Grundlegende Geogebra Befehle (Auswahl) Funktionen: Funktionen zeichnen: f(x)=x 2 2x + 5 Nullstelle(f(x)) Nullstelle(n) berechnen Extremum(f(x)).. Extremwert(e) berechnen Extremum(f(x), Startwert, Endwert) berechnet Extremwerte im Intervall [Startwert ; Endwert] Wendepunkt (f(x)) berechnet Wendepunkt Achtung!! Befehl Krümmung(Punkt, Funktion) liefert nicht den Wert der 2. Ableitung! In Geogebra ist die Krümmung anders definiert!! Verwende daher: Ableitung(f(x), Grad der Ableitung) 1
Berechnet die jeweilige Ableitung. Krümmung erhält man durch Einsetzen in die erhaltene Funktionsgleichung! Exponentialfunktion: Eingabe: f(x) = e x als f(x) = exp(x)!! Logarithmusfunktion: f(x) = lg(x) Logarithmus zur Basis 10: Eingabe als f(x) = log10(x)!! Logarithmusfunktion zu beliebiger Basis: f(x) = b lg x. Eingabe: f(x) = lg(b,x) z.b.: f(x) = 4 lg(x). Eingabe f(x) = lg(4,x) Kontrolle: geht durch P 1 (4 1) und P 2 (16 2) Eingabe von Wurzel als f(x) = sqrt(x) (squareroot) 2
Integral: Integral(f(x),x) berechnet die entsprechende Stammfunktion F(x) ( mit c=0) und zeichnet sie! Integral(f(x),Startwert, Endwert) berechnet die Fläche zwischen f(x) und der x-achse im angegebenen Intervall und zeichnet sie ein! Integralzwischen(f(x), g(x), Startwert, Endwert) berechnet die Fläche zwischen den beiden Kurven im Intervall zwischen Startwert und Endwert! z.b. f(x) = x 2 1 und g(x) = 2x + 1 im Intervall [-1; 2] liefert bei Eingabe: Integralzwischen(f, g, -1, 2) den Wert 4,5 (weil f(x) die untere Kurve ist) Integralzwischen(g, f, -1, 2) den Wert 4,5 (weil f(x) die untere Kurve ist) 3
Mit Untersumme(f(x), Startwert, Endwert, AnzahlRechtecke) erhält man eine entsprechende Untersumme, die auch eingezeichnet wird! dasselbe funktioniert mit Obersumme (f(x), Startwert, Endwert, AnzahlRechtecke) Beispiel: f(x) = 1 / 2 x 4 x 2 + 1 und g(x) = -x +1 Schneide (f, g) liefert 2 eindeutige Schnittpunkte! Damit eine eindeutige Fläche Integralzwischen(g, f, -1.77, 0) liefert 1,68 Ändert man f(x) zu: f(x) = 1 / 2 x 4 2x 2 + 1 entstehen drei gemeinsame Flächenstücke, die man getrennt integrieren muss, um die Gesamtfläche zu erhalten! 4
Achtung: Liegen Schnittpunkte zwischen den Kurven vor, die die Lage der Kurven zueinander verändern, muss das Intervall geteilt werden!! Vektoren: Eingabe als a=vektor(punkt). z. B. a=vektor((2,-3)) liefert den entsprechenden Vektor. abs(vektor) berechnet die Länge (den Betrag) des Vektors. Z.B. abs(a) wäre 3,61. Normalvektor(a) liefert den entsprechenden Normalvektor (Linksdrehung). 5
Normalvektor(-a) liefert den entsprechenden Normalvektor (Rechtsdrehung). t * a liefert sofort eine Gerade durch O(0 0) mit dem Richtungsvektor a. Skalarprodukt(Vektor_1,Vektor_2) liefert das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Einheitsvektor(a) liefert den Einheitsvektor zu a (Vektor mit Richtung a und Länge 1). Mittelpunkt(Punk_1,Punkt_2) liefert den Mittelpunkt der Strecke Punkt_1 Punkt_2. Gerade(Punkt_1, Punkt_2) liefert die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte. Gerade(Punkt, Richtungsvektor) liefert die Gleichung der Geraden durch den Punkt mit dem entsprechenden Richtungsvektor. Wichtig!! Der Vektor muss vorher als Vektor deklariert werden, sonst wird die zweite Eingabe als Punkt interpretiert!! 6
Normale Gerade zeichnen mit dem Befehl Senkrechte(Punkt, Gerade) oder Senkrechte(Punkt, Strecke) oder Senkrechte(Punkt, Vektor) Wichtig!! 2. Eingabe muss das entsprechende Format haben! 7
Trigonometrie: f(x) = sin(x) zeichnet die Funktion sin(x) Achtung: x wird im Bogenmaß gezeichnet! Will man die Einheit in Grad auf der x-achse haben: Trick 17: Zeichne f(x) = sin(π/180 *x) Stochastik: Binomialkoeffizienten: Binomialkoeffizient(n,k) berechnet das n über k Binomialverteilung: Binomial(Anzahl Versuche, Erfolgswahrscheinlichkeit, Anzahl Erfolge, Wahrheitswert Verteilung) liefert exakte Werte der Binomialverteilung 8
Binomial(10, 0.3, 5, false) liefert die Wahrscheinlichkeit, bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p=0.3 bei 10 Versuchen genau 5 Treffer zu haben. Binomial(10, 0.3, 5, true) liefert die Wahrscheinlichkeit, bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p=0.3 bei 10 Versuchen höchstens 5 Treffer zu haben. 1 - Binomial(10, 0.3, 5, true) liefert die Wahrscheinlichkeit, bei einer Erfolgswahrscheinlichkeit von p=0.3 bei 10 Versuchen mehr als 5 Treffer zu haben. Mit Binomial (10,0.3) erhält man ein gesamtes Balkendiagramm der entsprechenden Binomialverteilung. 9