Daniel Heibrock. Facharbeit Mathe. Matrizenrechnung mit dem Graphik- Taschenrechner fx-9750gii. Herr Bonertz M_L1 Q1

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1 Daniel Heibrock Facharbeit Mathe Matrizenrechnung mit dem Graphik- Taschenrechner fx-9750gii Herr Bonertz M_L1 Q1

2 Inhaltsverzeichnis Themenwahl und Schwerpunktsetzung...3 Einführung in die Matrizenrechnung Matrizenrechnung im RUN MAT-Menü des GTR Grundrechenarten der Matrizenrechnung im RUN MAT-Menü Matrizenumformung im Matrixoperationsmenü...6 Erstellen einer Einheitsmatrix...6 Augmentieren von zwei vorhandenen Matrizen...6 Auffüllen einer Matrix...6 Schreiben einer Matrixspalte in eine Liste...7 Transponieren einer Matrix Matrizenrechnung im Matrixoperationsmenü...7 Berechnen des Skalarproduktes zweier Vektoren...7 Berechnen der Determinanten...8 Inversion einer quadratischen Matrix...8 Aufstellen der reduzierten Stufenform...8 Aufstellen der zeilengestaffelten Stufenform...8 Schlusswort...9 Anhang...10 Beispielaufgaben...10 Matrizenaddition...10 Matizensubtraktion...10 Matrizenmultiplikation...10 Potenzieren einer Matrix...11 Matrizeninversion...11 Skalarproduktberechnung...11 Lösung von linearen Gleichungssystemen mit der reduzierten Stufenform...12 Literaturverzeichnis...13

3 Themenwahl und Schwerpunktsetzung Als mir das erste Mal das Thema der Vektorrechnung nahe gebracht wurde, weckte dieses mathematische Gebiet in mir großes Interesse. Daher entschied ich mich dafür, mich mit der Berechnung von Matrizen auseinanderzusetzen. Weiterführend interessierten mich die Möglichkeiten, die mir der Graphik-Taschenrechner (GTR) fx-9750gii der Firma CASIO eröffnete. Aus diesem Grund werde ich mich hier damit auseinandersetzen, wie man mit dem GTR für Matrizen grundlegende Rechnungen ausführt und ein besonderes Augenmerk darauf legen, wie die Ergebnisse mit möglichst geringem Rechenaufwand überprüft werden können. Die Zielsetzung meiner Arbeit ist es, eine verständliche Anleitung zu erarbeiten, die es ermöglicht, mit dem GTR möglichst effizient im Bereich der Matrizen zu rechnen. Zusätzlich zu den grundlegenden Rechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) werde ich mich spezielleren Fällen wie der Multiplikation einer Matrix mit einem skalaren Faktor, dem Invertieren einer solchen, sowie dem Potenzieren einer quadratischen Matrix anhand von u.a. anwendungsbezogenen Beispielen beschäftigen. Außerdem werden einige Anwendungsbereiche für Matrizen genannt und im Falle der Vektorrechnung erläutert, wie das Skalarprodukt gebildet werden kann. Einführung in die Matrizenrechnung Im Bereich der Matrizenrechnung sind Rechenoperationen nur unter bestimmten Bedingungen möglich. Addition und Subtraktion sind nur durchführbar, wenn Minuend- und Subtrahend-Matrix bzw. die Summanden-Matrizen identische Dimensionen haben. Es werden jeweils die Matrixzellen mit den selben Indices addiert bzw. subtrahiert. ( x a1,1 x a 1,2 x a 2,1 x a 2,2) ± ( x b1,1 x b1,2 x b2,1 x b 2,2) ( = x ±x a1,1 b 1,1 x a1,2 ± x b1,2 x a2,1 ±x b 2,1 x a2,2 ± x b2,2) Bei der Multiplikation von Matrizen muss die Spaltenzahl einer Faktor-Matrix der Zeilenzahl der anderen entsprechen um eine solche Rechenoperation zu ermöglichen, da hierzu Zeile mal Spalte multipliziert wird.

4 ( x a1,1 x a 1,2 x a2,1 x a 2,2) ( x b1,1 x b1,2 x b2,1 x b 2,2) ( = x x +x x a 1,1 b1,1 a1,2 b2,1 x a1,1 x b1,2 + x a1,2 x x a 2,1 x b1,1 + x a2,2 x b2,1 x a2,1 x b1,2 + x a2,2 x b2,2) Im Falle der Multiplikation mit einem skalaren Faktor wird dieser mit jeder Zelle der Matrix einzeln multipliziert. Potenzierbar wiederum sind nur quadratische Matrizen, das heißt ihre Zeilenzahl entspricht gleichzeitig der Anzahl ihrer Spalten, da sonst die im Vorherigen beschriebenen Voraussetzungen der Multiplikation nicht erfüllt werden würden. Das Invertieren einer Matrix beschreibt die Berechnung einer Matrix, die mit der Ausgangsmatrix multipliziert eine Einheitsmatrix ergibt. Diese besteht nur aus Nullen und Einsen, wobei die Einsen sich in den Zellen befinden, deren Zellenindex ihrem jeweiligen Spaltenindex entspricht. 1. Matrizenrechnung im RUN MAT-Menü des GTR [AC/ON] [MENU] [1] In diesem Menü ist es möglich Matrizen einzugeben und mit diesen zu rechnen. Es stehen dazu 26 Matrixspeicher zur Verfügung (Mat A Mat Z), für die es eine maximale Größe von (999x999) 1 einzuhalten gilt, sowie ein Antwortspeicher (MatAns). Eine Matrix ist im Matrix-Editor oder mit Hilfe des Matrixoperationsmenüs zu erstellen. Der Matrix-Editor wird im RUN MAT-Menü über MAT geöffnet: [F1] Nach Betätigen von [EXE] oder [ ] werden die Dimensionen der Matrix festgelegt. Nach erneuter Bestätigung durch [EXE] kann die Matrix befüllt werden. Das Matrixoperationsmenü ist im RUN MAT-Menü unter MAT zu finden: [OPTN] [F2] Bei der Matrizenerstellung im Matrixoperationsmenü wird die Matrix mit Hilfe von eckigen Klammern eingegeben. Jede Zeile wird ebenso wie die gesamte Matrix eingeklammert, wobei die Zahlen durch Kommata getrennt werden. 1 Laut Handbuch

5 ( x1,1 x1,2 x1,n x 2,1 x 2,2 x 2,n x m,1 x m,2 x m,n) [[ x 1,1, x 1,2,..., x 1, n][ x 2,1, x 2,2,..., x 2,n] [ x m,1, x m,2,..., x m, n]] Nun wird die Matrix auf einem Speicher abgelegt. Hierbei ist zu beachten, dass alle Zeilen die gleiche Anzahl an Zahlen beherbergen, da sonst ein Fehler auftritt (Dim Error). Beim Rechnen mit den Matrixspeichern ist zu beachten, dass hierbei nur die 26 Buchstaben, sowie der Matrixantwortspeicher MatAns zur Verfügung stehen. Die Buchstabenspeicher werden wie gewohnt mit ALPHA angesteuert, es wird jedoch ein Mat vorangestellt. Dies ist über das Matrixoperationsmenü oder eine Tastenkombination möglich. Da sich diese Eingabe im Folgenden häufiger wiederholen wird, werde ich sie durch Mat α darstellen. Hierbei steht α für einen Buchstaben der Menge A- Z. Es besteht natürlich auch immer die Möglichkeit, die Matrix direkt über die Klammerschreibweise einzugeben. Es sei denn, es besteht ein Bezug zum Abspeichern der Matrix, da dies sonst nicht möglich ist. Eingabe(SHIFT): Eingabe(MAT): [SHIFT] [2] [ALPHA] α [OPTN] [F2] [F1] [ALPHA] α Mat α Beliebiger Matrixspeicher, wobei α für einen beliebigen Buchstaben des Alphabets steht. Oder direkte Eingabe einer Matrix in eckigen Klammern. Obwohl die Eingabe über das Matrixoperationsmenü etwas länger ist, so ist sie doch von Vorteil, da das Menü bis auf Weiteres geöffnet bleibt und für verschiedene Rechenoperationen zur Verfügung steht. 1.1 Grundrechenarten der Matrizenrechnung im RUN MAT-Menü Zur Multiplikation, Addition und Subtraktion wird mit den Matrixspeichern gerechnet oder die Matrizen werden wie oben beschrieben in Klammerschreibweise eingegeben. Es sind jedoch die Grundvoraussetzungen für Rechenoperationen mit Matrizen einzuhalten. Selbstverständlich sind auch die Multiplikation mit einem skalaren Faktor sowie Rechenoperationen mit dem Antwortspeicher (Ans) möglich.

6 1.2 Matrizenumformung im Matrixoperationsmenü Erstellen einer Einheitsmatrix Eine Einheitsmatrix besteht nur aus Nullen und Einsen. Hierbei sind die Einsen diagonal von Zelle (0 0) bis Zelle (n n) angeordnet. Daher hat eine Einheitsmatrix auch immer gleich viele Zeilen und Spalten. [OPTN] [F2] [F6] [F1] d: Dimensionen der Matrix Identity (d ) Mat α Zielmatrixspeicher Natürlich ist es auch möglich eine Einheitsmatrix zu erstellen, ohne sie auf einen Speicher zu schreiben. Dann könnte allerdings nur über den Antwortspeicher mit dieser gerechnet werden. Augmentieren von zwei vorhandenen Matrizen Beim Augmentieren werden zwei Matrizen zusammengefügt. [OPTN] [F2] [F5] Augment (Mat α, Mat β) Mat β: Basismatrix Anzufügende Matrix Augmentierbar sind nur Matrizen mit gleich vielen Zeilen. Auffüllen einer Matrix Der Fill-Befehl füllt eine vorhandene Matrix neu mit nur einer Zahl auf, diese steht dann in jeder Zelle. [OPTN] [F2] [F6] [F3] Fill ( x, Mat α) x: Zahl, mit der die Matrix aufzufüllen ist. Zu befüllender Matrixspeicher mit vorhandener Matrix.

7 Schreiben einer Matrixspalte in eine Liste [OPTN] [F2] [F2] Mat List(Mat α,i) Ausgangsmatrix mit ausgewählter Spalte. i: Index der in eine Liste zu schreibenden Spalte. Des Weiteren ist es auch möglich, die erstellte Liste auf einen Listenspeicher zu schreiben, hierbei ist zu beachten, dass die Listenspeicherindices mit Nummern belegt sind und nicht mit Buchstaben. Der List Befehl ist eine Tastenkombination mit SHIFT. [SHIFT] [1] Mat List(Mat α,i) List l l: Listenspeicherindex Transponieren einer Matrix Beim Transponieren einer Matrix werden ihre Zeilen zu Spalten und die Spalten zu Zeilen. [OPTN] [F2] [F4] TrnMat α Zu transponierende Matrix. Dies ist ein besonders praktischer Befehl wenn eine Matrix Zeile in eine Liste übertragen werden soll. Einen Anwendungsbereich stellt die Berechnung des Skalarproduktes zweier Vektoren dar. Dies ist notwendig, weil in der Matrizenrechnung Zeile mal Spalte gerechnet wird, Vektoren jedoch immer in Spaltenform stehen. 1.3 Matrizenrechnung im Matrixoperationsmenü Berechnen des Skalarproduktes zweier Vektoren Da es sich bei den Vektoren um eine besondere Matrixform handelt, ist hier zu beachten, dass der GTR das Skalarprodukt nicht ohne weiteres berechnen kann. Wie bereits erwähnt hilft hier das Transponieren einer der beiden Vektoren.

8 (x1 y 1 y 2 z 1) (x2 1 y 1 z 1 ) (x2 y 2 z 2) (x 2) z Berechnen der Determinanten Die Determinante wird zur Inversion von Matrizen benötigt. Hierzu muss es sich um eine quadratische Matrix handeln, deren Determinante ungleich Null ist. [OPTN] [F2] [F3] Det (Mat α) Matrix, deren Determinante zu berechnen ist. Auch in Klammern eingebbar. Inversion einer quadratischen Matrix Der GTR ist in der Lage quadratische Matrizen, deren Determinante ungleich Null ist zu invertieren. [SHIFT] [ ) ] (Mat α) 1 Aufstellen der reduzierten Stufenform Das Aufstellen der reduzierten Stufenform ist besonders praktisch, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. [OPTN] [F2] [F6] [F5] Rref Mat α Eine (n (n+1)) Matrix wobei n der Anzahl der Variablen entspricht. Die Zeilen werden wie im linearen Gleichungssystem gefüllt, jede Spalte steht für eine Variable. In die letzte Spalte gehören die Ergebnisse. Aufstellen der zeilengestaffelten Stufenform Die zeilengestaffelte Stufenform wird mit Hilfe des Gaus-Verfahrens aufgestellt. [OPTN] [F2] [F6] [F4] Ref Mat α

9 Ausgangsmatrix. Schlusswort Zusammenfassend lässt sich sagen, dass der GTR ein besonders effizientes Hilfsmittel darstellt. In Klausuren ist allerdings zu beachten, dass häufig eine manuelle Berechnung gewünscht ist und der GTR hier lediglich als Möglichkeit der Überprüfung zur Verfügung steht.

10 Anhang Beispielaufgaben Matrizenaddition Bestimmen Sie mit den Matrizen A=( a) A + B 2 1) ( und B= ) [OPTN] [F2] [F1] [ALPHA] [X,θ,T] [ + ] [F1] [ALPHA] [log] [EXE] Mat A+ Mat B Ausgabe: ( ) Matizensubtraktion Gegeben sind die Matrizen [...] A=( 1 1 a) A B ) (, B= ) [ ] [OPTN] [F2] [F1] [ALPHA] [X,θ,T] [ - ] [F1] [ALPHA] [log] [EXE] Ausgabe: ( ) Mat A Mat B Matrizenmultiplikation Berechnen Sie das Matrizenprodukt. d) ( ) ( ) Mat A: ( ) Mat B: ( ) [OPTN] [F2] [F1] [ALPHA] [X,θ,T] [ x ] [F1] [ALPHA] [log] [EXE] Mat A Mat B 2 Lambacher Schweizer, 2011, S Ebenda 4 Ebenda, S.315

11 Ausgabe: ( ) Potenzieren einer Matrix Berechnen Sie A², A³ [ ] A=( ) 5 A²: [ ( ] [OPTN] [F2] [F1] [ALPHA] [X,θ,T] [ ) ] [x²] [EXE] (Mat A)² Ausgabe: (1) A³: [ ( ] [F1] [ALPHA] [X,θ,T] [ ) ] [^] [ 3 ] [EXE] (Mat A)^3 Ausgabe: (1) Matrizeninversion Bestimmen Sie [ ] die inverse Matrix von A. a) A=( ) 6 [ ( ] [OPTN] [F2] [F1] [ALPHA] [X,θ,T] [ ) ] [SHIFT] [ ) ] [EXE] (Mat A) 1 ( 0,2 0,2 0,6 Ausgabe: 0,4 1,6 3,8 0,2 0,8 1,4) Skalarproduktberechnung Überprüfen Sie, ob die sich schneidenden Geraden g und h zueinander orthogonal sind. a) g: x= ( 2 2 ) +s ( 5 ) ( 1 ; h: x= 5 ) 1 + s ( Lambacher Schweizer, 2011, S Ebenda, S Ebenda, S ) 7

12 ( Mat A=( 5 1 0) ; Mat B= 2 ) 2 0 [OPTN] [F2] [F1] [ALPHA] [X,θ,T] [ x ] [F1] [ALPHA] [log] [EXE] Mat A Mat B Ausgabe: (12) Antwort: Da das Skalarprodukt 12 ist, sind die Vektoren nicht orthogonal. Lösung von linearen Gleichungssystemen mit der reduzierten Stufenform Lösen Sie das lineare Gleichungssystem mithilfe des GTR. c) 0,4 x 1 +0,8 x 2 +1,3 x 3 =4 2,2 x 1 1,4 x 2 3,5 x 3 = 8,7 3x 1 1,5 x 2 + x 3 = 2,5 x 1= ( 0,4 2,2 x 3) 2= ( 0,8 1,4 x 1,5) 3= ( 1,3 3,5 8 8,7 2,5) 1 ) n= ( 4 Ausgabe: 0,4 0,8 1,3 4 Mat 2,2 1,4 3,5 8,7 A=( 3 1,5 1 2,5) [OPTN] [F2] [F6] [F5] [F6] [F1] [ALPHA] [X,θ,T] [EXE] 45 ( ) 277 Rref Mat A Ergebnis: x 1 = , x 2 = und x 3 = Lambacher Schweizer, 2011, S.200

13 Literaturverzeichnis Manfred Baum u. a.: Lambacher Schweizer. Stuttgart, 2011 Bedienungsanleitung des GTR

14 Hiermit versichere ich, dass ich die Facharbeit selbstständig verfasst und keine anderen Quellen und Hilfsmittel als die angegebenen benutzt habe.