Wirtschaftsmathematik und Schulen Prof Dr Horst W Hamacher Fachbereich Mathematik, Universität Kaiserslautern Studienkreis Schule und Wirtschaft Rheinland-Pfalz November 2002
Wirtschaftsmathematik: Uni Kaiserslautern - Schulen WiMS/TeMS (Wirtschafts- und Technomathematik in Schulen) Reisemittel für Schüler, Modellierungstage und -woche, Lehrerfort- und -weiterbildung MaMaEuSch (Managenment Mathematics in European Schools) Tri-Linguale Lehrmaterialien, Austausch mit Klagenfurt und Sevilla Bertelsmann Stiftung: Mathematik und Ökonomie Ansprechpartner: Dipl Math Silvia Schwarze, Dr Klaus-Peter Nieschulz Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 2
Was ist Wirtschaftsmathematik? Praktisches Einsatz von mathematischen Problem Methoden (Projekt) zur Lösung von wirtschaftlichen Problemen Interpretation und Mathematik: Evaluierung der Strukturieren Lösung in Praxis Verstehen Abstraktes Lösen von Problemen Aufstellen eines Wirtschaften: mathematischen über knappe Modell Mittel so zu verfügen, dass sich die menschlichen Bedürfnisse befriedigen lassen Lösung des mathematischen Modells Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 3
Was ist Wirtschaftsmathematik? Beispiele: Problem Ressource Mathematische Methoden Lagerhaltung Platz, Zeit Simulation, Stochastik psb Nahverkehr Zeit, Umwelt Graphentheorie, Flußprobleme ÖV Krebsbestrahlung Gesundheit Optimierung Kre Notfallplanung Leben Geometrie Tiro Supply Chain Management Standorttheorie SC Transporte Platz, Geld (Un-)Gleichungssysteme IP Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 4
Notfallrettung durch Hubschrauber E 2 E Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 5
Mittelpunkt zwischen E und E 2: Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 6
Notfallrettung durch Hubschrauber Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 7
Mittelsenkrechte zwischen E und E 2: Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 8
Der beste Standort eines Hubschraubers für 3 Einsatzorte : MS 23 E 2 MS 2 E 3 E MS 3 Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 9
E 2 E 3 E eckige Kreise Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 0
Standorttheorie Verbotene Gebiete Barrieren Wege, Kreise Multikriteriell Distanzmaße LOLA Library of Location Algorithms Roboter Buslinien Industrieanlagen Notfallanlagen Krebstherapie GIS SAP IBM Kommunen Verkehrsverbünde DKFZ Arcview Markant Krankenhäuser ptv Standortanwendungen Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite
Parallellager- und Materialflußplanung Parallellager mit Durchfluß von 500-000 Transporteinheiten (TE) pro Stunde, Pirmasens, Germany Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 2
Erwartete Anzahl aktiver Stockwerke Daten: n = Anzahl der Stockwerke m = Anzahl von Lagerplätzen/Stockwerk n T = Anzahl der TEen (unabhängig, gleichförmig verteilt, n T >n En occ n = ( ) k = 0 k i= 0 i n k mk i nm k i ( ) n n T T k Rechentest: Man kann nur 70% bis 90% aktiver Stockwerke erwarten (in der Praxis) Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 3
Optimierungsbeispiel: Hubrahmen Ziel: Gleichmäßige Verteilung auf Ebenen Gleichmäßige Auslastung der Kommissionierplätze Von den n! vielen möglichen Permutationen können (m+)!(m+) n-m- realisiert werden Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 4
Optimierungsbeispiel: Hubrahmen Kosten der Plazierung von TE i auf Ebene j zb #TE derselben Farbe min i, j c ij x ij x ij = TE i auf Ebene j unter den Nebenbedingungen ij j i x x ij ij ij = i = j {x i, j} sind zulässige Permutationen x {0,} i, j Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 5
Systemoptimierung durch (dynamische) Netzwerkflußprobleme Hubrahmen Materialflußnetzwerk Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 6
IP Model für Wabenproblem Minimiere Abweichung von alten Tarifen: Westpfalz Verkehrsverb neuer (k,l) Wabentarif alter (i,j) Entfernungstarif Haltestelle i - Zone k Zuordnung i, j, k, l st hh d p ik jl ij kl hik = i k h p ik kl {,} 0 i, k, d R ij NP-schweres Problem einfach, falls Zonen gegeben sind Zonen können unzusammenhängend sein Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 7
Bestrahlungstherapie Applikation von hochenergetischer Strahlung zur Tumorkontrolle Tumorzerstörung Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 8
Optimization Problems realization: network flow geometry: location theory profile computation: multi-criteria approach Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 9
Problemstellung Dosisanforderungen: Zielvolumen: Risiken: 50 Gray (minimal) 30 Gray (maximal) 20 Gray (maximal) 5 Gray (maximal) Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 20
InverseTherapieplanung Berechnung der physikalischen Setup-Parameter aus den Dosisvorgaben Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 2
3-stufige Vorgehensweise Phase I: Phase II: Phase III: Wahl der Einstrahlgeometrie Standortproblem Bestimmung der Intensitätsprofile Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 22 multikriterielles Problem Durchführung der Bestrahlung Ganzzahliges Problem
Phase I: Einstrahlgeometrie Isozentrisches Modell: Wahl von N Einstrahlrichtungen Wahl eines Isozentrums Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 23
Phase II: Intensitätsprofile Ansatz Diskretisierung Approximation der Dosisverteilung Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 24
K-kriterielles Problem K Organe von Interesse ( Ziel, Risiken ) maximale Dosisabweichung t k = t k ( x ) für Intensität x 0 ( Organ k=,,k ) K-kriterielle lineare Optimierungsaufgabe t Min, t Min, 2, t Min K ( es existiert i A keine Nullösung ) Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 25
Ergebnisdatenbank Generierung einer Datenbank mit Setup-Parametern Visualiserungen Isodosen DVHs t-vektoren Isodosen: Nachbarschaftsstruktur intelligenter Online-Suchhilfe Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 26
Durchführung: Multileaf Collimator Idee: Benutze dünne Metall blätter, hoch genug um die Bestrahlung abzublocken 5-7cm 05-cm Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 27
Linke Blätter Rechte Blätter Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 28
Patientenblick Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 29 Quelle: Mitsubishi
Multileaf Collimators: Mechanik Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 30
Multileaf Collimator Ein Beispiel Maximale Größe des Bestrahlungsfeldes Setup für Zeiteinheit + Setup für 2 Zeiteinheit 0 0 0 0 eine Zeile der ersten Reliefmatrix 0 0 0 0 eine Zeile der zweiten Reliefmatrix 0 2 0 0 eine Zeile der Intensitätsmatrix Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 3
Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 32 Prof Dr Horst W Hamacher Verschiedene Aufteilung in Reliefmatrizen + + + = 0 0 0 5* 0 0 0 3* 0 0 0 3* 0 0 0 5* 5 3 3 5 Beam-on Zeit: 6 Setups : 4 Beam-on Zeit: 5 Setups: 2 + = 0 0 2* 3* 5 3 3 5
Mathematische Modellierung: Ganzzahlige Optimierung L R y ijt ijt ijt = 0 = 0 = 0 falls das linke Blatt in Kanal i links von Spalte j zur Zeit t steht sonst falls das rechte Blatt in Kanal i links von Spalte j zur Zeit t steht otherwise falls die Spalte jin Kanal i zur Zeit t bestrahlt wird sonst Kanal i zur Zeit t: Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 33 L ijt =2 R ijt =6 0 2 5 6 7 y ijt = 0 0 0 0 Spaltennr
Ganzzahlige Variable beschreiben MLC: In jedem Kanal und zu jeder Zeit gibt es ein linkes und ein rechtes Blatt: (a) (b) Ncells+ j= L Ncells+ j= R ijt ijt = = i Row, i Row, t T t T Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 34
Ganzzahlige Variable beschreiben MLC: Kollisionen zwischen benachbarten Blätterpaaren werden ausgeschlossen: (2) Ncells+ j= j * L ijt Ncells+ j= j * R kjt i Row, t T, k { i, i, i + }: k Row Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 35
Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 36 Prof Dr Horst W Hamacher Ganzzahlige Optimierung: Formulierung I T t Col j Row, i L R y (7b) T t Col j Row, i R L y (7a) T t Row i 0 y (6b) T t Row i 0 y (6a) T t Col j Row, i R y y (5) T t Col j Row, i L y y (4) Col j Row, i I y (3) Row k i i i k T t Row, i R j L j (2) T t Col i R (b) T t Row, i L (a) st Behandlungszeit t j i t j i ijt ijt ijt ijt t i t Ncells i ijt ijt t j i ijt t j i ijt ij Ntime t ijt Ncells j kjt Ncells j ijt Ncells j ijt Ncells j ijt = = = + = = + + + = + = + = + = + =,,,,,, }:,, {, * *, min,,,,,0,,,,,,,
Beispiel: Transport von Gefahrengütern Wieviel Einheiten eines Gutes bzw 2 kann man transportieren, wenn pro Einheit: Gut Gut 2 Profit: 2 7 (Mill Euro) Kapazität: 4 (Platzeinheiten) Gefahrenwert: 9-4 ( -0 bis +0 Skala) (additiv) Dabei Gesamtkapazität: 4 Gefahrenhöchstwert: 36 Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 37
Mathematisches Modell Ganzzahliges, Lineares Programm pro Einheit: Gut Gut 2 Gesam Profit: 2 7 (Mill ECUs) Kapazität: 4 (Platzeinheiten) 4 wissensch Wert: -9 4 ( -0 bis +0 Skala) 36 Maximiere 2x + 7x 2 unter den Nebenbedingungen x + 4x 2 < 4 9x -4x 2 < 36 Vorzeichenbedingungen x,x 2 > 0 Ganzzahligkeitsbedingungen x,x 2 ganzzahlig Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 38
Lösung der Relaxation x 2 Maximiere 2x + 7x 2 unter den Nebenbedingungen x + 4x 2 < 4 9x -4x 2 < 36 Vorzeichenbedingungen x,x 2 > 0 Ganzzahligkeitsbedingungen x,x 2 ganzzahli x + 4x 2 < 4 3 2 9x -4x 2 < 36 Optimallösung ohne Ganzzahligkei x * =5, x 2* =225 Zielfunktionswert: 2x + 7x 2 =25,75 x 2 3 4 Zielfunktionswert: 2x + 7x 2 =8 Zielfunktion: 2x + 7x 2 = 0 Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 39
x 2 Partition des Problems in zwei Teilprobleme x + 4x 2 < 4 3 9x -4x 2 < 36 x 2 * > 3 x * =5, x 2* =225 2 x 2 * < 2 Zielfunktion 2x Zielfunktion + 7x 2 = 25 2x + 7x 2 = 23,9 x 2 3 4 Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 40
Ziel: Finde eine Beschreibung der konvexen Hülle der ganzzahligen Lösungen x 2 x + 4x 4 < 4 x * =2, x 2* =3 3 9x -4x 4 < 36 2 Zielfunktion: 2x + 7x 2 =25 x 2 3 4 Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 4 Zielfunktion: 2x + 7x 2
Supply Chain Management Ein einfaches Vertriebsnetzwerk Lieferanten Werke Vertriebszentren Kunden store store Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 42
Vertriebsnetzwerk-Design Werke Vertriebszentren Kunden Typische Entscheidungen: store Wie viele? Vetriebs- Wo? zentren Größe? store Welche Kunden werden von jedem Vertriebszentrum beliefert? Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 43
Schritt : Analyse eines existierenden Vertriebsnetzwerks Input: Netzwerkstruktur Kundennachfrage Transportkosten Entscheidungen: Belieferungsmuster: vom VZ zum Kunden Größe der Vertriebszentren Vertriebszentren Kunden store Ziel: Minimierung der Entfernungen store Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 44
Analyse eines existierenden Vertriebsnetzwerks (Forts) Annahmen: identische Vertriebszentren (VZ) gleicher Güterpreis in jedem VZ Transportkosten = fester Preis Distanz jeder Kunde wird von dem nächstgelegenen VZ beliefert Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 45
Voronoi-Diagramme Für 2 Punkte: Für 3 Punkte: Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 46
Analyse eines existierenden Vertriebsnetzwerks (Forts) Ansatz: Unterteilung der Ebene in N Zellen, V(VZ ),,V(VZ N ) V(VZ i ) = k: k i { 2 x :d(x,vz) } i d(x,vz) k Voronoi-Diagramm VZen Kunden Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 47
Vorteile: schnelles geometrisches Verfahren niedrige Datenanforderungen: nur Koordinaten von VZ,,VZ N falls l 2 -Norm benutzt wird Plane Sweep Algorithmus O(NlogN) (S Fortune (987)) Nachteile: Kundenzuordnung mit Hilfe von Voronoi-Diagrammen einige wichtige Aspekte werden nicht beachtet: Kosten sind nicht immer proportional zur Entfernung Standorte mit begrenzter Kapazität nicht entworfen für mehrstufige Vertriebsnetzwerke Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 48
Schritt 2: Redesign eines Input: Vertriebsnetzwerks - oder 2-Stufe(n) Netzwerkstruktur Kundennachfrage Transportkosten Werke Vertriebszenteren Kunden Entscheidungen: Platziere neue VZen Belieferungsmuster: vom Werk zum VZ vom VZ zum Kunden Größe der Werke/ VZen store store Ziel: Minimierung der Gesamtentfernungen Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 49
Heuristik: Initialisierungsschritt Menge : wähle Voronoi-Knoten mit Wahl der Kandidatenstandorte für ein neues VZ a) größtem Gewicht b) zweitgrößtem Gewicht c) drittgrößtem Gewicht Knoten-Gewicht = Gesamtnachfrage aller Kunden in den angrenzenden Zellen Startlokation löse Lageverbesserung : Standortproblem Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 50 Neues Voronoi-Diagramm
Heuristik: Initialisierungsschritt Menge 2: wähle Voronoi-Zelle mit a) größtem Gewicht b) zweitgrößtem Gewicht c) drittgrößtem Gewicht Position des Kandidaten = optimaler Standort in der ausgewählten Zelle Kandidat- Lageverbesserung : Zelle optimaler Standort löse Standortproblem Neues Voronoi-Diagramm Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 5
Heuristische Annäherung mit Hilfe der Voronoi-Diagramme Starte mit Voronoi-Diagramm(en) für existierende VZen (und Werke) Suche nach dem Standort des k-ten neuen VZs (k =,,#neuer VZen): wähle Startlokation für neuen Standort erstelle ein Voronoi-Diagramm löse einzelne -Standortproblem e in Voronoi-Zellen mit neuen Standorten V erbesserungsschritt speichere die kostengünstigste Lösung nein berechne neues Voronoi-Diagramm und Gesamtkosten ja Kostenverbesserung? nein alle Startlokationen ausgewählt? ja Ende Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 52
THE END Studienkreis Schule und Wirtschaft, Rheinland-Pfalz Seite 53