A Die Menge C der komplexen Zahlen (Vgl. auch Abschnitt C) A.1 Definition Wir erweitern R um eine Zahl i / R (genannt imaginäre Einheit) mit der Eigenschaft i 2 i i = 1. (653) Unter einer komplexen Zahl z C versteht man einen Ausdruck der Form z = x+ iy = x+yi = yi +x = iy +x (x,y R). (654) Die reellen Zahlen x und y heißen Real- bzw. Imaginärteil von z, z = x+ iy : Re[z] = x, Im[z] = y. (655) Addition und Multiplikation in C werden erklärt durch z 1 +z 2 (x 1 + iy 1 )+(x 2 + iy 2 ) := (x 1 +x 2 )+ i(y 1 +y 2 ), (656) z 1 z 2 (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) := x 1 x 2 + iy 1 x 2 + ix 1 y 2 + i 2 y 1 y 2 (x 1 x 2 y 1 y 2 )+ i(x 1 y 2 +y 1 x 2 ). (657) Diekomplexen Zahlenohne Imaginärteil, x+0i C, lassen sich alsomit denrellen Zahlen x R identifizieren, denn es gilt (x 1 +0i)+(x 2 +0i) = (x 1 +x 2 )+0i, (x 1 +0i) (x 2 +0i) = (x 1 x 2 )+0i. (658) Damit gilt R C. Insbesondere ist C eine Körpererweiterung von R. Zur Division zweier komplexer Zahlen erweitert man den Bruch mit dem konjugiert Komplexen z := x iy des Nenners z = x+ iy, 2+5i 3+4i = (2+5i) (3 4i) (3+4i) (3 4i) = (6+20)+(15 8)i 3 2 +4 2 = 26 25 + 7 25 i. (659) Probe: Multiplikation des Resultats mit 3+4i ergibt wieder 2+5i. 109
A.2 Geometrische Deutung der Rechenoperationen Man kann die komplexen Zahlen z = x+ iy mit den Punkten der xy-ebene identifizieren, die dann Gaußsche Zahlenebene genannt wird. Die reelle Zahlengerade R entspricht dabei der x-achse. A.2.1 Deutung der Addition Ordnet man den komplexen Zahlen Ortsvektoren zu, die vom Ursprung der Zahlenebene, also der Zahl z = 0 ausgehen, so ist die Addition (656) zweier Zahlen nichts anderes als die Vektoraddition ihrer Ortsvektoren. Um auch für die Multiplikation (657) eine geometrische Deutung zu finden, führen wir eine neue Darstellung komplexer Zahlen ein: A.2.2 Polardarstellung komplexer Zahlen DasProduktderZahlz = x+iy mitderzuihrkomplex-konjugiertenzahlz := x iy, zz (x+ iy)(x iy) = x 2 +y 2, (660) ist immer reell und nicht-negativ. Die positive Wurzel daraus, zz = x 2 +y 2 =: z, (661) ist die Länge des Ortsvektors der Zahl z in der Zahlenebene, also ihr geometrischer Abstand von der Zahl 0. Dieser Abstand heißt der Betrag z von z. Der Winkel φ, den dieser Ortsvektor (im mathematisch positiven Gegenuhrzeigersinn) mit der positiven x-achse einschließt, heißt das Argument arg(z) von z. Es gilt also z = r, arg(z) = φ z = rcosφ }{{} =x + i rsinφ }{{} =y ( ) r cosφ+ i sinφ. (662) Diese Polardarstellung ist die Alternative zur kartesischen Darstellung z = x + i y einer komplexen Zahl. A.2.3 Deutung der Multiplikation In der Polardarstellung ergibt sich für das Produkt zweier komplexer Zahlen ( ) ( ) z 1 z 2 r 1 cosφ 1 + i sinφ 1 r 2 cosφ 2 + i sinφ 2 = r 1 r 2 [( cosφ 1 cosφ 2 sinφ 1 sinφ 2 )+ i 110 )] (cosφ 1 sinφ 2 +sinφ 1 cosφ 2 (663).
Nach den Additionstheoremen für Sinus und Cosinus gilt also ] z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(φ 1 +φ 2 )+ i sin(φ 1 +φ 2 ). (664) Satz: Bei der Multiplikation (657) zweier komplexer Zahlen z 1 und z 2 multiplizieren sich die Beträge der Faktoren, während sich deren Argumente addieren, z 1 z 2 = r 1 r 2 z 1 z 2, arg(z 1 z 2 ) = arg(z 1 )+arg(z 2 ). (665) Bsp.: Man zeichne die Zahlen z 1 = 4+ i und z 2 = 1+ i in die Zahlenebene. Mit z 1 z 2 = 17 2 6 und φ 1 +φ 2 15 +45 = 60 kann man aus dieser Zeichnung ablesen, daß z 1 z 2 3+5i. Dies ist sogar das exakte Ergebnis! A.3 Die komplexe Exponentialfunktion A.3.1 Rein-imaginäre Zahlen Für eine reelle Zahl φ definieren wir mit der Exponentialreihe aus Kapitel 1 e iφ := (iφ) n. (666) n! n=0 Zwar ist zunächst völlig unklar, was unter der Exponentialfunktion einer komplexen Zahl iφ zu verstehen ist, doch auf der rechten Seite ist jeder Term der Reihe wohldefiniert, wenn wir i 0 := 1 festlegen und beachten, daß aus i 2 = 1 folgt: i 3 = i, i 4 = 1, etc., (iφ) n n=0 n! = i 0φ0 0! + i 1φ1 1! + i 2φ2 2! + i 3φ3 3! + i 4φ4 4! + i 5φ5 5! +... = 1+ iφ φ2 2! i φ3 3! + φ4 4! + i φ5 5! ++... ) ) = (1 φ2 2! + φ4 4! +... + i (φ φ3 3! + φ5 5! +... = cosφ+ i sinφ, (667) mit den bekannten Reihen für cosφ und sinφ. Es gilt also die bemerkenswerte Beziehung e iφ = cosφ+ i sinφ. (668) Die Zahlen e iφ mit 0 φ < 2π bilden den Einheitskreis in der Zahlenebene, e iφ = cos 2 φ+sin 2 φ = 1. (669) 111
Man kann dieses Ergebnis graphisch illustrieren, indem man, etwa für φ = 1 oder φ = π 2, die Zahlen 1, iφ, 1 2 φ2, 1 6 φ3 i, etc. vektoriell in der Zahlenebene aufsummiert. Wir verstehen jetzt auch die enge gegenseitige Verwandtschaft der Taylorreihen (53) (55) für e x, cosx und sinx. Jetzt können wir die Polardarstellung schreiben in der Form z = x+ iy r(cosφ+ i sinφ) = re iφ. (670) Bsp. 5: Man beachte die wichtigen Polardarstellungen i = e i π 2, 1 = e iπ, i = e i 3 2 π, 1 = e 2πi = e 0. (671) Weitere Beispiele sind 1+ i = 2e i π 4, 1 i = 2e i 7 4 π, e i = cos1+ i sin1 0,54+0.84 i. (672) A.3.2 Beliebige komplexe Zahlen In Verallgemeinerung obiger Reihenentwicklung kann man für beliebiges u = λ+ iφ C (mit λ,φ R) definieren e u e λ+iφ := e λ e iφ e λ (cosφ+ i sinφ). (673) z = e u ist also die komplexe Zahl mit Real- und Imaginärteil bzw. mit Betrag und Argument Re[z] = e λ cosφ, Im[z] = e λ sinφ, (674) z = e λ, arg(z) = φ. (675) A.4 Wurzeln komplexer Zahlen A.4.1 Definition Jede Lösung w C der Gleichung w n = z heißt eine n-te Wurzel der komplexen Zahl z. Aus der geometrischen Deutung der Multiplikation ergibt sich der 112
Satz: Jede komplexe Zahl z = z e iφ mit z 0 hat genau n paarweise verschiedene n-te Wurzeln. Unter ihnen heißt die Zahl w 1 = n z e iφ/n (676) der Hauptwert der n-ten Wurzeln. Die übrigen n-ten Wurzeln bilden zusammen mit dem Hauptwert in der Zahlenebene ein reguläres n-eck mit Mittelpunkt im Ursprung. A.4.2 Fundamentalsatz der Algebra Eine Verallgemeinerung des letzten Satzes ist der Satz (FS der Algebra): Die allgemeine komplexe algebraische Gleichung z n +a n 1 z n 1 +...+a 1 z +a 0 = 0 (677) hat genau n Lösungen z 1,...,z n, die allerdings nicht paarweise verschieden sein müssen. Genauer gesagt: Jedes komplexe Polynom n-ten Grades zerfällt über C in genau n Linearfaktoren, z n +a n 1 z n 1 +...+a 1 z +a 0 = (z z 1 ) (z z n ) = n (z z k ). (678) k=1 Bsp. 1: Das Polynom z 2 +1 läßt sich nicht als Produkt z 2 +1 = (z z 1 )(z z 2 ) (679) mit reellen Konstanten z 1 unf z 2 darstellen. Sehr wohl gilt aber z 2 +1 = (z i)(z + i) (680) mit den komplexen Konstanten z 1 = i unf z 2 = i Bsp. 2: Kompliziertere Beispiele sind z 3 2z 2 +9z 18 = (z 2 +9)(z 2) = (z 3i)(z +3i)(z 2), z 2 4z +13 = [ z (2 3i) ][ z (2+3i) ]. (681) 113