S. 8 7 Gegenseitige Lage von Ebeben Schnitt von Ebenen a) E : x x + x 6 = und F : x + x + x = E + F : x + x = Parametrisierung: x = λ x = λ In F eingesetzt: λ + x + λ = x = + λ Schnittgerade: X =,, b) E : 7x x + x = und F : x x + x 6 = E F : 6x x = Parametrisierung: x = λ x = + λ In F eingesetzt: λ ( + λ) + x 6 = x = + λ Schnittgerade: X = Spurgeraden a) E : x x x + = Schnittgerade mit der x x Ebene : x = In die Gleichung von E eingesetzt: x x + = Parametisierung: x = σ x σ + = x =,7σ,7
Schnittgerade mit der x x -Koordinatenebene:,7 +,7σ,7,7 X = σ = + σ Schnittgerade mit der x x Ebene : x = In die Gleichung von E eingesetzt: x x + = Parametisierung: x = τ τ x + = x = τ + 7, Schnittgerade mit der -Koordinatenebene: x x τ X = = + τ 7, + τ 7, Schnittgerade mit der x x Ebene : x = In die Gleichung von E eingesetzt: x x + = Parametisierung: x = ν ν x + = x =,ν + 7, Schnittgerade mit der -Koordinatenebene: x x X = ν = + σ 7,,ν 7,, b) E : X =
Normalenvektor: n = = 9 Normalenform von E : 9 6 X = 9x 6x + x + = Anschließend rechnen Sie analog wie in Aufgabe a). Gegenseitige Lage von Ebenen a) und E : X = E : x x + x = = = E he oder man zeigt, dass die Normalenvektoren der Ebenen linear abhängig sind. b) und E : X = E : X = Normalenform: () E : 7 = 7x + x x + = () E : = x + x + x + = ergibt () + () x + 6x + 6 = x + x + 6 =
Parametrisierung ergibt x = σ σ + x + 6 = x = 6 + σ Eingesetzt in() σ 6 + σ + x + = x = 9 + σ Als Schnittgerade s ergibt sich dann X = σ 6 + σ 9 σ = 6 9 + σ c) E : X = = x x + x = und E : x,x +,x = E E : x 8 = x = In E : x + + x = Parametrisierung : x = σ x =,,7σ Schnittgerade s : X =, + σ,7 Spurgeraden a) E : X = Normalenform von E: = x + x x + =
Dann wie in Aufgabe. s : X = + σ,8 s : X =. + τ und s : X =. b) E : x x 6 =, + ν Die Ebene ist parallel zur x -Achse. x x -Koordinatenebene x =. Parametrisierung: x = σ ergibt x σ 6 = x = +,σ und damit ist für die Spurgerade von E in der -Koordinatenebene gegeben durch x x +,σ, X = σ = + σ x x -Koordinatenebene: x = Eingesetzt ergibt sich x 6 = x =, während x = τ beliebig ist. Damit ist für die Spurgerade von E in der -Koordinatenebene gegeben durch x x X = = + τ τ x x -Koordinatenebene: x = Eingesetzt ergibt sich x 6 = x =, während x = ν beliebig ist. Damit ist für die Spurgerade von E in der x x -Koordinatenebene gegeben durch
6 Lotebenen und parallele Ebenen a) und E : X = P Normalenform von E: = x x + x 7 = Ebene durch P parallel zu E: = x x + x + = Ebene durch P senkrecht zu E: = x + x 7 = b) E : x x + x = Ebene durch P parallel zu E: = x x + x 8 = Ebene durch P senkrecht zu E: = x + x 7 = 7 Schnittpunkt dreier Ebenen () E : x x + x = () E : x + x x + = () E : x x x =
() + () : x x + = Parametrisierung: x = σ σ x + = x = + σ In () eingesetzt: σ ( + σ) + x = x = 6 + σ Schnittgerade s von E und E : X = σ + σ 6 + σ = 6 + σ In () eingesetzt: σ ( + σ) (6 + σ) = σ 9 = σ = 9 Eingesetzt in s : S 9 9 Ergebnis ist scheußlich, stimmt aber! 8 Übersicht über die Lagebeziehungen von Ebenen Die Ebenen seien gegeben durch E : a x + a x + a x + a = F : b x + b x + b x + b = G : c x + c x + c x + c = a b c mit den Normalenvektoren a = a, b = b und c = c sowie den erweiterten a b a Normalenvektoren a = a a a a, b = b b b b und c = c c c c Damit die Ebenen E, F und G paarweise voneinander verschieden sind, müssen die erweiteren Normalenvektoren a, b und c paarweise voneinander linear unabhängig sein.
Fall Die Ebenen sind genau dann paarweise parallel, wenn ihre Normalenvektoren paarweise voneinander linear abhängig sind. Fall Wenn genau zwei Normalenvektoren linear abhängig voneinander sind, dann werden die zwei zugehörigen parallelen Ebenen von der dritten Ebene in zwei parallelen Geraden geschnitten. Fall Wenn die drei Normalenvektoren voneinander linear abhängig, aber paarweise voneinander linear unabhängig sind und die drei erweiterten Normalenvektoren linear unabhängig voneinander sind, dann sind die Schnittgeraden von je zwei Ebenen echt parallel. Fall Wenn die drei Normalenvektoren voneinander linear unabhängig sind, dann schneiden sich die Ebenen in einem Punkt. Fall Wenn die drei erweiterten Normalenvekoren voneinander linear abhängig sind, dann haben die drei Ebenen eine gemeinsame Schnittgerae. 9 Schnittgerade Parameterform der Ebenen: E(ABC) : X = E(DEF) : X = + σ + τ Normalenform der Ebenen: () E(ABC) : X = x + x + x + 6 =
() E(DEF) : X = x + x + x = () + () ergibt x + x = Parametrisierung x = ν ergibt x = 7,,ν In () eingesetzt: x + 7,,ν + ν = x = 6,7,ν 6,7,ν 6,7, Schnittgerade: X = 7,,ν = 7, + ν, ν Ebenenschar a) b) E : x x + x + a = F6 6 eingesetzt 6 + + a = a = 8 C 6 eingesetzt 6 + a = a = 6
Gemeinsame Punkte gibt es für 8 a 6 Ebenen und Kugel E : X = 6 9 E : 6x x + x = 6 a) 9 = 6 + 8 = 6 = 6 6 = E he 9 b) l : X = 6 + σ 6 Normalenform von E : X 6 = 6x x + x 9 = 6 (9 + 6σ) ( σ) + ( + σ) 9 = σ = S 7 6 (9 + 6σ) ( σ) + ( + σ) = σ = S S S = 6 S S = + 6 + 6 = Der Mittelpunkt der Strecke S S hat den Ortsvektor und damit ergibt S + S = M sich als Gleichung der Kugel
9 X = 9 Die beiden Ebenen sind Tangentialebenen an die Kugel. G Trigonometrische Gleichung cosx = sin x x ; π cos x + cosx = u + u = u = u = mit u = sinx π x = π u = π G Funktionsterm f(x) = a (x + ) (x ) x-koordinate des Scheitels: x S =,