Püfung Gundinziien de Vesicheungs- und Finanzmathematik 6 Aufgabe : (7 min) a) Gegeben sei ein eineiodige State Sace-Makt bestehend aus eine isikolosen Anlage zum sicheen Zins und eine "Binomialaktie" mit Wet s in t = sowie Weten us bzw ds ( < d < u) in t = i) Bestimmen Sie die State Sace-Mati V und den anfänglichen Peisvekto w dieses Makts! ( min) ii) iii) iv) Bestimmen Sie den Wetebeeich von, fü den die Abitagefeiheit des Makts gewähleistet ist! (6 min) Wie lauten in diesem Falle die isikoneutalen Wahscheinlichkeiten? ( min) Betachten Sie einen Fowad auf die Binomialaktie und bestimmen Sie den abitagefeien Schlussabechnungseis F dieses Fowad duch Analyse eines geeigneten State Sace-Makts! (6 min) b) Gegeben sei nun ein allgemeine eineiodige State Sace-Makt mit s Zuständen und n+ Finanztiteln De Makt sei vollständig De Finanztitel entseche dabei de isikolosen Anlage zum sicheen Zins De eisezeugende Vekto w = (w,, ws) T des State Sace-Makts eistiee und sei stikt ositiv i) Weisen Sie nach, dass qi gilt (4 min) s i Hinweis: Benutzen Sie die Beziehung V T w w, wobei w dem Peisvekto de Finanztitel des Maktes entsicht und V die State Sace-Mati ist ii) iii) Bestimmen Sie den Peis des Finanztitels, dessen Rückflussvekto C (c,,c s) in t= dem esten Einheitsvekto entsicht (c =, cj = fü j ) duch isikoneutale Bewetung! Inteetieen Sie das Egebnis! (3 min) Bestimmen Sie den Peis des i-ten Einheitsvektos (ci =, cj = fü j i) duch Dulikation! (6 min) T Lösungsskizze: Aufgabenteil a) : i) State Sace-Mati V us ds Seite von 3
Peisvekto w s ii) Zu untesuchen ist das Gleichungssystem V T w w, dh us w ds w s Es gilt zunächst V ( ) s(d u), da nach Voaussetzung u d Das Gleichungssystem ist somit eindeutig lösba Camesche Regel: w s ds V s d ( ) d ( )s(d u) ( )(u d) w us V s s ( ) u u ( ) ( )s(d u) ( )(u d) Fü die Abitagefeiheit des Maktes muss w sowie w gewähleistet sein Da ( )(u d) eduziet sich dies auf die Fodeungen ( ) d bzw u ( ) und damit insgesamt auf d u iii) Es gilt q ( ) und w q ( ) und damit w d q, q u d u ( ) u d iv) Betachte den State Sace-Makt bestehend aus sichee Anlage, Aktie und Fowad Die State Sace-Mati V ist dann gegeben duch V us ds us w ds w Seite von 3
und de Peisvekto duch w = (, s, ) T De Makt ist abitagefei, wenn das Gleichungssystem V T w eine stikt ositive Lösung besitzt Konket lautet das Gleichungssystem: us us w ds ds w s Die Einzelgleichungen lauten somit: () ( )( ) () us ds s (3) us ds w( ) Aus (3) in Vebindung mit () und () folgt dann us ds w ( )s Aufgabenteil b) : i) Die este Zeile von V T ist gegeben duch den Vekto ( + )(,, ) und die este Zeile von w ist gegeben duch den Skala Die este Zeile des Gleichungssystems V T w = w lautet somit n ( ) w i und damit gilt q i i ii) w C E c Q s [C] c j q q ( ) w j j w De abitagefeie Peis des esten Einheitsvektos entsicht dem esten Wet des eisezeugenden Vektos iii) Da de State Sace-Makt vollständig ist, dh die Mati V den Rang s hat, lässt sich jede (s,)-vekto als Lineakombination dastellen, dh es gibt einen Potfoliovekto mit V = ei, wobei ei = (,,,,,,) T dem i-ten Einheitsvekto entsicht De Peis dieses Potfolios ist gegeben duch w i w i T T T w (V w e w i i ) T w T V Seite 3 von 3
Aufgabe : (7 min) a) Gegeben seien zwei Standadbonds A und B mit koesondieenden Kusen PA und PB in t =, Nennweten NA und NB, Nominalzinsen ia und ib sowie Restlaufzeiten TA = und TB = 3 Gehen Sie fene davon aus, dass die einjähige Sot Rate beeits bekannt ist i) Wie lauten die Zahlungsstöme de Bonds A und B? ( min) ii) Bestimmen Sie die zugehöige Diskontstuktu (Kuse de Einheitszeobonds) {b, b, b3} sowie die (estliche) Zinsstuktu (Sot Rates) {, 3}! (6 min) b) Weisen Sie die folgende Eigenschaft de (Macaulay-)Duation nach Dτ() = D() τ, dh die Duation veküzt sich um den Betag de vestichenen Laufzeit (4 min) Hinweis: Pτ() = (+) τ P() c) Weisen Sie nach, dass die Funktion Ks() = (+) s P() im Zeitunkt s = D() einen Etemwet aufweist Dabei bezeichne P() den Bawet eines Festzinstitels (4 min) d) Welche allgemeine Zusammenhang besteht zwischen de t-jähigen Sot Rate zum Zeitunkt und den eineiodigen Fowadates (imlizite Teminzinssätze)? ( min) e) Welche allgemeine Zusammenhang besteht zwischen de t-jähigen Sot Rate zum Zeitunkt und dem Peis eines Einheitszeobonds mit Laufzeit t? ( min) Lösungsskizze: a) De Zahlungsstom von Bond A lautet { PA, NA ia, NA ia NA}, de Zahlungsstom von Bond B lautet { PB, NB ib, NB ib, NB ib NB} De Kus b eines Einheitszeobonds mit eine Laufzeit von einem Jah bei bekannte Sot Rate ist gegeben duch (I) b ( ) Fene gilt (II) PA NA ia b (NA ia NA) b (III) PB NB ib b NB ib b (NB ib NB) b3 Da b gemäß (I) bekannt ist, folgt aus (II) b PA NA ia b N i N A A PA NA i N ( i A A A b ) und damit aus (III) Seite 4 von 3
b 3 PB NB ib(b b) PB NB ib(b b) N i N N ( i ) Hieaus folgt schließlich fü die estlichen Sot Rates b sowie 3 b 3 B B B B B b) Zunächst gilt (Poduktegel) P'() ( ) P () ( ) P' () Hieaus folgt ( )P'() D() P () ( ) P () ( ) ( ) P () P' () ( ) P () D() P' () c) Es gilt K s' () s( ) s P() ( ) s P'() P'() H() s ( ) P() H()[s D()] Da H() > gilt K' s () genau dann, wenn s = D() Altenativ: K' s () genau dann, wenn sp() ( )P' () und damit s = D() Seite 5 von 3
d) Es gilt t (, t) f () f () t, wobei (, t) die beteffende Sot Rate und f j (), j =,, t, die beteffenden Fowad Rates bezeichnen Altenativ: t (t) (t ) t f t () e) Es gilt b(, t) t (,t), bzw (,t), / b (,t) t wobei (, t) die beteffende Sot Rate und b (, t) den Peis des beteffenden Einheitszeobonds bezeichnen Aufgabe 3: (8 min) Gehen Sie aus von de gestutzten Lebensdaue CT = CT eine -jähigen Peson! a) Fassen Sie den (stochastischen) Leistungsbawet de Kaitallebensvesicheung als Summe de (stochastischen) Leistungsbawete de Risikolebensvesicheung sowie de Elebensfallvesicheung auf i) Bestimmen Sie auf diese Gundlage den Leistungsbawet eine n-jähigen Kaitallebensvesicheung in Temen von CT! (5 min) ii) Bestimmen Sie auf diese Gundlage fene die Vaianz des Leistungsbawets de Kaitallebensvesicheung in Abhängigkeit de Leistungsbawete de Risikolebensvesicheung sowie de Elebensfallvesicheung Inteetieen Sie das Egebnis! (3 min) b) Bestimmen Sie den Pämienbawet eine voschüssigen laufenden Pämienzahlung eines n-jähigen Vesicheungskontakts in Temen von CT! Welche Zusammenhang besteht zwischen dem Pämienbawet und dem Leistungsbawet eine Kaitallebensvesicheung nach a i)? (4 min) Hinweis: Setzen Sie dabei die Kenntnis de stochastischen geometischen Summe voaus! Seite 6 von 3
c) i) Chaakteisieen Sie die Leistungsseite eine Risikolebensvesicheung mit eine Vetagslaufzeit de Länge n und eine aithmetisch fallenden Vesicheungssumme in Temen de gestutzten Lebensdaue CT Die im Zeitunkt + (otentiell) zu zahlende Leistung betägt Diese Leistung vemindet sich o Folgeeiode um den Betag /n (4 min) ii) Bestimmen Sie auf diese Gundlage den (stochastischen) Leistungsbawet diese Vesicheung! ( min) Lösungsskizze: a) i) Fü den Leistungsbawet LBW eine n-jähigen Elebensfallvesicheung gilt: LBW v n I (CT n) n v CT,, n CT n, n, Fü den Leistungsbawet LBW eine n-jähigen Risikolebensvesicheung gilt: LBW v CT CT v I (CT n ) CT,,, n CT n, n, Fü den Leistungsbawet LBWKL eine n-jähigen Kaitallebensvesicheung gilt damit: LBW KL LBW v v CT n LBW CT,,, n CT n, n, ii) Fü die Vaianz ehalten wi zunächst: Va(LBW KL ) Va(LBW LBW ) Va(LBW ) Va(LBW ) Cov(LBW,LBW ) Va(LBW ) Va(LBW) E (LBW LBW ) E(LBW ) E(LBW ) Offenba gilt abe: LBW LBW und damit E(LBW LBW ) Insgesamt ehalten wi damit: Seite 7 von 3
Va (LBW KL ) Va(LBW ) Va(LBW ) E(LBW )E(LBW ) b) Fü den Pämienbawet PBW gilt mit d = v: Offenba gilt: CT v v v CT,,, n PBW n v v v CT n, n, CT ( v ) CT,,, n d n ( v ) CT n, n, d PBW ( LBWKL) d c) i) Zum Zeitunkt t (t n) efolgt eine Zahlung de Höhe t n t n n De Bawet diese Zahlung betägt t n t v ii) Damit gilt LBW D CT v n CT CT,,n CT n CT n CT v CTn Aufgabe 4: (8 min) Gegeben sei ein eineiodiges Binomialmodell fü die Entwicklung I(t) eines Aktieninde De Statwet des Inde betage I() = 7 Am Ende de Peiode ist de Inde entwede um 4% gestiegen ode um 5% gefallen De isikolose Zins betage 5% Seite 8 von 3
Ein 55-jähige Vesicheungsnehme schließe nun eine Lebensvesicheung auf den Elebensfall mit einem Jah Laufzeit ab Eine Todesfallleistung wid nicht fällig bzw wid in de Analyse ausgeblendet, ebenso bleiben Betiebskosten außen vo a) Die Vesicheungsleistung bei Eleben betage mindestens EUR 4 ode bei negative Entwicklung des Inde EUR 4 vemeht um den Betag de negativen (eineiodigen) Rendite des Inde Bestimmen Sie die Einmalämie diese Vesicheung duch isikoneutale Bewetung des Rückzahlungsofils (eine Elizieung de eingebetteten Otion ist in diesem Fall nicht efodelich!) ( min) b) Bestimmen Sie altenativ die Einmalämie de Vesicheung unte a), indem Sie insbesondee die eingebettete Otion isolieen und eine isikoneutalen Bewetung unteziehen Welche Otion ist in de Vesicheung eingebettet? (6 min) c) Die einjähige Elebensfallvesicheung wede nun gegen eine Einmalämie von EUR ewoben Die Rückzahlung betage mindestens EUR ode abe im Falle eine negativen Entwicklung des Inde EUR vemeht um die Patiziation an dem Betag de negativen Rendite des Inde mit eine Patiziationsate < < Bestimmen Sie in diesem Falle die faie Patiziationsate übe die diekte Dulikation des Rückzahlungsofils de Elebensfallvesicheung! ( min) Lösungsskizze: a) Indeentwicklung: 7 98 (+4%) 55 ( 5%) I() I() L ma 4,4 4 I() Koesondieendes Rückzahlungsofil im Elebensfall 4 L 4(5) = 75 Um eine isikoneutale Bewetung duchzufühen, sind die isikoneutalen Wahscheinlichkeiten zu bestimmen Dies efodet zunächst die Beechnung des eisezeugenden Vektos Seite 9 von 3
State Sace-Mati und Peisvekto 5 98 V, w 5 55 7 Das Gleichungssystem zu Bestimmung des eisezeugenden Vektos dann gegeben duch V T w w, dh ( w ist T, w ) 5 98 5 w 55 w 7 Fü die Deteminante gilt: det(v T ) = 4 7775 Lösung nach Camesche Regel: w 55 7(5) 47775 47775 4 9 43956 w 7(5) 98 45 58 47775 47775 39 Risikoneutale Wahscheinlichkeiten aus 6 q (5)w 46538 3 q 7 (5)w 53846 3 Es gilt qi > und q + q = Risikoneutale Bewetung des Rückzahlungsofils egibt (4 q 75 q ) 5 588 467 (64653 94385) 5 5 5 8 L Die koesondieende Einmalämie betägt EP 5 8 55 b) Es gilt Seite von 3
L I() I() ma 4,4 4 I() 4 4 ma{i() I(),} 7 4 ma{i() I(),} Eingebettet in die Vesicheung ist eine einjähige Euoäische Putotion auf den DAX mit einem Ausübungseis von X = I() = 7 Entwicklung de Putotion: P 75 Risikoneutale Bewetung egibt: 943 ( q 75 q ) 8974 5 5 P Hieaus ehalten wi insgesamt L 4 (5) 5 8 (8974) 333 33 7949 und damit eine identische Lösung wie in Aufgabenteil a)! c) Die Entwicklung de Lebensvesicheung lautet EP (+5) Dabei gilt EP L, wobei L den Maktwet in t = des Rückzahlungsofils L de Lebensvesicheung bezeichne Dulikation in t = : (I) 98 (5)y Seite von 3
(II) 55 (5)y ( 5 ) = + 55 (I) (II) egibt 455 55 bzw 55 /455 5 /3 und damit 98 ( 5)y ( 5 ) 455 bzw ( 5)y ( 5384654 ) bzw y ( 5384654 )(5) = + 768 Hieaus folgt in t = L 7 y 7 5 ( 5384654 455 )(5) und damit 384654 (5) 585 bzw 5 8896 und hieaus schließlich 78 9538 78 74857 Altenative Lösungsweg: Es gilt zunächst DAX() DAX() L ma, DAX() 3 ma{7 DAX(),} Die eingebettete Otion ist wie in Aufgabenteil b) ein Put mit de Entwicklung Seite von 3
P 75 Dulikation in t = (I) 98 (5)y (II) 55 (5)y 75 (I) (II) egibt 455 75 und damit 384654 sowie y 98 (384654 ) /(5) 358975 Wet des Dulikationsotfolios und damit des Put: P 7 y 693 35897 8974 Dies entsicht de in Aufgabenteil b) bestimmten Lösung Hieaus folgt L (5) (5) 3 8974 693 Aus L 5 693 folgt 693 78 5 78 74857 5 Seite 3 von 3