Numerische Mathematik kompakt

Robert Plato Numerische Mathematik kompakt Grundlagenwissen für Studium und Praxis vieweg

Inhaltsverzeichnis Vorwort Inhaltsverzeichnis v vii 1 Polynominterpolation 1 1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen und Landausche Symbole 1 1.1.1 Landausche Symbole 2 1.2 Existenz und Eindeutigkeit bei der Polynominterpolation 2 1.2.1 Die Lagrangesche Interpolationsformel 3 1.2.2 Eine erste Vorgehensweise zur Berechnung des interpolierenden Polynoms 3 1.3 Neville-Schema 4 1.4 Die Newtonsche Interpolationsformel, dividierte Differenzen 6 1.5 Der bei der Polynominterpolation auftretende Fehler 9 1.6 Tschebyscheff- Polynome 11 - Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 14 - Übungsaufgaben 14 2 Splinefunktionen 17 2.1 Einführende Bemerkungen 17 2.2 Interpolierende lineare Splinefunktionen 18 2.2.1 Die Berechnung interpolierender linearer Splinefunktionen 18 2.3 Minimaleigenschaften kubischer Splinefunktionen 19 2.4 Die Berechnung interpolierender kubischer Splinefunktionen 20 2.4.1 Vorüberlegungen 20 2.4.2 Natürliche Randbedingungen 22 2.4.3 Vollständige Randbedingungen 23 2.4.4 Periodische Randbedingungen 23 2.4.5 Existenz und Eindeutigkeit der betrachteten interpolierenden kubischen Splines... 24 2.5 Fehlerabschätzungen für interpolierende kubische Splines 25 - Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 29 Übungsaufgaben 29 3 Diskrete Fouriertransformation und Anwendungen 30 3.1 Diskrete Fouriertransformation 30 3.2 Anwendungen der diskreten Fouriertransformation 31 3.2.1 Fourierreihen 31 3.2.2 Trigonometrische Interpolation, Teil 1 32 3.2.3 Trigonometrische Interpolation, Teil 2 33 3.3 Schnelle Fouriertransformation (FFT) 36 3.3.1 Einführende Bemerkungen 36 3.3.2 Der grundlegende Zusammenhang 37

Vlll INHALTSVERZEICHNIS 3.3.3 Bit-Umkehr 38 3.3.4 Der FFT-Algorithmus in der Situation JV = 2«39 3.3.5 Aufwandsbetrachtungen für den FFT-Algorithmus 42 3.3.6 Pseudocode für den FFT-Algorithmus in der Situation N = 2" 42 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 43 - Übungsaufgaben 43 Lösung linearer Gleichungssysteme 45 4.1 Dreieckssysteme 45 4.1.1 Obere gestaffelte Gleichungssysteme 45 4.1.2 Untere gestaffelte Gleichungssysteme 46 4.2 Der Gauß-Algorithmus 46 4.2.1 Einführende Bemerkungen, 46 4.2.2 Gauß-Algorithmus mit Pivotsuche 49 4.3 Die Faktorisierung PA = LR 50 4.3.1 Permutationsmatrix 50 4.3.2 Frobeniusmatrizen 52 4.3.3 Die Faktorisierung PA = LR 54 4.4 LR- Faktorisierung 57 4.5 Cholesky-Faktorisierung positiv definiter Matrizen 58 4.5.1 Die Berechnung einer Faktorisierung A = LL T für positiv definite Matrizen A 6 1& OK) 4.6 Bandmatrizen 61 4.7 Normen und Fehlerabschätzungen 61 4.7.1 Nonnen 62 4.7.2 Spezielle Matrixnormen 65 4.7.3 Die Konditionszahl einer Matrix 68 4.7.4 Störungsresultate für Matrizen 68 4.7.5 Fehlerabschätzungen für gestörte Gleichungssysteme 69 4.8 Orthogonalisierungsverfahren 71 4.8.1 Elementare Eigenschaften orthogonaler Matrizen 71 4.8.2 Die Faktorisierung A = QR mittels Gram- Schmidt- Orthogonalisierung 72 4.8.3 Die Faktorisierung A = QS mittels Householder-Transformationen 73 4.8.4 Anwendung 1: Stabile Lösung schlecht konditionierter Gleichungssysteme Ax = b 76 4.8.5 Anwendung 2: Lineare Ausgleichsrechnung 76 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 78 Übungsaufgaben 78 Nichtlineare Gleichungssysteme 81 5.1 Vorbemerkungen 81 5.2 Der eindimensionale Fall (JV = 1) 82 5.2.1 Ein allgemeines Resultat 82 5.2.2 Das Newton- Verfahren für N = 1 83 5.3 Der Banachsche Fixpunktsatz 84 5.4 Das Newton-Verfahren 87

ix 5.4.1 Einige Begriffe aus der Analysis 87 5.4.2 Das Newton-Verfahren und seine Konvergenz 88 5.4.3 Nullstellenbestimmung bei Polynomen 90 - Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 94 - Übungsaufgaben 94 6 Numerische Integration von Funktionen 96 6.1 Interpolatorische Quadraturformeln 96 6.2 Spezielle interpolatorische Quadraturformeln 97 6.2.1 Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln 97 6.2.2 Andere interpolatorische Quadraturformeln 100 6.3 Der Fehler bei der interpolatorischen Quadratur 100 6.4 Genauigkeit abgeschlossener Newton-Cotes-Formeln für gerade Zahlen n 103 6.4.1 Der Beweis von Lemma 6.14 105 6.5 Summierte abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln 107 6.5.1 Summierte Rechteckregeln 107 6.5.2 Summierte Trapezregel 108 6.5.3 Summierte Simpson-Regel 109 6.6 Asymptotik der summierten Trapezregel 110 6.6.1 Die Asymptotik 110 6.7 Extrapolationsverfahren 110 6.7.1 Grundidee 110 6.7.2 Neville- Schema 111 6.7.3 Verfahrensfehler bei der Extrapolation 112 6.8 Gaußsche Quadraturformeln 114 6.8.1 Einleitende Bemerkungen 114 6.8.2 Orthogonale Polynome 114 6.8.3 Optimale Wahl der Stützstellen und Gewichte 117 6.8.4 Nullstellen von orthogonalen Polynomen als Eigenwerte 119 6.9 Nachtrag: Beweis der Asymptotik für die summierte Trapezregel 121 6.9.1 Bernoulli-Polynome 121 6.9.2 Der Beweis von Theorem 6.21 123 - Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 124 - Übungsaufgaben 124 7 Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme 126 7.1 Ein Existenz-und Eindeutigkeitssatz 126 7.2 Theorie der Einschrittverfahren 127 7.2.1 Ein elementares Resultat zur Fehlerakkumulation 129 7.3 Spezielle Einschrittverfahren 130 7.3.1 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 1 130 7.3.2 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 2 131 7.3.3 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 4 132 7.4 Rundungsfehleranalyse 133 7.5 Asymptotische Entwicklung der Approximationen 134

7.5.1 Einführende Bemerkungen 134 7.5.2 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Verfahrensfehlers, 1. Teil. 135 7.5.3 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Verfahrensfehlers, 2. Teil. 137 7.5.4 Asymptotische Entwicklungen des lokalen Verfahrensfehlers 139 7.6 Extrapolationsmethoden für Einschrittverfahren 140 7.7 Schrittweitensteuerung 142 7.7.1 Verfahrensvorschrift 142 7.7.2 Problemstellung 143 7.7.3 Vorgehensweise bei gegebener Testschrittweite h^ 144 7.7.4 Bestimmung einer neuen Testschrittweite h ( - k+1 ' ) im Fall S^ > e 144 7.7.5 Pseudocode zur Schrittweitensteuerung 145 - Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 146 - Übungsaufgaben 146 Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme 149 8.1 Grundlegende Begriffe 149 8.1.1 Mehrschrittverfahren 149 8.1.2 Konvergenz- und Konsistenzordnung 150 8.1.3 Nullstabilität, Lipschitzbedingung 151 8.1.4 Übersicht 151 8.2 Der globale Verfahrensfehler bei Mehrschrittverfahren 152 8.2.1 Das Konvergenztheorem 152 8.2.2 Hilfsresultat 1: Das Lemma von Gronwall 154 8.2.3 Beschränktheit der Matrixfolge A, A 2, A 3, 156 8.2.4 Die Konsistenzordnung linearer Mehrschrittverfahren 157 8.3 Spezielle lineare Mehrschrittverfahren - Vorbereitungen 159 8.4 Adams-Verfahren 161 8.4.1 Der Ansatz 161 8.4.2 Adams-Bashfort-Verfahren 161 8.4.3 Adams-Moulton-Verfahren 164 8.5 Nyström- und Milne-Simpson-Verfahren 166 8.5.1 Der Ansatz 166 8.5.2 Nyström-Verfahren 166 8.5.3 Milne-Simpson-Verfahren 167 8.6 BDF-Verfahren 169 8.6.1 Der Ansatz 169 8.6.2 Tabellarische Übersicht über spezielle Mehrschrittverfahren 171 8.7 Prädiktor-Korrektor-Verfahren 171 8.7.1 Linearer Prädiktor/Linearer Korrektor 175 8.8 Lineare homogene Differenzengleichungen 176 8.8.1 Die Testgleichung 176 8.8.2 Existenz und Eindeutigkeit bei linearen homogenen Differenzengleichungen....176 8.8.3 Die komplexwertige allgemeine Lösung der Differenzengleichung Lu = 0 177 8.8.4 Die reellwertige allgemeine Lösung der Differenzengleichung Lu = 0 181 8.8.5 Eine spezielle Differenzengleichung 182

8.9 Steife Differentialgleichungen 184 8.9.1 Einführende Bemerkungen 184 8.9.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung bei Anfangswertproblemen für Differentialgleichungen mit oberer Lipschitzeigenschaft 186 8.9.3 Das implizite Euler-Verfahren für steife Differentialgleichungen 189 8.9.4 Steife Differentialgleichungen in den Anwendungen 190 - Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 192 - Übungsaufgaben 192 9 Randwertprobleme 197 9.1 Problemstellung, Existenz, Eindeutigkeit 197 9.1.1 Problemstellung 197 9.1.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung 198 9.2 Differenzenverfahren 199 9.2.1 Numerische Differentiation 199 9.2.2 Der Ansatz für Differenzenverfahren 200 9.2.3 Das Konvergenzresultat für Differenzenverfahren 201 9.2.4 Vorbereitungen für den Beweis von Teil (a) des Theorems 9.9 203 9.2.5 Der Nachweis der Aussage in Teil (a) von Theorem 9.9 207 9.3 Galerkin-Verfahren 207 9.3.1 Einführende Bemerkungen 208 9.3.2 Eigenschaften des Differentialoperators (Cu)(x) = -u"(x) + r(x)u(x)... 208 9.3.3 Galerkin-Verfahren- ein allgemeiner Ansatz 211 9.3.4 Systemmatrix 213 9.3.5 Finite-Elemente-Methode 214 9.3.6 Anwendungen 216 9.3.7 Das Energiefunktional 217 9.4 Einfachschießverfahren 218 9.4.1 Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit dem Newton-Verfahren. 219 9.4.2 Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit einer Fixpunktiteration. 220 - Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 220 - Übungsaufgaben 221 10 Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren 224 10.1 Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme 224 10.1.1 Hintergrund zum Einsatz iterativer Verfahren bei linearen Gleichungssystemen...224 10.2 Lineare Fixpunktiteration 225 10.2.1 Ein Modellbeispiel 226 10.3 Einige spezielle Klassen von Matrizen 228 10.3.1 Irreduzible Matrizen 228 10.4 Das Gesamtschrittverfahren 230 10.5 Das Einzelschrittverfahren 232 10.5.1 Der Betrag einer Matrix 233 10.5.2 Konvergenzergebnisse für das Einzelschrittverfahren 234 10.6 Das Relaxationsverfahren und erste Konvergenzresultate 235

10.6.1 M-Matrizen 237 10.7 Das Relaxationsverfahren für konsistent geordnete Matrizen 239 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 243 - Übungsaufgaben 244 11 CG- und GMRES-Verfahren 248 11.1 Vorbetrachtungen 248 11.1.1 Ausblick 249 11.2 Ansatz des orthogonalen Residuums für positiv definite Matrizen 249 11.2.1 Existenz, Eindeutigkeit und Minimaleigenschaft 249 11.2.2 Der Ansatz des orthogonalen Residuums (11.2) für gegebene A-konjugierte Basen. 251 11.3 Das CG-Verfahren für positiv definite Matrizen 252 11.3.1 Einleitende Bemerkungen 252 11.3.2 Die Berechnung J4-konjugierter Suchrichtungen in K. n (A,b) 252 11.3.3 Der Algorithmus zum CG-Verfahren 254 11.4 Die Konvergenzgeschwindigkeit des CG-Verfahrens 255 11.5 Das CG-Verfahren für die Normalgleichungen 257 11.6 Arnoldi-Prozess 258 11.6.1 Vorbetrachtungen zum GMRES-Verfahren 258 11.6.2 Arnoldi-Prozess 259 11.7 GMRESauf der Basis des Arnoldi-Prozesses 262 11.7.1 Einführende Bemerkungen 262 11.7.2 Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung des Minimierungsproblems (11.33)....262 11.7.3 Detaillierte Beschreibung der Vorgehensweise zur Lösung des Minimierungsproblems (11.33) 263 11.7.4 MATLAB-Programm für GMRES 265 11.8 Konvergenzgeschwindigkeit des GMRES-Verfahrens 266 11.9 Anhang 1: Krylovräume 267 11.10Anhang 2: Interaktive Programmsysteme mit Multifunktionalität 268 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 269 - Übungsaufgaben 269 12 Eigenwertprobleme 271 12.1 Einleitung 271 12.2 Störungstheorie für Eigenwertprobleme 271 12.2.1 Diagonalisierbare Matrizen 271 12.2.2 Der allgemeine Fall 273 12.3 Lokalisierung von Eigenwerten 274 12.4 Variationssätze für symmetrische Eigenwertprobleme 277 12.5 Störungsresultate für Eigenwerte symmetrischer Matrizen 279 12.6 Anhang: Faktorisierungen von Matrizen 279 12.6.1 Symmetrische Matrizen 279 12.6.2 Diagonalisierbare Matrizen 280 12.6.3 Schur-Faktorisierung 280 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 280

xüi - Übungsaufgaben 281 13 Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme 284 13.1 Einführende Bemerkungen 284 13.1.1 Ähnlichkeitstransformationen 284 13.1.2 Vektoriteration 285 13.2 Transformation auf Hessenbergform 286 13.2.1 Householder-Transformationen zur Gewinnung von Hessenbergmatrizen 286 13.2.2 Der symmetrische Fall 288 13.3 Newton-Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten 289 13.3.1 Der nichtsymmetrische Fall. Die Methode von Hyman 289 13.3.2 Das Newton- Verfahren zur Berechnung der Eigenwerte tridiagonaler Matrizen...291 13.4 Das Jacobi-Verfahren für symmetrische Matrizen 292 13.4.1 Approximation der Eigenwerte durch Diagonaleinträge 293 13.4.2 Givensrotationen zur Reduktion der Nichtdiagonaleinträge 293 13.4.3 Zwei spezielle Jacobi-Verfahren 296 13.5 Das QR- Verfahren 298 13.5.1 Eindeutigkeit und Stetigkeit der QR- Faktorisierung einer Matrix 298 13.5.2 Definition des QR- Verfahrens 301 13.5.3 Konvergenz des QR- Verfahrens für betragsmäßig einfache Eigenwerte 302 13.5.4 Praktische Durchführung des QR- Verfahrens für Hessenbergmatrizen 305 13.6 Das LA-Verfahren 309 13.7 Die Vektoriteration 309 13.7.1 Definition und Eigenschaften der Vektoriteration 309 13.7.2 Spezielle Vektoriterationen 311 - Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 311 - Übungsaufgaben 312 14 Restglieddarstellung nach Peano 314 14.1 Einführende Bemerkungen 314 14.2 Peano-Kerne 315 14.3 Anwendungen 316 14.3.1 Interpolation 316 14.3.2 Numerische Integration 317 - Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 318 Übungsaufgaben 318 15 Approximationstheorie 319 15.1 Einführende Bemerkungen 319 15.2 Existenz eines Proximums 320 15.3 Eindeutigkeit eines Proximums 321 15.3.1 Einige Notationen; streng konvexe Mengen 321 15.3.2 Strikt normierte Räume 323 15.4 Approximationstheorie in Räumen mit Skalarprodukt 325 15.4.1 Einige Grundlagen 325

xiv INHALTSVERZEICHNIS 15.4.2 Proxima in linearen Unterräumen 326 15.5 n n _j -Proxima bzgl. Maximumnormen 328 15.6 Anwendungen des Altemantensatzes 330 15.6.1 Ein Beispiel 330 15.6.2 Eine erste Anwendung des Altemantensatzes 331 15.6.3 Eine zweite Anwendung des Altemantensatzes 332 15.7 Haarsche Räume, Tschebyschev- Systeme 333 15.7.1 Alternantensatz für Haarsche Räume 333 15.7.2 Eindeutigkeit des Proximums 334 15.7.3 Untere Schranken für den Minimalabstand 335 - Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 335 - Übungsaufgaben 335 16 Rechnerarithmetik 337 16.1 Zahlendarstellungen 337 16.2 Allgemeine Gleitpunkt-Zahlensysteme 338 16.2.1 Grundlegende Begriffe 338 16.2.2 Struktur des normalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems F 339 16.2.3 Struktur des denormalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems F 340 16.3 Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis 341 16.3.1 Die Gleitpunktzahlen des Standards IEEE 754 341 16.3.2 Weitere Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis 343 16.4 Runden, Abschneiden 344 16.4.1 Runden 344 16.4.2 Abschneiden 346 16.5 Arithmetik in Gleitpunkt-Zahlensystemen 347 16.5.1 Arithmetische Grundoperationen in Gleitpunkt-Zahlensystemen 347 16.5.2 Fehlerakkumulation bei der Hintereinanderausführung von Multiplikationen und Divisionen in Gleitpunkt-Zahlensystemen 348 16.5.3 Fehlerverstärkung bei der Hintereinanderausführung von Additionen in einem gegebenen Gleitpunkt-Zahlensystem F 350 Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise 351 Literaturverzeichnis 352 Index 356