TECHNSCHE MECHANK (983)Heft Manuskripteingang: 983 Bemerkungen zur Verwendung freier Schwingiormansätze beim Rayeighschen Quotienten ) Franz Hozweißig 0 Eineitung Zur genäherten Berechnung der Eigenfrequenzen eines schwingenden Bakens mit veränderichem Querschnitt macht man häufig von einer einfachen Variante des RitZschen Verfahrens Gebraueh - die auf dem Rayeigh- Quotienten führt Bezeichnet man mit w(z) die Verschiebung eines Bakeneementes an der Stee z, so autet die potentiee Energie des schwingenden Bakens: dw U= 5 _{) E(z)w"dz; d z=w' () und seine kinetische Energie T= f pa(z)w dz+ Emiw () Darin bedeuten (z) und A(z) die Querschnittsgrößen Trägheitsmoment und Querschnittsfäche und mi die auf dem Baken der änge sitzenden Punktmassen Der Ansatz harmonischer Eigenschwingungen w(z,t) = w(z) sin(wt'+ e) führt bei Verwendung des Energieerhatungssatzes mit Q = 3v auf: f E(z)v"(z)dz wz = 0 <3) n ä pa(z)v(z)dz+z mivi(zi) i= Zu jeder exakten Eigenschwingform vk(z) äßt sich damit die entsprechende Eigenkreisfrequenz wk berechnen Da die Eigenschwingformen in der'rege nicht genau bekannt sind, äßt sich diese Beziehung zum Abschätzen der niedrigsten Eigenkreisfrequenz w benutzen, wenn an Stee der Eigenschwingform v(z) eine zuässige Funktion u(z) verwendet wird Damit geht w in wg über und CS () < wr Zuässige Funktionen sind soche, die mindestens zweima differenzierbar sind und den homogenen kinematischen Randbedingungen genügen Für Bakenschwingun gen sind homogene kinematische Randbedingungen u(zr) = O; u'(zr) = 0 Die zusätziche Erfüung der dynamischen Randbedingungen durch u(z) verbessert die Näherung Die Näherung wird dagegen schecht, wenn die zuässige Funktion kinematische Randbedingungen erfiit, die die Eigenfunktion v(z) nicht erfiit, oder wenn sie Merkmae höherer Eigenfunktionen aufweist Diese bekannten Aussagen werden häufig angewendet Es zeigt sich aber, daß die erziete Näherung vor aem bei abgesetzten Baken unter Verwendung freier Ansätze, auch wenn sie den oben genannten Forderungen genügen, unbefriedigend sind Dies soen verschiedene Beispiee demonstrieren Abgesetzter Baken mit Kragarm Bid zeigt einen abgesetzten Baken mit Kragarm Die exakte Berechnung fiihrt auf die Eigenwertgeichungz): Bid Abgesetzter Baken mit Kragarm Hug/ A EzisAz (50 w(3) (C3 S0) + a SS + C0) = 0 Darin bedeuten S () i smhki; si Sani (:,) Ci = coshki ; Ci = COSKi (5) - K i Ki p A], c0 ; a : Ei K Für kreisförmigen Querschnitt mit d/d = ö wird für = aus (): \f5 ' (5C C3)(zs - S0) + "6 ; S8( +C(3) 0 K Führt man as Bezugsgröße E Ed wi: pa = 6 p <7) ) Herrn Prof Dr se techn Udo Fischer zum 50 Geburtstag ) Die exakten ösungen aer Beispiee verdanke ich Herrn Dr sc techn H Somann 5
ein, so ergeben sich aus G (6) für die Grundschwingung (,6083 + 0,6678 +,33335) a * über K die Werte für og/00*: in Abhängigkeit von ö R z,053 + 0,970 + 3,08788 + 6666 +,8853 (vg Bid ) (0) Für die Durchmesserverhätnisse 8 = 0,; ; sind die Schwingformen auf Bid wiedergegeben Zum Vergeich so die Berechnung mit Hife des Rayeigh-Quotienten nach G (3) unter Verwendung freier Ansätze erfogen Zuerst wird die statische Biegeinie as Schwingformana satz u(z) eingeführt Dabei muß darauf geachtet werden, daß sie entsprechend der niedrigsten Schwingform ausfät, was man durch entsprechende Richtung der Gewichtsbeastung erreicht Es iegt aso ein Mode nach Bid 3 zugrunde Auch die Werte (vg/(0*? wurden berechnet (vg Bid -) Es so erwähnt werden, daß der Aufwand zum Aufsteen von G] (0) dem der exakten ösung entsprichts) Damit fät dieser Ansatz für eine Näherungs ösung aus; Man wird viemehr einen freien Ansatz wähen, der in einfacher Weise die gesteten Forderungen erfüt, wie beispiesweise der fogende z(- z/) für 0<z< u(z) = z(+ 3/ /) fiir 0 < < 0, 0 0, 0, 0,3 0, () m, Z (~,0 0, 0,6 0,7 0,8 0,9,0 (Dz (_ (um)? c0 z" 0, 0 0, 0, 0,6 a8 0»?-» +,5 8 Z0 d - Bid Bid Nach verschiedenen Verfahren berechnete niedrigste reduzier te Eigenkreisfrequenz des Bakens mit Kragarm Schwingfonnen des abgesetzten Bakens mit Kragarm Unter Verwendung der Bezugskreisfrequenz w; nach G (9) erhät man gemäß []: 7 HHF 7 Erz E, ' 05( + 8/8) _ w _= w qz R () 3 d Bid 3 Eigengewichtsbehstung des Bakens Bid Mit 6 = d/d ; = wird daraus Damit ergibt sich as Ansatz: w 3 3 Eu= g(q+ )z+ 3 (3) Setzt man u in G] (3) an Stee von v ein, so ergibt sich mit ' 3 ) Während'die Werte für eng/ca"? fast mit denen von, K/w identisch sind, weichen die Ergebnisse (viz/w": des einfachen Ansatzes stark ab Auffaend q =p«d - q =pn d; w*= Ed 0,667 + 665,33 8 Die Ergebnisse der Gn (6), (0), (3) wurden im Bid über ö aufgetragen Es eraubt fogende Diskussion: E "q3 +g--3 q (E +Eq)38z 3 05 + 06 C z +( -+- ) 3 z E = w 6M: (9) 3) Die Berechnung des Rayeigh Quotienten mit dem Ansatz der statisch Biegeinie verdanke ich Frau Dr rer nat E Junkert und Herrn Din-ug H Kuow
ist jedoch die gute Übereinstimmung für ö = (gatter Stab) Eine Erkärung hierfür äßt sich mit Hife von G (6) bei Betrachtung der Grenzfäe 6 = 0 und ö -> eo geben Der Grenzfa ö = O kann auf zweierei Art erreicht werden Der erste Fa ö = d/d = 0 entsteht durch d = 0 Dies entspricht dem gatten zweifach geenkig geagerten Stab der änge mit der Frequenzgeichung - - _ _ Ss 0, San 0, K r, wn/w* r () Die exakte Berechnung führt auf die Eigenwertgeichung ( [i3 ) 3530_5 303) ( r i-a) (CC53 _ 58c c) + a i (58m s _ acc0c) = 0 (7) Verwendet man wieder die Abkürzungen G (5) und setzt das Durchmesserverhätnis ö = d/d, sowie = ; : /, so git: Der zweite Fa von ö = d /d = 0 entsteht durch d ->oo Dies bedeutet, dafs ein gatter Stab mit dem Durchmesser d und der änge an einer unendich großen, zweifach gestützten Masse angesetzt, aso fest eingespannt ist Seine Eigenkreisfrequenz beträgt: Edz ((388 0 C 8) + s S -55 0) + 37-6555 CC0c) = 0 x = x/ws ZÄ + - (8) (5) 6p Nr ( 0 ( * Diese Eigenfrequenz geht mit d -> 0 ebenfas nach Nu Da der Rayeigh-Quotient immer der Frequenz der höheren Schwingform zustrebt, kann man den Grenzwert von G (3) für ö = O nur mit G () vergeichen, was aber physikaisch nicht sinnvo ist, wie die Schwingformen Bid zeigen Ähnich verhät es sich für ö -> 00 Dies wird durch d = 0 oder d -> oo erreicht m ersten Fa ergibt sich nach G (3) eine quadratische Abhängigkeit von d wk = Kd (6) Diese wird auch in Bid deutich Physikaisch ist dieser Fa jedoch uninteressant Für d ->oo stet sich das physikaisch vorstebare Mode einer an einem eastischen Stab angeschossenen einfach gestützten unendich großen Masse ein Für dieses ist die Eigenfrequenz Nu Dieser Wert wird aber durch den Rayeigh-Quo- Bid 6 Schwingformen des abgesetzten symmetrischen Bakens tienten nicht erreicht Abgesetzter, symmetrischer Baken 7 Q Bid 5 zeigt den symmetrischen abgesetzten Baken Da die Überegungen nur fiir die Grundschwingung geten soen, kann mit dem dargesteten Ersatzmode gearbeitet werden E/i9A EeAz E39A r E3 y E, EZ E Bid 7 Eigengewichtsbeastung des Bakens Bid 5 / Führt man as Bezugsgröße die Eigenkreisfrequenz des gatten Stabes der änge 3: EZ w* : E! pa(3) = 96p ein, so assen sich aus G (8) über K die Werte für Bid 5 Abgesetzter symmetrischer Baken v w /w*: m Abhängigkeit von ö berechnen Zugehörige Schwingformen zeigt Bid 6 7
Für die Bestimmung der statischen Biegeinie as Schwingformansatz git das Mode Bid 7 Mitq = «(if/; q = nag/; a = 0/0 ergibt sich nach aufwendiger Rechnung: E z = 0 wr pa N ( ) z = 5(000 + 83336 + 0608335 + + 0,66686 + 0,666768) N = 0,067 + 0,8638 + 0,33635 + 0,39666" + 0,360908 + 059850 + 0,09636 + 007786 Bezieht man wieder auf w ä, G (9), so ergeben sich die Werte tofu av: in Abhängigkeit von ö Für einen freien Ansatz iegt es nahe, die dynamische Biegeinie des gatten Stabes zu verwenden u(z) = sin (Trz/S) () man erhät nach []: r Edi (x-sin>\)(_5)+n5 R 96 p i (Ä sinä)( ö)+6 ( ) w : - _m Mit (0*: nach G (9) und Ä: 7/3] = /3 ergeben sich die Werte to; / w ä in Abhängigkeit von ö Die Auftragung dieser Ergebnisse iefert Bid 8 Man erkennt zunächst eine gute Übereinstimmung des Biege- inienansatzes im Bereich ö <, die fiir ö > schechter wird Für den freien Ansatz ist, wie auch bei dem Beispie Bid nur in unmittebarer Nähe von ö = eine gute Näherung zu erreichen Die Gründe hierfür sind die geichen wie dort beschrieben 3 Abgesetzter Baken mit zwei Federn Bid 9 zeigt das dritte Beispie zu den abgesetzten Ba ken Die exakte Eigenwertgeichung autet: ( i- 8)(CC3 $ + 88 C] (3) ( a) (C5 S 0 + Scz C 6) ~ 3(8C3 C + a C8 c s) : 0 (3) Em/ Em/* Bid 9 Abgesetzter Baken mit zwei Federn Mit G (5) und Ö = dz/d, = =' sowie Kreisquerschnitt fogt: ( -ö 3) (CC55 + S50 c) -( + 5-37) 5 «3550 + S(303) F (5(75 C + C S) : 0 K : K/V ö As Bezugsgröße dient wieder die Eigenkreisfrequenz des gatten Stabes der änge wi: : 7T : Tr pa () 56 p: (0) 7 m 0,Z DA G6 Q8 0,,6,8,0 6 o BidB Nach verschiedenen Verfahren berechnete niedrigste reduzierte Eigenkrcisfrequenz des symmetrischen Bakens 8 Aus G () wurden die Eigenwerte K und damit die Frequenzverhätnisse (oi/a) in Abhängigkeit 3 von ö berechnet (Bid ) Zugehörige Schwingformen zeigt Bid 0 Für den Biegeinienansatz mit der Befastungsannahme nach Bid findet man E z '(6 R pa] N ) w : _ _ z = 5[0,008 + 0,0658 + 0,6 + 0,06556 + 0,00858] N = 0,000579 + 0,0095 + 0,007566 + 0,00856 + 000868 + 0,0075600 + 0,0095 + 09005795,
0 0, 0, 0,3 0, 0,6 0,7 0,8 0,3,0, Bid 0 Schwingformen des abgesetzten Bakens mit zwei Federn < ch 7 +iii 5 EZ m Bid Eigengewichtsbeastung des Bakens Bid 9 u(z) = sin (n z/ ) Man erhät nach [3] «3d: (+5) w : R 56m '_ (+ö) Mit der Bezugsfrequenz G (5) findet man die auf Bid eingetragenen Werte für wä/ofiä (7) Man erkennt aus Bid wiederum eine sehr gute Übereinstimmung des exaten Veraufes mit der Näherung durch die Biegeinie Der freie Ansatz iefert nur in der Nähe von ö = brauchbare Werte Beispiee für gatte Baken mit Einzemassen Es iegt die Vermutung nahe, daß auch für gatte Baken mit Einzemassen ähniche Erscheinungen wie beim abgesetzten Baken auftreten Führt man jedoch die im Abschnitt angesteten Überegungen durch, so bestätigt sich dies nicht Drei Beispiee soen deshab die Verwendbarkeit des Rayeigh-Quotienten hierfür demonstrieren Bid 3 zeigt einen zweifach gestützten gatten Baken mit Einzemasse Die exakte Eigenwertgeichung autet mit / = Ä; m*/m = u; m = pa( +); K=u(+}\)K; x = M: K (3 c + c5)((35 + Scz) - '- S8((5 - S 0) + S3(05 - S c) = 0 (8) _ Z _ mx 3A 3: Bid 3 Zweifach gestützter gatter Baken mit Einzemasse 0 0, 0,- O,6 0,8 0,,,6 7,8,0 (P-5+ d Bid Nach verschiedenen Verfahren berechnete niedrigste reduzierte Eigenkreisfrequenz des Bakens mit zwei Federn Verwendet man as Bezugsgröße wieder G (5), so findet man die Werte w? /w*ä as Funktion von ö (Bid ) Sie sind im Rahmen der Zeichnungsgenauigkeit deckungsgeich mit 00/0)": As freier Ansatz so wieder die exakte Schwingform des gatten Stabes dienen Dabei wurden wieder die Abkürzungen G (5) verwendet Aus dieser Beziehung assen sich über K die reduzierten Eigenkreisfrequenzen (oi/0*: berechnen As Bezugs frequenz git die Eigenkreisfrequenz des Stabes ohne Einzemasse En * = p A: <= +) (9) Für Ä: ergeben sich die Werte coi/w": undfür x: 3 die Werte wfz/mi Sie sind in Abhängigkeit vom Massenverhätnis u in Bid dargestet Für den Bayeigh-Quotienten wird as freier Ansatz die Schwingform des Stabes ohne Einzemasse u(z) = sin(rz/) verwendet Mit der Bezugsfrequenz G (9) findet man 9
< wr > _ ' 03* 3 3 (3) (30) Man erkennt eicht die sehr gute Übereinstimmung mit den Werten der exakten ösung Bid - T Z (,3596 _cg (03*) X(()R)Z 5 O \ 8 \ 6 V a) er U,0 5,0,5 3,0 *35 für n" Bid Exakte reduzierte Eigenkreisfrequenzen as Funktion des Massenverhätnisses für den zweifach gestützten Baken Ähnich verhät es sich mit dem eingespannten gatten Baken mit Einzemasse am Bakenende Bid 5 Bid 6 Nach verschiedenen Verfahren berechnete exakte reduzierte niedrigste Eigenkreisfrequenz des eingespannten Bakens Die damit gefundenen Werte sind mit (x) auf Bid 6 eingetragen Sie zeigen eine sehr gute Übereinstimmung des Rayeigh-Quotienten mit der exakten ösung BidS \3:\\ EééAém m* Eingespannter gatter Baken mit Einzemasse Die Eigenwertgeichung hierfür autet uk (Sc C s)+cc +=0 (3) Mit der Bezugskreisfrequenz * _ E 5 pa (3) ergibt sich der auf Bid 6 dargestete Verauf (of me: = f(u) Für den Rayeigh-Quotienten wird vom Ansatz 7rz du) = ( _ cos ~7) (33) ausgegangen Man findet mit G (3) 0 5 Zusammenfassung Der Rayeigh-Quotient wird verwendet, um die niedrigste Eigenfrequenz von Biegeschwingungssystemen ab zuschätzen Dabei geht man von geschätzten Schwingformen aus und erhät mit Hife einer energetischen Überegung einen Näherungswert, der über der niedrigsten Eigenfrequenz iegt Erfahrungsgemäß ist der Ansatz einer der Schwingform angepaßten statischen Biegeinie sehr günstig Für Kontinua mit veränderichem bzw ab n gesetztem Querschnitt bestätigt sich dies Der dazu erforderiche Aufwand entspricht jedoch dem der exakten ösung, weshab diese Ansatzfunktion ausfät Für freie Ansätze, auch wenn sie den geforderten Bedingungen entsprechen und für den gatten Baken die exakte Schwingform beschreiben, zeigen sich bei abgesetzten Baken nur bei sehr schwachen Querschnittsunterschieden befriedigende Ergebnisse Für größere Unterschiede wird dastrgebnis unbrauchbar, da es nicht einma die Tendenz richtig widerspieget Dies iegt an der Mehrdeutigkeit der Eigenwertgeichung und der Eigenschaft des Rayeigh-Quotienten, dessen Ergebnis über dem/zugehörigen höchsten Eigenwert iegt Für gatte Baken mit Einzemassen ist diese Gefahr nicht gegeben, der Rayeigh-Quotient iefert sehr gute Ergebnisse Diese Ver hätnisse werden an mehreren Beispieen demonstriert '
TERATUR [] Fischer U; Stephan, W: Mechanische Schwingungen Aufage, VEB Fachbuchverag eipzig 98 [] Hozweißig, F; Dresig, H: ehrbuch der Maschinendynamik Aufage, VEB Fachbuchverag eipzig 98 [3] Hozweißig, F; Dresig, H; Fischer, U;Stephan, W: Arbeitsbuch Maschinendynamik[Schwingungsehm VEB Fachbuchverag eipzig (in Vorbereitung)