Praktikumsprotokoll: Kreisel

Praktikumsprotokoll: Kreisel Robin Marzucca, Andreas Liehl 07. Dezember 2010 Protokoll zum Versuch Kreisel, durchgeführt am 02.12.2010 an der Universität Konstanz im Rahmen des physikalischen Anfängerpraktikums I von Robin Marzucca und Andreas Liehl unter Tutor Johannes Wildermuth. Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Grundlagen 2 2.1 Winkelgeschwindigkeit............................. 2 2.2 Drehimpuls und Drehmoment......................... 2 2.3 Trägheitsmoment................................ 3 2.3.1 Trägheitstensor............................. 4 2.3.2 Steinerscher Satz........................... 5 2.4 Das physikalische Pendel............................ 5 2.5 Der Kreisel................................... 6 2.5.1 Präzession................................ 6 2.5.2 Nutation................................. 7 3 Der Versuch 8 3.1 Versuchsaufbau................................. 8 3.2 Versuchsdurchführung............................. 8 4 Auswertung 9 4.1 Trägheitsmoment aus dem physikalischen Pendel.............. 9 4.2 Trägheitsmoment aus Präzessionsbewegung................. 10 4.3 Fehlerbetrachtung............................... 11 5 Fragen und Antworten 12 1

1 Einleitung In diesem Versuch wollen wir das Trägheitsmoment einer Scheibe auf zwei verschiedene Arten bestimmen. Zum einen soll die Scheibe als physikalisches Pendel genutzt werden und zum anderen als Kreisel, ein starrer, rotierender Körper. Dabei sollen auch verschiedene Bewegungsformen des Kreisels beobachtet und analysiert werden. 2 Grundlagen Zunächst wollen wir im Grundlagenteil einige Begriffe klären und die Formeln für die spätere Versuchsauswertung herleiten und erläutern. 2.1 Winkelgeschwindigkeit Bei einer Translationsbewegung eines Massenpunktes, Bewegungen die rotationsfrei sind, ist die Geschwindigkeit definiert durch: v = ds dt Analog hierzu definiert man bei einer Rotationsbewegung die Winkelgeschwindigkeit ω: ω = dϕ dt also beschreibt die Größe, welchen Winkel der Massenpunkt in der Zeitspanne t zurücklegt. Bei einer Kreisbewegung erhält man über diese Größe die Umlaufdauer T und die Kreisfrequenz ω des Massenpunktes: T = 2π ω ω = 2πf (1) 2.2 Drehimpuls und Drehmoment Möchte man den Bewegungszustand eines Teilchens ändern, so ist gemäß dem 2. Newtonschen Axiom 1 eine Kraft F notwendig. Dabei ist von entscheidender Bedeutung, wo die Kraft ansetzt. Greift die Kraft am Schwerpunkt, so wird das Teilchen, sofern es vorher in Ruhelage war, in eine Translationsbewegung versetzt. Liegt der Angriffspunkt der Kraft hingegen nicht direkt im Schwerpunkt, so wird das Teilchen in eine Rotationsbewegung versetzt. Analog zur Kraft, die am Schwerpunkt angreift und einen Körper in 1 2. Newtonsches Axiom: Die Ursache einer zeitlichen Impulsänderung eines Teilchens ist die Kraft: d p dt = F. 2

eine Translationsbewegung versetzt, definiert man bei einer Rotationsbewegung das sog. Drehmoment: M = r F (2) Für diese Rotationsbewegung definiert man analog zum Impuls p einer Translationsbewegung den sog. Drehimpuls L: L = r p (3) Da die drei Vektoren beim Kreuzprodukt ein Rechtssystem bilden, steht der Drehimpuls L senkrecht auf die Ebene, in der sich r und p befinden. Man rechnet schnell nach, dass das Drehmoment die Ableitung des Drehimpuls ist: L = ṙ p }{{} = ṙ m ṙ= 0 + r ṗ = r F = M (4) Wirkt also kein Drehmoment, so bleibt der Drehimpuls konstant. Dies besagt die sog. Drehimpulserhaltung und ist für r F und F = 0 der Fall. 2.3 Trägheitsmoment Um einen Körper in Rotationsbewegung mit Winkelgeschwindigkeit ω zu versetzen, ist eine Kraft F notwendig. Dabei hängt die Kraft jedoch von der Trägheit des Körpers ab. Für Rotationsbewegungen um eine feste Achse definiert als Maß für die Trägheit des Körpers das sog. Trägheitsmoment: Θ = i m i r 2 i (5) wobei die m i die verschiedenen Massenpunkte des Körpers, und r i die Abstände dieser zur Drehachse sind. Bei einer Rotationsbewegung mit Winkelgeschwindigkeit ω erhält man die Geschwindigkeit v i eines starren Massenpunktes über: v i = ω r i (6) bzw. v i = ω r i, wenn man die Geschwindigkeit in nur einer Raumrichtung betrachtet. Die gesamte kinetische Energie des Körpers ergibt sich über die Summation der einzelnen kinetischen Energien der Massenpunkte: E kin = 1 m i vi 2 2 i (6) = 1 2 ω i m i r 2 i (5) = 1 2 Θω =: E rot (7) was man als Rotationsenergie E rot bezeichnet. Betrachtet man den Drehimpuls in nur einer Raumrichtung erhalten wir: L = i r i p i = i r i m i v i (6) = ω i m i r 2 i (5) = Θ ω (8) 3

2.3.1 Trägheitstensor Möchte man das Trägheitsmoment in drei Raumrichtungen beschreiben, so reicht ein einfaches Skalar wie in Gleichung (5) nicht mehr aus. Die Lösung bietet der sog. Trägheitstensor Θ, eine symmetrische 3 x 3 Matrix. Dafür betrachten wir den Drehimpuls in drei Raumrichtungen: L i = m i r i v i (6) = m i ( r i (ω r i )) Über die Graßmann-Identität 2 erhält man schließlich: L i = m i (( r 2 i ω ) ( r i ω) ω ) Über Summation der einzelnen Massenelemente erhalten wir den Gesamt-Drehimpuls: L = (( m i r 2 i ω ) ) L x Θ xx ω x + Θ xy ω y + Θ xz ω z ( r i ω) r i = L y = Θ yx ω x + Θ yy ω y + Θ yz ω z i L z Θ zx ω x + Θ zy ω y + Θ zz ω z wobei die Θ ik die Einträge der Tensormatrix sind. Wir erhalten den Gesamtdrehimpuls aus dem Produkt des Trägheitstensors mit ω: L = Θ ω = i m i y 2 i + z2 i x i y i x i z i y i x i x 2 i + z2 i y i z i z i y i z i y i x 2 i + y2 i ω x ω y ω z (9) Die drei Elemente der Diagonalen entsprechen dabei den Trägheitsmomenten der entsprechenden Drehachse. Die restlichen Elemente werden als Deviationsmomente bezeichnet. Mittels Gaussscher Umformungsschritte lässt sich diese Matrix transformieren auf die Gestalt: Θ = Θ x 0 0 0 Θ y 0 0 0 Θ z (10) Dabei sind die Θ i die drei Hauptträgheitsmomente, die sich durch Rotation um die Hauptträgheitsachsen ergeben. Diese Achsen stehen alle zueinander senkrecht und gehen durch den Schwerpunkt. Die erste Hauptträgheitsachse ist durch das größt mögliche Trägheitsmoment gegeben, die dritte durch das kleinst mögliche und die zweite steht senkrecht auf die beiden anderen. Die geometrische Interpretation des Trägheitstensors ist gegeben durch das sog. Trägheitsellipsoid. 2 Die Graßmann-Identität ist eine Formel für die Berechnung des doppelten Vektorprodukts: a ( b c ) = ( a c) b ( a b) c. 4

2.3.2 Steinerscher Satz Ist das Trägheitsmoment eines Körpers mit einer Drehachse durch den Schwerpunkt bekannt, so kann man für jede weitere beliebige Drehachse das Trägheitsmoment mit dem Satz von Steiner berechnen: Θ = Θ S + ma 2 (11) wobei Θ S das Trägheitsmoment mit einer Drehachse im Schwerpunkt, m die Masse des Körpers und a der senkrechte Abstand der beiden Drehachsen ist. 2.4 Das physikalische Pendel Als physikalisches Pendel bezeichnet man ein System, welches harmonische Schwingungen ausführen kann. Bei einer harmonischen Schwingung ist die Rückstellkraft bzw. das rücktreibende Drehmoment proportional zur momentanen Elongation. Solch ein System erhält man beispielsweise, indem ein starrer Körper nicht in seinem Schwerpunkt aufgehangen wird. Dies erreichen wir in unserem Versuch, indem wir an der Drehscheibe eine Zusatzmasse m Z im Abstand r Z zum Mittelpunkt befestigen. Dadurch verschiebt sich der Schwerpunkt der Scheibe und die Aufhängung, die ursprünglich im Schwerpunkt lag, ist nun nicht mehr dort. Lenkt man nun die Scheibe aus, so erfährt sie ein rücktreibendes Drehmoment M: M = r Z F G = mz gr Z sin ϕ wobei ϕ die momentane Elongation und g die übliche Erdbeschleunigung ist. Als Proportionalitätskonstante zwischen rücktreibendem Drehmoment und momentaner Elongation fungiert häufig die sog. Winkelrichtgröße D. Iin unserem System wird sie gegeben durch: D = m Z gr Z (12) Weiter gilt für kleine Auslenkungen sin ϕ ϕ, woraus sich das rücktreibende Drehmoment ergibt: M = Dϕ (13) Über die Beziehung M = Θ ω = Θ ϕ (Gleichungen (8) bzw. (4)) erhalten wir eine lineare, homogene DGL zweiter Ordnung: ϕ + D ϕ = 0 }{{} Θ ω0 2 5

Die allgemeine Lösung der DGL ist eine Schwingungsgleichung und lautet: ϕ(t) = A 0 sin(ω 0 t + φ), wobei A 0 die Amplitude, ω 0 die Eigenfrequenz und φ die Phasenverschiebung zum Zeitpunkt t = 0 ist. Die Periodendauer der Schwingung erhalten wir durch: T = 2π ω = 2π Θ (14) D 2.5 Der Kreisel In der Physik bezeichnet man einen starren, um eine Drehachse rotierenden Körper als Kreisel. Dabei muss dieser Körper nicht zwangsweise rotationssymmetrisch sein. Man unterscheidet drei verschieden Arten von Kreiseln: Sphärischer Kreisel: Beim sphärischen Kreisel sind alle drei Hauptträgheitsmomente gleich. Beispiele hierfür sind Würfel oder Kugel. Symmetrischer Kreisel: Beim symmetrischen Kreisel fallen immer zwei Hauptträgheitsmomente zusammen. Beispiele hierfür sind Zylinder, Quader oder Scheibe. Unsymmetrischer Kreisel: Beim unsymmetrischen Kreisel sind alle drei Hauptträgheitsmomente verschieden. Die Bewegungsgleichungen hierfür können dementsprechend sehr kompliziert werden. Ist der Trägheitstensor eines starren Körpers bekannt, so lassen sich anhand diesem also relativ leicht die Symmetrieeigenschaften ablesen (siehe Gleichung (10)). In unserem Versuch liegt ein symmetrischer Kreisel in Form einer Scheibe vor. 2.5.1 Präzession Weiter lassen sich Kreisel unterteilen in kräftefreie und schwere Kreisel. Beim kräftefreien Kreisel wirkt kein äußeres Drehmoment, d.h. entweder es existieren keine weiteren angreifenden Kräfte, oder diese addieren sich zu F ges = 0 auf. Technisch erreicht man dies z.b. durch Lagerung des Kreisels direkt auf dem Schwerpunkt. Beim schweren Kreisel hingegen wirkt ein zusätzliches, zeitlich konstantes Drehmoment. Steht dieses senkrecht auf den Drehimpuls, kommt es zu einer sog. Präzessionsbewegung. In unserem Versuch ist die Drehachse parallel zur Erdoberfläche gelagert, wobei auf der einen Seite der Kreisel und auf der anderen Seite ein Ausgleichsgewicht so befestigt ist, dass sich ohne zusätzliche Gewichte die Versuchsanordnung gerade in Ruhelage befindet (siehe auch Abb. (2)). Hängen wir nun an die eine Seite ein zusätzliches Gewicht der Masse m, entsteht gemäß Gleichung (2) durch die Gewichtskraft F G ein zusätzliches Drehmoment, welches senkrecht auf Kraft und r steht. Für den Betrag des Drehmomentes gilt dann: M = r F G sin α = m g r (15) 6

Der Drehimpuls bei dieser Präzessionsbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω P ändert lediglich seine Richtung, nicht aber seinen Betrag, wobei die Richtungsänderung durch gleichmäßige Rotation der Drehachse um den Winkel θ gegeben ist. Wir erhalten: M = dl dt = Ldθ dt (15) m g r = L ω P (8) m g r = Θ ω ω P ω P = m g r Θ ω (16) wobei ω die Kreisfrequenz des Kreisels (also der Scheibe) und Θ das Trägheitsmoment der Scheibe ist. 2.5.2 Nutation Eine weitere Bewegungsform, die beim Kreisel häufig vorkommt, ist die sog. Nutation. Sie tritt immer dann auf, wenn Drehimpuls und Drehachse nicht parallel bzw. identisch sind. Dadurch fällt der Drehimpuls nicht mehr mit einer der Hauptträgheitsachsen zusammen und das System eiert. Abbildung (1) soll diesen Sachverhalt noch einmal verdeutlichen. Abbildung 1: R zeigt die Rotationsbewegung, wobei unschwer zu erkennen ist, dass Drehimpuls und Drehachse nicht mehr parallel sind, P die Präzessionsbewegung und N die eiernde Nutationsbewegung 7

3 Der Versuch 3.1 Versuchsaufbau Der Versuchsaufbau (Abb. (2)) besteht im Wesentlichen aus einer Stange, die als Drehachse fungiert und an einer dort befestigten Scheibe, deren Trägheitsmoment wir berechnen wollen. Die Stange ist mittig gelagert, sodass sie, je nach Gewichtsverteilung nach links oder rechts kippen kann. Um dies zu regulieren, befindet sich auf der anderen Seite ein Ausgleichsgewicht. Weiter zur Verfügung stehen: ein optisches Drehzahlmessgerät anhängbare Gewichtsstücke ein magnetisches Zusatzgewicht Stoppuhren Faden zum Andrehen der Scheibe Stütze zum Stabilisieren der Stange Abbildung 2: Versuchsaufbau 3.2 Versuchsdurchführung Zunächst wollen wir das Trägheitsmoment der Scheibe als physikalisches Pendel berechnen. Dazu befestigen wir das magnetische Zusatzgewicht an der Scheibe und lenken diese leicht aus. Dadurch führt diese Schwingungen aus, deren Periodendauer mehrmals gestoppt wird. Damit ergibt sich mittels Gleichung (14) später das Trägheitsmoment Θ, wobei beachtet werden muss, dass das Zusatzgewicht hier zum Trägheitsmoment, das sich hier ergibt einen Teil beiträgt. Dieser Teil muss, um das Trägheitsmoment der Scheibe zu erhalten, wieder subtrahiert werden. 8

Im zweiten Versuchsteil wollen wir das Trägheitsmoment der Scheibe mit Hilfe einer Präzessionsbewegung berechnen. Dazu hängen wir nacheinander einige Gewichtsstücke an die Stange und versetzen außerdem die Scheibe mit Hilfe einer Schnur in eine Rotationsbewegung. Dadurch führt das System eine Präzessionsbewegung aus, deren Periodendauer ebenfalls mehrmals gestoppt wird. Wichtig ist hierbei, Nutationsbewegungen zu vermeiden, da sonst die Gleichungen für die Präzessionsbewegung nicht mehr gültig sind. Weiter wird die Eigenfrequenz ω der Scheibe wird mit Hilfe des optischen Drehzahlmessgerätes bestimmt. 4 Auswertung 4.1 Trägheitsmoment aus dem physikalischen Pendel Wir wollen zunächst das Trägheitsmoment des physikalischen Pendels berechnen. Dafür wird zunächst seine Periodendauer bestimmt, wobei die Mittelung der Periodendauer einen Wert von T = (3, 75 ± 0, 02)s. Dazu bringen wir ein Zusatzgewicht der Masse m = (52, 1 ± 0, 1)g in Form eines Magneten an der Kreiselscheibe an und lenken diese dann um einen kleinen Winkel aus. Der Schwerpunkt des Gewichtes ist dann bei r = (13, 5 ± 0, 1)cm von der Drehachse entfernt. Mit diesen Werten berechnen wir nun die Winkelgeschwindigkeit ω mit der Beziehung ω = 2π T berechnen. Dabei ergibt sich der Fehler aus der Standardabweichung: σ ω = 1 N (ω i ω) 2 (17) N(N 1) i=1 Wir erhalten als Wert: ω = (1, 68 ± 0, 01)s 1. Das Gesamtträgheitsmoment ω ges ist zusammengesetzt aus dem Trägheitsmoment der Scheibe und dem der Zusatzmasse und lässt sich nun errechnen über Gleichung (14). Wir erhalten durch Termumformung für das Trägheitsmoment der Scheibe: Θ S = Θ ges Θ m = D ω 2 m ZrZ 2 (12) = m Z g r Z ω 2 m Z r 2 Z 9

wobei die Winkelrichtgröße D dem rücktreibenden Drehmoment entspricht. Der Fehler für das Trägheitsmoment berechnet sich dann durch: δθ S = = ( Θ S 2 ( m Z Z) δm Θ S 2 + r Z Z) δr + ((grz ω 2 r2 Z ( Θ S ω ) 2 δω ) ) 2 (( mz g ) ) 2 (( mz gr Z δm Z + ω 2 2m Z r Z δr Z + ω 3 m Z r 2 Z ) ) 2 δω (18) Es ergibt sich als Wert Θ S = (23, 56 ± 0, 29) 10 3 kgm 2. 4.2 Trägheitsmoment aus Präzessionsbewegung An dieser Stelle wollen wir das Trägheitsmoment der Scheibe aus den Zusammenhängen des angehängten Gewichtes und der Kreisfrequenz der Präzessionsbewegung und der der Drehscheibe ermitteln. Dazu lösen wir Gleichung (16) nach Θ auf: Θ = m g r ω p ω Der Fehler des Trägheitsmomentes ergibt sich aus der Gleichung: δθ = = ( ) Θ 2 ( ) m δm Θ 2 ( + r δr Θ 2 ( ) + ω p p) δω Θ 2 + ω δω ( ) gr 2 ( ) mg 2 ( ) mgr 2 ( ) mgr 2 ω p ω δm + ω p ω δr + ωpω 2 δω p + ω p ω 2 δω (19) Die so ermittelten Trägheitsmomente der einzelnen Versuchsdurchfährungen werden nun arithmetisch gemittelt und der Gesamtfehler mit der Standardabweichung berechnet: σ Θ = 1 N ( Θi Θ ) 2 N(N 1) i=1 Die Werte werden nun in Tabelle (1) dargestellt und das mittlere Trägheitsmoment mit dem in Kap. 4.1 (Trägheitsmoment aus Physikalischem Pendel) errechneten Trägheitsmoment verglichen. 10

Durchführung ω P ω S Θ S 83, 11 ± 0, 05 41, 36 ± 1, 04 24, 60 ± 0, 10 1 90, 28 ± 0, 06 38, 75 ± 1, 04 24, 18 ± 0, 11 88, 19 ± 0, 05 40, 31 ± 1, 04 23, 79 ± 0, 10 88, 25 ± 0, 12 39, 79 ± 1, 04 24, 08 ± 0, 11 29, 39 ± 0, 03 38, 74 ± 1, 04 24, 07 ± 0, 33 2 28, 87 ± 0, 03 40, 84 ± 1, 04 23, 24 ± 0, 31 25, 46 ± 0, 02 46, 08 ± 1, 04 23, 37 ± 0, 27 57, 38 ± 0, 03 39, 79 ± 1, 04 24, 05 ± 0, 16 3 51, 25 ± 0, 02 44, 51 ± 1, 04 24, 08 ± 0, 14 49, 40 ± 0, 02 46, 60 ± 1, 04 23, 86 ± 0, 14 Mittelwert Θ S 23, 93 ± 0, 98 Tabelle 1: Es sind die Messwerte für die Winkelgeschwindigkeiten der Präzessionsbewegung und der Rotation der Scheibe eingetragen, sowie das berechnete Trägheitsmoment der Scheibe. 4.3 Fehlerbetrachtung Unabhängig von der Methode zur Bestimmung des Trägheitsmomentes der Scheibe ist es in jedem Fall notwendig Fehler mit einzukalkulieren. So erhält man bei der Messung der Periodendauer des physikalischen Pendels Messungenauigkeiten sowohl auf Grund des Genauigkeitsbereiches der Stoppuhr, als auch auf Grund der manuellen Zeitmessung. Klarer wird die Relevanz der Fehlerrechnung bei der Bestimmung aus der Präzessionsbewegung. Hier schwankte die Ausgabe des Drehzahlmessers doch deutlich bei kleinen Veränderungen des Winkels oder des Standpunktes. Der Fehler wurde hier deshalb bei ± 10 rpm angesetzt, obwohl die Ausgabe bei sorgfältiger Messung doch um eine Toleranz von ± 25 rpm schwanken konnte. Die errechneten Werte stimmen trotz der hohen Messungenauigkeit des Drehzahlmessers dennoch gut überein. Die relative Abweichung der Trägheitsmomente die aus dem physikalischen Pendel und der Präzessionsbewegung bestimmt wurden beträgt lediglich 1,56%. 11

5 Fragen und Antworten Wir wollen noch kurz auf die gestellten Fragen eingehen. Aufgabe 1 Translation Länge L Masse m Geschwindigkeit v Impuls p = m v Kraft F F = d p dt E kin = 1 2 m v2 Rückstellkraft F = D x Schwingungsdauer einer linearen Schwingung T = 2π m D Rotation Winkel ϕ Trägheitsmoment Θ Winkelgeschwindigkeit ω Drehimpuls L = Θ ω Drehmoment D = r F D = d L E kin = 1 2 ω2 Rückstell-Drehmoment D = D r ϕ Schwingungsdauer einer Torsionsschwingung T = 2π dt Θ D r Tabelle 2: Vergleich der Größen, die bei einer Translations- und einer Rotationsbewegung auftauchen aus [3]. Aufgabe 2 Ein Fahrrad kann man freihändig durch Gewichtsverlagerung steuern. Die beiden Räder kann man sich ohne Gewichtsverlagerung als kräftefreie Kreisel vorstellen. Durch Gewichtsverlagerung wirkt auf die Kreisel ein zusätzliches Drehmoment. Dadurchführt das Vorderrad eine Präzessionsbewegung aus und dreht sich. 12

Literatur Noch einige Anmerkungen zum Literaturverzeichnis. [1] Runge, Bernd-Uwe: Gekoppelte Pendel, Versuchsanleitung und Grundlagen, 2011 [2] Runge, Bernd-Uwe: C. Fehlerrechnung, Skript zur Fehlerrechnung für das physikalische Praktikum an der Universität Konstanz, 2010 [3] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme, 5. Auflage, Springer-Verlag, 2008 [4] Nolting, Wolfgang: Grundlagen der theoretischen Physik 1: Klassische Mechanik, 8. Auflage, Springer-Verlag, 2006 Abbildungsverzeichnis 1 Nutation..................................... 7 2 Versuchsaufbau................................. 8 Tabellenverzeichnis 1 Messwerte Präzessionsbewegung........................ 11 2 Vergleich: Translation und Rotation..................... 12 13