Ernst Kleinert Mathematik für Philosophen Leipziger Universitätsverlag 2004
Inhalt Erster Teil: Grundlagen Einleitung 1. Warum Mathematik für Philosophen"? 10 2. Der kategoriale Ursprung der Mathematik: These 11 3. Der kategoriale Ursprung der Mathematik: Aufweise 13 3.1. Das theoretische Agieren 13 3.2. Mathematik des theoretischen Agierens 14 3.3. Mathematik der Anschauungsform: Quantität 16 3.4. Mathematik der Anschauungsform: Gestalt 17 4. Die mathematische Methode 18 5. Mathematik ist Sprachspiel 20 6. Formalisierung 22 7. Zu Aufbau und Benutzung dieses Buchs 24 1. Die Sprache der Mathematik: Theorien erster Stufe 1.1. Alphabete, Tenne, Formeln, Aussagen 28 1.2. Ausdrucksmöglichkeiten der ersten Stufe 32 2. Mathematik des theoretischen Agierens: Mengen, Relationen, Funktionen 2.1. Axiome der Mengenlehre 36 2.2. Operativer Ursprung der Axiome 39 2.3. Erste Entwicklungen 41 2.4. Relationen 43 2.5. Funktionen 49 2.6. Anhang: Carnaps Quasianalyse 52 3. Erste Strukturbegriffe: Halbgruppen und Gruppen 3.1. Grundbegriffe 55 3.2. Operationen von Gruppen auf Mengen 58 3.3. Weitere Grundbegriffe 61 3.4. Faktorgruppen und der Homomorphiesatz 62 4. Mathematik des theoretischen Agierens: Kategorien 4.1. Axiome und erste Beispiele 65 4.2. Anhang: Die Axiomatik ohne Objekte 67 4.3. Anhang: Über Assoziativität 68 4.4. Anhang: Kategorien vs. Mengen 69 4.5. Weitere Grundbegriffe 71 4.6. Funktoren 72 4.7. Produkte 75 4.8. Natürliche Transformationen 78 4.9. Adjungierte Funktoren 79 4.10. Anhang: Kategoriale Strukturen in Sprache und Logik 82 6
5. Mathematik der diskreten Quantität 5.1. Die natürlichen Zahlen 84 5.2. Operationen mit natürlichen Zahlen 91 5.3. Endlich und Unendlich 94 5.4. Ganze Zahlen. Begriff des Rings 99 5.5. Erste Schritte der Zahlentheorie: Primzerlegung 104 5.6. Rationale Zahlen. Begriff des Körpers 111 6. Mathematik des theoretischen Agierens: Ordnen und Vergleichen 6.1. Begriff des Verbands 116 6.2. Beispiele 117 6.3. Aus der Strukturtheorie 119 6.4. Boolesche Algebren 123 6.5. Anhang: Mereologie 124 7. Mathematik des theoretischen Agierens: Kombinatorik 7.1. Probleme der Begriffsbestimmung 127 7.2. Elemente des Abzählens 130 7.3. Abzahlung von Teilmengen 130 7.4. Abzahlung von Funktionen 131 7.5. Block Designs 134 7.6. Die symmetrische Gruppe 136 7.7. Symmetrien 138 7.8. Graphen 142 7.9. Anhang: Graphen, Kategorien und Relationen 147 8. Mathematik des Raums: Das Kontinuum 8.1. Vollständige angeordnete Körper 151 8.2. Komplettierung. Der reelle Körper 156 8.3. Komplexe Zahlen 161 8.4. Anhang: Die Proportionenlehre von Eudoxos 162 8.5. Anhang: Geometrische Konstruktion des reellen Körpers 165 8.6. Der reelle Körper als Modell des Kontinuums: Diskussion 167 Mathematik des Raums: Allgemeine Topologie Definitionen und erste Beispiele 170 Weitere Grundbegriffe 175 Topologische Gruppen 179 Ringe stetiger Funktionen 180 Funktionen auf topologischen Räumen: Begriff der Garbe 182 Metrische Räume 183 Anhang: Raumtheorie nach Whitehead 188
Inhalt Zweiter Teil: Entwicklungen 10. Aus der Algebra (1): Lineare Algebra 10.1. Zur Begriffsbestimmung 192 10.2. Moduln über Ringen 193 10.3. Operationen mit Moduln 195 10.4. Freie Moduln 196 10.5. Matrizen und Determinanten 198 10.6. Vektorräume 203 10.7. Anhang: Ursprung der Axiome und die Universalität des Linearen.. 205 10.8. Anhang: die Sonderstellung der Modulkategorien 207 11. Aus der Algebra (2): Ringe und Körper 11.1. Ideale und Restklassenringe 209 11.2. Polynomringe 212 11.3. Aus der Theorie der Körper 215 11.4. Die Theorie von Galois 217 11.5. Die Hamiltonschen Quaternionen 219 12. Aus der Analysis (1) 12.1. Häufungspunkte und Grenzwerte 222 12.2. Sätze über stetige Funktionen 224 12.3. Konvergente Reihen 226 12.4. Die Exponentialfunktion 231 12.5. Differentiation 235 13. Aus der Analysis (2) 13.1. R n als metrischer Raum 239 13.2. Differentiation 242 13.3. Differentialgleichungen 245 14. Mathematik der allgemeinen Quantität: Maß und Integral 14.1. Begriff des Maßraums 249 14.2. Integration 252 14.3. Anhang: Extensive und intensive Quantität 256 14.4. Wahrscheinlichkeitstheorie 258 15. Mathematik der Gestalt: Theorie der Mannigfaltigkeiten 15.1. Begriff der Mannigfaltigkeit 264 15.2. Beispiele von Mannigfaltigkeiten 268 15.3. Differentielle Methoden 272 15.4. Algebraische Methoden 276 8
16. Algebraische Geometrie und Begriff des Schemas 16.1. Grundbegriffe der Algebraischen Geometrie 281 16.2. Spektra von Ringen 283 16.3. Affine Schemata 285 16.4. Funktorielle Gesichtspunkte 288 16.5. Der neue Begriff von Punkt" 290 17. Die mathematische Selbstref lektion: Logik 17.1. Semantik 293 17.2. Deduktion 298 17.3. Der Vollständigkeitssatz und Anwendungen 302 17.4. Kategoriale Semantik 305 18. Die Selbstreferentialität der Arithmetik und die Unabschließbarkeit der Mathematik 18.1. Theorie der natürlichen Zahlen 310 18.2. Darstellbare und rekursive Funktionen 311 18.3. Anhang: Mathematische Handlungen und die These von Church undturing 313 18.4. Anhang: Berechnungskomplexität 316 18.5. Die Selbstreferentialität von 5\ und die UnvoUständigkeitssätze 317 18.6. Weitere Begrenzungsresultate 321 18.7. Mathematik im Ausgang von PA 323 Zusammenfassung und Ausblick 326 Literatur 334