Skript EXCEL 2010 Matrizenrechnung/Lineare Gleichungssysteme 1. Einleitung Eine Matrixformel kann mehrere Berechnungen durchführen und dann entweder ein einzelnes Ergebnis oder mehrere Ergebnisse liefern. Matrixformeln bearbeiten zwei oder mehr Wertsätze (Zellbereiche, keine einzelnen Zellen), die als Matrixargumente bezeichnet werden. Sie erstellen eine Matrixformel auf dieselbe Weise wie andere Formeln, mit dem Unterschied, dass man zur Bestätigung der Formeleingabe die Tastenkombination < Strg > < > < > verwendet. 2. EXCEL-Matrixfunktionen 2.1. Integrierte Matrixfunktionen Zunächst eine kleine (unvollständige) Übersicht von Matrixfunktionen, die bereits in EXCEL integriert sind: Funktion Beschreibung MDET MDET(Matrix)... gibt die Determinante einer (quadratischen!) Matrix zurück MINV MINV(Matrix)... gibt die inverse Matrix einer (quadratischen!) Matrix zurück MMULT MMULT(Matrix1;Matrix2)... gibt das Produkt zweier Matrizen zurück, wobei die Spaltenzahl von Matrix1 mit der Zeilenzahl von Matrix2 übereinstimmen muss MTRANS MTRANS(Matrix)... gibt die transponierte Matrix einer Matrix zurück, d.h. aus den Zeilen der Matrix werden die Spalten der Transponierten 2.2. Verwendung einer Matrixfunktion Prinzipiell werden die Matrixfunktionen in gleicher Weise wie andere Funktionen verwendet. Trotzdem gibt es auch Unterschiede bei den Funktionen für Matrizen z.b. Die meisten Matrixfunktionen liefern mehrere Ergebniswerte. Dazu müssen in der Regel mehrere Zellen ausgewählt werden, welche im passenden Format (Zeilenzahl, Spaltenzahl) zur jeweiligen Funktion sein müssen. Auch die Argumente der Matrixfunktionen müssen in der passenden Form (Zellbereiche) angegeben werden. Wird eine Matrixfunktion nicht über den Funktionsassistenten eingefügt, sondern direkt in die Zelle eingetragen, muss zum Abschluss der Eingabe die bereits erwähnte Tastenkombination < Strg > < > < > verwendet werden. Wenn die Eingabe der Matrixfunktion mit der Tastenkombination < Strg > < > < > abgeschlossen wird, ist die gesamte Berechnung inklusive des Gleichheitszeichens in geschweifte Klammern eingeschlossen (sichtbar in der Bearbeitungszeile). Bemerkung: Einzelne Ergebniswerte einer Matrixfunktion können nicht überschrieben oder gelöscht werden (Abbruch mit < Esc > möglich). 1
2.3. Matrixkonstante Wie bei den normalen Funktionen kann man in einer Matrixfunktion, die einen Bezug auf einen Zellbereich verwendet, die Werte dieses Zellbereichs auch als konstante Matrix eingeben. Die Matrix der konstanten Werte bezeichnet man auch als Matrixkonstante. So erfolgt die Eingabe einer Matrixkonstanten: 1. Man gibt die Werte direkt in die Funktion ein und schließt sie in geschweifte Klammern < > und < > ein. 2. Man trennt die Werte in verschiedenen Spalten durch Punkte <.>. 3. Man trennt die Werte in verschiedenen Zeilen durch Semikolons < ; >. Beispiele: mathematische Schreibweise der Matrix EXCEL-Schreibweise der Matrix 1 2 3 4 5 6 1.2.3;4.5.6 10 20 30 10.20.30 11,2 11,2; 1,3;97,5 1,3 97,5 1 2 3 1.2.3;" "." "." " Allerdings kann man nicht einzelne Zellbezüge oder Namen in einer Matrixfunktion auflisten wie z.b. 1. 1. 1. Stattdessen muss der Bezug auf den Zellbereich 1: 1 verwendet werden. 2.4. Konkrete Matrixfunktionen mit Beispielen Anwendung einer normalen Funktion auf eine Matrix (Zellbereich): Nach dem Eintragen der Matrixkonstanten im Zellbereich A1:B3 wird der Ergebnisbereich D1:E3 markiert und die Funktion wie z.b. WURZEL( ) wie abgebildet eingetragen. Mit der Tastenkombination < Strg > < > < > wird die Berechnung ausgeführt und EXCEL zeigt das folgende Ergebnis (inklusive der Fehlermeldung in Zelle E3 wegen der nichtdefinierten Wurzel aus einer negativen Zahl in Zelle B3) 2
Transponieren einer Matrix: Zum Transponieren ( Vertauschen von Zeilen und Spalten ) einer Matrix (hier Zellbereich A1:B3) wird der entsprechende Ergebnisbereich (hier Zellbereich D1:F2) markiert und die Funktion MTRANS( ) aufgerufen. Die Tastenkombination < Strg > < > < > liefert dann die transponierte Matrix. Linearkombinationen von Matrizen gleichen Typs: Vielfache von Zellbereichen (hier A1:B3 und D1:E3 und G1:H3) mit gleicher Spalten- und Zeilenzahl sollen addiert und subtrahiert werden. Dazu wird der Ergebnisbereich (hier A5:B7) markiert und die ge- 3
wünschte Operation (z.b. 2 1 3 2+ 3) in die Funktionszeile eingetragen. Die Tastenkombination < Strg > < > < > liefert dann die gewünschte Ergebnismatrix. Matrizenmultiplikation: Das Produkt zweier Matrizen, wobei die Spaltenzahl von Matrix1 (hier Zellbereich A1:B3) mit der Zeilenzahl von Matrix2 (hier Zellbereich D1:F2) übereinstimmen muss, wird durch die Matrixfunktion MMULT(Matrix1;Matrix2) realisiert. Der Ergebnisbereich (hier A5:C7) muss markiert werden, wobei die Zeilenzahl von Matrix1 und die Spaltenzahl von Matrix2 gewählt wird. 4
Die Tastenkombination < Strg > < > < > liefert dann die gewünschte Produktmatrix. Determinantenberechnung: Mit der Matrixfunktion MDET(Matrix) kann man die Determinante der quadratischen Matrix (hier Zellbereiche A1:B2 bzw. D1:F3) berechnen. Die Determinanten sind skalare Größen und sollen hier in die markierten Zellen A5 bzw. D5 eingetragen werden. 5
Das Ergebnis kann hier sowohl durch die Tasteneingabe von < Strg > < > < > als auch von < > erzeugt werden. 3. Lineare Gleichungssysteme Ausgangspunkt der Betrachtungen ist ein lineares Gleichungssystem in Matrixschreibweise = mit einer quadratischen Koeffizientenmatrix, der 1 Matrix der Unbekannten und einer 1 Matrix der Ergebnisse. Auf eine universelle Lösungsmethode wie das Gaußsche Eliminationsverfahren muss im Standard von EXCEL verzichtet werden. Leicht durchführbar sind Verfahren für eindeutig lösbare Gleichungssysteme wie die Cramersche Regel oder die Verwendung der inversen Koeffizientenmatrix. Eine weitere Möglichkeit ergibt sich durch den Einsatz des Solvers von Excel. 6
3.1. Lösung mit der Cramerschen Regel Grundbestandteil der Lösung des quadratischen linearen Gleichungssystems = mit der Cramerschen Regel ist die Berechnung entsprechender Determinanten. Mit = lassen sich die Lösungen darstellen durch Quotienten = det, = det, = det, wobei die die Determinanten der Matrix sind, die durch Austausch der k-ten Spalte durch den Vektor aus der Koeffizientenmatrix A entsteht, mit =1,2,,. Voraussetzung dafür ist 0. Betrachtet soll hier das 2 2 Gleichungssystem 2 + 5 = 1 2 5 3 + 2 = 7 3 2 = 1 7 werden. Dann sind die zu verwendenden Determinanten det = 2 5 3 2 = 11, = 1 5 7 2 = 33, = 2 1 = 11. 3 7 Mit der EXCEL-Funktion MDET( ) kann dann die Lösung bestimmt werden, wobei es jedoch Probleme mit der Eingabe des Zählers gibt, da EXCEL ein Zusammensetzen der dort verwendeten Matrix aus einzelnen Spalten nicht gestattet. Die Tastenkombination < Strg > < > < > liefert dann jeweils die gewünschte Lösung. 7
3.2. Lösung mit der inversen Koeffizientenmatrix Die Idee der Lösung eines quadratischen linearen Gleichungssystems = mittels der Inversen der Koeffizientenmatrix beruht auf der linksseitigen Multiplikation obiger Gleichung mit : =, wobei die Rechnung = = zur Lösung führt: =. Aus mathematischer Sicht muss für die Existenz der Inversen die Matrix regulär sein, d.h. für ihre Determinante muss gelten: 0. Als Beispiel soll das folgende lineare 3 3 Gleichungssystem gelöst werden: 3 + 5 + 2 = 420 3 5 2 420 1 + 4 + 3 = 350 1 4 3 = 350 2 + 2 + 5 = 360 2 2 5 360 Die Lösung berechnet EXCEL nach der Formel 3 5 2 420 = = 1 4 3 350, 2 2 5 360 d.h. durch Kombination der Matrixfunktionen MMULT( ) und MINV( ). Die Tastenkombination < Strg > < > < > liefert dann die gewünschte Lösung. 8
3.3. Lösung mittels EXCEL-Solver Wenn man EXCEL öffnet und bei früheren Versionen unter Extras bzw. bei der 2010- Version unter Daten - Analyse nicht den Eintrag 'Solver' findet, muss dieser noch installiert werden. Der Solver stellt ein wichtiges Werkzeug bei der Linearen Optimierung dar und kann auch zum Lösen linearer Gleichungssysteme = genutzt werden. Um mit dem Solver das Beispiel 3 + 5 1 + 4 1 1 + 3 3 1 = 5 = 7 = 3 3 4 1 5 5 1 3 = 7 1 3 1 3 lösen zu können, muss man den Variablen (hier,, ) Startwerte (hier 1, 1,1 im Zellbereich A5:C5) zuweisen. Der Zellbereich A8:C10 enthält die Werte der Koeffizientenmatrix und der Zellbereich G8:G10 wird mit den Werten der rechten Seite (hier 5, 7, 3) belegt. Der Zellbereich E8:E10 soll die Zwischenergebnisse des Gleichungssystems beinhalten und muss zuerst markiert und anschließend mit der Matrixformel MMULT(MatrixA; MTRANS(Startwerte)) belegt werden (siehe Bild). 9
Anschließend wird die Berechnung mit der Tastenkombination < Strg > < > < > ausgeführt. Damit sind die Vorbereitungen abgeschlossen. Nun wird der Solver eingerichtet. Dieses Programm berechnet eine Zielzelle, welche eine Formel enthalten muss, unter Einhaltung bestimmter Nebenbedingungen. Dazu setzt man den Cursor auf die Zielzelle (hier $E$8) und ruft unter Daten Analyse den Solver auf. Dann öffnet sich das folgende Fenster und man aktiviert Wert und setzt den Zahlenwert aus der Zelle G8 (hier 5) ein. Danach werden der Zielbereich als Variablenzellen (hier $A$5:$C$5) eingetragen und die Nebenbedingungen (hier $E$9 = $G$9 und $E$10 = $G$10) hinzugefügt. 10
Als Lösungsmethode wählt man Simplex-LP aus. Dann startet man die Berechnungen und erhält das folgende Fenster mit der Frage, ob man mit der Lösung zufrieden ist: Hier kann man verschiedene Ausgabeoptionen wählen für die Präsentation der Ergebnisse der Berechnung. Das wird beim Lösen linearer Optimierungsprobleme von Interesse sein. Für die linearen Gleichungssysteme reicht es, die Lösung zu akzeptieren. Im Zellbereich A5:C5 findet man die gesuchte Lösung (0, 2, 3) für das betrachtete Beispiel. 11