Lageparameter Der Modus Utersuchugseiheite U,...,U Modus mod Mermal X Urliste,..., geordete Urliste (),..., () Es gilt i.allg.: ( ), i, K i i, Mermalsauspräguge a,..., a wird auch Modalwert oder häufigster Wert geat die Ausprägug des Mermals X mit der größte absolute (ud somit auch relative) Häufigeit. Bimodalität Trimodalität bei stetige Variable spricht ma vo der modale Klasse Beispiel (Liebligsfarbe) Beispiel (Eirichtuge) a H(a ) h(a ) blau 3 3 / 0 gelb / 0 0.0 violett 4 4 / 0 0.0 schwarz / 0 0.0 rot 6 6 / 0 0.30 Modus pi / 0 0.05 grü / 0 0.0 Summe 0 0 /0.00 Azahl der Mitarbeiter(ie) [0, 0] (0, 30] (30, 50] (50, 00] (00, 00] Summe Träger A 4 0 9 5 Träger B 6 5 3 4 3 4
Der Media Der Media ~ Media 0. 5 wird auch Zetralwert geat midestes 50% aller Beobachtuge sid größer oder gleich dem Media ud ugerade ~ + midestes 50% aller Beobachtuge sid leier oder gleich dem Media bei stetige Variable spricht ma vo der Klasse, die de Media beihaltet 5 gerade ~ + +. 6 Beispiel (Supervisio) Hugo Hascherl besucht im Rahme eier Supervisio-Ausbildug edes Wocheede (WE) ei aderes Semiar. I de letzte drei Moate (Mai-Juli) ahm er a isgesamt 4 Wocheedsemiare teil. Nach edem Wocheede bewertet er auf eier -stufige Sala, dere Edpute war ugeheuer gut ud wichtig für mich ud hat mir ichts gebracht sid, die eizele Wocheedsemiare. Bewertuge Mai Jui Juli.WE 4.WE 4 6 3 3.WE 8 3 0 4.WE 5 0 Beispiel (Supervisio) Zur Berechug des Medias seier Bewertuge i de Moate Mai ud Jui ( 9) ergibt sich die folgede geordete Urliste: () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 3 4 4 5 6 8 Der Media ist damit die füftgrößte Beobachtug 9+ ( 5) 4. 5.WE 5 7 8 ~ Bewertuge Mai Jui Juli.WE 4.WE 4 6 3 3.WE 8 3 0 4.WE 5 0 5.WE 5 0.5
Beispiel (Supervisio) Berechet ma de Media aus alle Bewertuge der Moate Mai Juli, so ergibt sich als geordete Reihe vo Beobachtuge: () () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (0) () () (3) (4) 3 3 4 4 5 5 6 8 0 0 ~ Es liegt eie gerade Azahl vo Beobachtuge vor ( 4). Der Media berechet sich damit als Bewertuge Mai Jui Juli.WE 4.WE 4 6 3 3.WE 8 3 0 4.WE 5 0 5.WE 5 4 + 5 ( 4 ) + ( 4 ) ( ( 7) + ( 8) ) 4.5. + 9 0.5. Feibestimmug: Gruppierte Date. Bestimmug der Klasse, die de Media ethält. Dies ist die Klasse, bei der die empirische Verteilugsfutio erstmals größer gleich dem Wert ist. ~ 0. 5 Der Media F( a + F( b) F( ( b 0 0 0% Azahl der Mitarbeiter(i e) Beispiel (Eirichtuge) Träger A relative Häufigeit Verteilugsfutio [0, 0] 4 0.00 0.00 (0, 30] 0 00 0.600 Media (30, 50] 9 0.85 (50, 00] 5 0.950 (00, 00] 0.050.000 Summe.000 0 0% 4 0% 8 30% % 6 50% 30 60% Azahl der Mitarbeiter(i e) Beispiel (Eirichtuge) ~ 0. 5 Träger A relative Häufige it Verteilugsfutio [0, 0] 4 0.00 0.00 (0, 30] 0 00 0.600 Media (30, 50] 9 0.85 (50, 00] 5 0.950 (00, 00] 0.050.000 Summe.000 0. 0 + (30 0) 0.6 0 0.4 0 + 0 0 + 0.80 0 + 6 6.
Quatile midestes 00α% der beobachtete Werte sid leier oder gleich dem α-quatil ud midestes 00( α )% der beobachtete Werte sid größer oder gleich dem α-quatil ud ( l) ~ α : ( l) + ( l+ ) falls α eie gaze Zahl ist. (l ist da die auf falls α eie gaze Zahl ist. (Es ist da l α. ) α folgede gaze Zahl. Spezielle Quatile ~ 0. uteres Dezil ~ uteres Quartil ~ Media ~ oberes Quartil 0.75 ~ oberes Dezil 0.9 3 4 Beispiel (Hospiz) Quatile α 0. α 0.75 0, 0, 5, 39, 48, 5, 5, 78, 44, 348 39, 44, 78, 5, 348, 5, 0, 0, 48, 5. α 0 0. l ( ) + ( ) 0 + 0 ~ 0. α 0 0.75 7.5 l 8 ~ ( 8) 78 0.75 5 5. Feibestimmug: Gruppierte Date. Bestimmug der Klasse, die das gewüschte Quatil ethält. Dies ist die Klasse, bei der die empirische Verteilugsfutio erstmals größer gleich dem Wert α ist. ~ α F( α a + F( b) F( ( b 6
Beispiel (Afahrtszeite) Klasse H(K ) h(k ) F(K ) K [0,4] 3 0.09 0.09 K (4,8] 7 0. 0.303 K 3 (8,] 9 0.7 75 K 4 (,6] 6 0.8 0.757 K 5 (6,0] 5 0.909 K 6 (0,4] 0.030 0.939 K 7 (4,8] 0.06.000 Summe 33.000 ~ 0. 0.09 0.009 0. 4 + 0.303 0.09 0. ( 8 4) 4 + 4 4.70. ~ 0.9 0.757 0.43 0. 9 6 + 0.909 0.757 ( 0 6) 6 + 4 9.763. 7 arithmetisches Mittel der übliche Mittelwert Das arithmetische Mittel : i i i ( i) der Mittelwert reagiert leicht auf Ausreißer (etreme Werte); er ist icht robust 8 Beispiel (Hospiz) Beispiel (robust) 39, 44, 78, 5, 348, 5, 0, 0, 48, 5. ( ) ( ) ( 3) ( 4) ( 5) 0 0 796 79.6. 0 ( 39 + 44 + 78 + 5 + 348 + 5 + 0 + 0 + 48 + 5) ( 0 + 0 + 5 + 39 + 48 + 5 + 5 + 78 + 44 + 348) - - 0 ~ 0. 5 ( ) ( ) ( 3) ( 4) ( 5) - - 0 0 ~ 0. 5 0 ud. 0 9 0
Gruppierte Date. das arithmetische Mittel ierhalb der eizele Klasse ist beat oder. das arithmetische Mittel ierhalb der eizele Klasse ist ubeat. Klassemittel: Klassemitte: H ( K H ( K ) K ) m h h ( K ) ( K ) K m Beispiel (Eirichtuge) Klasse K [0,0], K (0,30], K 3 (30,50], K 4 (50,00] ud K 5 (00,00] Klassemitte m 5, m 0, m 3, m 4 75 ud m 5 50 455 36.375. ( 45 + 00 + 9 + 575 + 50) ( 0 + 0 + 360 + 375 + 300) ~ 0. 5 6 Für eie sivolle Berechug des arithmetische Mittels ist es sehr wichtig, daß die Häufigeitsverteilug uimodal ist. Darauf weise auch Gabler & Borg (996) hi: Die Aussageraft des arithmetische Mittels sit allerdigs graviered, we die Verteilug etwa U-förmig oder mehrgipflig ist. Beispiel (Drogeberatugsstelle) Azahl der Besuche 0 3 4 5 Azahl der Persoe 8 6 6 0 8 80 + 6+ 6 + 03 + 8 4 + 5.4 00 00 3 Das getrimmte ud wisorisierte Mittel robustifiziertes arithmetisches Mittel weiger afällig für etreme (abweichede) Beobachtuge a : [ α] a getrimmtes Mittel α t : ( i). a i a+ Gebräuchliche Werte für de Ateil getrimmter Werte sid α 0.05, 0.0, 4
Das getrimmte ud wisorisierte Mittel a : [ α ] größte gaze Zahl leier oder gleich α Beispiel (Hospiz) 0, 0, 5, 39, 48, 5, 5, 78, 44, 348 wisorisiertes Mittel: 79.6 α w a : α a ( a+ ) + ( i) + a (. i a+ 5 0 + 5 + 39 + 48 + 5 + 5 + 78 + 44 448 ( i) 56 0 8 8 9 0.t i 0.w 9 ( ) ( ) ( ) 0 + i + 9 i 0 + 0 + 5 + 39 + 48 + 5 + 5 + 78 + 44 + 44 0 60 60. 0 6 Zusammefassug Saleiveau des Mermals Lageparameter omial ordial metrisch Modus Media / Quatile -- Mittelwerte (arithm./getrimmt/wisorisiert) -- -- 7