Karlsruher Institut für Technology (KIT) WS 2011/2012 Institut für Analysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math.techn. Rainer Mandel Lösungen 4.Übungsblatt Aufgabe 13 (K) Bestimmen Sie sämtliche Häufungswerte der Folgen aus a) d): a) = ( n) ( n)n (n N) b) b n = n(1 + ( 1)n2 +1 ) (n N) n + 1 c) c n = n min { { ( 1) n, 1 2n (n N) d) dn = n n} 2 n, n gerade n+1 ( 1) 2, n ungerade n+3 n (n N) a) Es gilt für m N wegen (2m) 2m 1: a 2m = ( 2m) ( 2m)2m = ( 2m) (2m)2m = (2m) 2m2m 2m Folglich hat die Teilfolge (a 2m ) keinen Häufungspunkt. Ferner a 2m 1 = ( 2m + 1) ( 2m+1)2m 1 = (2m 1) (2m 1)2m 1 1 2m 1 und daher a 2m 1 0 für m. Also ist die Menge der Häufungswerte {0}. b) Für m N gilt Ferner b 2m = 2m 2m + 1 (1 + ( 1)4m2 +1 ) = 0 b 2m 1 = 2m 1 2m (1 + ( 1)(2m 1)2 +1 ) = 2m 1 2m (1 + ( 1)4m2 4m ) = 2m 1 m 2. Die Menge der Häufungswerte ist daher {0, 2}. c) Für m N: also c 2m 1 für m. Ferner c 2m = 2m min{ 1 1, 2m 2m } = 2m 1 2m = 1, c 2m 1 = 1 1 (2m 1) min{, 2m 1 2m 1 } = 2m 1 und daher ist (c 2m 1 ) unbeschränkt. Die Menge der Häufungspunkte ist daher {1}.
d) Es gilt d 2m = 2(2m) 2 2m 2m, also hat (d 2m ) keinen Häufungspunkt. Ferner d 4k 1 = 4k + 2 4k 1 1 (k ), d 4k 3 = 4k 1 (k ) 4k 3 Also lauten die Häufungswerte 1, 1. Aufgabe 14 (K) a) Sei a > 0 und die Folge (x n ) erfülle x 1 > 0 und x n+1 = 1 2( xn + a x n ) für n N. Zeigen Sie x n a für n. b) Sei die Folge (x n ) deniert durch x 1 = 1 und x n+1 = 1 + 1 dass (x n ) konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert. x n für n N. Zeigen Sie, Hinweis zu b): Zeigen Sie, dass die Folgen (x 2n ) n N und (x 2n 1 ) n N monoton gegen den Grenzwert konvergieren. a) Es gilt x n > 0 für alle n N (Induktion!). Für alle n N mit n 2 gilt x n a, denn x n a = 1 2 (x n 1 + a ) a = 1 (x n 1 a) 2 0 x n 1 2x n 1 Also für alle n N, n 2 x n+1 x n = 1 2 ( x n + a x n ) = 1 2x n (a x 2 n) 0. Somit ist (x n ) n=2 monoton fallend und durch a von unten beschränkt. Nach dem Monotoniekriterium konvergiert (x n ) gegen ein x R mit x a. Aus der Rekursionsgleichung folgt x = lim x 1 n+1 = lim n n 2 (x n + a ) = 1 x n 2 (x + a x ) und damit x = a (denn x = a ist unmöglich). b) Vorüberlegung: Wenn die (positive) Folge (x n ) gegen ein x R konvergiert, dann folgt x = 1 + 1 x und x > 0 und somit x = 1+ 5 2. Zudem x k+2 = 2x k + 1 x k + 1 (k N). ( ) Wir zeigen: 1 x 2n 1 x 2n+1 x für n N 0. Induktionsanfang: x 1 = 1, x 3 = 3 2, also 1 x 1 x 3 x, OK.
Induktionsschritt: Es gelte die Behauptung für ein n N. Dann folgt x 2n+3 x aus x 2n+3 x = 2 1 + 5 2 = (3 5) 5 2() (3 5) x + 1 5 2() = 0. (x 2n+1 x) Ferner folgt aus 1 x 2n+1 x x 2n+1 x 2n+3 = x2 2n+1 + x 2n+1 2x 2n+1 1 = (x 2n+1 1 2 )2 + 5 4 (x 1 2 )2 + 5 4 = 0. Analog zeigt man 2 x 2n x 2n+2 x für n N 0. Daher konvergieren beide Teilfolgen, d.h. x 2n 1 x 1 und x 2n x 2 für n. Aus ( ) folgt x 1 = x 2 = x und daher x n x für n. Aufgabe 15 Sei ( ) eine Folge mit Häufungswert a, sei (b n ) eine Folge. Beweisen Sie oder widerlegen Sie die folgenden vier Aussagen: a) (b n ) besitzt den Häufungswert b ( b n ) besitzt den Häufungswert ab. b) (b n ) besitzt den Häufungswert b ( b n ) konvergiert gegen ab. c) (b n ) konvergiert gegen b ( b n ) besitzt den Häufungswert ab. d) (b n ) konvergiert gegen b ( b n ) konvergiert gegen ab. a) Die Folgen = b n = ( 1) n haben die Häufungswerte a = 1, b = 1, aber b n = 1 hat nicht den Häufungswert ab = 1. Daher ist die Aussage falsch.
b) Die Aussage ist falsch, siehe a). c) Die Aussage ist richtig, denn: Da (b n ) gegen ein b R konvergiert, ist (b n ) beschränkt und es gibt ein C > 0 mit b n C für alle n N. Ist nun (k ) eine gegen a konvergente Teilfolge von ( ), dann konvergiert auch b nk b für k. Für ε > 0 existieren daher n 1, n 2 N mit k a < ε 2C (n n 1), b nk b < Dann gilt für n n 0 := max{n 1, n 2 } und die Behauptung ist gezeigt. ε 2( a + 1) k b nk ab = (k a)b nk + a(b nk b) k a b nk + a b nk b < ε 2C C + a ε 2( a + 1) < ε. (n n 2 ) d) Sei ( ) = ( 1) n, b n = 1. Dann konvergiert ( b n ) = (( 1) n ) nicht (keine Cauchy- Folge). Daher ist die Aussage falsch. Aufgabe 16 Sei ( ) eine Folge mit > 0 für alle n N. Zeigen Sie: a) Ist ( ) monoton, dann besitzt ( ) höchstens einen Häufungswert. b) Die Folge ( ) ist unbeschränkt genau dann wenn ( 1 ) den Häufungswert 0 besitzt. Welche Eigenschaft muss die Folge in a) zusätzlich erfüllen, damit genau ein Häufungswert existiert? a) Falls ( ) monoton fallend ist, dann gilt 0 < a 1 und nach dem Monotoniekriterium konvergiert ( ), d.h. es gibt genau einen Häufungswert. Falls ( ) monoton wachsend und beschränkt ist, dann konvergiert ( ) und es gibt wieder genau einen Häufungswert. Falls ( ) monoton wachsend und unbeschränkt ist, dann besitzt ( ) keinen Häufungswert, denn für jedes γ R existiert ein n 0 N mit 0 > γ + 1 und damit aufgrund der Monotonie > γ + 1 für alle n n 0, sodass γ kein Häufungswert sein kann.
Insgesamt: Es existiert maximal ein Häufungswert und es existiert ein Häufungswert genau dann wenn ( ) beschränkt ist. b) Sei ( ) unbeschränkt. Für alle m N existiert ein n m N mit m > m, also 1 < 1 m m (m N). Somit konvergiert ( 1 m ) m N gegen 0, d.h. ( 1 ) hat den Häufungswert 0. Sei 0 ein Häufungswert von ( 1 1 ) und (m ) die Teilfolge von ( ) mit m. Sei γ R beliebig. Es existiert ein m 0 N mit 1 1 < m γ + 1, (m m 0) m 0 für also m0 > γ + 1 > γ. Folglich ist γ keine obere Schranke von ( ), d.h. ( ) ist unbeschränkt.