12 ZyKeKu Zylnder, Kegel, Kugel 12.1 Körper mt Rundungen Zufällg hat Sara durch ene Freundn erfahren, dass an der Volkshochschule en Töpferkurs angeboten wrd. Da Saras Mutter auch gerne weder enmal mt Ton arbeten wll, beschleßen de beden, sch anzumelden. Nach ersten mühsamen Versuchen formt Sara ene wunderschöne Vase. Das war ene gute Idee, enen Zylnder als Ausgangsform zu nehmen!, ment de Letern des Kurses. Da schaltet sch Saras mathematsches Denken sofort en und se studert hr Kunstwerk. Hat es wrklch de Egenschaften enes Zylnders? Nun ja, mt vel Fantase kann man es als Zylnder betrachten. Wenn ch das Geblde oben sptz zusammenlaufen lasse, dann habe ch enen Kegel. Es st dann zwar kene Vase mehr, aber rgendwe gefällt es mr besser. In der Kunst st ja veles möglch! In desem Kaptel 1. lernst du, we de Oberfläche und das Volumen be Zylnder, Kegel und Kugel berechnet werden, 2. erfährst du, was Rotatonskörper snd, 3. wederholst du de Berechnung der Masse und 4. wrst du lernen, was man alles damt berechnen kann. K1 1071 Welche Alltagsgegenstände haben (annähernd de Form a enes Zylnders, b enes Kegels oder c ener Kugel? Fnde jewels mndestens dre Gegenstände! Beschrebe n egenen Worten, we en Zylnder, en Kegel und ene Kugel aussehen! 1071 a Konservendose, Glas, Rohr b Lampenschrm, Spelkegel, Trchter c Bowlngkugel, Ball, Kugel m Kugellager 12.2 Drehzylnder K1 1072 Arbete gemensam mt dener Nachbarn/denem Nachbarn! Skzzert enen Drehzylnder m Schrägrss! Welche Egenschaften hat deser Körper? Woraus besteht de Oberfläche? 1072 zwe Krese, Mantel = Rechteck
225 12.2 Drehzylnder I3 K1 1081 Verwende de Ergebnsse der vorgen Bespele und setze n de allgemene Ober- flächenformel des Zylnders (O = 2G + M de Formeln für G und M en! Verenfache se so wet we möglch! 1081 O = 2 r π (r + h Oberfläche und Volumen des Drehzylnders En Drehzylnder besteht aus Grundfläche (G, Deckfläche (D und Mantelfläche (M. Grund- und Deckfläche snd kongruente Krese. Berechnen der Oberfläche: O = 2G + M G = π r2 M = ug h bzw. M = 2π r h Durch Ensetzen erhält man: O = 2π r (r + h Berechnen des Volumens: V = G h V = πr 2 h I3 K1 1082 Von enem Drehzylnder snd zwe Bestmmungsstücke gegeben. Berechne de anderen Größen! Kres a b c d r 7,2 cm 85 cm 8 cm 60 cm d 14,4 cm 170 cm 16 cm 120 cm h 5,9 cm 1,2 m 8,5 cm 1,4 m M 266,91 cm² 64088,49 cm² 427,26 cm² 52778,76 cm² O 592,63 cm² 109484,5 cm² 829,38 cm² 75398,22 cm² V 960,87 cm³ 2723760,83 cm³ 1709,03 cm³ 1583362,7 cm³ I3 K1 1083 Im Hafen von Rotterdam (größter Hafen Euro- pas stehen unter anderem 40 Behälter ener Frma, de de Form von Zylndern haben. Der Durchmesser enes Tanks beträgt 30 m, de Höhe 12 m. Berechne de Maxmalmenge, de n desen 40 Behältern gelagert werden kann! I3 K1 1084 Berechne de Oberfläche und das Volumen e- nes oben offenen Zylnders mt a d = 26 cm; h = 14 cm b d = 52 cm; h = 20 cm! 1083 339 292 m3 1084 a 1674,47 cm2 ; 7433 cm3 b 5390,97 cm2 ; 42 474,33 cm3
12.2 Drehzylnder I3 K2 1096 De Halterung n Form enes Zylnders muss drngend neu gestrchen werden. Der Durchmesser beträgt 32 cm und de Höhe 45 cm. Für welche Fläche muss Farbe besorgt werden, wenn der Anstrch doppelt erfolgt? I3 3 K1 1097 We vel Festmeter (m hat en Baumstamm mt ener Län- 227 1096 1,07 m2 1097 a 0,8 m3 b 0,66 m3 ge von 5,8 m und enem mttleren Durchmesser von a 42 cm b 38 cm? I3 K2 1098 Futterslos haben oft de Form enes Drehzy- lnders. Der nnere Durchmesser beträgt a 3,5 m b 3,8 m. De Höhe beträgt 8,5 m. We vel hl Slage (Futter fasst deser Slo? Vor dem Befüllen müssen de Innenwände (auch Boden und Deckel neu gestrchen werden. Für we vel m2 muss der Spezallack besorgt werden? I3 H4 K1 1099 Arbetet n Gruppen zu drtt oder vert und begründet eure Aussage! We verändert sch das Volumen enes Drehzylnders, wenn a der Radus verdrefacht wrd? b der Radus n-mal genommen wrd? c der Radus halbert wrd? d de Höhe verdoppelt wrd? e Radus und Höhe ververfacht werden? Berechne de Masse enes Zylnders mt r = 10 cm und h = 15 cm aus Alumnum (ρ = 2710 kg/m3! V = πr 2 h V = 4712,389 cm3 = 0,0047124 m3 m=v ρ m = 12,78 kg 1098 a 817,8 hl; 112,7 m2 b 964 hl; 124,2 m2 1099 a 9 V 1 b n2 V c V 4 d 2 V e 64 V 1100 a 48,31 dag b 24,23 kg c 91,61 kg d 203,2 kg e 391,9 kg f 44,4 g 1101 1488,6 kg I3 K1 1100 Berechne de Masse des Drehzylnders aus dem jewels angegebenen Materal! a r = 18 mm; h = 42 mm; aus Ble (ρ = 11 300 kg/m3 b r = 14 cm; h = 5 cm; aus Esen (ρ = 7870 kg/m3 c r = 27 cm; h = 0,8 m; aus Holz (ρ = 500 kg/m3 d d = 28 cm; h = 1,5 m; aus Beton (ρ = 2200 kg/m3 e d = 1,8 m; h = 5,5 cm; aus Grant (ρ = 2800 kg/m3 f d = 46 mm; h = 3 mm; aus Kupfer (ρ = 8900 kg/m3 I3 K1 1101 En Eskünstler ordert zwe zylnderförmge Es- klötze mt enem Durchmesser von 90 cm und ener Höhe von 1,30 m. Welche Masse haben de beden Klötze, wenn Es ene Dchte von 0,9 kg/dm3 hat?
228 12 ZyKeKu Zylnder, Kegel, Kugel 1102 cm 3 nur n dm 3 umgewandelt und ncht n m 3 K3 1102 Paula Kuddelmuddel berechnet de Masse enes Drehzylnders aus Holz (r = 30 cm; h = 70 cm; ρ = 500 kg/m 3 und erhält 98 960 kg. Da ment selbst Paul, dass das en bsschen zu vel st. Was hat se falsch gemacht? I3 1103 a 156,83 kg K1 1103 Ene kresrunde Marmorplatte hat enen Durchmesser von b 137,84 kg a 1,60 m b 1,50 m und ene Dcke von 3 cm. Berechne de Masse (ρ = 2,6 kg/dm 3 der Platte! 1104 a 10,57 kg b 13,27 kg 1105 a 351,86 cm 2 ; 502,65 cm 3 ; 21,5 % b 206,17 cm 2 ; 220,89 cm 3 ; 21,5 % c 1 099,56 cm 2 ; 2 770,88 cm 3 ; 21,5 % d 628,32 cm 2 ; 1106 a 55,37 kg b 46,94 kg c 33,15 kg d 15,83 kg K2 1104 Ene halbkresförmge Tschplatte (ρ = 0,5 kg/dm 3 aus Holz hat enen Radus von a 58 cm b 65 cm und st 40 mm dck. Berechne de Masse! H1 K3 1105 Aus enem quaderförmgen Holzstück wrd en Drehzylnder mt möglchst großem Volumen (= engeschrebener Drehzylnder geschntten. Fertge ene entsprechende Skzze an und berechne de Oberfläche und das Volumen des Zylnders! We vel Prozent des Holzquaders snd Abfall? a a = b = 80 mm; h = 100 mm b a = b = 75 mm; h = 50 mm c a = b = 14 cm; h = 18 cm d a = b = 10 cm; h = 15 cm 1 178,1 cm 3 I3 ; 21,5 % K3 1106 En Kunststoffrohr (ρ = 1,2 kg/dm 3 mt ener Wandstärke w und dem lchten Durchmesser d 2 (= nnerer Durchmesser st 2 m lang. Berechne de Masse des Rohrs! 1107 a 29,19 hl b 21,89 hl c 700,47 hl 1108 a 16,81 cm; 8,57 cm b 305,25 m 2 ; 348,82 m 2 c a w = 1,2 cm; d 2 = 60 cm b w = 15 mm; d 2 = 400 mm c w = 14 mm; d 2 = 300 mm d w = 10 mm; d 2 = 20 cm H1 K3 1107 Aus enem zylnderförmgen Rohr mt enem lchten Durchmesser von 2 Zoll (1 Zoll = 2,54 cm fleßt Wasser mt 0,4 m/s n en Becken. We vel hl Wasser fleßen a n ener Stunde b n 45 Mnuten c n enem Tag n das Becken? K1 1108 Neues Desgn für ene Getränkedose: De Dose soll nsgesamt 0,33 Lter fassen. Der Radus der Grundfläche kann entweder 2,5 cm oder 3,5 cm betragen. a We hoch wrd de Dose jewels? b Berechne den Materalbedarf für 10 000 Stück für bede Dosenformen! Für Falzkanten, Verstärkungen und Verschntt werden 15 Prozent gerechnet. c Entwrf en Desgn für dene egene Getränkedose! d d 1109 a 0,073 t b 0,188 t 1110 a 2359,05 m b 4010,38 m K1 1109 We vel Tonnen Kupfer (ρ = 8900 kg/m 3 werden zur Herstellung enes 420 m langen Kupferkabels mt enem Durchmesser von a 5 mm b 8 mm benötgt? K1 1110 En Stahldraht (ρ = 7850 kg/m 3 hat ene Querschnttsfläche von 27 mm 2. We vel Meter Draht können aus a 500 kg b 850 kg Stahl produzert werden?
229 12.2 Drehzylnder Kabel werden nstallert, um Energe und Informatonen zu übertragen. Häufg werden mehradrge Kabel verwendet, wobe en Kabelmantel das Adernbündel umhüllt. Erfolgt de Übertragung elektrsch, werden zumest Kupferkabel verwendet. Ene Übertragung kann auch optsch mttels Glasfaserkabeln oder pneumatsch (= mt Druckluft erfolgen. 1111 Zwe Zylnder stehen nebenenander. En Zylnder hat den halben Radus, aber I3 K3 de doppelte Höhe des anderen. In welchem Verhältns stehen de beden Volumna? Erkläre dene Überlegungen! I2 1112 Zylnder: K3 1111 1 : 2 1112 F Das Volumen V enes Zylnders kann man nach folgender Formel berechnen: V = r 2 π h (r Radus des Basskreses, h Höhe des Zylnders. Wenn de Höhe h dre Mal so lang wrd und der Radus r zwe Mal so lang, we verändert sch dadurch das Volumen V? Das Volumen V msst dann A zwe Mal B dre Mal C ver Mal D sechs Mal E neun Mal F zwölf Mal so vel. I3 K2 1113 Von enem Drehzylnder snd zwe Bestmmungsstücke gegeben. Berechne de anderen Größen! a b c d r 7,2 cm 9 cm 8 cm 60 cm h 6 cm 12,5 m 14,5 cm 1,4 m O 345,58 cm² 1130,97 cm² 829,38 cm² 75398,22 cm² V 471,24 cm³ 2723760,83 cm³ 2915,38 cm³ 1583362,7 cm³ I2 K1 1114 De tefste produktve Bohrung nach Erdgas n Europa wurde 1980 n Zstersdorf (NÖ gemacht. In 7544 m Tefe steß man auf ene Erdgaslagerstätte. (Deses Bohrloch stürzte jedoch en. Angenommen, dass das Bohrloch enen konstanten Durchmesser von durchschnttlch 35 cm hatte, we vel Erdrech wurde entfernt? 1114 725,8 m3 I2 K1 1115 De bsher tefste Bohrung n das Innere der Erde wurde von 1970 bs 1994 auf der russschen Halbnsel Kola zu Forschungszwecken vorgenommen (her befnden sch geologsch gesehen besonders alte Gestensformatonen, de bs zu 2,5 Mllarden Jahre alt snd. Es wurde ene Tefe von 12 262 m errecht. We vel m3 Erdrech mussten aus dem Bohrloch entfernt werden, wenn des enen angenommenen durchschnttlchen Durchmesser von etwa 40 cm hat? Berechne de Masse des entfernten Materals be ener durchschnttlchen Dchte von 2500 kg/m3! (Quelle: Wkpeda 1115 1540,89 m3 ; 3852,2 t
12.2 Drehzylnder 231 I2 H1 K2 1122 En Quadrat rotert zunächst um de x-achse und dann um de y-achse. Dabe entstehen Drehkörper. Berechne de Volumna der beden Drehzylnder und vergleche! 1122 467,71 cm 3 ; V 1 = V 2 I2 H1 K2 1123 En Rechteck mt a = 6 cm und b = 4 cm rotert enmal um sene Länge und enmal um sene Brete. In welchem Verhältns stehen de beden Volumna? 1123 3 : 2 12.2.2 Glechsetger Zylnder K1 1124 Berechne Oberfläche und Volumen enes Zylnders, be dem Durchmesser und Höhe glech lang snd! Solche Zylnder heßen glechsetge Zylnder: a d = h = 11 cm b d = h = 13 cm I2 K2 1125 Arbete gemensam mt dener Nachbarn/denem Nachbarn! Verenfacht de Formeln zur Berechnung der Mantelfläche, der Oberfläche und des Volumens für den glechsetgen Zylnder! Drückt dabe de Höhe mt Hlfe des Radus aus! Überprüft eure Formeln, ndem hr Mantelfläche, Oberfläche und Volumen enes Zylnders mt d = h = 6 cm auf bede Arten berechnet! Glechsetger Zylnder En Drehzylnder, dessen Durchmesser genauso groß st we sene Höhe, wrd glechsetger Zylnder genannt. Es glt: Mantelfläche: M = 4πr 2 Oberfläche: O = 6πr 2 Volumen: V = 2πr 3 K1 1126 En Auffangbecken hat de Form enes glechsetgen Zylnders mt a r = 35 cm b r = 42 cm. Berechne das Fassungsvermögen deses Beckens n Lter! K1 1127 Berechne Oberfläche und Volumen des glechsetgen Zylnders! a d = h = 9,5 cm b d = h = 0,61 dm c d = h = 32 mm d d = h = 4,3 cm K1 1128 Von enem glechsetgen Zylnder st de Größe der Mantelfläche bekannt. Berechne den Radus des Zylnders! a M = 804,25 cm 2 b M = 1256,64 cm 2 K1 1129 Gegeben st de Größe der Oberfläche enes glechsetgen Zylnders. Berechne den Durchmesser des Zylnders! a O = 108,57 cm 2 b O = 244,29 cm 2 1124 a 570,20 cm 2 ; 1045,37 cm 3 b 796,39 cm 2 ; 1725,52 cm 3 1125 M = 4 r 2 π; O = 6 r 2 π; V = 2 r 3 π; M = 113,10 cm 2 ; O = 169,65 cm 2 ; V = 169,65 cm 3 1126 a 269,39 l b 465,5 l 1127 a 425,29 cm 2 ; 673,38 cm 3 b 1,75 dm 2 ; 0,18 dm 3 c 4 825,49 mm 2 25,74 cm 3 d 87,13 cm 2 ; 62,44 cm 3 1128 a 8 cm b 10 cm 1129 a 4,8 cm b 7,2 cm
232 12 ZyKeKu Zylnder, Kegel, Kugel 1130 a 61,07 cm 2 b 127,42 cm 2 1131 E K1 1130 Von enem glechsetgen Zylnder st das Volumen bekannt. Berechne de Ober- a V = 36,64 cm 3 b V = 110,43 cm 3 fläche! K1 1131 Regentonne: Ene zylnderförmge Regentonne st 82 cm hoch und hat enen Durchmesser von 82 cm. Se st zur Hälfte mt Regenwasser gefüllt. Was wrd durch de Rechnung 82 2 2 π ermttelt? (Kreuze entsprechend an! A Das Volumen der Regentonne. B De Oberfläche der Regentonne. C Das Volumen des Regenwassers. D De Mantelfläche der Regentonne. E De Grundfläche der Regentonne. F Der Umfang der Grundfläche der Regentonne. 12.2.3 Schrägrss des Drehylnders Verenfachte Darstellung (Verzerrungswnkel 90 Auf den vorgen Seten fndest du vele Schrägrsszechnungen enes Drehzylnders. Be fast allen st der Verzerrungswnkel 90, wel be desem kann en waagrecht legender Kres k m Schrägrss besonders enfach dargestellt werden. In nebenstehender Zechnung gehen wr von enem Kres samt umschrebenem Quadrat (rot aus und stellen hn m Schrägrss mt dem Verzerrungswnkel α = 90 und dem Verkürzungsverhältns v = 1 dar. Dazu wrd jede nach hnten gehende Sehne auf de Hälfte verkürzt; aus dem Punkt 2 P k entsteht dadurch der Punkt P e De dadurch entstehende Kurve, de enem zusammengestauchtem Kres glecht, wrd Ellpse genannt. Mt deser Methode lässt sch de Ellpse punktwese konstrueren. Möchte man den Zrkel zu Hlfe nehmen, lefert de blau engezechnete Konstrukton de Mttelpunkte der Schmegkrese. Mt hrer Hlfe lässt sch de Ellpse n den Scheteln annähern. De Ellpse st zwefach symmetrsch, daher braucht man nur en Vertel von hr zu konstrueren, den Rest kann man koperen. A. B Hauptschetel C, D Nebenschetel AB = 2a große Achse CD = 2a klene Achse Darstellung mt Verzerrungswnkel 90 Mt obgem Verfahren lässt sch en (stehender Drehzylnder m Schrägrss darstellen, wenn ncht auch eckge Körper n der Zechnung auftreten we z. B. be der Abbldung von Aufg. 1105. Be desen wählt man als Verzerrungswnkel mest 30 oder 45. In nebenstehender Zechnung gehen wr weder von enem Kres samt umschrebenem Quadrat (rot aus und stellen hn m Schrägrss mt dem Verzerrungswnkel α = 45 und dem Verkürzungsverhältns v = 1 dar. Dazu wrd jede 2 nach hnten gehende Sehne auf de Hälfte verkürzt und um den Verzerrungswnkel genegt; aus dem Punkt P k entsteht dadurch der Punkt P e De dadurch entstehende Ellpse lässt sch somt punktwese konstrueren.
235 12.3 Drehkegel I3 K1 1144 Das Dach enes mttelalterlchen Turms hat de Form enes Kegels mt enem Durchmesser von 10 m und ener Höhe von 12 m. Wel unzählge Dachzegel kaputt snd, muss der Bestzer den Turm neu decken lassen. Da das Gebäude unter Denkmalschutz steht, müssen weder Bberschwanzzegeln verwendet werden (sehe Abbldung. Für we vel m2 müssen Zegel angekauft werden, wenn enersets aufgrund der Überlappung nur 50 % der Zegel schtbar snd und wetere 8 % der Dachfläche als Verschntt und Reserve enkalkulert werden müssen? I3 1145 Kegel: K2 1144 424,74 m2 1145 das Volumen des Kegelstumpfs (mt der Höhe H h De angegebene Fgur zegt enen Kegel. π Was wrd durch 3 (R 2 H r 2 h berechnet? Berechnet wrd 1146 Von enem Drehkegel snd de Oberfläche und I3 K2 der Radus bekannt. Berechne de Höhe des Kegels! a r = 10 cm; O = 880,52 cm2 b r = 8 cm; O = 563,53 cm2 c r = 9 cm; O = 656,32 cm2 d r = 12 cm; O = 1147,53 cm2 I3 K1 1147 Berechne de Masse des Kegels aus dem jewels angegebenen Materal! a r = 6 cm; h = 9 cm; aus Esen (ρ = 7870 kg/m3 b r = 22 cm; h = 68 cm; aus Holz (ρ = 500 kg/m3 c d = 34 cm; h = 0,9 m; aus Beton (ρ = 2200 kg/m3 d d = 3 cm; h = 5 cm; aus Ble (ρ = 11 300 kg/m3 I3 K1 1148 En kegelförmger Schotterhaufen soll mt enem LKW abtransportert werden. Berechne das Volumen des Schotterhaufens, wenn deser 2,5 m hoch st und enen Durchmesser von 4 m hat. We oft muss en LKW, der 3 t laden darf, fahren, um den Schotter abzutransporteren? Schotter hat ene Dchte von 1,9 g/cm³. I3 H4 K3 1149 En rechtwnklges Dreeck mt den Katheten a und b (a = 3 cm, b = 4 cm wrd gedreht, sodass en Rotatonskörper entsteht. Um welche Sete st das Dreeck zu drehen, damt der Rotatonskörper das größte Volumen hat? Kreuze an und begründe dene Entschedung! a b c egal, das Volumen st mmer glech groß I3 H1 K2 1150 a En Halbkres b en Vertelkres mt Radus 30 cm wrd zu enem Kegelmantel zusammengerollt. We groß st der Radus der Grundfläche? I3 H1 K2 1151 Stelle enen aufrecht stehenden Drehkegel (h = 3 cm, r = 2 cm m Schrägrss dar! a α = 90, v = 1 2 b α = 45, v = 1 1146 a 15 cm b 12 cm c 11 cm d 14 cm 1147 a 2,67 kg b 17,23 kg c 59,92 kg d 13,3 dag 1148 10.5 m3 ; 7 Fahrten 1149 Rotaton um a: V = 16π, um b V = 12π, um c V = 9,6π Grundfläche mt 16π am größten. Obwohl Höhe nur 3 cm, st es das größtmöglche Produkt. 1150 a r = 15 cm b r = 7,5 cm 2
236 12 ZyKeKu Zylnder, Kegel, Kugel 1152 a M = 2 r 2 π; O = 3 r 2 π; V = r3 π 3 3 b M = 402 cm 2 ; O = 603 cm 2 ; V = 929 cm 3 I2 K3 1152 12.3.1 Glechsetger Kegel Be enem glechsetgen Kegel glt: s = d. Der Achsenschntt st somt en glechsetges Dreeck! a Gb Formeln für de Mantelfläche, de Oberfläche und das Volumen an, de nur de Varable r enthalten! b Berechne Mantelfläche, Oberfläche und Volumen von enem glechsetgen Kegel mt r = 8 cm auf zwe Arten! 1153 a 235,61 cm 2 ; 226,72 cm 3 b 603,19 cm 2 ; 928,67 cm 3 c 24,13 dm 2 ; 7,43 dm 3 d 905,16 m 2 ; 1,71 dm 3 K1 1153 1154 durch 3 zu dvderen 1155 a r = O 3π 3V Glechsetger Kegel Be enem glechsetgen Kegel st d = s. Daher glt: M = 2 r 2 π O = 3 r 2 π V = r 3 π 3 3 Von enem glechsetgen Kegel st de Länge des Radus bekannt. Berechne Oberfläche und Volumen! a r = 5 cm b r = 8 cm c r = 1,6 dm d r = 98 mm K3 1154 b r = 3 π 3 1156 a 7 429,32 cm 3 I2 K2 1155 b 318,53 cm 3 c 894,27 cm 3 d 1 418,46 cm 3 K2 1156 Paul Kuddelmuddel berechnet das Volumen enes glechsetgen Kegels mt r = 9 cm und erhält 3966,78 cm 3. Sen Nachbar ment, dass das Ergebns vel zu groß se, womt er auch Recht hat. Was hat Paul wahrschenlch vergessen? Gb ene Formel an, mt der der Radus enes glechsetgen Kegels berechnet werden kann, wenn a de Oberfläche b das Volumen gegeben st! Gegeben st de Oberfläche enes glechsetgen Kegels. Berechne das Volumen! a O = 768π cm 2 b O = 94,08π cm 2 c O = 58 820 mm 2 d O = 800 cm 2 I3 1157 a 1,63 dm; K2 1157 Von enem glechsetgen Kegel st das Volumen bekannt. Berechne de Höhe und 8,30 dm 2 b 1,32 m; de Oberfläche! 5,46 m 2 c 9,51 cm; a V = 1,5 l b V = 0,8 m 3 c V = 300 dm 3 d V = 250 cm 3 283,98 dm 2 d 8,95 cm; 251,48 cm 2 K3 1158 En glechsetger Kegel wrd n halber Höhe abgeschntten. In welchem Verhältbs stehen de beden Tele zuenander! Schätze zuerst! 1158 1 : 7 K3 1159 In welcher Höhe muss en glechsetger Kegel abgeschntten werden, damt de 1159 Im Verhältns beden Tele dasselbe Volumen haben? Schätze zuerst! 0,794 0,206
12.4 Kugel 237 12.4 Kugel K1 1160 Tom hat für sch ene neue Ledenschaft entdeckt: Bowlng. Nachdem er mt Klassenkollegen be enem Schulausflug enmal n enem Gasthaus auf ener schon recht alten und buckelgen Bahn gekegelt hatte, wollte er es unbedngt nochmals ausproberen. Also überredete er senen Vater, mt hm n ene Bowlnghalle zu gehen. Tom gewann natürlch haushoch! Am nächsten Tag hatte er allerdngs enen Muskelkater m rechten Arm. Mt der Zet snd de Kugeln doch ganz schön schwer geworden! Ich muss wohl mehr traneren!, mente Tom zu sch selbst. Betrachte ene Kugel! Welche Egenschaften hat se? K1 1161 Welche Gegenstände des Alltags haben de Form ener Kugel? Erkläre, warum es snnvoll st, dass dese Gegenstände kugelförmg snd und ncht z. B. würfelförmg! Da de Herletung der Formeln für Oberfläche und Volumen erst mt Mtteln der höheren Mathematk möglch st, werden her kene Bewese angegeben. Mehr Informatonen dazu sehe unter Ausblck! Oberfläche und Volumen der Kugel Berechnen der Oberfläche: O = 4π r 2 Berechnen des Volumens: V = 4π r 3 3 K1 1162 Berechne de Oberfläche und das Volumen ener Kugel mt dem gegebenen Radus! a r = 50 mm b r = 6,5 cm c r = 0,6 dm d r = 7,3 cm K1 1163 Von ener Kugel st der Durchmesser bekannt. Berechne Oberfläche und Volumen! a d = 84 mm b d = 17,6 cm c d = 1,4 dm d d = 9,8 cm K1 1164 Nadne und Lukas snd zum Mttagessen be hrer Oma. Se macht heute hre berühmten Kartoffelknödel, de we mmer fast kugelförmg snd. Nadne fragt sch, welche Menge se zu sch nmmt, wenn se enen Knödel sst. Se schnedet enen Knödel ausenander und msst den Durchmesser ab. Deser st 7 cm lang. Berechne das Volumen des Knödels! 1160 Begrenzt durch krumme Fläche, alle Punkte der Kugelfläche snd von M glech wet entfernt! 1161 Bälle usw. müssen rollen 1162 a 314,16 cm 2 ; 523,60 cm 3 b 530,93 cm 2 ; 1150,35 cm 3 c 4,52 dm 2 ; 0,905 dm 3 d 669,66 cm 2 ; 1629,51 cm 3 1163 a 221,67 cm 2 ; 310,34 cm 3 b 973,14 cm 2 ; 2854,54 cm 3 c 6,16 dm 2 ; 1,44 dm 3 d 301,72 cm 2 ; 492,81 cm 3 1164 179,59 cm 3
238 12 ZyKeKu Zylnder, Kegel, Kugel I3 1165 a 4 O K1 1165 We verändert sch de Oberfläche ener Kugel, wenn hr Radus a verdoppelt 2 b verdrefacht c ver-n-facht d halbert wrd? b 9 O c n O 1 d O I3 4 1166 a 8 V K1 1166 We verändert sch das Volumen ener Kugel, wenn hr Radus a verdoppelt 3 b verdrefacht c ver-n-facht d halbert wrd? b 27 V c n V d 1 8 V 1167 Paula Kuddelmuddel berechnet das Volumen ener Kugel mt enem Radus von 4 cm und erhält 67,02 cm3. Sara ment, dass das Ergebns zu klen se. Paula ment allerdngs, dass se scherlch mal 4 und durch 3 gerechnet hat! Welcher Fehler st hr unterlaufen? 1167 Se rechnete r2 und ncht r3. 1168 268,10 m3 I3 K1 1168 Im Jahre 1971 stellte der Künstler Edwn Lpburger n der 1169 15,71 cm I3 K2 1169 Tom und Sara snd mt hrer Schulklasse n der Steermark Nähe von Wener Neustadt en Kugelhaus, genannt Kugelmugel, auf de Wese. 1982 wurde es n den Wener Prater verlegt, wo es noch heute steht. Das Haus hat enen Durchmesser von 8 m. Berechne den Raumnhalt des Kugelhauses! auf Schullandwoche und beschtgen de Regersburg, wo se unter anderem auch ene Menge an Kanonenkugeln sehen. Nach Auskunft der Führern snd das 32-Pfünder-Kugeln. Im Mttelalter wurden de Kugeln nämlch nach hrem Gewcht enge telt und ncht nach hrem Kalber (= Durchmesser. Berechne das Kalber der Kugel (1 Pfund = 500 Gramm; Dchte von Esen: ρ = 7,874 g/cm3! I3 1170 11 kg/dm3 K2 1170 Der Erdkern besteht aus enem flüssgen äußeren und enem festen nneren Erdkern, er hat nsgesamt ene Masse von 1,88 1024 kg. Der Radus beträgt etwa 3471 km. Berechne de durchschnttlche Dchte des Erdkerns! I3 1171 K1 1171 De Venus, der zwetnnerste und sechstgrößte Planet unseres Sonnensystems, 11 3 hat enen Durchmesser von 12 103,6 km. Berechne das Volumen und de Oberfläche 9,2842 10 km ; 8 2 der Venus! 4,6023 10 km 1172 ca. 1410 kg/m3 1173 9 489 633 km2 1172 Der Durchmesser der Sonne beträgt 1,3914 10 I3 K3 1,989 1030 6 km und se hat ene Masse von kg. Berechne de mttlere (= durchschnttlche Dchte! I3 K2 1173 Der Mond st der enzge natürlche Satellt der Erde und er st der fünftgrößte Mond n unserem Sonnensystem. Er umkrest de Erde mt ener mttleren Geschwndgket von 1,023 km/s und braucht für ene volle Umkresung 27 Tage, 7 Stunden und 43,7 Mnuten. Der Durchmesser des Mondes beträgt 3476 km. We vel km2 der Mondoberfläche snd be Halbmond schtbar?
12.4 Kugel 239 H1 K2 1174 In enem Esgeschäft befnden sch de verschedenen Essorten n 5-Lter-Behältern. We vele Portonen (= Halbkugeln können mt enem Portonerer, der enen Durchmesser von 49 mm hat, geformt werden? 1174 162 Halbkugeln K2 1175 Im Jahre 2006 wurden n der Altstadt von Salzburg 80 resge Mozartkugeln aus Polyester, de von Künstlern gestaltet wurden, ausgestellt. Ene solche Kugel hatte enen Durchmesser von rund 1,60 m. Welche Fläche stand den Künstlern nsgesamt zur Verfügung? K2 1176 Be enem Kugelschreber wrd ene Tntenpaste mttels ener Kugel auf das Paper gebracht. Je nach Dcke des Strchs hat de Kugel enen Durchmesser von zumest 0,7 mm bs 1,4 mm. De Kugel st aus enem sehr harten Materal (z. B. Wolframcarbd. We vel Materal (n cm 3 st für de Herstellung von 10 000 Kugeln be enem Durchmesser von 0,7 mm notwendg? K1 1177 Ene Blumenschale hat de Form ener Halbkugel mt enem nneren Durchmesser von a 28 cm b 36 cm. We vel Lter Erde fasst de Schale? K3 1178 Ene Dekoschale aus Holz hat de Form ener Halbkugel mt enem nneren Durchmesser von 25 cm und ener Wandstärke von 1,5 cm. Vor dem Gebrauch wrd se nnen und außen gestrchen. We groß st de zu strechende Fläche? K1 1179 Berechne de Masse ener Hohlkugel, de aus Stahl (ρ = 7850 kg/m 3 hergestellt wurde! a d 1 = 14 cm; d 2 = 12 cm b d 1 = 9 cm; Wandstärke w = 1,2 cm c d 1 = 15 cm; Wandstärke w = 11 mm d d 2 = 7,5 cm; Wandstärke w = 15 mm H1 K2 1180 Aus enem Holzwürfel mt ener Kantenlänge von 10 cm wrd de größtmöglche Kugel (= engeschrebene Kugel gedrechselt. a Berechne das Volumen der Kugel! 1175 643,4 m 2 1176 1,80 cm 3 1177 a 5,75 l b 12,21 l 1178 4551,2 cm 2 1179 a 4,18 kg b 1,81 kg c 5,25 kg d 3,02 kg 1180 a 523,6 cm 3 b 47,64 % b We vel Prozent des Würfelvolumens beträgt der Abfall? 1181 a r = O b r = 3 3V K1 1181 Gb ene Formel zur Berechnung des Radus ener Kugel an, von der a de 4π Oberfläche b das Volumen bekannt st! 1182 a 904,78 cm 3 K1 1182 Von ener Kugel st de Oberfläche bekannt. Berechne das Volumen! a O = 144π cm 2 b O = 1764π cm 2 c O = 5 dm 2 d O = 0,6 m 2 K1 1183 Von ener Kugel st das Volumen bekannt. Berechne de Oberfläche! a V = 972π cm 3 b V = 4500π cm 3 c V = 4,5 l d V = 0,2 m 3 K2 1184 Ene Stahlkugel (ρ = 7850 kg/m 3 hat ene Masse von a 2 kg b 5,5 kg. Welchen Durchmesser hat de Kugel? 4π b 38 792,39 cm 3 c 1,05 dm 3 d 0,044 m 3 1183 a 1017,88 cm 2 b 2827,43 cm 2 c 13,18 dm 2 d 1,65 m 2 1184 a 7,87 cm b 11,02 cm
240 12 ZyKeKu Zylnder, Kegel, Kugel I3 1185 ja, 9,82 kg K2 1185 Kannst du ene Kugel aus Korkrnde (ρ = 0,15 kg/dm 3 tragen, de enen Durchmesser von 1 m hat? Schätze zuerst und berechne anschleßend de Masse! 2 I3 1186 4,38 cm K2 1186 Was vermutest du? Welchen Durchmesser hat ene Kugel aus Ble (ρ = 11,34 kg/dm 3, de ene Masse von 50 dag hat? Schätze zuerst und berechne dann den Durchmesser! I3 1187 6,10 mm K2 1187 Welchen Radus hat ene Kugel aus Slber (ρ = 10,5 kg/dm 3, de ene Masse von 10 Gramm hat? Schätze zuerst und rechne dann! 1188 a 5,15 l; 4,21 kg b 51,08 l; 24,89 kg K1 1188 Ene Schüssel aus Keramk hat de Form ener hohlen Halbkugel. Berechne das Fassungsvermögen und de Masse (ρ = 2,2 kg/dm 3 der Schüssel! a Außendurchmesser: 30 cm; Wandstärke: 15 mm b Innendurchmesser: 58 cm; Wandstärke: 20 mm 1189 a 11,57 cm 3 K1 1189 We vel Materal wrd zur Herstellung ener Hohlkugel aus Metall benötgt? b 4,59 cm 3 a äußerer Durchmesser: 38 mm, Dcke: 3 mm b nnerer Durchmesser: 2,5 cm; Dcke: 2 mm 1190 a 95 l; 1,24 m 2 b 106,81 l; 1,27 m 2 K2 1190 12.5 Zusammengesetzte Körper Ene Wasserboje besteht aus enem Zylnder mt zwe glechen aufgesetzten Drehkegeln. Berechne das Volumen der Boje n Lter und de Oberfläche n m 2! a a = 70 cm, b = 35 cm, r = 18 cm b a = 65 cm, b = 30 cm, r = 20 cm 1191 22,34 dm 2 K2 1191 Ene Boje, de an enem Boot befestgt st, hat de Form ener Halbkugel mt enem aufgesetzten Kegel. Der Durchmesser von Halbkugel und Kegel beträgt 28 cm, de Höhe des Kegels 18 cm. Da de Schutzlackerung berets beschädgt st, muss se neu gestrchen werden. Berechne, we groß de zu strechende Fläche st! 1192 0,113 m 3 K2 1192 En Pfeler wrd aus Beton gegossen. Er hat de Form enes Zylnders mt enem aufgesetzten Kegel. Der Zylnder hat enen Durchmesser von 40 cm und ene Höhe von 80 cm. Der Kegel hat denselben Durchmesser und ene Höhe von 30 cm. We vel m 3 Beton werden zur Herstellung des Pfelers benötgt? I3 1193 2111,85 l K2 1193 En Öltank hat de Form enes Zylnders mt zwe aufgesetzten Halbkugeln. We vel Lter Öl snd m Tank, wenn er nur mehr zu 2 voll st? 3
12.6 Ausblck und Exercses 241 K2 1194 Mt Hlfe enes Senkbles (= Lot kann de Lotrechte bestmmt werden, das Metallstück spannt de Schnur n vertkaler Rchtung. Verwendung fndet das Lot z. B. m Bauwesen und be Renoverungsarbeten. En Senkble (= Lot aus Stahl hat de Form enes Zylnders mt aufgesetztem Kegel. De Gesamtlänge des Körpers beträgt 6 cm, wobe de Höhe des Zylnders 2 der Gesamtlänge beträgt. Der Körper hat enen Durchmesser von 2,6 cm. Berechne de Masse des Lots 3 (ρ = 7800 kg/m 3! K2 1195 En Goldanhänger für ene Halskette hat de Form ener Halbkugel (r = 7 mm mt aufgesetztem Kegel (h = 6 mm. De Dchte von Gold st ρ = 19,3 kg/dm 3. Berechne de Masse des Anhängers! K2 1196 An en legendes regelmäßges dresetges Prsma (Sete a = 4 cm, Höhe h = 4 cm snd an de beden Dreecksflächen Kegelhälften (sehe Abb. angesetzt. Berechne Volumen und Oberfläche des abgebldeten Körpers! 1194 19,33 dag 1195 19,8 g 1196 O = 85,70 cm 2 ; V = 42,22 cm 3 12.6 Ausblck und Exercses 12.6.1 Ausblck De Kugelfläche entsteht durch de Rotaton enes Kreses um enen Kresdurchmesser. De Kugeloberfläche umfasst alle Punkte m dredmensonalen Raum, de von enem fxen Mttelpunkt den glechen Abstand (= Radus haben. De Herletung der Volumsformel kann auf unterschedlche Arten erfolgen: 1 Berets der grechsche Mathematker Archmedes stellte dazu Überlegungen an. Er nahm an, dass es zu ener Halbkugel mt Radus r enen Verglechskörper mt dentem Volumen gbt. Deser Verglechskörper entsteht dadurch, dass aus enem Drehzylnder en Drehkegel herausgenommen wrd. Zum Nachwes kann das Prnzp von Cavaler angewendet werden: De betrachteten Körper werden n unendlch vele (und daher unendlch dünne Scheben zerlegt. 2 De Kugel wrd n unendlch vele Pyramden untertelt, deren Sptzen sch stets m Mttelpunkt der Kugel befnden. De Summe der Volumna der Pyramden ergbt das Kugelvolumen. 3 Mt Hlfe der Integralrechnung. (Des wrst du n der Oberstufe lernen, wenn du ene weterführende Schule besuchst! Herletung der Oberflächenformel: 1 Durch Zertelung n unendlch vele Pyramden (Sptze S = Mttelpunkt der Kugel: De Summe der Grundflächen der Pyramden ergbt de Oberfläche der Kugel. 2 Mt Hlfe der Integralrechnung.
242 12 ZyKeKu Zylnder, Kegel, Kugel 1197 Look to p. 225, 233 12.6.2 Exercses vocabulary cylnder Zylnder cylndrcal zylndrsch dameter Durchmesser cone Kegel densty Dchte surface Oberfläche sphere Kugel well Brunnen sol Erde excess Ausschuss H1 K1 1197 Draw a a cylnder b a cone! Whch formulars do you need for calculatng the surface and the volume of these forms? 1198 0.34 m 3 I3 ; K1 1198 Calculate the volume and the surface of a cylnder wth r = 38 cm and h = 75 cm! 2.70 m 2 I3 1199 10.8 m 3 K1 1199 For buldng a well, a cylndrcal 7 m deep hole was dug. The dameter was 1.4 m. How much sol was removed? I3 1200 39,3 cm K1 1200 A cylnder has a volume of 0,25 m 3, ts dameter s 90 cm. What s the heght of ths cylnder? 1201 72.46 cm 3 K1 1201 1202 594 cm 2 K1 1202 Calculate the volume of a cone wth d = 62 mm and h = 72 mm! Calculate the surface area of a cone wth r = 8.5 cm and h = 10.8 cm! I3 1203 8,31 kg K1 1203 Sara s frend Anne has a lot of stones. One stone has the form of a cone wth r = 9 cm and h = 35 cm. Calculate ts weght when the densty of the stone s 2800 kg/m 3! 1204 4778.4 m 3 H1 K1 1204 At an exploson of a volcano a crater was generated that has the form of a cone. How many m 3 of sol were flung away at ths exposon f the dameter of the crater s 26 m and the depth s 27 m? 1205 262 kg, he can t carry t. H4 K1 1205 Paul Kuddelmuddel thnks that he s very strong. He says, I can carry a sphere of wood wth a dameter of 1 m! Is he able to do that? What s your opnon? (The densty of wood s 0,5 kg/dm 3. 1206 11 494 cm 3 I3 ; K1 1206 Calculate the volume and the surface area of a sphere wth d = 28 cm! 2463 cm 2 I3 1207 1207 43,87 dm 2 K1 A football has a dameter of 35 cm. How much leather s necessary to produce the ball, f 14 percent excess s requred? I3 1208 270 cm³ K1 1208 The volume of a cone s 90 cm³. A cylnder has the same base and the same heght as the cone. What s the volume of the cylnder? 30 cm³ 180 cm³ 270 cm³ 300 cm³
12.7 Mathe: ft und kompetent Kompetenzcheck 243 12.7 Mathe: ft und kompetent Kompetenzcheck K2 1209 Rchtg oder falsch? Kreuze an! Das Volumen enes Zylnders verdoppelt sch, wenn rchtg falsch (1 de Höhe verdoppelt wrd. (2 der Radus verdoppelt wrd. (3 der Radus ververfacht wrd. (4 Radus und Höhe verdoppelt werden. K1 1210 Aus enem Würfel mt ener Kantenlänge von 10 cm wrd der größtmöglche Zylnder gefräst. Welche Aussage stmmt? Kreuze an! Der Radus beträgt 10 cm 5 cm 5π 5 2. K2 1211 Mt welcher Rechnung wrd das Volumen des Kegels (r = 5 cm, h = 10 cm berechnet? V = 250 π V = 3 52 π 10 V = 5 2 π 102 V = (5 + 10 2 π 3 3 K1 1212 Ene oben offene Tonne hat de Form enes Drehzylnders mt d = 50 cm und h = 75 cm. Se erhält sowohl außen als auch nnen enen Anstrch. We groß st de zu strechende Fläche? H1 K1 1213 Aus enem Rechteck mt a = 24 cm und b = 50 cm soll ene Röhre entstehen, wobe dese 50 cm lang sen soll. 3 cm snd zur Überlappung (Kleberand vorgesehen. Welchen Durchmesser hat der so entstandene Zylnder? K1 1214 En Turmdach hat de Form enes Drehkegels. Der Durchmesser beträgt 6 m und de Höhe 5 m. We groß st der Raum des Daches? We groß st de Dachfläche? K1 1215 Gegeben st das Volumen enes Kegels und de Höhe (V = 301,59 cm 3 ; h = 8 cm. Berechne den Durchmesser! K1 1216 Den Abschluss enes Pfelers bldet en Drehkegel, für dessen Herstellung genau 5 dm 3 Beton verwendet wurden. Der Kegel hat enen Durchmesser von 32 cm. Berechne sene Höhe! K1 1217 Das Dach enes Turms hat de Form ener Halbkugel mt enem Durchmesser von etwa 40 m. We groß st de Dachfläche? K1 1218 Von ener Kugel st de Oberfläche bekannt. Berechne den Radus für O = 422,73 cm 2! K1 1219 Ene Kugel aus Alumnum (ρ = 2,71 kg/dm 3 hat ene Masse von 1,5 kg. Berechne den Radus der Kugel! 1209 Rchtg st (1. 1210 Der Radus beträgt 5 cm. 1211 V = 250 3 π 1212 2,75 m 2 1213 6,7 cm 1214 47,12 m 3 ; 55 m 2 1215 12 cm 1216 18,7 cm 1217 2513,3 m 2 1218 5,8 cm 1219 5,1 cm