1 Funktionen als mathematische Modelle Noch it in Dierenzialrechnung? 1 1. a) Höhenänderung zwischen 0 m und 1 00 m (in der Horizontalen): ca. 800 m 600 m = 00 m durchschnittliche Änderungsrate im Intervall [0; 1 00]: _ 00 m 1 00 m = 6 b) Um die lokale Änderungsrate an einer Stelle zu ermitteln, müssen wir die Steigung der Tangente an dieser Stelle ermitteln. Im Bereich zwischen x = 00 und x = 00 verläut das Höhenproil nahezu geradlinig. Somit ist die lokale Änderungsrate nach 300 m ca. 850 m 770 m 00 m 300 m = _ 80 m 100 m = 0,8. An der Stelle x = 500 hat das Höhenproil einen Hochpunkt, die lokale Änderungsrate beträgt 0. An der Stelle x = 700 ermitteln wir näherungsweise _ 10 m 100 m = 1,. An der Stelle x = 1 000 hat das Höhenproil einen Sattelpunkt, die lokale Änderungsrate beträgt 0.. a) (x) = 3 x c) (x) = 9 x e) (x) = cos (x) b) (x) = 8 x 3 d) (x) = 3_ x ) (x) = 1 x 3 cos (x) 13 3. a) Uhrzeit 7 9 9 10 10 13 13 17 Wasseranstieg (in cm pro Stunde) 15 0 30 5 Also steigt das Wasser von 9 Uhr bis 10 Uhr mit 0 cm am schnellsten an. h b) Wir wissen, dass die durchschnittliche Geschwindigkeit von 7 Uhr bis 9 Uhr 15 cm beträgt und zwischen 9 Uhr und 10 Uhr 0 cm. Die momentane Geschwindigkeit, mit der h h sich der Wasserstand um 9 Uhr ändert, liegt zwischen diesen Werten. Als ungeähren Wert könnte man berechnen: ( 0 cm_ h + 15 cm_ h ) : = 7,5 cm_ h. Um die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 9 Uhr exakter zu bestimmen, müsste man wissen, wie hoch der Wasserstand um kurz vor und um kurz nach 9 Uhr war. Damit könnte man eine Durchschnittsgeschwindigkeit bestimmen, die hinreichend nah an der momentanen Geschwindigkeit liegt.. 0 m 1 500 m: positive Steigung 1 500 m 000 m: negative Steigung 000 m 500 m: positive Steigung 500 m 3 000 m: negative Steigung 3 000 m 3 750 m: positive Steigung 3 750 m 500 m: negative Steigung 500 m 6 500 m: positive Steigung 6 500 m 8 500 m: negative Steigung Die Steigung ist null an den Stellen 1 500, 000, 500, 3 000, 3 750, 500, 6 500. An diesen Stellen besitzt der Graph der Funktion eine waagerechte Tangente.
5 13 Stelle (in m) geschätzte Steigung an der Stelle 1 00 1 5 000 _ 00 3 700 = _ 5 700 0,036 3,6 % Geälle 6 000 _ 1 790 1 50 6 00 5 500 = 0_ 0,0, % Steigung 900 1 60 1 90 7 000 _ 7 500 6 600 = _ 30 900 0,033 3,3 % Geälle 5. a) b) (1) h (5) = 3 5 = 75 Die Rakete ist also nach 5 s in 75 m Höhe. () h (10) h (0) = 3 10 0 = 300 Das bedeutet, dass die Rakete in den ersten 10 s um 300 m gestiegen ist. (3) h (10) h (0) _ 10 0 = 3 10 0 _ 10 0 = 30 Das bedeutet, dass die Rakete in den ersten 10 s eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 30 m_ s hatte. () h (x) = 6 x h (5) = 6 5 = 30 Das bedeutet, dass die Rakete nach 5 s eine Geschwindigkeit von 30 m_ s erreicht hat. h (t) h (10) (5) lim _ 3 t t 10 = lim 3 100 t 10 t 10 _ t 10 = lim t 10 3 (10 + t) = 3 0 = 60 Das bedeutet, dass die Rakete nach 10 s eine Geschwindigkeit von 60 m_ s erreicht hat. 1 6. Die Ableitung gibt Auskünte darüber, wie schnell die Temperatur gestiegen bzw. gesunken ist. Ihre Einheit wäre C_ h.
6 1 7. a) (A) () bzw. (5) (B) () bzw. (5) (C) (1) (D) (3) (E) () b) (A): x x (A) = () = (5): x x (B): x x 1 (B) = () = (5): x x (C): x x (C) = (1): x x (D): x (x 1) (D) = (3): x (x 1) (E): x x3 (E) = (): x 3_ x 8. a) (x) = 7 x 6 c) (x) = x 3 + x e) (x) = 0 x 3 x b) (x) = x 7 d) (x) = 6 x ) (x) = cos (x) + 9. a) (x) = x 9 + c, c R b) (x) = x 3 x + c, c R c) (x) = 3 cos (x) + x + c, c R 10. a) (x) = 3 x ; () = 1 b) (x) = _ 3 x3 15 x ; (0) = 0 c) (x) = 1 + cos (x); (π) = 1 + cos (π) = 1 + ( 1) = 0 11. (a) = a 3 Änderungsrate: (a) = lim _ (a + h) (a) = lim _(a + h) 3 a 3 = 3 a h 0 h h 0 h Das Volumen wächst kubisch, seine lokale Änderungsrate dagegen quadratisch. Geometrisch ist die lokale Änderungsrate 3 a die Hälte des Oberlächeninhalts 6 a des Quadrats. 1. a) (x) = x; (x) = 1, also x = 1 x = b) (x) = x 3 ; (x) = 1, also x 3 = 1 x = 3 c) (x) = 3 x + 1; (x) = 1, also 3 x + 1 = 1 x = 0 d) (x) = cos (x); (x) = 1, also cos (x) = 1 x = k π, k Z (3) (1) 13. a) _ 3 1 = _ 9 a a = a = a = 8 b) (x) = a x; (1) = a = a = c) Die Steigung einer Geraden, die die x-achse unter einem Winkel von 5 schneidet, beträgt 1. () = a = 1 a =
7 Noch it in Funktionsuntersuchungen? 15 1. ist streng monoton wachsend, wenn > 0 ist. Deshalb ist die Funktion ür 1 < x < streng monoton wachsend. ist streng monoton allend, wenn < 0 ist. Deshalb ist die Funktion ür x < 1 und x > streng monoton allend. Die Extrempunkte liegen bei x = 1 und x =. Dort liegen die Nullstellen des Graphen der Ableitung. Möglicher Graph:. (x) = 3 x3 x Graph (3): Die Funktion enthält nur ungerade Exponenten, also ist ihr Graph punktsmmetrisch zum Ursprung. g (x) = x x + 3 Graph (1): -Achsenabschnitt: 3; nur gerade Exponenten, also achsensmmetrisch zur Achse. h (x) = 5 x5 3_ x Graph (): Der Graph von h ist weder achsensmmetrisch zur -Achse noch punktsmmetrisch zu O (0 0), weil h (x) sowohl gerade als auch ungerade Exponenten besitzt. ( Außerdem gilt ür h (x) = x 3 x 3 : h (0) = 0 und h (x) > 0 ür x < 0 und h (x) < 0 ür x > 0 (und x < 3), also Hochpunkt bei (0 0). ) 17 3. a) x : (x), x : (x) b) x : (x), x : (x) c) x : (x), x : (x) d) x : (x), x : (x) e) x : (x), x : (x) ) x : (x), x : (x). a) punktsmmetrisch zum Ursprung b) smmetrisch zur -Achse c) keine Smmetrie zur -Achse bzw. zum Ursprung d) punktsmmetrisch zum Ursprung e) keine Smmetrie zur -Achse bzw. zum Ursprung ( aber punktsmmetrisch zu P (0 1) ). ) smmetrisch zur -Achse
8 17 5. a) x 1 = 0; x = ; x 3 = ; x = b) x 1 = 0 oder x + 1,5 x 1 = 0, also x 1 = 0; x = ; x 3 = 0,5 c) x 1 = 0 oder x + x + = 0 (keine Lösung), also x 1 = 1 d) x (x + x 6) = 0, x = 0 oder x + x 6 = 0, also x 1 = 0; x = 3; x 3 = e) x 3 (x ) = 0, x 3 = 0 oder x = 0, also x 1 = 0; x = ; x 3 = ) 8 x + 6 x 5 = 0, Substitution x = u 8 u + 6 u 5 = 0 hat die Lösungen u 1 = 3; u = 9_ Rücksubstitution: x = 3 keine Lösung; x = 9_, also x 1 = 3_ ; x = 3_ 6. a) (x) = x + 1 b) (x) = a (x + ) (x 1) (x ), a 0 c) (x) = a (x + ) (x 5) (x c), a 0, c und c 5 7. a) Es gilt: (x) = ( x + ) (x + b x + c) = x 3 + b x + x + b_ x + c x + c_ = x3 + ( b + ) x + ( b_ + c ) x + c_ Vergleich mit (x) = x 3 x x + ergibt (1) b + = 1 () b_ + c = (3) c_ = also b = 3_, c = Damit gilt: (x) = ( x + ) ( x 3_ x + ) Nullstellen x 1 = ; x = ; x 3 = 1 b) Der Graph von ist achsensmmetrisch zur -Achse, also hat die Nullstellen x 1 = 3; x = ; x 3 = ; x = 3 Weitere Nullstellen kann es nicht geben. 18 8. (1) Wir lesen am Graphen die Nullstellen 3, 0 und 3 sowie (1) = 8 ab. (x) = a (x + 3) x (x 3) Aus (1) = 8 erhält man a = 1 Also (x) = x (x 9) = x 3 + 9 x () hat die doppelte Nullstelle x 1 = sowie die einachen Nullstellen x = 0 und x 3 = 3. Außerdem gilt: () = 8 Also (x) = a (x + ) (x 3) x Aus () = 8 erhält man a = Also (x) = x (x + ) (x 3) = x + x3 x 3 x (3) hat die einachen Nullstellen x 1 = und x = 3 sowie die dreiache Nullstelle x 3 = 0. Außerdem können wir näherungsweise (1) 5 ablesen. Also (x) = a x 3 (x + ) (x 3) Aus (1) = 5 erhält man a = 5_ 6. Ein möglicher Funktionsterm könnte (x) = 5_ 6 x3 (x + ) (x 3) sein.
9 18 9. a) b) c)
10 18 d) 10. a) (x) = 6 ( x + 5_ ) x ( x _ 3) Der Graph hat einache Nullstellen bei x = 5_, x = 0 und x = _ 3. b) (x) = x (x 3) (x 1) Der Graph hat einache Nullstellen bei x = 0, x = 3 und eine doppelte Nullstelle bei x = 1. c) (x) = (x ) (x 1) (x + 3) hat eine einache Nullstelle bei x = 1 sowie je eine doppelte Nullstelle bei x = und x = 3. d) (x) = (x ) 3 x (x + 1) Der Graph hat doppelte Nullstellen bei x = 0 und x = 1 und eine dreiache Nullstelle bei x =. 11. (1) Graph (3) -Achsenabschnitt 90, smmetrisch zur -Achse. Der Graph zeigt nur einen Teil des Verlaus in der Mitte, denn ür x ± gilt: (x) +. () Graph (1) -Achsenabschnitt 0, punktsmmetrisch zum Ursprung. Der Graph zeigt nicht den wesentlichen Verlau, denn ür x gilt: (x). (3) Graph () -Achsenabschnitt 9, keine Smmetrie zur -Achse bzw. zum Ursprung. Der Graph zeigt den wesentlichen Verlau: Alle 3 Nullstellen sind zu sehen. 1. a) streng monoton steigend: ] ; 3[, ] 1; [, ]; [ streng monoton allend: ] 3; 1[ b) Maximum bei x = 3 Minimum bei x = 1 Sattelpunkt bei x = Wendestellen bei x =,5 und x = 0,5
11 18 c) 13. a) 8 6 Q P 6 x c) 8 6 Q P 6 x e) 6 Q P 6 x b) 8 Q d) 8 Q 6 8 6 6 P P 6 x 6 x 19 1. (1) Richtig, denn in dem Intervall gilt: Für x 1 < x (x 1 ) < (x ). () Falsch, denn ( ) = 0 und ür < x < 0 ist (x) < 0. (3) Die korrekte Formulierung lautet: Der Grad der Funktion ist mindestens 3, denn hat drei Nullstellen und zwei Extrema. () Richtig, denn hat bei x = 3 ein Extremum. (5) Falsch, denn die Steigung (und somit die Ableitung) von ist in diesem Intervall größer null.
1 19 15. a) Ja, es sind alle Punkte mit waagerechter Tangente zu sehen. Bei einer Funktion vierten Grades hat die Ableitung den Grad 3, also 3 Nullstellen. Da beim Graphen ein Sattelpunkt (doppelte Nullstelle der Ableitung) und ein Minimum (einache Nullstelle) zu sehen sind, sind im Graphen alle Punkte sichtbar. b) Zu sehen ist eine Funktion 3. Grades mit einer doppelten Nullstelle bei 1 und einer einachen Nullstelle bei. 16. a) (x) = 3 x 9_ x 3 hat die einachen Nullstellen x 1 = ; x = jeweils mit einem VZW. Es gilt: (x) = ( x + ) (x ) (x) > 0 ür x < oder ür x > (x) < 0 ür < x < Damit gilt: streng monoton wachsend ür x < oder ür x > streng monoton allend ür < x < an der Stelle x = hat der Graph von einen Hochpunkt, da an dieser Stelle eine Nullstelle mit einem VZW von + nach hat. an der Stelle x = hat der Graph von einen Tiepunkt, da an dieser Stelle eine Nullstelle mit einem VZW von nach + hat. b) Nullstellen von : x ( x 9_ x 3 ) = 0, also x = 0 oder x 9_ x 3 = 0 Also: x 1 = 0; 9 x = _ 73 8 0,9; 9 + x 3 = _ 73 8 3,19 6 8 x
13 19 17. a) hat die beiden einachen Nullstellen x 1 = 1; x = 3 jeweils mit einem VZW. Es gilt: (x) = (x + 1) (x 3) An der Stelle x 1 = 1 hat einen VZW von nach +, also hat der Graph von an dieser Stelle einen Tiepunkt. An der Stelle x = 3 hat einen VZW von + nach, also hat der Graph von an dieser Stelle einen Hochpunkt. b) (x) = 6 x3 + x + 3_ x + c Aus (0) = erhält man c =, also (x) = 6 x3 + x + 3_ x. x 18. a) (x) = 5 x 8 x = x (5 x 3 8) Nullstellen von : x 1 = 0; x = _ 3, jeweils mit VZW 5 An der Stelle x = 0 liegt ein Hochpunkt des Graphen, da einen VZW von + nach hat: H (0 0) An der Stelle x = _ 3 1,17 liegt ein Tiepunkt des Graphen, da einen VZW von 5 nach + hat: T (1,17 3,8) b) (x) = x + x + hat keine Nullstellen, d. h. der Graph von hat keine Extrempunkte. c) (x) = 3 x 1 Nullstellen von : x 1 = 3 ; x = jeweils mit VZW 3 (x) > 0 ür x < 3 oder x > 3 (x) < 0 ür 3 < x < 3 An der Stelle x = 3 liegt ein Hochpunkt, an der Stelle x = liegt ein Tiepunkt. 3 19. a) (x) = x x 3 Nullstellen von : x 1 = ; x = 3 Punkte mit waagerechter Tangente: P 1 ( 1_ 3 ), P ( 3 3_ ) b) () = 1_ 3 m 1 = () = 1 _ 3 = + c 1, also c 1 = _ 3 t: = x _ 3 c) m = 1_ 3 = + c c = 17_ 3 n: = x 17_ 3
1 19 0. a) 80 60 0 0 6 8 10 1 1 16 18 0 x 68 b) (6) = _ 5 7, Am 6. Tag sind ca. 7 Personen erkrankt. c) (5) = 0 Nach 5 Tagen sind keine Personen mehr erkrankt. d) (x) = 3_ 5 x + x = x ( 3_ 5 x + ) Nullstellen von : x 1 = 0; x = 50_ 3 16,7 an der Stelle x 1 = 0 VZW von von nach + an der Stelle x = 50_ 3 VZW von von + nach ( 50_ 3 ) 9,6 Am 17. Tag ist mit ca. 93 Personen der Höchststand der Krankheitswelle erreicht. e) Am Graphen von lesen wir ein Maximum bei x 8,3 ab. Dort ist die Zunahme am größten. Die Zunahme hat an der Stelle x = _ 50 3 den Wert 0, danach nimmt die Zahl der Erkrankten ab. ) Schnitt des Graphen von mit der Geraden = 7 Schnittstellen: x 1 = 5; x 11,7 Am 5. sowie am 1. Tag betrug die Erkrankungsrate 7 Personen am Tag.