Zusammensellung wichiger Vorlesungsfolien aus SRT für die weierführenden RT-Veransalungen (Januar 24) Negaive Feedback Amplifier Harold S. Black (898-983) Aufbau eines ranskoninenalen Telefonnezesmi4 KanälenimJahr923 durch AT&T Problem: Verzerrungen zerrungenin in Reihenschal- ungenvon Röhrenversärker rkerdurch Nichlineariäen enund Versärkungsänderungen. Lösung: Negaive Feedback Amplifier Paen eingereich 928 Versärker rker werden ab93 eingesez Paen ereil 937 rkungs- Negaive Feedback Amplifier Versärker mi negaiver Rückführung u - y K = u Für V k Widersand Widersand kv >> folg: y V = + kv y V K = u kv y y y(+ kv) = Vu = V(u ky) = Vu kvy = k Versärkung rkung des des rrück- geführen Versärkers rkers Definiion: Dynamisches Sysem Bezeichnungen und Definiionen (2) Ein Ein dynamischessysem sell eine Funkionseinhei zur zur Verarbeiungund und Überragungvon Signalen dar, dar, wobei die die Sysemeingangsgrößen en als als Ursache und und die die Sysemausgangsgrößenals als deren zeilicheauswirkungen zueinander in in Relaion gebrach werden. (Unbehauen (Unbehauen 2) 2)
Thermomeer als dynamisches Sysem Bezeichnungen und Definiionen (3) L (Kapillarfüllung) T Thermomeer L T (Umgebungsemperaur) Eingangsgröße: Innere Größen: Ausgangsgröße: Temperaur T Quecksilberemperaur, Quecksilbervolumen Kapillarfüllung llung L (Skalenanzeige) Bezeichnungen und Definiionen (4) Raumemperaurregelung Fenser auf Regelsrecke Regelgröß öße: Größ öße, die unabhängig ngig von äußeren Einflüssen auf einem gewünschen, fesen oder veränder nder- lichen Wer gehalen werden soll. Sörgr rgröße: Jede auf eine Rege- lung einwirkende Größ öße, die die beabsichige Beeinflussung der Regelung behinder. Sellglied: Ein am Eingang der Srecke liegendes Glied zur Venil Beeinflussung eines Energie oder Mengensromes. Raumemperaur Regler: Gerä zur Erfassung der Differenz zwischen Iswer und Sollwer der Regelgröße und zur Beäigung des Sellgliedes. Sollemperaur Führungsgröße: Größ öße, die der Regeleinrichung von außen zugeführ wird und der die Regelgröß öße e folgen soll Spannung Sellgröß öße: Größe, durch deren Änderung die Regelgröße beeinfluß werden kann. Mi der Sellgröße wird der Energie und/oder Maerialfluß in die Regelsrecke beeinfluß. Black Bo Konzep Konzenraion auf das d Wesenliche Focus auf Überragungsverhalen Informaionen werden verseck Verschiedene Absrakionsebenen Beschreibung mi Hilfe von Blockschalbildern (MIT 948) 2
Blockschalbild Das Das Blockschalbild (oder der der Signalflußplan) is is ein ein Signalflußdiagrammzur Darsellung des des Signalflusses und und des des Wirkungszusammenhangs in in einem Regelkreis. Mi Mi Hilfe des des Blockschalbildes wird eine eine von von allen echnischen Deails absrahieredarsellung des des Regelungsproblems gewonnen. Elemenare Elemene Überragungsglied (allgemein) Signalverzweigung (u = u 2 = u 3 ) Nichlineares Überragungsglied Summaionsselle (u 3 = u + u 2 ) Blockschalbild (4) Beispiel: Dampfurbine Sörungen Venilsellung Solldrehzahl Regelabweichung - Regler Dampffluß Fliehkrafregler (Hebelverhälnis) Sellglied Dampfvenil Drehzahl Regelsrecke Dampfurbine Meßglied Fliehkrafpendel Drehzahl (gemessen) Rückführung mußder Änderung der Drehzahl engegenwirken Drehzahl kleiner Dampffluß größ ößer Beispiel: Feder-Dämpfer mpfer-masse-schwinger Zusammenhang zwischen u() u() und und y() y() wird wird durch durch folgende DGL DGL beschrieben: m m && y() + y() & + y() = u() c d 3
Beispiel: Feder-Dämpfer mpfer-masse-schwinger (2) Lösen einer Differenialgleichung mi mi Hilfe eines Analogrechners Schri : : Auflösen der Differenialgleichung nach der höchsen h Ableiung m m && y() + y() & + y() = u() c d c c c && y() + y() & + y() = u() d m m c m c c c && y() = y() & y() + u() d m m Beispiel: Feder-Dämpfer mpfer-masse-schwinger (3) Schri 2: 2: Aufsellen der Analogrechnerschalung u c m - - y&& Inegraor y& Inegraor y c d c m Beispiel: Feder-Dämpfer mpfer-masse-schwinger (4) Simulink-Modell u y&& y& y Simulaionsergebnis für für m =,, c =,, d = 4
Grundsrukur einer Regelung Führungsgröße w() Sörungen Regelabweichung z() Sellgröße Regelgröße e() u() y() - Regler Regelsrecke Rückkopplung Sörgröße z 2 () Führungsgröße Regeldifferenz Sellgröße Sörgröße z () (Versorungssörung) (Lassörung) Regelgröße w() e() Regler u() Regelsrecke y() Sörgr rgrößen- und Folgeregelung Eine Regelung kann verschiedene Ziele verfolgen: Veränderung der dynamischeneigenschafen eines Sysems(Sabilisierung, Dämpfung, D Schnelligkei, Robushei). Ausgleichen von Sörungen (Raumheizung, Dampfurbine, Tempoma,, Körperemperaur, K...). Sörgrößenregelung ößenregelung Regelgröße e dem zeilichen Verlauf der Führungsgrößeanpassen (Werkzeugmaschinen, Nachführen hren von Anennen, Kurshalung,...). Folgeregelung Sörgr rgrößen- und Folgeregelungen (2) Sörgrößenregelung ößenregelung Besimme Größen eines Sysems, die die Regelgrößen, en,, sollen vorgegebene fese Sollwere einhalen, ohne daß daßdie die Sörungen, die die auf auf das das Sysem einwirken, von von nennenswerem Einfluß sind. Eine derarige Regelung wird als als Feswerregelung oder Sörgrößenregelung bezeichne. Versorgungssörung rung Lassörung z() z() y() y() Srecke - Srecke - u() Regler - w() = cons u() Regler Blockschalbilder Arbeispunk 5
Sörgr rgrößen- und Folgeregelungen (3) Folgeregelung Ofmals müssen m die die Regelgrößen en eines Sysems sich sich den den ändernden Sollwerenmöglichs gu gu nachgeführ hr werden. Diese Regelungsar wird Folgeregelungoder oder Nachlaufregelunggenann. genann. In In diesem Fall Fall wird die die sich sich ändernde Sollgröße e reffender als als Führungsgröße bezeichne. w() - e() Regler u() Srecke y() Blockschalbild Grundsrukur einer Seuerung z() Offene Wirkungskee (feedforward( conrol, open loop conrol) Seuereinrichung erhäl keine Informaionen über Sörungen Dynamische Eigenschafen der Seuersrecke müssen m genau bekann sein Beispiele für f r Seuerungen Mikrowelle Abfüllauoma Roboerseuerungen Raumemperaurseuerung Nach- Nachabsenkung absenkung 6
Wann sind Regelungen nowendig? Gegenübersellung: Seuerung und Regelung Seuerung Offene Wirkungskee Die Srecke muß genau bekann sein Kann auf Sörungen nich reagieren Kein Soll-Is Is-Vergleich Keine Sensoren nowendig Sabiliä der Srecke wird nich veränder Regelung Geschlossener Regelkreis Wenn nich meßbare Sörungen auszu- gleichen sind. Wenn die Dynamik der Regelsrecke zu verändern is (Sabilisierung insabiler Sysem). Die Seuerungsaufgaben roz veränderer Eigenschafen der Regelsrecke zu erfüllen sind. Die Regelsrecke nich ausreichend genau bekann is. Die Srecke muß nich genau bekann sein (Robushei gegenüber Parameeränderungen) Kann Sörungen ausregeln (Sörkompensaion) Soll-Is Is-Vergleich Sensoren sind nowendig Der geschlossene Regelkreis kann insabil werden Modellbildung -- Modell der der Regelsrecke -- Modell der der GüeanforderungenG Analyse der Regelsrecke -- Sabiliä,, Dämpfung, D Seuer- und Beobachbarkei Auswahl der Reglersrukur -- Reglerordnung, Meß- und Sellgrößen en Feslegung der Reglerparameer Erprobung des Reglers in in der Simulaion z() Vorbereiungsphase -- Überprüfung der der Güeanforderungen G mi mi Malab/Simulink - u() Srecke? y() 7
Vorgehensweise bei Regelungsaufgaben Modellebene Modell der Regelsrecke Reglerenwurf Reglergesez Modellbildung Realisierung Prozeßebene Regelsrecke Fuzzy- Regelung Regler Modellbildung Analyisch:Aufsellen der der Sysemgleichungen uner Verwendung bekanner physikalischer und und /oder chemischer Geseze Modellierung im im Zeibereich Differenialgleichungen höherer Ordnung Zusandsraummodelle (Differenialgleichungen -er Ordnung) Modellierung im im Frequenzbereich Differenialgleichungen werden mi mi Hilfe der der Laplace- Transformaion zu zu algebraischen Gleichungen Überragungsfunkion Eperimenell:Messung der der Anwor der der Regelsrecke auf auf geeignee Tessignale Lineare Syseme Lineare Überragungsoperaion: y ( ) = Lu { ( )} Lineare Überragungsoperaion: 2. 8
Lineare Syseme (2) r r = 2 u ( ) = au ( ) + au ( ) 2 2 y Lu y ( ) = ay ( ) + a y ( ) 2 2 ( ) = { ( )} 2 = 2 y ( ) = Lu { ( )} y ( ) Lu { ( )} Im Im weieren wird vorausgesez, daßdas Verhalen der beracheen Syseme linear is is!!!! Lineare Syseme (2a) Linearisierung nichlinearer Syseme Voraussezungen Es werden nur kleineabweichungen um fese Arbeispunke berache. Die Were der Variablen am Arbeispunk werden durch den Inde gekennzeichne. Die Abweichungsgrößen en werden durch kleine Buchsaben gekennzeichne: y = Y Y = Y Y Unerscheidung: Linearisierung des saischen und dynamischen Verhalens. 9
Linearisierung nichlinearer Syseme (2) Linearisierung: Dynamisches Verhalen Linearisierung einer nichlinearendifferenialgleichung in in der Umgebung einer Ruhelagedurch Taylor-Reihenenwicklungund und Vernachlässigung der Terme höherer h herer Ordnung. Beispiel m L Φ && () + m g sin ( Φ ()) = F( ) (m L Φ&& ) ( m g sin( Φ) ) Φ() ϕ+ && ϕ = L Φ&& Φ m L Φ && () m Φ() mg F() Φ = Φ = ` m L ϕ+ && m g cos( Φ = ) ϕ = f = m L ϕ &&() + m g ϕ () = f() f Linearisierung nichlinearer Syseme (3) Linearisierung: Saisches Verhalen Linearisierung einer saischen Kennlinie: a) a) graphische Linearisierung b) b) analyische Linearisierung Seigung Seigung der der Tangene Tangene im im Arbeispunk. Arbeispunk. a) y Originalkoordinaen Y Y y AP u u Y Y + K ( U U ) Y Y K ( U U ) y u U U Lineare Koordinaen y = K u Linearisierung nichlinearer Syseme (4) a) a) Forsezung Der Der nichlineare Zusammenhang zwischen Ein- Ein-und Ausgang U Y wird wird durch durch die die lineare Beziehung im im Arbeispunk ersez. u K y Y K = U U is is die die Seigung der der Tangene im im Arbeispunk.
Modellierung mi Tessignalen: Sprungfunkion für < () = für u() () Definiion: Sprungfunkion () () (Einheissprungfunkion) Graphische Darsellung u() (- ) für < ( ) = für Zeiverschobene Sprungfunkion (- (- ) ) Tessignal Sprungfunkion (2) Einschalen von von Zeifunkionen durch (- (- ) ) Funkion u( ) = u ( kt) i k= u u ( ) Approimaion u u ( ) + u ( T) Approimaion beliebiger Funkionen T Sprunganwor 2.4 Sprungfunkion () () K = h( ) = lim h ( ) S Sysemversärkung Sprunganwor h() h()
Impulsfunkion und Impulsanwor für α Dirac scher Delaimpuls δ() δ() u() δ ( ) δ ( ) Recheckimpuls mi mi normierer Impulsfläche Symbolische Darsellung 2.5 Dirac scherdelaimpuls Delaimpuls δ() δ() Gewichsfunkion g() g() Dirac sche Delafunkion /2τ τ δ() -τ τ Die Die Delafunkion is is eine eine Disribuionoder oder verallgemeinere Funkion Ein Ein von von Null Null verschiedener Funkionswer ergib sich sich nichdurch Einsezen eines Argumenes, sondern durch eine eine Rechenvorschrif. Ausblendeigenschaf δ ()d = f() δ( )d = f( ) Ausblendeigenschaf des Delaimpulses Das Inegral über das Produkeiner Funkion f()mi dem Delaimpuls δ() ()blende alle Funkionswere bis bis auf f() aus: f ( ) δ ( d ) = f () δ ( ) f() Ausblendeigenschaf des verschobenen Delaimpulses: f ( ) δ ( ) d = f ( ) δ ( ) f() 2
Falungsinegral Definiion: Eigenschafen: Beschreib die Beziehung zwischen Eingangs-und Ausgangssignal im im Zeibereich. Besimmung des Ausgangssignals für f r beliebige Eingangssignale. Achung: is eine Konsane u() g ( ) Gewichsfunkion enhäl die die gesame Informaion über das dynamische Verhalen eines linearen Sysems. Modellbildung mi Hilfe von Differenialgleichungen Unerscheidung: Überragungsmodell (Klemmenmodell) Zusandsgröß ößenmodell (Zusandsmodell) Die Zusandsgrößen beschreiben den Energiegehal der im im Sysem enhalenen Speicherelemene. Beispiel: Feder-Dämpfer-Masse-Sysem Feder: Speicher für für poenielle Energie Masse: Speicher für für kineische Energie Zusandsmodell Sysem von Differenialgleichungen -er Ordnung 3
u u Technisches y Überragungssysem Modell des echnischen y Überragungssysems Beispiel: Pneumaischer Speicher? Druck, Volumen Speicherkapaziä Durchfluß Srömungs mungs- widersand Eingangsgröße: u() = p e () () q() = [p e() p()] W Ausgangsgröße: y() = p() p() & = q() CV Geseze: Durchfluß = Druckgefälle / / Srömungswidersand Druckänderung = Durchfluß / / Speicherkapaziä Beispiel: Pneumaischer Speicher (2) 3 m Pa Pa 3 / m s Proporionalüberragungsglied y() mi = p() Verzögerung (Zeikonsane). Ordnung u() = p e () PT -Sysem Anwendung der der Laplace-Transformaion TsY( s ) + Y( s) = U( s) Y( s)( Ts+ ) = U( s) Y( s) = U( s) + st / T L y ( ) = L U( s) + st y ( ) = = ( e ) ( ) s( + st) /sfür u() u() = () () Tabelle A.2, Korrespondenz 6 PT -Sysem Beispiel: Pneumaischer Speicher (3) T Zeikonsane Sprunganwor Gewichsfunkion 4
Beispiel: Mechanischer Schwinger Speicher für f für poenielle Energie F c Kräfegleichgewich F c = F m + F d F m Speicher für f für kineische Energie F d F = ( u y) c c F = my && m F = dy& d m d && y( ) + y& ( ) + y( ) = u( ) c c Beispiel: Mechanischer Schwinger (2) Normiere Differenialgleichung schwingungsfähiges higes PT 2 -Sysem Dämpfungsgrad ungedämpf kriisch gedämpf Eigenfrequenz der der unge- ungedämpfen Schwingung überkriisch gedämpf Sprunganwor Syseme ohne Ausgleich (I-Syseme) U() U() Füllsand einer Badewanne Zurückgeleger Weg einer Aufzugskabine 5
Syseme ohne Ausgleich (2) Beispiel: Füllsand F eines Beckens Mahemaische Beschreibung Seigung der der Sprunganwor = K I u I h h Sprunganwor M = Ci () Förderanrieb A I ω& () B ω() ω() PT PT -Sysem I-Syseme mi Verzögerung Zusammenhang zwischen i A i() A () und und ω() ω() I ω &() + B ω() Ci () = Zeikonsane T m = I/B I/B Sysemversärkung K S = S C/B C/B A B Zusammenhang zwischen i() i() und und y() y() Tm&& y() + y() & = K C I i A() = K i B A() T y() & + y() = K i ( τ) dτ m IT IT -Sysem A mi Ideales Ideales I-VerhalenI I-Verhalen y() = K I ω( τ)dτ bzw. ω () = & y() K y() & = K ω() I folg und I Definiion: Laplace-Transformiere Laplace-Transformaion Is f() ein Signal mi der Eigenschaf f() = für <, so laue die einseiige Laplace-Transformiere: s F(s) = f() e d Inegralransformaion Laplace-Operaor: s σ+ jω Korrespondenzzeichen Bezeichnungen: f() :: Originalfunkion, Zeibereich F(s) :: Bildfunkion, Bildbereich, Laplace-Bereich 6
Überragungsfunkion Gegeben: Definiion: Überragungsfunkion Die Überragungsfunkion G(s) eines Sysems besimm sich über das Verhälnis der Laplace-Transformieren seiner Ein- und Ausgangssignale: { } { } LT y() G(s) LT u() Y(s) = U(s) Y(s) ) und U(s) ) sind die Ein- und Ausgangsgröß ößen des Sysems im Bildbereich. Überragungsfunkion: Beispiel SRT, S.49 2D && y( ) + y& ( ) + y( ) = u( ) ω ω 2 Anwendung des Differeniaionssazes auf && y( ) + 2 Dω y& ( ) + ω y( ) = ω u( ) 2 2 für && y() = y& () = y() = liefer: sy( s) + 2 Dω sy( s) + ω Y( s) = ωu( s) 2 2 2 Y(s) ω G(s) = = U(s) s 2D s 2 2 2 + ω +ω Überragungsfunkion (3) Zusammenhang Gewichs-und Überragungsfunkion Die Überragungsfunkion G(s) ) läss l sich über die Gewichsfunkion g() durch die Laplace-Transformaion besimmen: s G(s) LT g() g() e d { } = = 7
Anwendung des Falungssazes Reihenschalung zweier Syseme Lösung im im Zeibereich (Falungsinegral) Lösung im im Bildbereich (Falungssaz) Y (s) = G (s)u(s) Y(s) = G 2(s)Y (s) 2 = G (s)g (s)u(s) Falungssaz sell die die Grundlage der der Blockschalbildalgebradar (Tabelle 2.4). 2.4). Überragungsfunkion (4) Pole und Nullsellen Zähler und Nenner der Überragungsfunkion lassen sich in Linearfakoren (Fundamenalsaz der Algebra, Bronsein S. 576, SRT S.) zerlegen: Lösungen der Gleichung Z(s) ) = Z(s) = b + b s + L+ b s N(s) = a + a s + L+ a s m m n n n i : i : Nullsellen und und p i : i : Pole der der Überragungsfunkion G(s) G(s) m = b (s n ) m j j= n Lösungen der Gleichung N(s) ) = = a (s p ) n i= i Darsellungsformen b + b s + L+ b s G(s) = a a s a s m m + + L+ n n m ( s n j) bm j= G(s) = n an ( s pi) i= (Polynomform) (Pol-Nullsellen-Form) Überragungsfunkion (5) Das Das Pol-Nullsellen- Bild Bild beschreib eine eine Überragungsfunkion bis bis auf auf den den Fakor b m /a m /a n vollsändig n!!!! Pole Pole Pol- Pol-Nullsellen-Bild O O O Nullsellen 8
Überragungsfunkion: Realisierbarkei Für Grad Z(s) > Grad N(s)gil mi Grad Z (s) = n - Es reen ideal differenzierende Glieder auf! du( ) u( ) = sinω y( ) = = ω cosω d Ideales D-Glied D is echnisch nich realisierbar!!! Eigenschafen der Pole Pole und Nullsellen der Überragungsfunkion sind wichige Kenngrößen eines dynamischen Sysems. Die Eigenbewegung(Eigendynamik) eines dynamischen Sysems sez sich aus Eponenial- funkionene λ i i zusammen, deren Eponenen gerade den Polenensprechen ensprechen (λ (λ i =p i =p i ). i ). Haben sämliche s Pole negaivenrealeil, so so kling die Eigenbewegung ab, das Sysem is is sabil. Die Differenz n-mder Ordnungen des ZZähler-und Nennerpolynoms der Üfk.. wird Differenzgrad genann, und is is eine weiere wichige Kenngröße. e. Beispiel: ( s+ N) R R2 G( s) = = + ( s+ 2)( s+ 3) ( s+ 2) ( s + 3) Koeffizienenvergleich ( R + R2) s+ 3R + 2R2 = ( s+ 2)( s+ 3) Parialbruchzerlegung R + R 2= R = R 2 3R + 2R 2= N einsezen von R liefer: 3 3R2 + 2R 2= N R2 = N 3 N 2 3 N R 2= 3 N, R = N 2 G( s) = + ( s + 2) ( s + 3) Korresp. 3 in in Tabelle A.2: A.2: g() = (N 2)e + (3 N)e 2 3 9
PT-Sysem: Pole und Zeiverhalen PT -Sysem: Nullsellen: Keine Polselle: sp = T K G(s) = + st jω h() K Ein Ein Sysem reagier um um so so schneller, je je weier enfern sich sich ein ein Pol Pol von von der der Imaginärachse befinde. s p= -/T jω s p= -/T σ σ h() K T T PT2-Sysem: Pole und Zeiverhalen g() g() Zei Zei g() g() Zei Zei g() g() Zei Zei g() g() Zei Zei Pole und Eigenbewegungen jω s σ 2
Eigendynamik eines Sysems Die Die Eigendynamikbeschreib die die Eigenbewegung eines eines dynamischen Sysems, die die das das Sysem ohne ohne Erregung von von außen auf auf Grund Grund einer einer Anfangs- auslenkung ausführ. "Kurzer Hammerschlag" Sysem Überragungsfunkion G(s) Y(s) = G(s) Y(s) = G(s). {δ()} = G(s). = G(s) Korrespondenzabelle Nr. 34 Die Überragungsfunkion G(s) beschreib die Eigendynamik eines dynamischen Sysems!! Eigenschafen der Nullsellen Eine Nullselle n ii der Überragungsfunkion blockier die Überragung eines Signals u() ) = e ni ni mi der kompleen Frequenz n i. i. Die Nullsellen besimmen mi, mi welchem Gewich, die zu zu einem Pol λgehörende Eponenialfunkion e λ λ in in die Eigendynamik eingeh. Die Nullsellen der Überragungsfunkion haben keinen Einflußauf die Sabiliä des dynamischen Sysems. Die Nullsellen beeinflussen aber sehr wohl die Sabiliä des rückgekoppelen Sysems. Blockierung der Signalüberragung Gegeben sei die Überragungsfunkion s + G (s) = (s + 2)(s + 3) Eigenschafen der Nullsellen (2) Die Überragungsfunkion ha 2 Pole bei s = p = -22 und s = p 2 = -3 und eine Nullselle bei s = N = -. Das Eingangssignal u() = e N i = e - wird durch G(s) nich überragen: Y (s) = G (s) U (s) Tabelle A.2, Korrespondenz 3 s + = L (s + 2)(s + 3) { e } s + = (s + 2)(s + 3) s + = (s + 2)(s + 3) 2
Syseme mi Tozei Differenialgleichung Tozei Der Rechsverschiebungssaz (Tabelle A.) der Laplace- Transformaionliefer eine ranszendene Überragungsfk.: Beschreibung im Bildbereich: Zusammenfassung Beschreibung des Überragungsverhalens durch gebrochen raionale Funkionen (Überragungsfunkionen( berragungsfunkionen): Für r Syseme mi Tozei,, ri noch eine ranszendene Funkion auf: Das Nennerpolynom N(s) der Überragungsfunkion wird charakerisisches Polynom genann, da die Lösungen L (Pole( Pole) ) der charakerisischen Gleichung N(s) = die Eigenbewegungen des Sysems besimmen. Beschreibung im Bildbereich: Zusammenfassung Dami die Eigenbewegungen eines Sysems abklingen, müssen m alle Pole von G(s)negaive Realeile haben. Je größ ößerdie Beräge der Realeile der Polevon G(s)sind, sind, um so kleiner sind die zugehörigen, die Verzögerung besimmenden Zeikonsanen. Dich am Ursprung der s-ebene liegende Pole (große Zeikonsanen) haben einen dominierenden Einflußauf das Überragungsverhalen. Die Lage der Nullsellender Überragungsfunkion ha einen wesenlichen Einflußauf das Übergangsverhalen eines Sysems. 22
Sabiliä dynamischer Syseme Sabiliä dynamischer Syseme (2) Sabiliä dynamischer Syseme (4) 23
Beispiel für f r Insabiliä Doppelpol im im Ursprung ±() y () y 2 () ±() y () y 2 () Moivaion: Die Die Nullsellenbesimmung is is für ffür r Polynome Algebraische Sabiliäskrierien skrierien P(s) P(s) = a n s n s n n + a n- s n- s n- n- +...... + a s s + a vom vom Grad n 4 im im allgemeinen nur nur numerisch möglich. Für Für r die die Sabiliäsanalyse sanalyse brauch man man die die genaue Lage der der Nullsellen nich zu zu kennen, sondern man man frag nur nur danach, ob ob alle alle le Nullsellen von von P( P( s) s) in in der der linken s-halbebene s liegen (ein (ein solches Polynom P( P( s) s) nenn man man sabil bzw. ein ein Hurwiz-Polynom). Hurwiz-Krierium (895) Nowendige Bedingung: Alle Alle Koeffizienen des des Polynoms P(s) P(s) müssen vorhanden sein sein und und das das gleiche Vorzeichen besizen. Sind Sind diese Bedingungen nich erfüll, so so is is P(s) P(s) kein kein Hurwiz-Poynom. Hurwiz-Krierium Hurwiz-Krierium Hinreichende Bedingung: H a = > n H 2 a a n n 3 = > a a n n 2 a a a n n n 3 5 H = a a a > 3 n n 2 n 4 a a n n 3 24
Hurwiz-Krierium (2) Beispiel: Gegeben sei das Polynom P s s s s 3 2 ( ) = 6 + 4 + 2 + Nowendige Bedingung is is erfüll, da da alle alle a i i vorhanden und und posiiv sind. a = a = n n 3 6 a = a = n 2 4 a = a = n 2 2 a = a = 3 Berechnung der Haupdeerminanen: an an 3 4 H = an = 4> H2 = = 2 > a a 6 2 = n n 2 Das Das Polynom P(s) P(s)is ein ein Hurwiz-Polynom!! 4 Berechnung von von H n is n is nich nowendig: 6 2 H 3 = = 2 4 H = 2 > Pol-Nullsellen Nullsellen-Kompensaion Die Die Überragungseigenschafen eines dynamischen Sysems können k durch eine eine Pol-Nullsellen-Kompensaion(Seuerung) ) veränder werden: Sysem reagier schneller s+ a G S(s) = G K (s) = G(s) = G S(s) G K(s) = s + a s + b s + b Voraussezungen: Die Die Srecke (Lage der der zu zu kompensierenden Pole) muß bekann sein. Eine Polkompensaion is is nur nur in in der der linken s-halbebene, also also für ffür sabile Pole möglich. Sandardregelkreis Sörgr rgröße Führungsgröße Regelgröß öße Meßrauschen Rückf Rückführung aufgeschnien aufgeschnien (offen) (offen) Überragungsfunkion G (s) (s) des des offenen Regelkreises für ffür z=w=r=: Y (s) = G (s)g (s)y (s) = G (s)y (s) a R S e G (s) = :G R (s)g S(s) e 25
Führungsüberragungsfunkion W(s) Führungsgröße Definiion: E(s) - G R (s) G S (s) Y(s) G (s) Regelgröß öße Y(s) = G (s) E(s) = G (s)[w(s) Y(s)] Die Die Führungsüberragungsfunkion G W (s) (s) gib gib die die Wirkung der der Führungsgröße W(s) auf auf die die Regelgröße Y(s) Y(s) an. an. Für FFür r den den Sandard-Regelkreis berechne sie sie sich sich durch: Y(s)[ + G (s)] = G (s)w(s) Führungsverhalen: Y(s) = G (s) W(s) W Regelungsaufgabe: Y(s) : W(s) = w G (s) = Definiion: - Sörüberragungsfunkion Sörgr rgröße Z(s) Regelgröß öße G R (s) G S (s) Y(s) Y(s) = Z(s) G (s) Y(s) G (s) Y(s)[ + G (s)] = Z(s) Mi Mi der der Sörüberragungsfunkion G z (s) z (s) lassen sich sich die die Wirkungen der der eernen Sörungen Z(s) Z(s) auf auf die die Regelgröße Y(s) Y(s) berechnen. Für FFür r den den Sandard-Regelkreis laue sie: sie: Sörverhalen: Y(s) = G (s) Z(s) Regelungsaufgabe: Y(s): z = z G (s) = Sandardregelkreis(2) Sörgr rgröße Führungsgröße Regelgröß öße Rückf Rückführung geschlossen geschlossen Meßrauschen Zielkonflik 26
PT2-Sysem (komplee Pole) Differenialgleichung: Überragungsfunkion: 2 2 2 2 Pole: Aus Aus s + 2Dωs + ω = folg folg s,2 = Dω ± ( Dω) ω s = ( Dω ) + ω ( D ) = ω 2 2 2,2 = Dω ± Für D < ergib sich: 2 ω D ω 2 s,2 = Dω ± jω D Dω cosϕ = Für D = ergib sich: s = s2 = ω = D ω und für f D = :,2 s = ± jω Definiion: Saionäres Verhalen des Regelkreises Die bleibende Regelabweichung e sell die Abweichung zwischen Führungs- und Regelgröße bzw. Sör- und Regelgröße im im saionären Verhalen nach einem angelegen Eingangssignal dar. Führungsverhalen w() Regelkreis y() Bleibende Regelabweichung Ideales Verhalen Reales Verhalen Sörverhalen z() y() Übergangsverhalen Saionäres Verhalen Ohne Regler Regelkreis Bleibende Regelabweichung Reales Verhalen Ideales Verhalen Bleibende Regelabweichung: Führungsverhalen F W(s) Führungsgröße Bleibende Regelabweichung - ( ) e = lim e() = lim w() y() W(s) = s s E(s) ( Y(s) ) = lim s W(s) G (s) = lim s W(s) W(s) s + G (s) = lim sw(s) s + G (s) G R (s) G S (s) Y(s) G (s) G (s) Regelgröß öße G (s) Y(s) = W(s) + G (s) + G (s) G (s) = lim = lim s s + G + (s) G (s) 27
Bleibende Regelabweichung Bleibende Regelabweichung: Sörverhalen e = lim e() = lim y() = lim sy(s) s = lim s Z(s) s + G (s) = E(s) lim s + G (s) - G R (s) G S (s) Y(s) G (s) Sörgr rgröße Z(s) Z(s) = s Regelgröß öße Y(s) = Z(s) + G (s) Der Der Berag der der bleibenden Regelabweichung is is in in beiden Fällen F gleich groß und und von von G (s)für s (Versärkung rkung des des offenen Kreises) abhängig. Saionäre Regelgüe: Fehleraren Ordnung Zeisignal Bildfunkion Signalform Fehlerar - Regelgüe ~ () ~ s w() z() Regelfehler.Ordnung Lagefehler 2 ~ () ~ s 2 w() z() Regelfehler 2. Ordnung Geschwindigkeisfehler 3 ~ 2 () ~ s 3 w() z() Regelfehler 3. Ordnung Beschleunigungsfehler Saionäre Regelgüe K b + b s + b s + L + b s 2 m 2 m = l 2 n l s a + a s + a2 s + L + an l s G (s) P-Regler an einer Srecke mi Ausgleich bewirk eine bleibende Regelabweichung!! I-Regler an einer Srecke mi Ausgleich regel sprungförmige rmige Anregungen vollsändig aus!!!! Die Die saionäre Regelgüe is is sowohl von von der der Ar Ar der der Anre- gungals als auch vom Verhalen des des offenen Sysems abhängig. 28
Sysemversärkung rkung Syseme mi Ausgleich h() K K = h( ) = lim h ( ) s = lim sh( s) = lim sg( su ) ( s) s = lim sg( s) =G() s s Syseme ohne Ausgleich K + β s + β s + L + β s G (s) 2 m 2 m = l 2 n l s + α s + α2 s + L + αn l s 2 n l Der Der saionäre Endwer der der Über Übergangsfunkionh()gib gib das das saische Versärkungsverhälnis rkungsverhälnis eines eines Sysems wieder und und wird wird als als Sysemversärkung rkung K bezeichne. Wenn der proporionale Überragungs- aneil 2 m + β s + β2 s + L + βm s K s s 2 s n l + α + α + L + α nur Pole in der linken s-halbebene ha, dann is K der Endwer der Übergangs- funkion dieses Terms. Diese Diese Versärkung Versärkung rkung K des des proporionalen proporionalen Überragungsaneil besimm besimm das das saionäre saionäre Verhalen Verhalen des des Regelkreise Regelkreise (vgl. (vgl. Skrip Skrip SRT, SRT, Tabelle Tabelle 3.) 3.) und und wird wird auch auch bei bei Sysemen Sysemen ohne ohne Ausgleich Ausgleich als als Sysem- Sysemversärkung(Versärkung rkung(vers rkung des des offenen offenen versärkung Sysems) Sysems) bezeichne. bezeichne. Regelkreisenwurf (2) Anforderungen an an den geschlossenen Regelkreis ) ) Als Als Mindesanforderung muß der der Regelkreis sabil sein. 2) 2) Die Die Sörgröße öße z()soll einen möglichs m geringen Einflußauf G die die Regelgröße y() y() haben. G W = ( + G )( + G ) = : 3) 3) Die Die Regelgröße y() y()soll einer zeilich sich sich verändernden Führungsgröße w() w() möglichs genau und und schnell folgen. 4) 4) Der Der Regelkreis soll soll möglichs m unempfindlich gegenüber nich zu zu großen Parameeränderungen sein. Nominalgröß Nominalgröße öße Akuelle Akuelle Größ Größe öße Regelkreisenwurf (3) Die Anforderungen 2 44 können k mi G (s) = G S(s) G R (s) sehr große Regler- versärkung rkungnowendig erfüll werden. Beliebig große e RRückführversärkungen rkungen sind in in der der Prais aus aus diesen Gründen nich zu zu realisieren: Dynamisches Verhalen des des Sellgliedes ((Sellgrößen- enbeschränkung), Zu Zu große e Belasung der der Regelsrecke, Versärkung rkung des des Schwingungsverhalens oder sogar Verlus der der Sabiliä.. 29
Regelkreisenwurf (4) Güemaße e im Zeibereich: Führungsverhalen h(),9 Überschwingweie e ma Toleranzbereich 2 ε bleibende Regelabweichung e( ) Überschwingzei T m Ausregelzei T ε Ansiegszei T a Anregelzei T an Regelkreisenwurf (5) Güemaße e im Zeibereich: Sörverhalen Toleranzbereich Toleranzbereich 2 εε Ausregelzei Ausregelzei T ε ε bleibende Regelabweichung e( ) Regelkreisenwurf (7) Inegralkrierien y() y() 3
Regelkreisenwurf (8) Inegralkrierien (2) Einsellung eines PID-Reglers Ein PID-Regler beseh aus einer Parallelschalung eines P-,, I-und I D-Gliedes: D Nachsellzei Vorhalezei K R.T D 4T D < T I Ta = 2TD q + ( )2 2TD TI TD = Tb 2TD q ( )2 2TD TI TD Einsellung eines PID-Reglers (2) st D G R (s) = K R ( + + ) sti + Ts D-Aneil D-Aneil.δ() I-Aneil I-Aneil P-Aneil P-Aneil Sprunganwor Sprunganwor des des idealen idealen PID-Reglers PID-Reglers Sprunganwor Sprunganwor des des realisierbaren realisierbaren PID-Reglers PID-Reglers Die Die NachsellzeiT NachsellzeiT I u R I() = K is I is die die Zei, Zei,, die die vergehen vergehen muß, muß, dami dami die die Sprunganwor Sprunganwor des des I-I T I- I Aneils Aneils den den Wer Wer erreichen erreichen kann, kann,, den den der der P-Aneil P-Aneil beim beim Sprung Sprung sofor sofor erreich. erreich. u () = K Die Die VorhalezeiT VorhalezeiT D is D is die die Zei, Zei,, die die vergehen vergehen muß, muß, dami dami die die Rampenanwor Rampenanwor des des P-P P- Aneils Aneils den den Wer Wer erreichen erreichen kann, kann,, den den der der D-Aneil D-Aneil bei bei einer einer Rampe Rampe sofor sofor erreich. erreich. u D () = K R TD P R 3
Wirkungsweise des PID-Reglers Einsellung eines PID-Reglers (3) P-Aneil: I-Aneil: Je Je größer die die Regelabweichung e(),, deso größer is is der der P-Aneil in in der der Sellgröße u(). u(). P-Aneil reagier auf auf den den momenanen Wer der der Regelabweichung. Berücksichig nur nur die die Gegenwar. Inegrier die die Regelabweichung. Der Der I-Aneil I in in der der Sellgröße e wird wird so so lange größer, bis bis die die Regelabweichung zu zu Null Null geworden is. is. Daher kann er er bei bei sabilen Sysemen saionäre Genauigkei erzwingen. Da Da alle alle zurückliegende Were der der Regelabweichungen in in das das Inegral eingehen, berücksichig der der I-Aneil I die die Vergangenhei. Wirkungsweise des PID-Reglers Einsellung eines PID-Reglers (4) D-Aneil: Je Je größer die die Änderungsgeschwindigkei der der Regelab- weichung,, deso größer is is der der D-Aneil D in in der der Sellgröße. e. Dadurch verhinder der der D-Aneil, D daß daßsich große Regelabweichungen aufbauen können. k Seine Wirkung is is in in die die Zukunf geriche. Einsellung eines PID-Reglers (5) Einsellregeln nach Ziegler-Nichols Die Die von von Zieglerund Nichols* empirisch gefundenen Einsellungs- regeln liefern für ffür r viele Regelsrecken erse brauchbare Einsellungen für ffür r einen PID-Regler. Es werden zwei Verfahren unerschieden: I. I. Mehode des Sabiliäsrandes srandes II. II. Mehode der Übergangsfunkion *Ziegler, J. G.; Nichols, N. B.: Opimum seings for auomaic conrollers, Trans. ASME, 64 (942), pp. 759-768; 32
Mehode des Sabiliäsrandes srandes Einsellung eines PID-Reglers (6). Der Regelkreis wird mi Hilfe eines P Reglers geschlossen. 2. Die Reglerversärkung rkung wird solange erhöh, h, bis der geschlossene Kreis Dauerschwingungen ausführ. Die dabei eingeselle Reglerversärkung rkung wird als K Rkri bezeichne. 3. Anhand der Versärkung rkung K Rkri und der Periodendauer T kri der Dauerschwingung werden die Reglerparameer mi Hilfe der Tabelle 4.2 fesgeleg. Einsellung eines PID-Reglers (7) 4.2: Mehode der Übergangsfunkion Einsellung eines PID-Reglers (8).. Durch Eperimene mi mi der der Regelsrecke wird die die Übergangs- funkion besimm. 2. 2. Die Die Übergangsfunkion wird durch die die Reihenschalung eines PT PT Gliedesund eines Tozeigliedesapproimier, indem die die saische Versärkung rkung K S, S, die die Verzugszei T u und u und die die Zeikonsane T besimm werden. h() PT n K S WP PT T 3. 3. Die Die Reglerparameer werden mi mi Hilfe der der Tabelle 4.2 4.2 fesgeleg. T =T u T 33