3 Grenzwert und Stetigkeit 1

3 Grenzwert und Stetigkeit 3. Grenzwerte bei Funktionen In diesem Abschnitt gilt: I ist immer ein beliebiges Intervall, 0 I oder einer der Endpunkte. 3.. Definition Sei I Intervall, 0 IR und 0 I oder Endpunkt von I und f : I \ { 0 } IR. c IR heißt Grenzwert oder Limes von f für 0, geschrieben lim f) c oder f) c für 0, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit f) c < ε für alle I mit 0 < 0 < δ. 3.. Bemerkungen ) Der Grenzwert c ist eindeutig bestimmt. ) lim f) c bedeutet: f ist definiert auf I a, ) oder [a, ) und zu jedem ε > 0 eistiert ein k > a mit f) c < ε für alle > k. 3) entsprechend: lim f). 3..3 Folgenkriterium lim f) eistiert genau dann, wenn für jede Folge n ) in I \ { 0 } mit n 0 eistiert. Dieser Grenzwert ist dann unabhängig von n ) und gleich lim f). lim f n) lim f) c eistiere, d. h. zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0 mit f) c < ε für alle I mit 0 < 0 < δ. n ) ist Folge in I \ { 0 }. n 0 es gibt ein n 0 mit 0 < n 0 < δ für n n 0. f n ) c < ε für n n 0, d. h. f n ) c für n. Alle lim f n) eistieren Setze c : lim f n). n ) ist feste Folge in I \ { 0 } mit n 0 ). ξ n ) ist Folge in I \ { 0 } mit ξ n 0. Die Mischfolge, ξ,, ξ,... ) y n ) ist Folge in I \ { 0 } mit y n 0. lim y n) eistiert und ist lim f n) c lim fξ n). Also: fξ n ) c für n. Annahme: lim f) eistiere nicht oder ist c). Es gibt ein ε > 0 und für n,, 3,... ein n I \ { 0 } mit n 0 < n, aber f n ) c ε, d. h. n 0, also f n ) c für n. Widerspruch! Version 94 vom 4. Februar 006 45

3 Grenzwert und Stetigkeit 3..4 Rechenregeln Wenn f) α für 0 und g) β für 0, so gelten ) f) + g) α + β. ) λf) λα. 3) f)g) αβ. 4) f) α. 5) α β, falls f) g) in I \ { 0 }. 6) f) g) α β, falls β 0. Genauer: Es gibt ein σ > 0 mit g) 0 in 0 σ, 0 + σ) I \ { 0 }. f) g) ist dort definiert und hat den Grenzwert α β für 0 von ) 5): Folgenkriterium von 6): Wähle ε β > 0. Dazu e. ein σ > 0 mit g) β < β für 0 < 0 < σ, I. g) β + g) β) β g) β > β β β Dann Folgenkriterium. 3..5 Beispiele 0) Ist f) c für alle IR, dann ist lim f) c. ) f) für IR, dann ist lim f) 0 Zu ε > 0 setze σ ε). ) Ist f) a 0 + a + a + + a p p ein Polynom vom Grad p mit a p 0 und a j IR, dann ist lim f) a 0 + a 0 + a 0 + + a p p 0 f 0) Über Induktion: lim k k 0. 3) Ist f) [] die größte Ganze Zahl, so ist lim f) f 0 ), falls 0 / ZZ. Der Limes eistiert nicht für 0 ZZ. 4) Es gilt: lim r Für r IN: r für r Q. r ) r + r + + + ) r lim lim r + + + ) r r 46

3. Grenzwerte bei Funktionen 3..6 Einseitige Grenzwerte Sei I a, b), 0 a, b) und f : I \ { 0 } IR. Setze f ) f) für a < < 0 und f + ) f) für 0 < < b. Dann ist f 0 ±) : lim f ± ), falls der rechtsstehende Grenzwert eistiert. Schreibweise: f 0 ±) lim ± f). Bezeichnung: linksseitiger bzw. rechtsseitiger Grenzwert. Beispiel: f) []: lim f 0 +) und lim f 0 ) eistieren immer. 3..7 Satz f 0 +) f 0 ) c lim f) c. Sei ε > 0. Es ist f) c < ε für 0 < < 0 +δ rechtsseitig) und für 0 δ < < 0 linksseitig). Setze δ min{δ, δ }. Dann ist f) c < ε für I \ { 0 }, 0 < δ. 3..8 Monotone Funktionen f : I IR heißt monoton wachsend [fallend], wenn aus < y, y I) folgt: f) fy) [f) fy)]. f heißt streng wachsend [fallend], wenn immer < anstelle, bzw. > anstelle gilt. 3..9 Satz Monotone Funktionen haben in jedem Punkt 0 I einseitige Grenzwerte. Sei z. B.: a < 0 < b und f wachsend: f 0 ) f 0 ) f 0 +). Sei n ) Folge in a, 0 ) mit n und n 0. Dann ist f n )) wachsend und beschränkt: f n ) f 0 ). Damit eistiert lim f n) f 0 ). Nach dem modifizierten Folgenkriterium folgt dann: Eistiert lim f n) für jede Folge n ) in a, 0 ) mit n 0, so eistiert auch f 0 ). Bei monotonen Funktionen, für die lim f) eistiert a < 0 < b), ist er f 0 ). 3..0 Cauchykriterium Es sei f : I \ { 0 } IR. Dann eistiert lim f) genau dann, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit f) fy) < ε für alle, y I, 0 < 0 < δ, 0 < y 0 < δ. lim f) eistiert) wie Folgen. Sei n ) Folge in I \ { 0 }, n 0. f n )) ist eine Cauchyfolge, weil zu ε > 0 aus der Voraussetzung ein δ > 0 eistiert. Da n 0 für n gibt es ein n 0 mit n 0 < δ für n n 0. Für n > m n 0 gilt: f n ) f m ) < ε. Damit ist f n )) eine Cauchyfolge und lim f n) eistiert. Jetzt das Folgenkriterium anwenden lim f) eistiert. 47

3 Grenzwert und Stetigkeit 3. Stetigkeit Sei I stets ein Intervall, f : I IR. 3.. Definition f heißt stetig im Punkt 0 I, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt mit f) f 0 ) < ε für alle I mit 0 < δ. f heißt stetig in I), wenn f in jedem 0 I stetig ist. Kurz: f CI) oder f C 0 I). Bemerkung: f ist stetig in 0 lim f) f 0 ). 3.. Rechenregeln Sind f, g stetig in 0 oder in I), so sind auch folgende Funktionen stetig: a) f + g. b) λf für λ IR. c) f g. d) f g falls g) 0 in 0 oder für I)). Genauer: g 0 ) 0. es e. ein σ > 0 mit g) 0 in 0 σ, 0 + σ) I I und f g als Funktion von I nach IR ist stetig in 0. e) Das Kompositum: Ist g : I J stetig in 0 I oder in ganz I) und ist f : J IR stetig in y 0 g 0 ) oder im ganzen Intervall J), dann ist auch die Komposition f g : I IR, f g)) : fg)) stetig in 0 oder in I). Nur für das Kompositum: Sei ε > 0: Dann e. ein δ > 0 mit fy) fy 0 ) < ε für y J, y y 0 < δ. Zu diesem δ eistiert ein σ > 0 mit g) g 0 ) < δ für alle I, 0 < σ, d. h. für I, 0 < σ gilt: f g)) f g) 0 ) < ε. 3..3 Beispiele ) Polynome sind stetig in IR. ) f) p ist stetig in [0, ) p IN). 3) f) r ist stetig in 0, ) für beliebige r Q. ) Klar. ) Sei 0 [0, ), n ) Folge in [0, ) mit n 0. f n ) p n p 0 Beispiel bei Folgen). lim f) f 0 ) f ist stetig. 3) Sei r p q mit q IN und p ZZ. g) p ist stetig in 0, ), falls p IN ist; g ist auch stetig für p 0 p ). p Setze c r q p hg)), hy) q y ist stetig nach Beispiel ). f) ist stetig. 48

3. Stetigkeit 3..4 Satz vom Minimum und Maimum Ist f : [a, b] IR stetig, so hat f Minimum und Maimum, d. h. es gibt [a, b] und [a, b] mit f ) f) f ) für alle [a, b]. Für das Maimum: Setze M sup{f): a b}. Dazu eistiert eine Folge n ) in [a, b] mit f n ) M für n. Da die Folge n ) beschränkt ist, enthält sie eine konvergente Teilfolge nk ) mit nk [a, b]. Es ist dann f ) lim f n k ) lim f n) M Maimum. k Für das Minimum analog. 3..5 Nullstellensatz Sei f : [a, b] IR stetig und fa) < 0 < fb) [fa) > 0 > fb)]. Dann gibt es ein ξ a, b) mit fξ) 0. ξ ist Nullstelle von f.) Zeige: Es gibt eine kleinste erste) und eine größte letzte) Nullstelle in a, b). Beweis für fa) < 0 < fb), kleinste Nullstelle): Setze M {: ft) < 0 für a t < } [a, b] und ξ sup M [a, b]. Es gilt: i) M, weil a M. ii) ξ > a, da fa) < 0 und damit ft) < 0 in [a, a + δ), für ein δ > 0. iii) ξ < b, da fb) > 0 und damit ft) > 0 in b δ, b], für ein δ > 0. iv) a < < ξ ft) < 0 für a t <, d. h. f) < 0 in [a, ξ). v) Nach Definition von ξ gibt es eine Folge n ) in ξ, b] mit n ξ und f n ) 0. Es ist fξ) lim f) 0 und fξ) lim f n) 0. ξ fξ) 0, f) < 0 für a < ξ. ξ ist kleinste Nullstelle. 3..6 Zwischenwertsatz Ist f im Intervall I stetig, so ist J fi) ein Intervall, insbesondere gilt: Ist f ) < y < f ), so gibt es ein, ) falls < ), bzw., ) falls > ) mit f) y, y J. Setze m inf{f): I} und M sup{f): I}. Zeige: m, M) fi) J. Dann ist J m, M), m, M], [m, M) oder [m, M]. Beweis von : Sei y m, M). Dann eistieren, I mit f ) < y < f ). Dabei ist z. B. < oder > ). f : [, ] IR ist stetig, } g) f) y ist ebenfalls stetig. g ) f ) y < 0 es eistiert ein ξ g ) f ) y > 0, ) mit gξ) 0, d. h. fξ) y. Falls m M ist f ist konstant, m, M) fi) {m} : [m, m]. 3..7 Bemerkung: Ist f : [a, b] IR stetig, so ist f[a, b]) [m, M] mit } { } m min {f): a b} M ma 49

3 Grenzwert und Stetigkeit 3..8 Beispiele a) Sei f) b) Sei f) + in I, ). Es ist fi) [0, ). in I 0, ). Es ist fi) [, ). c) Sei f) a 0 + a + + a d+ d+ mit a d+ > 0 ein Polynom vom ungeraden Grad d +. Es ist fir) IR insbesondere hat f eine Nullstelle. Beweis a) Es ist f) 0, f0) 0 und sup{f): < < } + Es ist f in [0, ). b) Es ist f) + ) 0 für alle und 0 für. Für 0 gilt: f) + : sup{f): 0 < < } + c) Setze M sup{f): IR} und m inf{f): IR}: lim f) lim d+ a d+ + a d }{{} 0 + + a ) 0 } d+ a d+ > 0, {{} 0 d. h. es eistiert ein K > 0 mit f) > a d+ d+ für > K M 0. Gleicher Beweis für m. 3..9 Satz über die Umkehrfunktion Ist f im Intervall I streng monoton und stetig, so eistiert die Umkehrfunktion f : J fi) I und sie ist stetig und streng monoton im gleichen Sinn wie f. Beweis Für den Fall, daß f wachsend ist): Aus < folgt, daß f ) < f ), d. h. daß f injektiv ist. f ist definiert auf dem Intervall J fi). Zeige nun die Stetigkeit von f in y 0 f 0 ): Sei y n ) Folge in J mit y n y 0 für n. Es ist y n f n ), y 0 f 0 ), n, 0 I. Zeige: n 0 für n. Wenn nun n 0 nicht konvergent gegen 0 ), dann eistiert eine Teilfolge nk ) mit z. B. nk 0 + ε für alle k und für ein ε > 0. f nk ) f 0 + ε) f nk ) y nk y 0 f 0 ) f 0 + ε) > f 0 ) Widerspruch! Also gilt f y n ) n 0 f y 0 ). Bemerkung: Für I [a, b] gilt: Man kann man eine Teilfolge nk ) mit nk 0 [a, b] auswählen. Dann ist f 0 ) lim f n k ) y 0 f 0 ) f ist injektiv und 0 0. Es bleibt noch zu zeigen, daß f streng wachsend ist: f streng wachsend f ) y < y f ) <, also f y ) < f y ). 3..0 Definition: gleichmäßige Stetigkeit Eine Funktion f : I IR heißt gleichmäßig stetig, wenn gilt: zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0 mit f) fy) < ε für alle, y I, y < δ. 50

3. Stetigkeit 3.. Bemerkungen und Beispiele a) Gleichmäßig stetige Funktionen sind stetig in I. b) f) ist in I 0, ] stetig, aber nicht gleichmäßig. f ) n f n+) n n + ) n, y n+ : y nn+) ε. Suche hierzu ein δ? Dieses e. nicht. c) Lipschitz-stetige Funktionen f : I IR mit f) fy) L y für alle, y I L > 0 Lipschitzkonstante). L-stetige Funktionen sind gleichmäßig stetig mit δ ε L für ε > 0. d) f) + ist Lipschitzstetig in I [0, ): f) fy) + ) + y y + + + y + y y + + + y ) y + y + + y y e) f) ist in I [0, ) gleichmäßig stetig, aber nicht L-stetig. Es ist f) fy) y + y. Für z. B. > y gilt: f) fy) y y y y + y }{{} y Setze nun für ε > 0 δ ε. Also ist f gleichmäßig stetig. nicht L-stetig als Aufgabe). 3.. Satz von Heine Jede stetige Funktion f : [a, b] IR ist gleichmäßig stetig. Nehme an, daß die Behauptung falsch ist, d. h. es gibt ein ε > 0 und zu jedem δ gibt es, y I, so daß y < δ, aber f) fy) ε. Zu δ n eistieren n, y n I, so daß n y n < n, aber f n) fy n ) ε. Die Folge n ) in [a, b] besitzt eine konvergente Teilfolge nk ), wobei nk 0 [a, b], y nk 0. Mit der Stetigkeit von f in 0 gilt dann: 0 f 0 ) f 0 ) lim k f n k ) fy nk ) ε Widerspruch! 5

3 Grenzwert und Stetigkeit Aufgabe: f : a, b) IR ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn es eine stetige Funktion F gibt mit F : [a, b] IR und F ) f) in a, b). 3.3 Gleichmäßige Konvergenz Sei I ein Intervall, und f n : I IR für n 0,,,.... 3.3. Def.: Punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen Die Funktionenfolge f n ) konvergiert a) punktweise gegen f : I IR, wenn lim f n) f) für alle I. b) gleichmäßig gegen f : I IR, wenn es zu jedem ε > 0 ein n 0 IN gibt, mit f n ) f) < ε für alle n n 0 und alle I. Ebenso heißt f n ) punktweise oder gleichmäßig konvergent, wenn die Funktionenfolge s n ), s n n f k ), punktweise bzw. gleichmäßig konvergiert. 3.3. Beispiele ) Sei f n ) n in I [0, ]. Es ist f n ) { 0 für 0 < für } f), d. h. f n ist punktweise konvergent. f n ist aber nicht gleichmäßig konvergent. f n ) f) n ) n 0 für n. n e keine gleichmäßige Konvergenz. ) n konvergiert gleichmäßig in jedem Intervall [ r, r], 0 < r <, aber nicht gleichmäßig in, ). Sei r: Dann gilt für n n 0 n k da 0 < r <. gleichmäßige Konvergenz. Nun für, ): Es ist n kn+ k k n+ n + n+ n+ ) n+ kn+ n + ) }{{} n + r k rn+ r < ε, ) n+ } {{ } e ) 5

3.3 Gleichmäßige Konvergenz 3.3.3 Satz Gegeben seien f n : I IR und es gelte f n f gleichmäßig in I. Für n,,... eistiere lim f n ) a n. Dann eistiert auch lim f) lim a n, d. h. lim f) lim ) lim f n) lim ) lim f n ) Sei ε > 0. Dann eistiert ein n 0 mit Weiter eistiert ein δ n > 0 mit Für n > m > n 0 gilt dann: f n ) f) < ε für alle n n 0 und alle I. 3.) f n ) a n < ε für 0 < δ n und I. 3.) a n a m a n f n )) + f n ) f)) + f) f m )) + f m ) a m ) }{{} ε + }{{} ε für 0 <δ n + }{{} ε + n n 0 m n 0 }{{} ε 4ε für 0 <δ m Solche I eistieren a n ) ist eine Cauchyfolge, a n a für n Sei m n 0 und m n fest. Dann gilt: a n a < ε für n n 3.3) f) a f) f m )) + f m ) a m ) + a m a) ε }{{} m n 0 3.) + ε }{{} 0< 0 δ n 3.) + }{{} ε 3ε m n 3.3) f) a < 3ε für 0 < 0 < δ n : δ, d. h. lim f) a. 3.3.4 Satz Gilt f n f gleichmäßig in I und sind alle f n stetig in 0 oder in I), so ist auch f stetig in 0 oder in I). Sei 0 I: d. h. f ist stetig in 0. ) lim f) lim lim f n ) f 0 ), }{{} f n 0 ) 3.3.5 Cauchykriterium Die Funktionenfolge f n ) mit f n : I IR konvergiert genau dann gleichmäßig, wenn es zu jedem ε > 0 ein n 0 gibt mit f n ) f m ) < ε für alle n > m n 0 und alle I. 3.4) 53

3 Grenzwert und Stetigkeit gleichmäßige Konvergenz 3.4)) wie immer. Sei ε > 0 und 3.4) gelte für festes I. Dann ist f n )) eine Cauchyfolge, d. h. f n f punktweise. Aus 3.4) folgt für n, daß f) f m ) ε für m n 0 und alle I, d. h. f m f gleichmäßig. Bemerkung: Für gleichmäßige Konvergenz von f k ) lautet 3.4) so: n km+ f k ) < ε für alle n > m n 0 und alle I. 3.3.6 Majorantenkriterium Gilt f n ) g n ) und konvergiert g n ) gleichmäßig in I, dann auch f n ). Speziell dann, wenn f n ) c n für I und c n konvergiert. Sei ε > 0. Dazu e. ein n 0 mit n km+ f k ) kn+ g k ) < ε für n > m I 0 und I. n n f k ) g k ) < ε km+ km+ für n > m n 0 und I. 3.3.7 Beispiele ) IR) ist gleichmäßig konvergent, weil +n +n n konvergiert Majorantenkriterium). lim n + n lim lim n k n und n n ) + k lim 0 0 ) k ) konvergiert punktweise in [0, ], aber nicht gleichmäßig. n n+ k für 0 < ) ) n + für n+ { für 0 < 0 für ist unstetig, also kann keine gleichmäßige Konvergenz vorliegen. 54

3.4 Potenzreihen 3) k ) konvergiert gleichmäßig in [0, ]. Sei ε > 0. Dann gilt: s n ) ) n+ ) n+ ) für 0. n km+ k ) s n ) s m ) ) m+ n+ ) i) Für 0 ε ist dies ε) m+ < ε mit m n 0. ii) Für ε < ist dies ε für alle m. 4) gleichmäßige Konvergenz. n n + ist nicht gleichmäßig konvergent in IR. Sei > 0. Dann gilt: m nm+ n + m 4m + m m 8m 4 > 0 5) 6) Aus dem Cauchykriterium folgt dann, daß keine gleichmäßige Konvergenz vorliegt. n n 4 + ist gleichmäßig konvergent. Mit dem Majorantenkriterium. Es ist n n 4 + n 4 n für n n für > n n n +r + ist gleichmäßig konvergent für r > 0. n n +r/) n +r + n +r für n +r/) n +r/) für n +r/) n α ist konvergent für α >. Hier ist α + r. n n +r/) 3.4 Potenzreihen 3.4. Definition: Potenzreihe Eine Reihe der Form a n 0 ) n 3.5) heißt Potenzreihe. Die Folge a n ) heißt Koeffizientenfolge, und 0 ist der Entwicklungspunkt. 55

3 Grenzwert und Stetigkeit 3.4. Satz, Konvergenzradius Die Potenzreihe 3.5) konvergiert absolut in 0 r, 0 + r) und gleichmäßig in jedem Intervall [ 0 ϱ, 0 + ϱ] 0 r, 0 + r). Sie divergiert für > 0 + r und für < 0 r. Dabei ist r lim n an der Konvergenzradius Formel von Cauchy-Hadamard). Sonderfälle:. Für lim n an ist r 0 und 3.5) heißt nirgends konvergent obwohl konvergent in 0 ). n. Für lim an 0 ist r und 3.5) konvergiert überall. Es ist lim n an 0 ) n 0 lim n an. Daraus folgt absolute Konvergenz nach dem Wurzelkriterium für 0 < r. Sei nun 3.5) konvergent im Punkt. Dann gilt a n 0 ) n 0 für n, insbesondere ist a n 0 ) M für n IN 0. Damit gilt dann: 0 lim n an lim n M. Daraus folgt 0 r und damit Divergenz für 0 > r. Zeige nun noch die gleichmäßige Konvergenz in [ 0 ϱ, 0 + ϱ] 0 r, 0 + r): Wähle ξ 0 + ϱ+r falls r > 0, r < ). Dann ist a n ξ 0 ) n a n ϱ+r M q ist eine Majorante. 3.4.3 Satz ) n M beschränkt und für 0 ϱ gilt: ϱ + r a n 0 ) n a n ϱ n ) n ϱ M ϱ + r }{{} :q< ) n ) n ϱ + r Hat 3.5) eine positiven Konvergenzradius, so stellt 3.5) eine im Konvergenzintervall stetige Funktion f dar. Sei I ϱ [ 0 ϱ, 0 + ϱ] 0 r, 0 + r). In I ϱ liegt gleichmäßige Konvergenz vor. Damit ist f stetig in I ϱ für 0 < ϱ < r. Also ist f stetig in I ϱ 0 r, 0 + r). 0<ϱ<r 3.4.4 Bemerkungen und Beispiele a) Eistiert lim a n+ a n A, so ist r A b) n n! hat Konvergenzradius r. Quotientenkriterium, Aufgabe) 56

c) n α n hat für α Q den Konvergenzradius r, denn n n α r. n d) Die Binomische Reihe über das Quotientenkriterium a). 3.4 Potenzreihen α ) n n hat den Konvergenzradius r, falls α IR \ IN 0. Beweis e) Sei a n ) die Fibonaccifolge mit a 0, a und a n+ a n + a n für n. Frage: Was ist dann f) a n n und welchen Konvergenzradius hat die Potenzreihe? Behauptung: r 5. Versuche zu zeigen: a n ϱ n mit einem ϱ a n ist immer ). Dies ist o. k. für n 0 und n. Induktionsansatz: a n+ a n + a n ϱ n + ϱ n ϱ n ϱ + )? ϱ n+ Das? ist in Ordnung, wenn ϱ + ϱ ist. Suche nun das beste ϱ für ϱ : Da n a n ϱ ist, gilt: Sei nun < r. Dann gilt lim ϱ ϱ + ϱ ± 4 + + 5 n an ϱ r ϱ 5 + 5. a n+ n+ a n n + a n n a n+ n+ a n n + a n n n } {{ } f) a 0 a n } {{ } f) a 0 n f) a 0 a ) f) a 0 ) + f) f) ) a 0 + a a 0 ) f). Wann ist + 0? Für ± 4 + 5 Also ist r 5.! } {{ } f) 3.4.5 Satz: Summe und Produkt von Potenzreihen Haben f) a n 0 ) n und g) b n 0 ) n die Konvergenzradien r f > 0 und r g > 0, so gilt: 57

3 Grenzwert und Stetigkeit a) f) + g) a n + b n ) 0 ) n mit Konvergenzradius r min{r f, r g }. b) f) g) c n 0 ) n mit c n n a k b n k n a n k b k und Konvergenzradius r min{r f, r g }. a) Summe konvergenter Reihen. b) Cauchyprodukt: n f)g) a k 0 ) k b n k 0 ) n k, falls 0 < r f und 0 < r g. Beispiel zu b): Es ist f) ) n für < und n + ) n. Frage: Was ist die Potenzreihe für ) p 3, p 3)? p 3.4.6 Identitätssatz Haben f) a n 0 ) n und g) b n 0 ) n positiven Konvergenzradius, und es ist f) g) für,..., n mit k 0 für k, aber k 0. Dann ist a n b n für alle n 0,,,... Annahme: Nicht für alle n gelte a n b n. Setze ht) a n b n )t n h 0 ) f) g)) c n t n c n a n b n ). Nach Annahme eisiert ein kleinstes m mit c m 0. Es ist also ht) c n t n t m c m + c m+ t + c m+ t + ) t m ht) nm und für t k k 0 ) 0, t k 0 gilt: ht k ) 0 t m k ht }{{} k ), 0 also ht k ) 0. D.h. h0) 0 c m 0 Widerspruch! 58

3.4 Potenzreihen 3.4.7 Beispiele a) Sei f) a n n mit Konvergenzradius r > 0. Ist nun a n 0 für n 0,,,..., dann ist f eine ungerade Funktion, d.h. f ) f). Gilt umgekehrt f ) f) in einem Intervall δ, δ) Konvergenzintervall, dann ist a n 0 für n 0,,,... f) + f ) 0 a n ) n a n ) n. Aus dem Identitätssatz folgt, daß a n + ) n ) 0 für alle n, insbesondere ist a k 0. b) Sei f) a n n mit Konvergenzradius r > 0. Dann ist f gerade f ) f) in δ, δ)) genau dann, wenn a n 0 ist für n,,.... f) f ) 0... usw. 3.4.8 Satz über die Verknüpfung von Potenzreihen fy) b n y n habe Konvergenzradius R > 0 g) a n n g0) 0 Entwicklungsmittelpunkt für f-reihe) n Dann hat fg)) eine Potenzreihenentwicklung fg)) c n n mit Konvergenzradius r ϱ, ϱ so, daß a ϱ n < R ist. ohne Beweis 3.4.9 Beispiel Sei fy) y n n! und g) n ) n n+)! n+. Suche die Koeffizienten c 0, c,..., c 5 von fg)) c n n. Es ist fg)) + ) 3! 3! + 5 5! + ) 3! 3! ± + ) 3 3 3! 3! ± + 4! )4 + 5! )5 + ) + 3 6 + 5 + ) 4 0 3 + ) 3 3 5 + 6 6 4 4 + 0 5 + + + + 6 + ) 3 6 + 6 + ) 4 + 4 0 + ) 5 + 0 + + + 0 3 8 4 5 5 + 59

3 Grenzwert und Stetigkeit 3.4.0 Satz über das Reziproke einer Potenzreihe f) a n n habe Konvergenzradius r > 0, a 0 0 f0) 0). Dann ist f) positivem Konvergenzradius, und es gilt: n a k c n k { für n 0 0 für n c n n mit Definiere c n ) durch 3.6). Dann hat Φ) c n n positiven Konvergenzradius. Es gilt: d.h. Φ) f). Konvergenzbeweis für a 0 f) Φ) a n n ) c n n ) n ) a k c n k n, } {{ } 0 für n für sonst: f) f) a a 0 P 0 a 0 Es gibt ein A mit a n A n Konvergenzradius r > 0) Zeige: c n A) n, d.h. Konvergenzradius A. Induktionsanfang: c 0 A) 0. Induktionsschritt: n c n n a n k c k a n k }{{} A n k Induktionsbeweis 3.4. Beispiel c }{{} k A) k an a0 n n n n k A n A n k A n n ) < A) n Sei f) 3 + 3 5 + und f) c n n. Suche c 0, c, c, c 3. a 0 a 0 c 0 c 0 a 0 a 0 c + a c 0 0 c 0 a 3 a 0 c + a c + a c 0 0 c 3 a 3 a 0 c 3 + a c + a c + a 3 c 0 0 c 3. Methode: Für t < ist t t n + t + t + t 3 +. 3.6) 60

3.4 Potenzreihen 3 + 3 5 + 3 3 + 5 ) + 3 + 5 + ) + 3 3 + 5 + ) + + 3 3 + 9 4 + 3.4. Umentwickeln von Potenzreihen Sei f) a n 0 ) n in I 0 r, 0 + r). Für I gilt und es ist nach dem binomischen Satz Es gilt dann 0 ) n f) 0 + 0 n n ) n ) k 0 ) n k. k ) n a n 0 ) n k ) k k b k ) k Was ist nun b k? Wir sind in < r 0 auf der sicheren Seite: b k n ) n a n 0 ) n k ) k k ) n a n 0 ) n k ) k k [ ] n )a n 0 ) n k ) k k nk n k ) a n 0 ) n k 3.4.3 Beispiel Es ist n in, ). Umentwicklung von 0 0 auf : b k + ) k 6

3 Grenzwert und Stetigkeit mit b k nk n ) ) n k k? + ) + 3 3 ) k+ 3 Daraus folgt ein Konvergenzradius r 3. } {{ } b k 3 3 )) k + ) k + 3.4.4 Abelscher Grenzwertsatz Konvergiert a n, so konvergiert a n n gleichmäßig in [0, ] und dabei gilt Sei r n a k. Für n > m und 0 gilt: n km+ kn a k k n km+ r k k r m+ m+ n km+ n km+ r k+ k r k k k ) n km+ ) r k k n+ jm+ r j j a n lim f). Sei ε > 0. Dann gibt es ein n 0 mit r k < ε für k n 0. Für 0 und n > m n 0 gilt also: n a k k n r m+ m+ r k k k ) km+ ε + n km+ km+ ε k k ) + ε ε + ε m+ m+ + m+ + n n ) ε + ε 3ε Also gleichmäßige Konvergenz nach Cauchykriterium. 3.5 Eponentialfunktion und Logarithmus 3.5. Definition der Eponentialfunktion ep) n ep) ist die Eponentialfunktion oder Eponentialreihe n! 3.5. Satz: Eigenschaften der Eponentialfunktion Die Eponentialfuntkion ist stetig, streng monoton wachsend, epir) 0, ) und es gilt die Funktionalgleichung ep) epy) ep + y) 3.7) 6

3.5 Eponentialfunktion und Logarithmus Die Eponentialfunktion ist stetig in IR als eine überall konvergente Potenzreihe, 3.7) war Aufgabe 4a auf Blatt 6. Monotonie: Sei < y + h mit h > 0: epy) ep) eph) > ep), falls ep) > 0 eph) h n n! + h + h + >. Setze nun in 3.7) y. Dann gilt ep) ep ) ep0). Also ist ep ) ep), insbesondere ist ep) 0 und ep0). Aus dem Zwischenwertsatz folgt dann, daß ep) > 0 ist. Ist c > 0, so eistieren, IR mit ep ) < c < ep ), denn ep) + + > für. eistiert. Da aber auch ep ) ep) 0 für eistiert auch. Wende nun den Zwischenwertsatz auf die Ungleichung ep ) < c < ep ) an. Daraus folgt, daß ein, ) eistiert mit ep) c. ) 3.5.3 Definition des Logarithmus log Die Umkehrfunktion der Eponentialfunktion, der Logarithmus, eistiert, ist stetig und ist streng monoton wachsend in 0, ). Es gilt: log y) log) + logy) 3.8) Alles bis auf 3.8) folgt aus dem Satz über die Umkehrfunktion. Seien nun eps) und y ept). Dann gilt: 3.5.4 Satz log y) logeps) ept)) logeps + t)) s + t log) + logy) a) + < ep) für alle 0. b) + < log + ) < für > und 0. c) ep) lim + n n) e a) Klar für > 0 und für. Für < 0 gilt: ) n ep ) n! < ) n + ep) ep ) > + b) Es ist log ) + ) < logep)) ), da + < ep + ). Außerdem ist log + ) log + log + < +. Daraus folgt, daß log+) > + für 0 und + <. Wenn > und 0 ist, dann ist + > 0 und < +, also + <. 63

3 Grenzwert und Stetigkeit c) Multipliziere die Ungleichung + < log + ) < mit für > 0 + < log+) <. log+) Für 0+ gilt dann lim 0+. Es ist loge) lim log + n Also ist e eploge)) ep). 3.5.5 Bemerkung a) Für n IN 0 gilt epn) e n. b) Für n IN gilt ep n) e n. ) n log+ lim n ). n c) Für r m n Q gilt ep m n ) em/n, d.h. epr) e r. a) Mit Induktion: epn + ) epn) ep) e n e e n+. b) ep n) epn). c) Sei m. Dann ist e ep) epn n ) ep n ))n. Es ist ep n ) n ep) e /n und ep m n ) epm n ) ep n ))m e /n ) m e m/n. Abbildung 3.: Vergleich der Eponential- und Logarithmusfunktion Die Eponentialfunktion e Der Logarithmus log ist stetig und ist stetig und streng wachsend auf IR streng wachsend in 0, ) e +y e e y log y) log + log y e > + für 0 + < log + ) < für >, 0 e lim log+) 0 lim 0 lim e lim lim e 0 lim log 0 epir) 0, ) log0, ) IR 5 4 3 0-3 - - 0 3 3 0 - - -3 0 3 4 5 64

3.6 Die trigonometrischen Funktionen 3.5.6 Definition von e für IR Für IR definiert man e : ep) und für a > 0 und IR ist a : e log a. Bemerkung: Für r p q gilt: e r log a e p q log a ep q log ap ) e log ap ) /q a p ) /q a p/q a r 3.5.7 Hyperbolische Funktionen Sinus hyperbolicus: Cosinus hyperbolicus: sinh e e cosh e + e n+ n + )! n n)! sinh ist stetig, streng wachsend e und e streng wachsend), ungerade. cosh ist stetig, streng wachsend in [0, ), streng fallend in, 0], gerade. Tangens hyperbolicus: tanh sinh cosh e e e + e e e + Cotangens hyperbolicus: Der tanh ist monoton: Es ist tanh Damit ist e +, und damit e + coth cosh sinh e + e e + e +. 4 3 0 - - -3-4 e Abbildung 3.: Die hyperbolischen Funktionen cosh sinh -3 - - 0 3 4 3 coth 0 tanh - - -3 coth -4-3 - - 0 3 3.6 Die trigonometrischen Funktionen 3.6. Definitionen und Satz Die Funktionen 65

3 Grenzwert und Stetigkeit Sinus: sin Cosinus: cos ) n n+)! n+ sind stetig in IR und es gilt: ) n n)! n i) sin ) sin ungerade Funktion) ii) cos ) cos gerade Funktion) iii) cos + y) cos cos y sin sin y iv) sin + y) sin cos y + sin y cos setze n + m: nur noch für iii) und iv): ) n cos cos y n)! n n ) k k)! k ) n n)! ) n n)! n n k j n j gerade ) n n)! yn ) n k n k)! yn k ) k y n k n j ) n sin sin y n + )! n+ n ) k k+ k + )! m ) n n + )! n ) m m)! ) n n)! n m j n j ungerade cos cos y sin sin y + ) j y n j ) n n + )! yn+ )n k y n k)+ n k) + )! ) n)! n)! ) n + )! n + )! n + )! k+ y n+ k+) k + )! n + k )! ) m k+ y m k+) k + ) n j y n j j + n n ) n n)! n j0 ) n + y)n n)! ) n j y n j j ) n n)! + y)n cos + y) 66

3.6 Die trigonometrischen Funktionen iv) selber machen. 3.6. Hilfssatz a) cos) + 4 4 für b) 3 6 sin für 0 6 Mit Leibnizkriterium: a) Es ist cos) ) n n)! n. Das Leibnizkriterium ist anwendbar, n falls n n)! n+ n+)! für alle n gilt, d. h. falls n + )n + ) für alle n, d. h. falls + )/ + ), also falls. Dann ist cos)! b) Hier ist genauso das Leibnizkriterium anwendbar, falls 3.6.3 Die Zahl π n+ n + )! n n )! + 4 4!. für alle n n + )n für alle n 6, also falls 0 6 3 3! sin für 0 6 Der Cosinus besitzt eine kleinste positive Nullstelle: π. Es gilt: Es ist, 4 < π < 6, 6 cos + 4 4. Die Nullstellen von + 4 4 sind ± 6. Es ist cos 0, cos) > 0 in [0, ] und es ist cos 6 ) 0. Nach dem Zwischenwertsatz hat cos eine kleinste positive Nullstelle π, die in, 6 ) liegt. 3.6.4 Einfache Eigenschaften von Sinus und Cosinus a) sin + cos b) cosπ/) 0, sinπ/) c) sin + π) sin, cos + π) cos d) sin + π) sin, cos + π) cos sin cos) e) lim 0, lim 0 67

3 Grenzwert und Stetigkeit a) Setze y in iii): b) cos π 0 sin π cos 0 cos cos ) sin sin ) cos + sin oder ) nach a), aber sin 3 6 > für π. c) sin + π ) sin cos π + cos sin π cos cos + π ) sin sin π sin sin + π) cos + π ) sin cos + π) sin + π ) cos d) sin + π) sin + π) sin. cos genauso. e) sin cos) ) n n+)! n + für 0. n ) n n)! n! + 4! für 0. 0 0 - - -π -π/ 0 π/ π -π -π/ 0 π/ π Abbildung 3.3: Sinus und Cosinus 68