Lehrsuhl für Saisik und emp. irschafsforschung, Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D. Muserlösung zur Baseler Abschlussklausur im S 0/03 Aufgabe 1: [] Sie wollen die Skifahrgewohnheien von innen und Schweizern unersuchen. Dazu haben Sie je 130 Einwohner von Saanen (BE,CH) und Kuusamo (Lappland, I) nach der Anzahl der gefahrenen Kilomeer auf Ski (SKIKM) im vergangenen Jahr, ihrem Geschlech (E, Dummy: 0=männlich, 1=weiblich), Aler (AGE), Aler quadrier (Age²), ihrem Einkommen (Y, monaliches Einkommen in 1000,- Euro kaufkrafbereinig) sowie ihrer sporlichen iness (SP1: unsporlich, SP: sporlich, SP3: sehr sporlich) befrag. Die separae Schäzung des Modells: SKIKM = β + β E + β Y + β AGE + β AGE + β AGE Y + β SP1+ β SP3+ε 1 3 4 5 6 7 8 ergib die umseiig in den Tabellen 1.1 und 1. dargesellen Ergebnisse. a) Inerpreieren Sie den Einfluss sporlicher iness auf die gefahrenen Ski-Km in Saanen und Kuusamo saisisch und inhallich. [4] sporlich (SP) is Referenzkaegorie; SP1 und SP3 sind in Bezug hierauf zu inerpreieren in der Schweiz gib es einen sarken posiiven Zusammenhang zwischen iness und gefahrenen Ski-KM (große Koeffizienenwere, hoch saisisch signifikan) in Kuusamo is der Zusammenhang nich so klar (SP1 nich signifikan; SP3 nur auf 10% Niveau), Koeffizienenwere kleiner sehr sporliche Personen in Saanen (Kuusamo) fahren 46,87 km (16,78 km) mehr Ski als unsporliche b) Tesen Sie miels Tessaisik oder p-er, ob der Effek des Einkommens (Y) auf SKIKM in Saanen mi dem Aler variier. ie is dieser Alerseffek zu inerpreieren? [4] Inerakionseffek ALTER*Y is auf 5%-Signifikanzniveau signifikan Der Effek der Alers-Einkommensvariaion komm addiiv zum Einkommenseffek hinzu Ja, der Einkommenseffek variier mi dem Aler Bei einem gegebenem Einkommen erhöh ein Jahr höheres Aler den Einkommenseffek um 0,5 Beispiel: Bei einem gegebenem Einkommen von 1000 Euro seig mi jedem Jahr höheren Alers der Effek des Einkommens auf SKIKM um 0,5 km, z.b. von 7,85 km eines 0-Jährigen mi 1000 Euro Einkommen auf 8,35 km im nächsen Lebensjahr (hinzu komm noch der Alerseffek, der hier nich berache wird) c) Berechnen Sie für ein gegebenes Einkommen von 3000,- das Aler, in dem die Saaner Bevölkerung am weiesen Ski fähr. [3] erse Ableiung der unkion nach Aler für Einkommen 3 einsezen (3000/1000) Gleichung umsellen und AGE_op= 3 Jahre erhalen d) Berechnen und inerpreieren Sie den (marginalen) Effek des Einkommens einer 36 Jahre alen Person auf die gefahrenen Ski-Kilomeer in Kuusamo. [3] erse Ableiung der unkion nach dem Einkommen und für ALTER=36 einsezen marginaler Einkommenseffek eines 36-Jährigen = 9,31 Inerpreaion: Erhöh sich das Einkommen um 1.000,-Euro (!!!), fähr eine 36-jährige Person aus Kuusamo 9,3 km mehr Ski (Hinweis: Alers-Einkommenseffek is nur auf 10%-Niveau signifikan; zur Besimmung der Signifikanz des marginalen Effeks müsse die Sandardabweichung des marginalen Effeks berechne werden.) e) Sie möchen am 1 Prozenniveau esen, ob die Koeffizienen ihrer Ski-unkion in innland und der Schweiz gleich sind. Dazu fügen Sie ihre Sichproben zusammen, schäzen obiges Modell und 1
Lehrsuhl für Saisik und emp. irschafsforschung, Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D. Muserlösung zur Baseler Abschlussklausur im S 0/03 erhalen eine ehlerquadrasumme von 178.000,0. Erläuern Sie Tesverfahren und Ergebnis kurz. ie lauen die Null- und Alernaivhypohese? Geben Sie den kriischen er der Tessaisik an, den Sie zum Schließen heranziehen. [4] Chow-Breakpoin-Tes über die Summe der Quadrae SSE = 178000; SSE = 135876 + 3586 =17116 R U H :β =β für i=1,,8; H : β < // >β 0 i,saanen i,kuusamo 1 i,saanen i,kuusamo ( R U) ( ) U ( ) ( ) SSE SSE / j 178000 17116 / 8 = = = 1,33 SSE / T K 17116 / 60 16 1,33 < (1%, 7, 44) =,51 H 0 kann nich verworfen werden; Koeffizienen in innland und in der Schweiz sind gleich (auf 1%-Signifikanzniveau) f) ühren Sie einen einseiigen Tes auf Gleichhei der ehlerermvarianz der Schäzungen beider Sichproben am 5%-Niveau durch. [4] Goldfeld-Quand-Tes σ = σ σ < σ 0 Saanen Kuusamo 1 Saanen Kuusamo H : ; H : GQ =σ / σ = 33, 37 / 17, 01 = 1113, 557 / 89, 34 = 3,85 Saanen Kuusamo 3,85 > (5%, 1, 1) = 1,35 H 0 wird verworfen; Unerschiedliche ehlerermvarianz in Saanen und Kuusamo; Heeroskedasie
Lehrsuhl für Saisik und emp. irschafsforschung, Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D. Muserlösung zur Baseler Abschlussklausur im S 0/03 Aufgabe : [8] ir schäzen folgendes Modell: Y = a+ β X + β Z + e 1 a) ie gehen Sie vor, um einen BLUE Schäzer zu erhalen, wenn Heeroskedasie folgender orm vorlieg: Var( e ) = s ( X 4) [4] Y Y* =... oder Transformaion X für alle Variablen Y σ X Transformaion nowendig, dann KQ b) ie änder sich die Inerpreaion der Regressionsparameer nach Schäzung im BLUE Schäzer im Vergleich zum KQ-Schäzer. [] Gar nich. c) Das Modell wurde mi 66 Beobachungen geschäz. elchen kriischen -er benöigen Sie bei einem Tes auf Gesamsignifikanz des Modells am 1 Prozenniveau? Geben Sie die relevanen reiheisgrade und das α-niveau an. [] N = 66 ; α=1% = 4.95 0.99; ; 63 (exaker er is nich erforderlich, da in Sandardabellen so nich gegeben; bei D=60: 4.98) Aufgabe 3: (ahr oder falsch) [6] ahr oder alsch? Tragen Sie für zureffende Aussagen den Buchsaben w (für wahr), für nich zureffende f (für falsche) ein. (ür jede richige Anwor gib es 0,5 Punke, für jede falsche Anwor werden 0,5 Punke abgezogen. Die Gesampunkzahl kann nich negaiv werden.) Mi einem -Tes kann man die saisische Signifikanz eines geschäzen Koeffizienen 3
Lehrsuhl für Saisik und emp. irschafsforschung, Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D. Muserlösung zur Baseler Abschlussklausur im S 0/03 überprüfen. Zwei einzeln berache saisisch insignifikane Koeffizienen können gemeinsam signifikan sein. enn bei einem resringieren KQ Schäzer die Resrikion nich exak gil, bleiben die geschäzen Parameer unverzerr, aber die Sandardfehler werden falsch ausgewiesen. Auch wenn wie im all von Heeroskedasie oder Auokorrelaion die Sandardfehler von geschäzen Koeffizienen nich korrek sind, bleib der -Tes verlässlich. Ausgelassene relevane Variablen führen zu verzerren KQ Schäzern, wenn sie mi den eingeschlossenen Variablen korrelier sind. Uner Heeroskedasie sind die per KQ geschäzen Sandardfehler falsch, aber der Schäzer is nach wie vor BLUE. enn man die Ar der vermueen Auokorrelaion in den ehlerermen nich kenn, is es sinnvoll die geschäzen Sandardfehler mi Hilfe des hie-schäzers zu korrigieren. Der LM Tes auf Auokorrelaion erser Ordnung in den Sörermen beseh aus einem Signifikanzes für den geschäzen Koeffizienen des um eine Periode verzögeren ehlererms, der zusäzlich ins ursprüngliche Modell aufgenommen wird. Mehod of Momens Schäzer sind in großen Sichproben konsisen. Mi dem Hausman-Tes kann man im konkreen Einzelfall überprüfen, ob ein Insrumenvariablenschäzer einem KQ Schäzer überlegen is. Ein Insrumenvariablenschäzer is umso präziser, je geringer die Korrelaion mi derjenigen sochasischen erklärenden Variable, die selbs mi dem Sörerm korrelier is. Um das Problem sochasischer erklärender Variablen zu lösen, brauch man für jede sochasische erklärende Variable mindesens eine Insrumenvariable. Aufgabe 4: (ahr-falsch-weil) [16] Sind folgende Aussagen richig? Erläuern Sie sichworarig Ihre Auffassung. Bsp.: Simm, weil bzw. Simm nich, weil ec. (Nur bei korreker Begründung wird die Anwor mi Punken pro rage honorier) Es is nich sinnvoll, zu viele erklärende Variablen im Modell zu berücksichigen. eil Varianz der geschäzen Koeffizienen seig. Der für eine Dummyvariable (0/1) geschäze Parameer is idenisch und unabhängig davon, "in welche Richung" die Variable definier is, ob zum Beispiel 0 für weiblich und 1 für männlich oder 1 für weiblich und 0 für männlich kodier is. Er unerscheide sich im Vorzeichen. Die Regressionskonsane kann nich mi erklärenden Variablen korrelier sein. z.b. mi vollsändigem Saz kaegorialer Variablen oder Indikaoren mi geringer Sreuung Bei nich-sochasischen erklärenden Variablen und Güligkei der allgemeinen Annahmen is der KQ Schäzer auch in großen Sichproben BLUE. enn in klein, dann auch in groß Sochasische erklärende Variablen müssen nich zwingend zu inkonsisenen KQ Schäzern führen. enn Annahmen E(e)=0 und cov(x,e)=0 erfüll oder wenn E(e X)=0 Jede Variable Z für die gil, dass cov(z,e) = 0 kann als Insrumen dienen, wenn das Problem darin beseh, dass eine erklärende Variable x mi dem Sörerm e korrelier is. Bedingung cov(z,x) 0 muss erfüll sein Bei einem einseiigen Durbin-ason Tes auf posiive Auokorrelaion verwerfen wir H0: r=0 wenn d größer is als die obere kriische Grenze. 4
Lehrsuhl für Saisik und emp. irschafsforschung, Prof. Regina T. Riphahn, Ph.D. Muserlösung zur Baseler Abschlussklausur im S 0/03 enn d < d LC Bei auokorrelieren ehlerermen sind Vorhersagen umso genauer, je näher die Vorhersageperiode an der beobacheen Sichprobenperiode lieg. Umso mehr Informaion seck im lezen beobacheen Sörerm für die Vorhersageperiode. Aufgabe 5: [3] ir haben einen AR(1) Prozess in den Sörermen unseres Regressionsmodells. ie laue Corr( e, e ), wenn? Corr( e, e 1 ) 0,5 = Da corr ( e, e ) k = ρ und 1/4 folg k ρ = ( ) corr e, e = 1/4 = 1/. 1 Aufgabe 6: [5] Gegeben sei ein AR(1) Sörprozess: e = e + v für den gil: Ee ( ) = 0; Ev ( ) = 0; Var( v ) = s ; Cov( v, v ) = 0 für s. Zeigen Sie, dass e homoskedasisch is. s 1 v Homoskedasie, wenn Var(e ) unabhängig von und konsan für alle. Var ( e ) = σ = Var ( ρe + υ ) e 1 enn σ ( ) ( ) (, ) = Var e + Var + cov e ρ υ ρ υ 1 1 = ρσ + σ + e e e υ 1 = σ 1 σ σ = υ e 1 ρ kein Einfluss von homoskedasisch 0 5