Normalformen. Kapitel Zyklische Unterräume

Kapitel 10 Normalformen In diesem ganzen Kapitel ist V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und T Hom(V, V ) Natürlich können Sie sich T auch immer als Matrix vorstellen, und wenn wir konkret rechnen, dann machen wir das auch meistens mit Matrizen 101 Zyklische Unterräume Definition 1011 Die Menge Z(v,T) := {g(t)v : g K[x]} heißt der von v erzeugte T-zyklische Unterraum Ein Vektor v heißt zyklisch wenn Z(v, T) = V Bemerkung 1012 Ein Erzeugendensystem von Z(v, T) ist offenbar die Menge {v,t(v),,t n 1 (v)} Lemma 1013 Z(v,T) ist ein T-invarianter Unterraum In einem gewissen Sinne dual zum Begriff des zyklischen Unterraums ist der Begriff des T-Annihilators, den wir bereits (etwas allgemeiner) in Definition 9114 eingeführt haben: Definition 1014 Die Menge M(v,T) := {g K[x] : g(t)(v) = 0} nennt man den Annihilator oder das Annihilatorideal von v 162

Lemma 1015 Der T-Annihilator von v ist ein Ideal in K[x] Bemerkung 1016 Der monische Erzeuger dieses Ideals wird oft auch als der T-Annihilator bezeichnet Weil jedes Ideal genau einen monischen Erzeuger hat, und weil verschiedene monische Polynome verschiedene Ideale erzeugen, ist diese Begriffsverwirrung gerechtfertigt Lemma 1017 Der T-Annihilator teilt das Minimalpolynom von T Man kann sich vorstellen, dass zwischen dem von v erzeugten zyklischen Unterraum und dem T-Annihilator ein Zusammenhang besteht dergestalt, dass ein großes Annihilatorideal auf einen kleinen zyklischen Unterraum hindeutet und umgekehrt Der nächste Satz präzisiert dies: Satz 1018 Sei v V, v 0 Mit p v bezeichnen wir den T-Annihilator von v Der Grad von p v sei k Dann gilt: (a) Grad(p v ) = dim(z(v,t)) (b) {v,t(v),,t k 1 (v)} ist eine Basis von Z(v,T) (c) Sei U = T Z(v,T) Dann gilt m U = p v Beweis Sei g = p v q + r, Grad(r) < k oder r = 0 (übliche Division mit Rest) Dann gilt g(t)(v) = p v (T)q(T)(v) + r(t)(v) = r(t)(v), weil p v q im T-Annihilator von v liegt Das zeigt: dim(z(v,t)) k, weil jedes g(t)v Z(v,T) als Linearkombination von v,t(v),,t k 1 (v) geschrieben werden kann, denn Grad(r) < k Ferner ist r(t)(v) 0 für alle Polynome r K[x] vom Grad < k, weil p v das Polynom kleinsten Grades ist mit p v (T)(v) = 0 Das zeigt k = dim(z(v,t)), also (a) und (b) Wir betrachten nun U Es gilt p v (U)g(T)(v) = p v (T)g(T)(v) = g(t)p v (T)(v) = g(t)(0) = 0 für alle g K[x] Das zeigt m U p v Ferner gilt 0 = m U (U)(v) = m U (T)(v), also p v m U, denn p v erzeugt den T-Annihilator von v Das zeigt zusammen p v = m U Bemerkung 1019 Die Darstellungsmatrix von U bzgl der Basis v,t(v),,t k 1 (v) ist die Begleitmatrix von p v 163

Definition 10110 Die Matrix 0 0 0 a 0 1 0 0 a 1 0 1 0 a 2 0 a n 2 0 0 1 a n 1 heißt die Begleitmatrix des Polynoms n 1 f = x n + a i x i i=0 Wir haben in Satz 6323 gezeigt, dass f das charakteristische Polynom dieser Matrix ist Das folgende Korollar zeigt, dass dies auch das Minimalpolynom ist Unklar bleibt, ob es im Fall m T = χ T auch stets einen zyklischen Vektor gibt Das ist in der Tat der Fall, und wir werden es später noch zeigen Korollar 10111 Wenn V einen T-zyklischen Vektor hat, so gilt m T = χ T Beweis Wenn es einen zyklischen Vektor v gibt, so gilt V = Z(v,T) Dann gilt (mit den Bezeichnungen aus Satz 1018) U = T und somit Grad(m T ) = dimv Unser nächstes Ziel ist es zu zeigen, dass sich jeder Vektorraum in zyklische Unterräume zerlegen lässt Definition 10112 Sei T Hom(V,V), W V Dann heißt W ein T- zulässiger Unterraum, wenn gilt: (Z1) W ist T-invariant (Z2) Wenn f(t)(v) W gilt für ein f K[x] und ein v V, so gibt es auch ein w W mit f(t)(v) = f(t)(w) Lemma 10113 Sind W und W zwei T-invariante Unterräume mit V = W W, so sind W und W sogar T-zulässig Beweis Sei v = w + w mit w W, w W Ferner sei f(t)v W, also f(t)w + f(t)w W Weil W und W aber auch T-invariant sind, gilt sogar f(t)w W und f(t)w W Also muss f(t)w = 0 gelten, dh f(t)v = f(t)w 164

Korollar 10114 Wenn ein T-invarianter Unterraum W ein T-invariantes Komplement hat, so ist W ein T-zulässiger Unterraum Wir kommen nun zu unserem Hauptsatz, der zeigt, dass jeder Vektorraum in zyklische Unterräume zerlegt werden kann 102 Hauptsatz über die Zerlegung in invariante Unterräume Satz 1021 Sei T Hom(V, V ), dimv = n Sei W 0 ein T-zulässiger Unterraum von V, W 0 V Dann gibt es v 1,,v r V (v i 0) mit folgenden Eigenschaften: (a) V = W 0 Z(v 1,T) Z(v r,t) (b) p k teilt p k 1 für k = 2,,r, wobei p i der T-Annihilator von v i ist Ferner sind die p i durch (a) und (b) und die Bedingung v i 0 eindeutig bestimmt Gilt W 0 = {0}, so ist p 1 das Minimalpolynom von T In diesem Fall heißen die p i die invarianten Faktoren von T Dem Beweis dieses Satzes wollen wir einen eigenen Abschnitt widmen Warnung: Es wird nicht behauptet, dass die Z(v i,t) eindeutig sind, sondern nur die Annihilatoren Beispiel 1022 Sei T = 5 6 6 1 4 2 3 6 4 Dann ist χ T = (x 1)(x 2) 2 Dann muss es also v 1 und v 2 geben mit Annihilatoren p 1 = (x 1)(x 2) sowie p 2 = x 2 Ein Vektor v 2 mit Annihilator x 2 ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 2, also zb v 2 = 2 1 0 (nachrechnen!) Um einen Vektor v 1 mit Annihilator p 1 zu finden, genügt es, irgendeinen Vektor zu nehmen, der kein Eigenvektor ist Ein solcher Vektor muss als Annihilator (x 1)(x 2) haben Versuchen wir es beispielsweise mit v 1 = 1 0 0 165

Dann ist T 1 0 = 0 5 1 3 und T 2 1 0 = 13 3 = 2 1 0 + 3 5 1, 0 9 0 3 der Annihilator ist also x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2) Versuchen wir es mit einem anderen Vektor, zb Dann ist und T 2 v 1 = 0 1 0 T 0 1 = 6 4 0 6 0 18 0 6 1 = 10 = 2 1 + 3 4, 0 18 0 6 also ist auch hier der Annihilator x 2 3x + 2 Es kommen nun einige Korollare: Korollar 1023 Ist W V ein T-invarianter Unterraum von V, so hat W genau dann ein T-invariantes Komplement W, wenn W ein T-zulässiger Unterraum ist Beweis Ist W = V, so ist W = {0} Andernfalls setzen wir in Satz 1021 W = W 0 Dann ist W = Z(v 1,T) Z(v r,t) ein T-invariantes Komplement Korollar 1024 Sei T Hom(V, V ), wobei V ein endlichdimensionaler Vektorraum ist Dann gibt es einen Vektor v V, dessen T Annihilator gleich dem Minimalpolynom ist Ferner gibt es genau dann einen zyklischen Vektor, wenn m T = χ T gilt Beweis Setze in Satz 1021 W 0 = {0} Dann ist die Existenz eines Vektors v mit Annihilator m T Teil des Satzes Der Rest folgt aus Korollar 10111 Wir wollen uns lineare Abbildungen mit m T = χ T = p r für ein p K[x] noch etwas genauer anschauen: Lemma 1025 Sei T Hom(V, V ), wobei V ein endlichdimensionaler K- Vektorraum ist Ferner gelte m T = χ T = p r für ein Polynom p Dann gilt für 0 i r: dimbild(p i (T)) = (r i) Grad(p) 166

Beweis Sei v ein zyklischer Vektor für T Sei dim(bild(p i (T))) =: n(i) Dann kann man p(t) als eine surjektive lineare Abbildung Bild(p i (T)) Bild(p i+1 (T)) auffassen Die Dimension des Kernes dieser linearen Abbildung sei s(i) Dann zeigt die Dimensionsformel also s(i) + n(i + 1) = n(i), s(0) + + s(r 1) = n(0) n(r) = r Grad(p) = dimv (101) Wir überlegen uns nun, dass der Kern von p(t), aufgefasst als lineare Abbildung V V, höchstens die Dimension Grad(p) hat Es sei p = p k x k + + p 0 mit p k 0 Es gilt k 1 p(t)(t i (v)) = p k T k+i (v) + p j T i+j (v) Das zeigt, dass die Vektoren T i (v), i = 0,,(r 1)k 1 durch p(t) auf linear unabhängige Vektoren abgebildet werden: Wenn wir die Bilder bzgl der Basis v,tv,,t rk 1 v darstellen und in eine Matrix schreiben, erhalten wir p 0 0 p 1 p 0 0 0 p k p k 1 0 K (rk,rk k) 0 p k 0 0 p 0 0 0 p k Diese Matrix hat offenbar den Rang rk k, also s(0) k (Dimensionsformel) Das zeigt auch s(i) k und deshalb gilt in (101) stets s(i) = Grad(p) = k, woraus die n(i) dann berechnet werden können Eine weitere Folgerung ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Cayley-Hamilton: Satz 1026 Sei T Hom(V, V ), wobei V ein endlichdimensionaler Vektorraum ist Dann haben m T und χ T dieselben irreduziblen Teiler (bis auf Vielfachheit) Gilt m T = p r1 1 pr k k mit r i 1 und paarweise verschiedenen irreduziblen Polynomen p i, so ist wobei j=0 χ T = p d1 1 pd k k, ri dimkern(pi )(T) d i := Grad(p i ) 167

Beweis Vorlesung! Wir können jetzt zwei verschiedene Strategien fahren, um Normalformen zu erhalten Zunächst einmal können wir einfach die Zerlegung in zyklische Unterräume Z(v 1,T 1 ) Z(v k,t) nehmen und T bezüglich einer Basis darstellen, so dass die Darstellungsmatrizen von T eingeschränkt auf die zyklischen Unterräume genau Begleitmatrizen von Polynomen sind Das liefert die sogenannte rationale Normalform Wir können aber auch erst Primärzerlegung machen und dann die Primärkomponenten in zyklische Unterräume zerlegen Dieses Vorgehen funktioniert in allen K-Vektorräumen Wenn K algebraisch abgeschlossen ist, oder wenn das charakteristische Polynom von T in Linearfaktoren zerfällt, so kann man nocht etwas mehr aussagen (Jordan sche Normalform) All diese Normalformen werden im nächsten Abschnitt behandelt 103 Normalformen Definition 1031 Eine Matrix heißt in rationaler Normalform, wenn sie von der Form A 1 0 0 0 A 2 0 0 0 A r ist, wobei A i Begleitmatrix eines Polynoms p i ist und p i+1 teilt p i Manchmal nennt man dies auch die Frobenius-Normalform Satz 1032 Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n, und sei T Hom(V, V ) Dann gibt es eine Basis B von V so, dass die Darstellungsmatrix [T] B B in rationaler Normalform ist Verschiedene rationale Normalformen beschreiben verschiedene lineare Abbbildungen Beweis Das folgt unmittelbar aus unserem Hauptsatz 1021 Wenn wir auf die Teilbarkeitsbedingung verzichten, können wir sogar erreichen, dass die A i Begleitmatrizen von Potenzen irreduzibler Polynome sind Satz 1033 Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n, und sei T Hom(V, V ) Die verschiedenen irreduziblen Teiler von χ T seien p 1,,p k Dann gibt es eine Basis B von V so, dass die Darstellungsmatrix [T] B B die Form B 1 0 0 0 B 2 0 (102) 0 0 B r 168

hat, wobei die B i Begleitmatrizen von Polynomen p t j sind Dabei sind die B i bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt Eine lineare Abbildung hat (bis auf die Reihenfolge der B i ) genau eine Darstellungsmatrix der Form (102) Wikipedia nennt dies auch die Weierstraßsche Normalform Beweis Zur Existenz: Wende den Hauptsatz 1021 auf die Komponenten W i in der Primärzerlegung an Wir kommen nun zur Eindeutigkeit Die Polynome, die zu den Matrizen in der Darstellung (102) gehören, seien p j i, wobei 1 i k und j J i, dh es treten gewisse Potenzen von p i auf, und diese Exponenten fassen wir in der Menge J i zusammen Das charakteristische Polynom von T ist also Das Minimalpoynom ist χ T = m T = k i=1 k i=1 j J i p j i p m(i) i, wobei m(i) := max J i Wenn wir diejenigen Blockmatrizen B i in (102) zusammenfassen, die zum selben irreduziblen Polynom p i gehören, erhalten wir eine Darstellung von T der Form T 1 0 0 0 T 2 0 (103) 0 0 T k wobei χ Ti = j J i p j i und m T i = p m(i) i Wenn (B 1,, B k ) die zur Darstellung (103) gehörende Basis ist, dann muss B i ein Unterraum von Kern(p m(i) i (T)) sein Aus Diemsnionsgründen gilt sogar Gleichheit, weil Satz 9210 zeigt, dass es eine Zerlegung von V in eine direkte Summe der Kern(p m(i) i (T)) gibt Lax gesprochen kann man sagen, die Primärzerlegung ist eindeutig Wir dürfen uns deshalb auf den Fall beschränken, dass das charakteristische Polynom von T eine Potenz eines irreduziblen Polynoms p = p i ist Jetzt sei also C 1 0 0 0 C 2 0 (104) 0 0 C r eine Matrix, in der C i die Begleitmatrix von p a(i) ist, a(i) a(i+1) Zu zeigen ist die Eindeutigkeit der a(i) Das folgt aus unserem Hauptsatz 1021, weil wir hier ja gerade die rationale Normalform von T, eingeschränkt auf Kern(p m(i) i (T)) betrachten Man kann die Eindeutigkeit aber auch noch anders erhalten Dieser 169

Zugang hat den Vorteil, auch noch ein konstruktives Verfahren für die Berechnung der a(i) zu liefern Das Minimalpolynom von T ist p a(1), damit ist a(1) eindeutig Sei nun b j die Anzahl der Blockmatrizen C i der Größe Grad(p j ) Es gilt a(1) b j Grad(p j ) = dimv Lemma 1025 zeigt: j=0 a(1) dim(bild(p i 1 (T))) dim(bild(p i (T))) = b j Grad(p) Deshalb sind die b j eindeutig durch dim(bild(p i (T))) für i = 0,,a(1) bestimmt Wir haben damit nun alle Hilfsmittel in der Hand, den Satz über die Jordan sche Normalform einer Matrix zu formulieren Wir setzen voraus, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt Die Idee ist dann simpel: Wir machen erst Primärzerlegung Wir erhalten so Operatoren mit charakteristischem Polynom (x γ) s Solche Operatoren können wir eindeutig als Summe eines diagonalisierbaren und eines nilpotenten Operators schreiben (Satz 944) Wir suchen dann die rationale Normalform von N Diese ist aber eindeutig bestimmt Wir wollen das jetzt etwas formaler machen Definition 1034 Eine Matrix γ 0 0 1 γ 0 0 J (γ) k := 0 1 γ 0 0 K (k,k) 0 0 1 γ heißt Jordankästchen zum (Eigen)wert γ Eine Matrix J (γ) k 1,,k r = J (γ) k 1 0 0 J (γ) k 2 mit k 1 k 2 k r heißt Jordanmatrix zum (Eigen)wert γ Eine Matrix T heißt in Jordan scher Normalform, wenn T (γ1) 0 T =, 0 T (γ k) j=i 170

wobei T (γi) eine Jordanmatrix zum Eigenwert γ i ist und γ i γ j für i j Satz 1035 Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, und sei T Hom(V, V ) Das charakteristische Polynom von T sei χ T = (x γ 1 ) d1 (x γ k ) d k, wobei γ i γ j für i j Das Minimalpolynom sei m T = (x γ 1 ) r1 (x γ k ) r k Dann gibt es eine Basis B derart, dass [T] B B in Jordan scher Normalform ist Die Jordanmatrix ist bis auf die Reihenfolge der Jordanmatrizen eindeutig bestimmt Beweis Primärzerlegung liefert eine Basis B = B 1 B k, wobei B i eine Basis von W i := Kern((T γ i ) ri ) ist Dann ist T i := T Wi ein Operator mit charakteristischem Polynom (x γ i ) di Dieser Operator kann eindeutig als Summe eines diagonalisierbaren Operators D i und eines nilpotenten Operators N i dargestellt werden, wobei D i und N i vertauschbar sind Diese Zerlegung ist D i = γ i id Wi und N i = T i γ i id Wi Die rationale Normalform von N i ist eine Jordanmatrix zum Wert 0, dh wir finden eine Basis von W i so, dass N i durch eine Jordanmatrix dargestellt wird Der Operator T i wird bezüglich dieser Matrix durch eine Jordanmatrix zum Eigenwert γ i dargestellt Das zeigt die Existenz der Jordan schen Normalform Zur Eindeutigkeit: Die Größe der Jordanmatrix T (γi) sei in einer (möglicherweise) anderen Jordan schen Normalform d i Dann ist das charakteristische Polynom von T genau (x γ 1 ) d 1 (x γk ) d k, also d i = d i Wenn es für den Operator T i verschiedene Darstellungen in Jordan scher Normalform gäbe, so gäbe es für den eindeutig bestimmten nilpotenten Operator zwei verschiedene rationale Normalformen, Widerspruch zu Satz 1032 Wenn wir die Jordan sche Normalform einer Matrix oder eines Operators bestimmen wollen, genügt es, sich die nilpotenten Operatoren T i γ i id Wi genauer anzuschauen Die Größe der Jordankästen in der Jordan schen Normalform eines solchen nilpotenten Operators kann man recht einfach bestimmen Grundlage dafür ist Lemma??: Satz 1036 Sei J 0 k 1,,k r die Jordan sche Normalform eines nilpotenten Operators N mit charakteristischem Polynom x n Dann gilt: x k1 = m N r = dim Kern(N) Wenn wir mit b j die Anzahl der Jordankästen der Größe j bezeichnen, so gilt k 1 dimkern(n i ) dimkern(n i 1 ) = b j j=i 171

Beweis Vorlesung Beispiel 1037 (1) Sei T ein Operator auf C 6 mit χ T = (x 3) 6, m T = (x 2) 2, dimeig(t, 2) = 3 Dann gibt es für die Jordan sche Normalform von T nur die Möglichkeit J (3) 2,2,2 (2) Es kann keine Matrix geben mit χ T = (x 3) 6, m T = (x 3) 2 sowie dimeig(t, 3) = 2: In diesem Fall gäbe es nur zwei Jordankästen (wegen der Dimension 2 des Eigenraums), von denen der größte die Größe 2 hat (weil 2 der Exponent im Minimalpolynom ist) (3) Ist χ T = (x γ) n, m T = (x γ) r und dimkern(t γid) = k, so ist die Jordan sche Normalform durch diese drei Angaben nicht eindeutig bestimmt Im Fall n = 7, k = 3 und r = 3 gibt es nämlich die beiden Möglichkeiten J (γ) 3,2,2 sowie J(γ) 3,3,1 Man kann die beiden Fälle aber unterscheiden, wenn man die Dimensionen der Kerne von (T γid) i kennt Im Fall J (γ) 3,2,2 gilt im Fall J (γ) 3,3,1 dim Kern(T γid) = 3 dimkern(t γid) 2 = 6 dimkern(t γid) 3 = 7, dim Kern(T γid) = 3 dimkern(t γid) 2 = 5 dimkern(t γid) 3 = 7 Das folgt aus unserem Satz 1036, kann man aber auch direkt nachrechnen: Wir setzen N = T γid Es geht also um die Jordan sche Normalform von N und die Dimensionen der Kerne von N i Im Fall J (γ) 3,2,2 sieht die Jordan sche Normalform von N wie folgt aus: J (0) 3,2,2 = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Diese Matrix hat Rang 4, die Dimension des Kernes ist also 3 Nun betrachten 172

wir (J (0) 3,2,2 )2 = 1 0 0 0 0 0 0 Diese Matrix hat nur noch den Rang 1 (J (0) 3,2,2 )3 ist dann die Nullmatrix Im zweiten Fall J (γ) 3,3,1 gilt J (0) 3,3,1 = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 Auch diese Matrix hat den Rang 4, und auch hier ist (J (0) 3,3,1 )3 die Nullmarix Aber jetzt erhalten wir (J (0) 1 0 0 0 0 0 0 3,3,1 )2 = 0 0 0 1 0 0 0 eine Matrix vom Rang 2! 104 Ein Verfahren zur Bestimmung einer Jordanbasis Mit den im letzten Abschnitt angestellten Überlegungen können wir die Jordan sche Normalform bestimmen: Wir müssen das charakteristische Polynom χ T = (x γ 1 ) d1 (x γ k ) d k (wobei die γ i verschieden sind) und das Minimalpolynom m T = (x γ 1 ) r1 (x γ k ) r k bestimmen, dann die Primärzerlegung W 1 W k Dabei ist W i = Kern(T γ i ) ri Die Operatoren T i = T Wi zerlegen wir in einen diagonalisierbaren und einen nilpotenten Operator N i = T i γ i id Wi Wenn wir die Ränge der Matrizen N j i für j = 1,, r i bestimmen, können wir daraus mit Satz 1035 die Größen der Jordankästen in der Jordan schen Normalform von T i bestimmen 173

Damit ist aber noch nicht klar, wie man eine Basis bestimmt, bzgl der ein Operator T in Jordan scher Normalform dargestellt wird Mit dieser Frage wollen wir uns nun beschäftigen Es genügt, nilotente Abbildungen zu untersuchen Sei also N eine nilpotente Abbildung mit m N = x n und m N = x r Zunächst einmal suchen wir eine Basis B = B 1 B r so, dass B,,B i = Kern(N i ) ist Das kann man einfach erreichen: Wenn man schon eine Basis von Kern(N i ) und von Kern(N i+1 ) kennt, so kann man die Basis von Kern(N i ) durch Vektoren aus Kern(N i+1 ) zu einer Basis von Kern(N i+1 ) ergänzen Beachte: B i = dim(kern(n i )) dim(kern(n i 1 )) = r b j, wobei b j die Anzahl der Jordankästen der Größe j ist, siehe Satz 1036 Es gilt also B 1 B 2 B r Eine solche Basis nennen wir Stufenbasis Eine Stufenbasis mit der zusätzlichen Eigenschaft {N(w) : w B i } B i 1 für i = 2,,r nennen wir eine Jordanbasis Bezüglich einer solchen Basis wird N in Jordan scher Normalform dargestellt: Wir haben eine Basis, in der mit w auch stets N(w) ein Basisvektor ist, es sei denn N(w) = 0 Wenn wir die Basisvektoren entsprechend ordnen, so erhalten wir als Darstellungsmatrix eine Jordanmatrix Das folgende Lemma ist die Grundlage für ein Vefahren, wie wir eine Stufenbasis B modifizieren können, um eine Jordanbasis zu erhalten Wir wollen die B i sukzessive, beginnend mit i = r, zu B i modifizieren Zunächst tun wir nichts: B r = B r Danach soll in B i eine Teilmenge durch {N(w) : w B i } ausgetauscht werden, um so das neue B i zu erhalten Das folgende Lemma zeigt, dass dies stets möglich ist Lemma 1041 Sei N Hom(V, V ) ein nilpotenter Operator Sei j=i u 1,, u r eine Basis von Kern(N j ) u 1,, u r, v 1,, v s eine Basis von Kern(N j+1 ) u 1,, u r, v 1,, v s, w 1,, w t eine Basis von Kern(N j+2 ) (105) Dann ist linear unabhängig in Kern(N j+1 ) {u 1,,u r,nw 1,,Nw t } 174

Beweis Wir bemerken zunächst Nw i Kern(N j+1 ) (klar!) Angenommen, also r λ i u i + i=1 r λ i u i = i=1 Anwenden von N j liefert i=1 t µ i N(w i ) = 0, i=1 t µ i N(w i ) in Kern(N j ) i=1 t t 0 = N j ( µ i N(w i )) = N j+1 ( µ i w i ), dh t i=1 µ iw i Kern(N j+1 ) Also kann t i=1 µ iw i als Linearkombination von u 1,,u r, v 1,,v s geschrieben werden Das geht aber wegen (105) nur, wenn alle µ i = 0 sind Dann sind aber auch alle λ i = 0, weil die u i linear unabhängig sind Bemerkung 1042 Dieses Lemma ist ein Spezialfall des Hauptsatzes 1021 für nilpotente Operatoren, den wir im nächsten Abschnitt beweisen wollen Wir können also im Beweis für die Existenz der Jordan schen Normalform auch auf dieses Lemma statt auf den deutlich schwierigeren Satz 1021 verweisen In der Vorlesung werden wir dieses Verfahren an einem kleinen Beispiel erläutern Eine Beispielsitzung, wie man die Rechnungen mit MAPLE machen kann, könnte wie folgt aussehen (Einzelheiten werden in der Vorlesung erläutert Machen Sie sich bitte selbstständig mit den verwendeten MAPLE-Befehlen vertraut): > restart; with(linalg): with(linearalgebra): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the assigned name GramSchmidt now has a global binding > read "matm"; print(j); i=1 175

[ 1035, 820, 300, 270, 86, 485, 718, 82, 273, 203, 238, 160, 94, 168, 55, 186] [ 2071, 1655, 603, 534, 167, 983, 1463, 155, 559, 419, 489, 327, 193, 345, 110, 376] [ 720, 573, 208, 186, 60, 337, 502, 56, 192, 142, 166, 112, 65, 119, 39, 129] [ 1015, 807, 293, 266, 85, 480, 711, 78, 271, 202, 237, 159, 94, 167, 54, 183] [ 2046, 1619, 591, 534, 171, 955, 1415, 165, 539, 399, 467, 314, 185, 331, 110, 366] [ 901, 709, 261, 236, 76, 417, 615, 77, 234, 173, 201, 135, 80, 143, 49, 160] [ 1270, 1014, 371, 328, 102, 603, 896, 96, 343, 258, 299, 200, 118, 212, 68, 230] [ 1024, 792, 293, 273, 92, 458, 671, 95, 253, 182, 215, 148, 84, 155, 56, 177] [ 301, 230, 87, 82, 27, 135, 195, 30, 75, 55, 61, 42, 24, 46, 18, 51] [ 1062, 823, 302, 285, 96, 480, 702, 99, 265, 191, 226, 153, 91, 160, 58, 185] [ 2429, 1934, 701, 637, 205, 1152, 1705, 189, 651, 485, 570, 381, 227, 398, 130, 439] [ 1974, 1580, 572, 515, 163, 947, 1404, 148, 537, 404, 472, 313, 189, 329, 105, 360] [ 1804, 1429, 520, 474, 155, 846, 1250, 145, 477, 353, 414, 279, 163, 293, 98, 323] [ 894, 693, 256, 239, 80, 403, 590, 81, 222, 161, 190, 130, 75, 137, 48, 155] [108, 105, 33, 23, 3, 72, 114, 4, 45, 38, 46, 27, 20, 26, 4, 27] [ 1244, 996, 361, 322, 101, 594, 884, 94, 339, 254, 296, 197, 118, 207, 67, 226] > factor(charpoly(j,x)); > factor(minpoly(j,x)); (x 1) 16 (x 1) 3 > I16:=array(116, 116, identity): > NJ:=J-I16: > B1:=kernel(NJ): nops(b1); 176

7 > MB1:=matrix([B1[1], B1[2], B1[3], B1[4], B1[5], B1[6],B1[7]]): > B2:=kernel(multiply(NJ,NJ)): nops(b2); 14 > rank(stackmatrix(mb1, B2[1])); 8 > MB2:=matrix([B2[1]]): > rank(stackmatrix(mb1, MB2, B2[2])); 9 > MB2:=stackmatrix(MB2,B2[2]): > rank(stackmatrix(mb1, MB2, B2[3])); 10 > MB2:=stackmatrix(MB2,B2[3]): > rank(stackmatrix(mb1, MB2, B2[4])); 11 > MB2:=stackmatrix(MB2,B2[4]): > rank(stackmatrix(mb1, MB2, B2[5])); 12 > MB2:=stackmatrix(MB2,B2[5]): > rank(stackmatrix(mb1, MB2, B2[6])); 13 > MB2:=stackmatrix(MB2,B2[6]): > rank(stackmatrix(mb1, MB2, B2[7])); 14 > MB2:=stackmatrix(MB2,B2[7]): > B3:=kernel(multiply(NJ,NJ,NJ)): > rank(stackmatrix(mb1, MB2, B3[1])); 15 > MB3:=matrix([B3[1]]): > rank(stackmatrix(mb1, MB2, MB3, B3[2])); 16 > MB3:=stackmatrix(MB3, B3[2]): > MB3:=stackmatrix(MB1,multiply(NJ,B3[1]),multiply(NJ,B3[2])): > rank(mb3); 9 > rank(stackmatrix(mb3, B2[1])); 10 > R2:=matrix([B2[1]]): > rank(stackmatrix(mb3,r2,b2[2])); 177

11 > R2:=stackmatrix(R2,B2[2]): > rank(stackmatrix(mb3,r2,b2[3])); 12 > R2:=stackmatrix(R2,B2[3]): > rank(stackmatrix(mb3,r2,b2[4])); 13 > R2:=stackmatrix(R2,B2[4]): > rank(stackmatrix(mb3,r2,b2[5])); 14 > R2:=stackmatrix(R2,B2[5]): > MB3:=matrix([B3[1], multiply(nj,b3[1]), multiply(nj,nj,b3[1]), > B3[2], multiply(nj,b3[2]), multiply(nj,nj,b3[2]), > row(r2,1), multiply(nj,row(r2,1)), > row(r2,2), multiply(nj,row(r2,2)), > row(r2,3), multiply(nj,row(r2,3)), > row(r2,4), multiply(nj,row(r2,4)), > row(r2,5), multiply(nj,row(r2,5))]): > rank(mb3); > multiply(inverse(transpose(mb3)),j,transpose(mb3)); 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 16 178