ln x + ln 5 + 5 ln y b) log 2 5 2 4 = log 2 5 4 c) lg(10 4 4 10 ) = 4 + 10 lg 4 d) ln(3e x e 2x ) = ln 3 x e) lg xy 1 2 lg y = 1 2 lg x. 10 a) lg 2 + lg 5 = 1 b) log 7 2 log 7 14 = 1 c) ln e 2 ln e + ln e 3 2 = 3. 11 Es gilt log 5 20 = 12 lg 20 lg 5 = 1, 8614 a) 2 b) 2 c) 81 d) 10 e) 2 f) 1 g) 100 h) 0, 0195. 13 a) 0 b) 15 c) 4N 6 d) 0 e) 360 f) 0. 14 a) 35 b) 3 921 225 c) n 15 k = 12 l = 10 5
16 a) a 2 + b 2 b) 16b 2 + 42b 5 c) u 2 + 2uv + v 2. 17 a) (7x + 9y)(7x 9y) b) 8mn c) (5x 10y 2 ) 2. 18 19 a) h 1 = h 2 E pot mg d) r 2 = r 1 e U r E. b) R = R 1 C C + 4πKR 1 c) t = T ln I I 0 20 a) L = {0} und b) L = R Hinzunahme und das Weglassen von Beträgen auf beiden Seiten einer Gleichung sind keine äquivalenten Umformungen. 21 a) x 1 = 1 3, x 2 = 3 b) x 1 = 1, x 2 = 4. 22 a) x 1 = 5 6, x 2 = 2 3 b) x = 17 c) x = 2 d) x = 8 e) x = 6 23 65,45 Minuten 24 3 Stunden 20 Minuten 25 λ 1 = 1 5 und λ 2 = 1 26 14 0.10 + x 0.04 = (14 + x) 0.05 = 14 0.05 = x 0.01, x = 70 27 1kg Honig bedeuten 830g Trockensubstanz, das sind 30% der Nektarmenge,diese beträgt also 0.83kg/0.3 = 2.77kg. 28 Gleichung der Geraden y = 7 3 x 11 3, Gleichung der Senkrechten durch (1; 1) : y = 3 7 x + 10 7. 29 Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel: y = 4x 2 1 ) 2 30 V = V (h) = πh ( h2 + h 2 4 + A 2π 31 Begegnung nach t = 4 3 h, zurückgelegte Wege s 1 = 80 km bzw. s 2 = 60 km 32 Bild kommt noch... 33 Bild kommt noch... 10. Oktober 2017, 0:00 Uhr 6