GrundwissenimFachMathematik 6/ Rauminhalt/Volumen Volumeneinheiten: m = 000dm = dm = 000cm Umrechnungszahl:000/ m = cm = 000mm aber:h =00 VolumeneinesQuaders: V Q = l b h Bsp.: l = 4cm, b = cm, h = cm V Q = 4cm cm cm = 4cm VolumeneinesWürfels: V W = a a a = a Bsp.:a = cm V W = cm cm cm = ( cm) = 7cm GrundwissenimFachMathematik 6/ BrücheI BruchteilewerdenmitHilfevonBrüchenbeschrieben, BerechnungeinesBruchteils: zumbeispiel: von 50 = ( 50 : 5) = 0 5 Zähler 5 Nenner 5 DurchErweiternundKürzenändertsichderWerteinesBruchesnicht. Beispiele: 5 erweitertmit: 5 = 5 = 4 0 von 50 = ( 50 ) : 5 = 0 4 5 0 gekürztmit5: 5 0 = 5: 5 5 0 : 5 = 4 0
GrundwissenimFachMathematik 6/ RationaleZahlen EineZahl,diemandurcheinenBruchangebenkann,heißtBruchzahl.DieBruchzahlenundihre GegenzahlenbildenzusammendieMengederrationalenZahlen Q. 0 BruchzahlenalsQuotientzweierganzerZahlen: z : n = z (fürganzezahlenzundnund n 0 ) n Beispiele: : 5 = 5 6 : = 6 = = 6 : 5 = 6 5 = 5 : 5 = 5 ( 8) : ( 4) = 8 4 = 8 = NR:6 : 5 = R 4 GrundwissenimFachMathematik 6/4 BrücheII UmBrüchevergleichenzukönnen,brauchtmaneinengemeinsamenNenner. Beispiel: 5 istkleinerals 6 0 dagilt: 5 = 4 0 undsomit 4 0 < 6 0 DerkleinstegemeinsameNenneristdaskleinstegemeinsameVielfacheihrerNennerundheißt Hauptnenner. 7 Beispiel: und 8 Hauptnenner:6 7 = 6 und 8 = 6 /
GrundwissenimFachMathematik 6/5 BruchzahleninDezimalschreibweiseI Brüche,derenNennereineStufenzahlist,kannmanauchalsDezimalbruchdarstellen: Beispiele: 408 67 = 408,67 4 00 000 = 4,0 ErweiterteStellenwerttafel: Hunderter H 00 4 Zehner Z 0 0 Einer E, 8 4 Zehntel z 0 6 0 Hundertstel h 00 7 Tausendstel t 000 Nachkommastellen,Dezimalstellen oderdezimalen GrundwissenimFachMathematik 6/6 BruchzahleninDezimalschreibweiseII UmwandelnvonBrücheninDezimalbrüche Möglichkeit: ManbringtdenNennerdurchErweitern/KürzenaufeineStufenzahl. Bsp.: 4 = 5 00 =,5 0 = 7 0 = 0,7 Möglichkeit: MandividiertdenZählerdurchdenNenner. Bsp.: =: 8 = 0,5 (endlicherdezimalbruch) 8 =: 6 = 0,66... = 0,6 (unendlicher,periodischerdezimalbruch) 6 RundenvonDezimalbrüchen(analogzuGW5/) Beispiele:,5077,5,507 7,508 (gerundetaufzehntel) (gerundetauf4nachkommastellen)
GrundwissenimFachMathematik 6/7 Prozentangaben AnteilegibtmanhäufiginProzent( Hundertstel)an. Beispiele: 00 = % 9 00 = 9% UmwandelnineineProzentangabe Möglichkeit: Möglichkeit: Erweitere/kürzedenNennerauf00 Bsp.: 0 = 65 00 = 65% VerschiebedasKommaumStellennachrechts Bsp.: =: = 0,08 = 8,% GrundwissenimFachMathematik 6/8 WichtigeUmrechnungen Dezimalschreibweise Bruchschreibweise Prozentschreibweise 0,5 50% 0, 0,5 0, 0,6 0,5 0,6 0,75,% = % 4 5% 5 0% 6 6,6% =6 % 8,5% 66,6% = 66 % 4 75%
GrundwissenimFachMathematik 6/9 RelativeHäufigkeit Beispiel: EinExperiment,beidemdereinzelneAusgang nichtvorhersagbarist,heißtzufallsexperiment. WerfeneinesWürfels JedermöglicheAusgangeinesZufallsexperie mentsheißtergebnis.,,,4,5und6 FührtmaneinZufallsexperimentmehrfach DierelativeHäufigkeiteinesErgebnisses durch,gibtdieabsolutehäufigkeiteinesere gibtdenanteileinesbestimmtenergebnisses gebnissesan,wieoftdiesesergebnisaufgetree anderanzahlderdurchführungendeszufallse tenist. experimentsan: absolute Häufigkeit relative Häufigkeit = Anzahl der Durchführungen Bsp.:Nach0maligemWürfelnhabeichdreimaleinegewürfelt.DieAugenzahl5hatdie absolutehäufigkeit: relativehäufigkeit: = 0, = 0% 0 GrundwissenimFachMathematik 6/0 Vierfeldertafel Für die Berechnung von absoluten und relativen Häufigkeiten kann eine übersichtliche Tabelle, die sog.vierfeldertafel,sehrhilfreichsein. Bsp.: Vierfeldertafelmitabsoluten Bsp.: Vierfeldertafelmitrelativen Häufigkeiten Häufigkeiten Fan von... kein Fan von... Gesamt Fan von... kein Fan von... Gesamt Mädchen 7 0 Junge 0 5 5 Gesamt 7 8 5 Mädchen 8% % 40% Junge 40% 0% 60% Gesamt 68% % 00%
GrundwissenimFachMathematik 6/ AdditionundSubtraktionvonrationalenZahlenI...vonBrüchen Schritt:Nennergleichnamigmachen(Tipp:Hauptnenner) Schritt:Zähleraddieren/subtrahierenunddenNennerbeibehalten Beispiele: 7 + 5 4 = 4 4 + 5 4 = 9 4 6 0 = 5 0 9 0 = 4 0 = 5 Hauptnenner:4 Hauptnenner:0...vongemischtenZahlen Methode: Umwandelninunechte Methode: GetrenntesRechnen Brüche mitganzenundbrüchen Beispiele: 5 + 5 = 5 + 7 5 = 8 5 = 5 5 + 5 = + ( ) + # 5 + 5 " & = % 5 4 = 5 = 8 = 4 = = 4 = GrundwissenimFachMathematik 6/ AdditionundSubtraktionvonrationalenZahlenII...vonDezimalbrüchen Schreibesountereinander,dassKommaunterKommasteht,undergänzefehlendeEndnullen Beispiele:, 9 7 7 5, 0 0 + 5, 0 0 e, 9 7 7 7, 0 7 7,
GrundwissenimFachMathematik 6/ MultiplikationvonrationalenZahlenI...einesBruchesmiteinernatürlichenZahl ZählermalnatürlicheZahl,Nennerbleibt Beispiele:...zweierBrüche = 7 7 = 6 7 7 4 von 6 = 6 6 = 4 4 = 4 = 7 = 6 7 9 = 7 = 7 Merke: von heißt mal ZählermalZähler,NennermalNenner Beispiele: 7 = 7 = 7 6 = 7 6 = Tipp: KürzenvorMultiplizieren 8 4 7 5 = 4 6 5 = 6 4 5 = 9 4 5 = 7 5 = 5 5 7 = 7 = 6 7 (vgl.multiplikationeinesbruchesmiteinernatürlichenzahl) GrundwissenimFachMathematik 6/4 MultiplikationvonrationalenZahlenII...vonDezimalbrüchen Regel:. Multipliziereso,alswärekeineKommavorhanden.. GibdemErgebnissovieleDezimalstellenwiedieFaktorenzusammenhaben. Beispiele:,9,5 =,65 NR: 9 5 = 65 D D D+D=D 0,9 0,5 = 0,045 NR: 9 5 = 45 D D D+D=4D 0,0,5 = 0,075 NR: 5 = 75 0, 0,5 = 0,075 NR: 5 = 75 Merke: BeigegensinnigerKommaverschiebunginbeidenFaktorenbleibtderProduktwert unverändert.
GrundwissenimFachMathematik 6/5 DivisionvonrationalenZahlen...einesBruchesdurcheinenBruch DividieredurcheinenBruch,indemdumitdemKehrbruchmultiplizierst Beispiele: : 5 7 = 7 5 = 4 5 : 5 = : 5 = 5 = 5 = 4 : 4 5 = 5 4 = 5 8 5 (sieheauchgw6/)...einesdezimalbruchesdurcheinendezimalbruch Regel:. VerschiebedasKommainDivisorundDividendsoweitnachrechts,bisderDivisoreine ganzezahlist.. SetzeimErgebnisdasKomma,wenndubeimDividierendieersteDezimalstelle herunterholst. Beispiel: 0, 05 : 0, 75 =, 5 : 75 = 0, 0 Merke: BeigleichsinnigerKommaverschiebungimDividendundDivisorbleibtderWert desquotientenunverändert. GrundwissenimFachMathematik 6/6 Rechengesetze VerbindungderGrundrechen[ artenundpotenzen Alle bisher bekannten Rechengesetze und Regeln zur Verbindung der Grundrechenarten und Potenzen, die bei den ganzen Zahlen (siehe GW 5/4 und GW 5/5) gelten, behalten ihre GültigkeitbeidenrationalenZahlen. GrundwissenMathematik5.Klasse 5/4 Rechengesetze AssoziativgesetzderAddition: AssoziativgesetzderMultiplikation: FüralleganzenZahlena,b,cgilt: FüralleganzenZahlena,b,cgilt: ( a + b ) +c = a + b+c ( a b ) c = a b c Bsp.: [ ( ) +6 ] +5 = ( ) + [ 6+5] Bsp.: [( ) ] 5 = ( ) [ 5] KommutativgesetzderAddition: KommutativgesetzderMultiplikation: FüralleganzenZahlenaundbgilt: FüralleganzenZahlenaundbgilt: Bsp.: a + b = b+a a b = b a ( ) = ( 6) + Bsp.: 6 + 6 ( ) = ( 6 ) Distributivgesetz: FüralleganzenZahlena,bundcgilt: a b+a c = a b+c a b a c = a b c Bsp.: 6 7 +6 =6 ( 7 + ) =6 0 =60 Vorteilhaftrechnen GrundwissenMathematik5.Klasse 5/5 VerbindungderGrundrechenartenundPotenzen Grundregeln: KlammernhabenabsolutenVorrang.Lösesievoninnennachaußenauf Rechne HochvorPunktvorStrich SindRechenartengleichberechtigt,somussvonlinksnachrechtsgerechnet werden Beispiele ( ) : ( 7 ) 5 = ( 5) :5 5 = 5 = 8 5 [ ( 5 7 ) ( 8 ) ( 5) = ( ) 8 ] 0 5 8 =0 5 64 =0 0 = 00 ( 0 8 5) = ( 0 40) = ( 0) = 400 5 0 8 =5 400 8 =5 00 = 95 [ ( ) +5] = [ 6+5] = = 96
GrundwissenimFachMathematik 6/7 FlächeninhaltvonParallelogramm/Dreieck/TrapezI EinParallelogrammisteinViereck,beidem DieDiagonaleeinesParallelogrammszerlegt diejeweilsgegenüberliegendenseitenparallel dasparallelogramminzweiflächengleiche sind. Dreiecke. DerAbstandzweierparallelerSeitenheißt IneinemDreieckheißtderAbstandeiner Höhe. EckevondergegenüberliegendeSeiteHöhe. FlächeninhalteinesParallelogramms: FlächeninhalteinesDreiecks: A P = g h A D = g h GrundseitemalentsprechenderHöhe malgrundseitemalentsprechenderhöhe GrundwissenimFachMathematik 6/8 FlächeninhaltvonParallelogramm/Dreieck/TrapezII EinTrapezisteinViereck,beidemzweigegenüberliegendeSeitenparallelsind.DerAbstandder beidenparallelenseitenheißthöhe. FlächeninhalteinesTrapezes: A T = ( a + c ) h
GrundwissenimFachMathematik 6/9 Prozentrechnung GrundgleichungderProzentrechnung:Prozentsatz Grundwert=Prozentwert Beispiel: Prozentsatz/gesucht WievielProzentsind7von5? 7 5 = 5 = 0% Beispiel: Prozentwert/gesucht / WievielEurosind0%von75? 0% von 75 = 0% 75 = 75 =5 5 Beispiel: Grundwert/gesucht / Prozentsatz Taschengeldhöhe JuliansmonatlichesTaschengeld 0% 6 wirdum0%erhöht.ererhältdamit : : 0% 6 mehralsvorher. 00% 0 WievielTaschengeldbekamervorher? Antwort: Erbekamvorher0 Taschengeld.