Ferienkurs Analysis 1

Skript Ferienkurs Analysis 1 Fabian Hafner und Thomas Baldauf TUM Wintersemester 2016/17 04.04.2017 Das Skript wurde teilweise übernommen vom Skript des Ferienkurses WS 2014, verfasst von Andreas Wörfel. Fragen können bis zum Abend vor der nächsten Vorlesung an fabian.hafner@tum.de geschickt werden, damit sie intensiver in der Vorlesung behandelt werden können. Inhaltsverzeichnis 1 Folgen und Grenzwerte 1 1.1 Reelle Folgen und Konvergenz............................ 1 1.2 Konvergenzkriterium und Grenzwertarithmetik................... 2 1.3 Bestimmte Divergenz, Limes superior und inferior................. 3 1.4 Metrischer Raum................................... 6 2 Reihen 7 2.1 Absolute Konvergenz und Umordnung....................... 8 2.2 Potenzreihen...................................... 10

1 Folgen und Grenzwerte 1.1 Reelle Folgen und Konvergenz Eine Folge besteht aus Objekten (genannt Glieder), hier Zahlen aus R, die fortlaufend nummeriert sind. Jedem Glied wird eine (positive, ganzzahlige) Nummer (genannt Index) zugewiesen. Mathematisch korrekt: Definition: Eine reelle Folge ist eine Abbildung a : N R, n a(n) =: a n Notation: (a n ) n N, (a n ) Bei unendlichen Folgen entsteht das Problem, dass man ein Bildungsgesetz finden muss. Dies kann auf verschiedene Weisen geschehen: Angabe einer Funktionsvorschrift Angabe einer Rekursionsvorschrift Angabe von Anfangsgliedern Angabe eines Algorithmus (Herausforderung: welches Programm ist am kürzesten?) Eigenschaften von Folgen: Definition: Monotonie und Beschränktheit: steigend (a n ) (streng) monoton fallend : n N : a (>) n+1 (<) oben a n M (a n ) nach beschränkt : n N :. unten a n m a n M heißt obere Schranke und m heißt untere Schranke. Die kleinste obere Schranke heißt Supremum (sup), die größte untere Schranke heißt Infimum (inf). Supremum und Infimum müssen 1

nicht zwingend als Werte angenommen werden! Gilt =, so wird das Supremum zum Maximum bzw. das Infimum zum Minimum. Z.B. besitzt (a n ) := 1/n das Supremum und Maximum 1 und das Infimum 0. Jedes Maximum (Minimum) ist immer auch Supremum (Infimum). Definition: Eine Folge (a n ) heißt alternierend, wenn a n a n+1 < 0 n N, wenn also benachbarte Folgenglieder verschiedene Vorzeichen haben. Definition: Eine reelle Folge (a n ) heißt konvergent gegen a R, falls (1.1.1) ɛ > 0 N N : n N : d(a n, a) < ɛ ( ) Dann liegen fast alle a n in einer Epsilon-Umgebung um a: ɛ > 0 : a n U ɛ (a) für fast alle n N U ɛ (a) := {x R d(x, a) < ɛ} In diesem Fall heißt a Grenzwert (oder Limes) und man schreibt a = lim a n oder a n a Existiert kein a R welches die Bedingung (1.1.1) erfüllt, heißt (a n ) divergent. ) Bem: d ist, wie in der Vorlesung vereinbart, die Euklidsche Metrik (Betrag). Die Definition gilt jedoch auch allgemein für metrische Räume (siehe Def. metrischer Raum). Definition:: (a n ) heißt Nullfolge : lim a n = 0. 1.2 Konvergenzkriterium und Grenzwertarithmetik Satz: Jede konvergente Folge ist beschränkt steigende Satz: Jede beschränkte, monoton fallende sup a(n) reelle Folge konvergiert gegen inf a(n). Satz: (Grenzwertarithmetik): Rechenregeln für den Limes: Seien (a n ), (b n ) konvergent mit a = lim a n, b = lim b n. Dann: 2

i) lim (a n + b n ) = a + b ii) lim (a n b n ) = a b iii) Falls b 0 : iv) a n b n a b v) lim a bn n = a b vi) lim a c n = a c a lim n bn = a b Folgende Grenzwerte sollte man kennen: ( ) a 0, a > 1, n a 1, n a n n! 0, n n 1, n n n!, n n!, ( ) n n + 1 e, n ( 1 + 1 n) n e, ( 1 + x n) n e x, a n n 0 0 < a < 1 k k fest, 1 n n n! 1 e, (1 x n) n e x, a n n a > 1 k k fest 1.3 Bestimmte Divergenz, Limes superior und inferior Definition: Eine reelle Folge (a n ) heißt bestimmt divergent (oder uneigentlich konvergent) gegen +, falls Schreibweise: lim a n = oder a n k R N N : n N : a n k. Analog heißt (a n ) bestimmt divergent gegen, falls a n Schreibweise: lim a n = oder a n 3

Definition: Limes superior und Limes inferior einer reellen Folge (a n ) sind: lim sup a n := lim a n lim inf n := lim a n Der Limes inferior ist der kleinste Häufungspunkt, der Limes superior ist der größte Häufungspunkt einer beschränkten reellen Zahlenfolge (mehr dazu siehe Def. Häufungspunkt). Definition: (a n ) heißt Cauchy-Folge, falls ɛ > 0 N N : n, m N : d(a n, a m ) < ɛ Satz: (Cauchy-Konvergenzkriterium) (a n ) ist Cauchy-Folge (a n ) ist konvergent für d(a n, a m ) = a n a m und (a n ) reelle Zahlenfolge. Es gilt i.a. außerdem folgender Satz: Ist eine Folge konvergent, so folgt daraus ( ), dass sie auch Cauchy-Folge ist. Die Umkehrung gilt i.a. nicht (siehe Def. vollständiger Raum). Definition: Für Folge (a n ) und eine streng monoton wachsende Folge k : N N heißt: a k : N R, n a(k(n)) = a kn Teilfolge von (a n ). Definition: x R heißt Häufungspunkt von (a n ), falls es eine Teilfolge (a kn ) gibt mit x = lim a k n. ɛ > 0 : a n U ɛ (x) für unendlich viele n N ɛ > 0 N N; n N : a n U ɛ (x) 4

Bemerkungen zu Häufungspunkten: Unterschied Grenzwert und Häufungspunkt: Konvergieren alle Teilfolgenn einer Folge gegen den selben Wert, so ist dieser der Grenzwert. Bei einem Häufungspunkt muss nur eine Teilfolge gegen diesen konvergieren. In einer Epsilon-Umgebung um den Grenzwert liegen fast alle Folgenglieder, in einer Epsilon-Umgebung um einen Häufungspunkt nur unendlich viele. Fast alle bedeutet, dass höchstens endlich viele Glieder außerhalb liegen. Der Grenzwert ist auch immer Häufungspunkt. In metrischen Räumen ist der Grenzwert einer konvergenten Folge eindeutig und der einzige Häufungspunkt. Wichtige Aussagen über Häufungspunkte und Teilfolgen liefert der Satz von Bolzano-Weierstraß: Satz: Bolzano-Weierstraß Version 1 Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen (mit unendlich vielen Gliedern) enthält (mindestens) eine konvergente Teilfolge. Version 2 Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen (mit unendlich vielen Gliedern) besitzt (mindestens) einen Häufungspunkt. Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat einen größten und einen kleinsten Häufungspunkt. Man kann die Konvergenz einer Folge auch daran erkennen, wenn die Folge durch zwei konvergente Folgen eingeschlossen wird, die beide gegen den selben Grenzwert streben. Dann nimmt auch die zu untersuchende Folge diesen Grenzwert an. Satz: Sandwichkriterium Seien die Grenzwerte a und b der Folgen (a n ) und (b n ) bekannt und sei a = b. Dann gilt für eine Folge (c n ) mit unbekanntem Grenzwert und mit a n c n b n : lim c n = a = b Zusammenfassung Wir können für die Konvergenz folgende Regeln festhalten: Eine Folge konvergiert, wenn sie monoton und beschränkt ist (Monotoniekriterium) sie das Cauchy-Kriterium erfüllt (und eine reelle oder komplexe Folge ist) sie das Einschließungskriterium/Sandwichkriterium erfüllt 5

1.4 Metrischer Raum Folgen kann man auch auf metrischen Räumen definieren. Man benötigt dies z.b. für die Konvergenz in der komplexen Ebene oder im 2D. Die Metrik wurde in diesem Skript bereits vor diesem Abschnitt benutzt. Nun aber noch einmal eine formale Defintion eines metrischen Raumes: Definition: Eine Menge M mit Abb. d : M M R heißt metrischer Raum mit Metrik d, falls für alle x, y, z M gilt: d(x, y) 0 und d(x, y) = 0 x = y (positiv definit) d(x, y) = d(y, x) (symmetrisch) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (Dreiecksungleichung) Man nennt d(x, y) den Abstand ( distance ) von x und y. Für ɛ > 0 und a M heißt U ɛ (a) := {x M d(x, y) < ɛ} die ɛ-umgebung von a. Spezialfälle: M = C, M = R, M = R n, M = C n Hier auch noch eine wichtige Anmerkung: Definition: Ein metrischer Raum heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge konvergiert. Beispiele: R n, C Das heißt, dass in jedem vollständigen Raum die Begriffe konvergent und Cauchy-Folge äquivalent sind. In nicht vollständigen Räumen ist trotzdem jede konvergente folge Cauchy-Folge (Umkehrung gilt allgemein nicht). 6

2 Reihen Zunächst die Definition: Für eine komplexwertige Folge (a n ) bezeichnet die Reihe die Folge der Partialsummen Falls (s n ) konvergiert, so bezeichnet man von einer divergenten Reihe. s n := a n n a k, n N. a n ebenfalls den Grenzwert lim s n. Andernfalls spricht Es gelten für Reihen mehrere Konvergenzkriterien. Je nachdem, welche Reihe vorliegt, ist mal das eine, mal das andere anzuwenden. Satz: Cauchy-Kriterium ( n ) a n konvergent ɛ > 0 N N : n m N : a k < ɛ k=m Daraus folgt auch folgender Satz: a n konvergent lim a n = 0 Die Umkehrung ( ) gilt i.a. nicht (vgl. harmonische Reihe)! 7

Satz:: Leibniz-Kriterium Sei (a n ) eine monotone Nullfolge mit lim a n = 0 mit a n 0. Dann konvergiert s n = n ( 1) k a k und es gilt die Fehlerabschätzung: n N ( 1) k a k s n a n+1 2.1 Absolute Konvergenz und Umordnung Definition: Die Reihe a n heißt absolut konvergent, wenn a n konvergiert Satz: Majorantenkriterium für absolut konvergente Reihen: Sei b k konvergent mit b k 0. Falls a n b n für fast alle n N, dann konvergiert absolut. Satz: Minorantenkriterium für divergente Reihen: Die Reihe x k mit positiven Summanden ist divergent, wenn es eine divergente Reihe mit a k 0 gibt, sodass a k x k für alle k N. a k a k Satz: Quotientenkriterium: Sei a n 0 ffa. n N. lim sup a n+1 a n < 1 a n absolut konvergent 8

lim sup a n+1 a n für lim sup > 1 a n divergent a n+1 a n = 1 keine Aussage möglich! Es gibt außerdem ein paar Regeln für die Umordnung von Reihen: Definition: Für jede Bijektion σ : N N heißt a σn Umordnung von a n Satz: Riemannscher Umordnungssatz: Für jede konv. Reihe a n, die nicht absolut konvergiert, und jedes s R gibt es eine Umord- nung a σn, die gegen s konvergiert. Satz: Umordnung a n absolut konvergent Jede Umordnung konvergiert gegen denselben Grenzwert. Variante: A oder B absolut konvergent für jede Abzählung σ : N N N konvergiert a σ(n) =: S absolut und es gilt: S = A = B =: m, a nm Satz: Wurzelkriterium lim sup lim sup n an < 1 n an > 1 a n absolut konvergent a n divergent 9

n Für lim sup an = 1 keine Aussage möglich! Beim Rechnen mit Potenzreihen kann man folgende Regeln verwenden Rechenregeln für konvergente Reihen Sind a k, b k konvergente Reihen und ist r R, so gilt: (a k + b k ) = a + b (Addition konv. Reihen) r a k = r a k = r a (Multiplikation konv. Reihen mit r) Sind a k, b k absolut konvergente Reihen, so gilt: k=0 k=0 ( n ) a k b n k = a b (Cauchy-Produkt abs. konv. Reihen) k=0 k=0 2.2 Potenzreihen Definition: Jede Reihe der Form a n(z a) n mit Koeffizienten a n C, Variable z C und Entwicklungspunkt a C wird Potenzreihe genannt. Man nennt R := sup{ z a : z C und a n (z a) n konvergent} den Konvergenzradius der Potenzreihe. Satz: Sei R [a, ) Konvergenzradius von a n (z a) n. z a < R a n (z a) n konvergiert absolut 10

z a > R a n (z a) n divergiert 1 R = lim sup n a n (Formel von Cauchy-Hadamard) oder 1 lim sup a n+1 a n. Bemerkung: Die Reihe ist für z a = R explizit auf Konvergenz zu überprüfen. Der obige Satz gilt nur für z a < R! Man kann zum Rechnen mit Potenzreihen folgende Regeln verwenden: Rechenregeln mit Potenzreihen Es seien folgende Potenzreihen definiert: f(x) := a n x n, g(x) := b n x n Dann gelten diese Rechenregeln: f(x) ± g(x) = (a n ± b n )x n = a 0 ± b 0 + (a 1 ± b 1 )x + (a 2 ± b 2 )x 2 +... (Addition/Subtraktion der Koeffizienten) n f(x) g(x) = c n x n mit c n = a k b n k (Cauchy-Produkt) f(x) g(x) = c n x n k=0 ( ) ( ) a n x n = b n x n c n x n (Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten. Bestimme c n durch Koeffizientenvergleich) ( ) n f(g(x)) = a n (g(x)) n = a n b k x k k=0 (Einsetzen von Potenzreihen ineinander) 11