Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung Michael de Mourgues LMU München Bruck am Ziller, 08.01.2015 Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 1/14
Das Problem und dessen Diskretisierung Poissongleichung: u = f in G, u = g auf G bzw. Tu = b mit Tu = ( u, u G ), b = (f, g) T T h D Y h Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 2/14
Das Problem und dessen Diskretisierung Poissongleichung: u = f in G, u = g auf G bzw. Tu = b mit Tu = ( u, u G ), b = (f, g) Diskretisierung: ordne Tu h = b h zu, löse nach u h. h 0 Ziel: u u h X 0 X T Y X h T h Y h D Y h Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 2/14
Das Problem und dessen Diskretisierung Poissongleichung: u = f in G, u = g auf G bzw. Tu = b mit Tu = ( u, u G ), b = (f, g) Diskretisierung: ordne Tu h = b h zu, löse nach u h. h 0 Ziel: u u h X 0 X T Y X h T h Y h D Y h Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 2/14
Das Problem und dessen Diskretisierung Poissongleichung: u = f in G, u = g auf G bzw. Tu = b mit Tu = ( u, u G ), b = (f, g) Diskretisierung: ordne Tu h = b h zu, löse nach u h. h 0 Ziel: u u h X 0 X T Y X h T h Y h D Y h Verfahren: Differenzenverfahren, Ritz-Galerkin-Verfahren,... Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 2/14
Das Problem und dessen Diskretisierung Poissongleichung: u = f in G, u = g auf G bzw. Tu = b mit Tu = ( u, u G ), b = (f, g) Diskretisierung: ordne Tu h = b h zu, löse nach u h. h 0 Ziel: u u h X 0 X T Y X h T h Y h D Y h Verfahren: Differenzenverfahren, Ritz-Galerkin-Verfahren,... Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 2/14
Diskretisierung mit Ritz-Galerkin-Verfahren Kontinuierliches Problem: Lösung u der Poissongleichung minimiert I mit I (v) = 1 2 G v 2 f (v) für v H 1 H 1 (G) H 1 (G) Xh Xh Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 3/14
Diskretisierung mit Ritz-Galerkin-Verfahren Kontinuierliches Problem: Lösung u der Poissongleichung minimiert I mit I (v) = 1 2 G v 2 f (v) für v H 1 I (u) = inf v H 1 I (v) G u ϕ = f (ϕ) ϕ H 1 (G) H 1 (G) H 1 (G) Xh X h Xh X h Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 3/14
Diskretisierung mit Ritz-Galerkin-Verfahren Kontinuierliches Problem: Lösung u der Poissongleichung minimiert I mit I (v) = 1 2 G v 2 f (v) für v H 1 I (u) = inf v H 1 I (v) G u ϕ = f (ϕ) ϕ H 1 (G) Mit = G u ϕ haben wir ( u)(ϕ) = f (ϕ) H 1 (G) H 1 (G) Xh X h Xh X h Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 3/14
Diskretisierung mit Ritz-Galerkin-Verfahren Kontinuierliches Problem: Lösung u der Poissongleichung minimiert I mit I (v) = 1 2 G v 2 f (v) für v H 1 I (u) = inf v H 1 I (v) G u ϕ = f (ϕ) ϕ H 1 (G) Mit = G u ϕ haben wir ( u)(ϕ) = f (ϕ) H 1 (G) H 1 (G) Xh X h Xh X h Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 3/14
Diskretisierung mit Ritz-Galerkin-Verfahren Diskretes Problem: Lösung u h minimiert I mit I (v) = 1 2 für v X h H 1 (G), endlichdimensional G v 2 f (v) Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 4/14
Diskretisierung mit Ritz-Galerkin-Verfahren Diskretes Problem: Lösung u h minimiert I mit I (v) = 1 2 für v X h H 1 (G), endlichdimensional G v 2 f (v) X h = span{ψ 1,..., ψ N }, u h = N j=1 u jψ j Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 4/14
Diskretisierung mit Ritz-Galerkin-Verfahren Diskretes Problem: Lösung u h minimiert I mit I (v) = 1 2 für v X h H 1 (G), endlichdimensional G v 2 f (v) X h = span{ψ 1,..., ψ N }, u h = N j=1 u jψ j G u h ϕ h = f (ϕ h ) G u h ψ i = f (ψ i ) 1 i N Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 4/14
Diskretisierung mit Ritz-Galerkin-Verfahren Diskretes Problem: Lösung u h minimiert I mit I (v) = 1 2 für v X h H 1 (G), endlichdimensional G v 2 f (v) X h = span{ψ 1,..., ψ N }, u h = N j=1 u jψ j G u h ϕ h = f (ϕ h ) G u h ψ i = f (ψ i ) 1 i N N j=1 u j ψ j ψ i = f (ψ i ) 1 i N Sū = G f }{{} =S ij Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 4/14
Diskretisierung mit Ritz-Galerkin-Verfahren Diskretes Problem: Lösung u h minimiert I mit I (v) = 1 2 für v X h H 1 (G), endlichdimensional G v 2 f (v) X h = span{ψ 1,..., ψ N }, u h = N j=1 u jψ j G u h ϕ h = f (ϕ h ) G u h ψ i = f (ψ i ) 1 i N N j=1 u j Ziel: u u h H 1 (G) ψ j ψ i = f (ψ i ) 1 i N Sū = G f }{{} =S ij h 0 0 Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 4/14
Bestapproximation: Céas Lemma Mit den Variationsproblemen für u, u h folgt diskret ϕ h X h G u h ϕ h = f (ϕ h ) G kontinuierlich ϕ H 1 (G) u ϕ = f (ϕ) Leite Abschätzung für u u h H 1 (G) her: Da X h H 1 (G) gilt insbesondere ϕ h X h : (u u h ) ϕ h = 0 G Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 5/14
und für (u u h ) 2 L 2 (G) = G (u u h ) u (u u h ) u h G deshalb mit u h X h = (u u h ) (u ϕ h ) (u u h ) L 2 (G) (u ϕ h ) L 2 (G) G sodass folgt Satz Für schwache Lösung u, diskrete Lösung u h X h H 1 (G) : (u u h ) L 2 (G) = inf ϕ h X h (u ϕ h ) L 2 (G) Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 6/14
und für (u u h ) 2 L 2 (G) = G (u u h ) u (u u h ) u h G deshalb mit u h X h = (u u h ) (u ϕ h ) (u u h ) L 2 (G) (u ϕ h ) L 2 (G) G sodass folgt Satz Für schwache Lösung u, diskrete Lösung u h X h H 1 (G) : (u u h ) L 2 (G) = inf ϕ h X h (u ϕ h ) L 2 (G) Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 6/14
Geeignete X h : Simpliziale Lagrange-Elemente FEM: Simpliziale Lagrange-Elemente 1. Zerlege G in Simplizes T i, (h = max T T h(t )) 2. Stückweise polynomiale Funktionen P k (T i ) 3. X h = {v h C 0 (G) u h T P k (T ), T T } H 1 X h : endlichdimensional, H 1 u h eindeutig über Sū=f bestimmt, (u u h ) L 2 (G) u u h H 1 (G) u ϕ h H 1 (G) möglich. Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 7/14
Geeignete X h : Simpliziale Lagrange-Elemente FEM: Simpliziale Lagrange-Elemente 1. Zerlege G in Simplizes T i, (h = max T T h(t )) 2. Stückweise polynomiale Funktionen P k (T i ) 3. X h = {v h C 0 (G) u h T P k (T ), T T } H 1 X h : endlichdimensional, H 1 u h eindeutig über Sū=f bestimmt, (u u h ) L 2 (G) u u h H 1 (G) u ϕ h H 1 (G) möglich. Ziel: u u h H 1 (G) ch α : Konvergenz & Abschätzung von RG für X h Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 7/14
Konvergenz und Abschätzung per Interpolation Konstruiere Operator I mit Iu X h, sodass u Iu H 1 (G) ch α 1. Einführung von Interpolationsoperatoren 2. Abschätzung Norm mit Halbnorm 3. Transformation mit Halbnormen 4. Transformation und Gitterweite Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 8/14
Konvergenz und Abschätzung per Interpolation Konstruiere Operator I mit Iu X h, sodass u Iu H 1 (G) ch α 1. Einführung von Interpolationsoperatoren Lagrangeinterpolator, Scott-Zhang-Interpolator,... 2. Abschätzung Norm mit Halbnorm 3. Transformation mit Halbnormen 4. Transformation und Gitterweite Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 8/14
Konvergenz und Abschätzung per Interpolation Konstruiere Operator I mit Iu X h, sodass u Iu H 1 (G) ch α 1. Einführung von Interpolationsoperatoren 2. Abschätzung Norm mit Halbnorm u Iu H 1 (G) ( I + E ) u Iu H k+1 (G) 3. Transformation mit Halbnormen 4. Transformation und Gitterweite Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 8/14
Poincaré-Ungleichungen Nur höchste Ableitungen beste Potenzen von h Satz Für G R n konvex und beschränkt gibt es für u H 1,p, G u = 0 ein c P 0, sodass u L p (G) u L p (G) H l,p(g) enthält nur höchste Ableitungen Folgerung Sei u H l,p D α u = 0 ( α = 1,..., l 1) u H l,p (G) c u H l,p (G) G Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 8/14
Konvergenz und Abschätzung per Interpolation Konstruiere Operator I mit Iu X h, sodass u Iu H 1 (G) ch α 1. Einführung von Interpolationsoperatoren 2. Abschätzung Norm mit Halbnorm 3. Transformation mit Halbnormen u h H m (T 0 ) c A m det A 1/2 u h H m (T ) 4. Transformation und Gitterweite Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 9/14
Konvergenz und Abschätzung per Interpolation Konstruiere Operator I mit Iu X h, sodass u Iu H 1 (G) ch α 1. Einführung von Interpolationsoperatoren 2. Abschätzung Norm mit Halbnorm 3. Transformation mit Halbnormen 4. Transformation und Gitterweite c A m det A l u h H m (T ) σ(t )h(t ) m l u h H m (T ) Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 9/14
Konvergenz- und Abschätzungsbeweis Sei G R n, σ(t ) σ 0, T zulässig triangulisiert, X h = {v h C 0 (G) u h T P k (T ), T T } H 1, u die schwache und u h die diskrete Lösung. Mit Céa s Lemma und der Wahl ϕ h = Iu folgt u u h H 1 (G) u Iu H 1 (G) 1. I =Lagrangeinterpolator, k s Lemma H s+1 H 1 n 3 u Iu H 1 (T ) cσ(t )h(t ) k u H k+1 (T ) σ σ 0 u u h H 1 (G) ch s u H s+1 (G), für ein 1 s k Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 10/14
Konvergenz- und Abschätzungsbeweis Sei G R n, σ(t ) σ 0, T zulässig triangulisiert, X h = {v h C 0 (G) u h T P k (T ), T T } H 1, u die schwache und u h die diskrete Lösung. Mit Céa s Lemma und der Wahl ϕ h = Iu folgt u u h H 1 (G) u Iu H 1 (G) 2. I =Scott-Zhang-Interpolator Lemma u Iu H 1 (T ) cσ(t )h(t ) k u H k+1 (T ) σ σ 0 u u h H 1 (G) ch s u H s+1 (G), für ein 1 s k Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 10/14
Beispiel mit Abschätzung Sei auf G = (0, 1) 2 Funktion u(x 1, x 2 ) = 1 4 e 5x2 1 +x2 2 kontinuierliche Lösung. verwende FEM (linear) für diskrete Lösung schätze Fehler ab bez. L 2, H 1,2 für Gitterweite h. Beobachte auch eoc = log E(h 1) E(h 2 ) (log h 1 h 2 ) 1 Idee: E(h) = ch eoc Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 11/14
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Rückblick zum Vorgehen Idee der Diskretisierung Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 13/14
Rückblick zum Vorgehen Idee der Diskretisierung Aufbau eines Verfahrens Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 13/14
Rückblick zum Vorgehen Idee der Diskretisierung Aufbau eines Verfahrens Wahl des Verfahrens: Ritz-Galerkin Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 13/14
Rückblick zum Vorgehen Idee der Diskretisierung Aufbau eines Verfahrens Wahl des Verfahrens: Ritz-Galerkin Verwende dafür Lagrangeelemente auf Simplizes Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 13/14
Rückblick zum Vorgehen Idee der Diskretisierung Aufbau eines Verfahrens Wahl des Verfahrens: Ritz-Galerkin Verwende dafür Lagrangeelemente auf Simplizes Bestätigung des Verfahrens Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 13/14
Rückblick zum Vorgehen Idee der Diskretisierung Aufbau eines Verfahrens Wahl des Verfahrens: Ritz-Galerkin Verwende dafür Lagrangeelemente auf Simplizes Bestätigung des Verfahrens diskrete Lösung approximiert optimal von Funktionen in X h Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 13/14
Rückblick zum Vorgehen Idee der Diskretisierung Aufbau eines Verfahrens Wahl des Verfahrens: Ritz-Galerkin Verwende dafür Lagrangeelemente auf Simplizes Bestätigung des Verfahrens diskrete Lösung approximiert optimal von Funktionen in X h Schon nicht optimale Funktionen Iu X h approximieren gut h α Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 13/14
Rückblick zum Vorgehen Idee der Diskretisierung Aufbau eines Verfahrens Wahl des Verfahrens: Ritz-Galerkin Verwende dafür Lagrangeelemente auf Simplizes Bestätigung des Verfahrens diskrete Lösung approximiert optimal von Funktionen in X h Schon nicht optimale Funktionen Iu X h approximieren gut h α diskrete Lösung aus Verfahren konvergiert gegen schwache Lösung Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 13/14
Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung Michael de Mourgues LMU München Bruck am Ziller, 08.01.2015 Michael de Mourgues Konvergenz der diskreten Lösungen und Fehlerabschätzung 14/14