ALGEBRA Bruchterme Sammlung der Aufgaben aus 0 Bruchterme und Bruchterme Dort werden alle Methoden ausführlich an Beispielen besprochen Zum Einsatz im Unterricht. Datei Nr. Stand. Juni 07 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
Bruchterme Diese Tete zu Termen gibt es in der Mathematik-CD 0 Äquivalente Terme Klammern multiplizieren 0A Aufgabenblätter zu 0 0 Binomische Formeln 0 Faktorisieren und Quadratische Ergänzung 0 Faktorisieren mit beliebigen Klammern 0 Berechnung von a+b n mit Pascalschem Dreieck sowie a+b+c 06 Binomialkoeffizient 07 Testaufgaben 08 Zur Wiederholung Grundlagen kompakt 09 Zur Wiederholung Grundlagentest (Was weiß ich noch?) Tete zum Thema Bruchterme 0 Bruchterme (Definitionsbereich, Kürzen, Erweitern) Bruchterme (Addition, Subtraktion) Bruchterme Trainingsaufgaben aus diesen zwei Dateien 6 Polynomdivision Bruchgleichungen (ohne quadratische Gleichungen) 6 Bruchgleichungen (mit Paramatern) 0 Bruchgleichungen (die auf quadratische Gleichungen führen)
Bruchterme Aufgaben aus 0 Grundlagen zu Bruchtermen. Definitionsbereiche finden Aufgabe Bestimme den Definitionsbereich folgender Terme 7 8 0 9 8 g) h) 7 9 i) j) k) 8 6 9 Aufgabe Bestimme den Definitionsbereich folgender Terme 7 7 g) h) Aufgabe Bestimme den Definitionsbereich folgender Terme Faktorisiere zuerst die Nenner 9 08 7 9 Aufgabe Bestimme den Definitionsbereich folgender Terme 6 6 0 7 Aufgabe Faktorisiere und bestimme die Nullstellen 8 6 6 6 0 9 6 8 98 g) 7 i) 0 Aufgabe 6 Bestimme den Definitionsbereich 88 8
Bruchterme Aufgabe 7 Bestimme den Definitionsbereich 8 0 0 7 6 8 8 g) h) 6 9 Aufgabe 8 Bestimme zuerst den Definitionsbereich, berechne dann Funktionswerte zu f f 8 f f f 8 für ;;; ;0 für ;; ; ;0 für ;; ;;0 für ;; ;;0 für ; ;6; 6;0 Aufgabe 9 Berechne die Werte für die angegebenen Brüche und Bruchterme T für ; 7 und T T T 6 9 T für für für für ; 7 und ; und 9 ; und 9 ; und.
Bruchterme Aufgabe 0. Kürzen ab 8a b y z y z 8u v 9 80u v 7 yz y z u v w 7u v w 8 y z 0 7 y z 8 9 Aufgabe 8 8aa b 6a b a ab ba (a b a 0 Aufgabe Zerlege in Faktoren und kürze dann 6 8 y y 9 6 0 Aufgabe Zerlege in Faktoren und kürze dann 6 ( ) 9 ( )( ) y y y y 8 0 8 66 Aufgabe Faktorisiere und kürze dann 6 0 8 86 6 8 0 9 Aufgabe Faktorisiere und kürze dann 6 0
Bruchterme 6 Aufgaben aus Rechnen mit Bruchtermen. Addieren und Subtrahieren Aufgabe 6 7 8 Addiere bzw. subtrahiere diese Brüche 8 9 0 70 9 80 Aufgabe 7 Addiere bzw. subtrahiere diese Brüche 6 9 8 8 7 0 7 6 8 Aufgabe 8 g) j) m) h) - + + k) 0 + - ( + ) + n) + + + i) - + + l) + + - - o) + - - - + 6 + + - + - Aufgabe 9 + + + + - + ( - )( + ) ( - )( + ) 7-8- 8 + 0 - + + - + Aufgabe 0-9 -7 + - + 9 7 + + - - - + ( + ) - -9 + y y- + + y -y
Bruchterme 7 Aufgabe 8 + + - -- -9 - - - + + + 0+ + + - - + 6 -- + - - + - -- + + Aufgabe 8 + - - 7 + 0 + 6 + - - + 9-6 + 9-0 +
Bruchterme 8 Aufgabe. Multiplizieren und dividieren 8 7 8 9 77 0 6 9 7 6 0 9 8 Aufgabe 8 9 6 6 9 8 9 7 8 Aufgabe 8 8 0 6 Aufgabe 6 0 8 8 08 Aufgabe 7 g) h) 9 6 Aufgabe 8 ab c c a b yz ab yz ab y y y y 9 g) 8 8 6 h) Aufgabe 9 y y y ab abc bcd cd d a ab ac a c abc b bc y y 8 y a b a b a ab ab
Bruchterme 9
Bruchterme 0 LÖSUNGEN aller Aufgaben Aufgaben aus 0 Grundlagen zu Bruchtermen g) h) 7 8 0 9 8 7 9 Lösung Aufgabe 0 Nullstelle des Nenners 7 7 0 Nullstelle des Nenners 8 0. D \D \ 7 Nullstelle des Nenners 0 0 0 0 D \ Nullstelle des Nenners 9 0 Nullstelle des Nenners 8 0 D \ D \ Nullstelle des Nenners 8 8 Der Nenner hat keine Nullstelle D \D 9 0 Nullstelle des Nenners D \ 9 9 i) Nullstelle des. Nenners 0 Nullstelle des. Nenners - 0; D \j) Nullstelle des. Nenners Nullstelle des. Nenners - ; D \k) 8 6 9 Nullstelle des. Nenners Nullstelle des. Nenners D \
Bruchterme Lösung Aufgabe 0 wenn einer der Faktoren 0 wird, also 0 oder 0, was bedeutet. D \0; 0 wenn 0 also ist, oder wenn 0 also - ist. D \; 7 7 0 Der Nenner hat die Nullstellen 0, - und. D \0; ; Aus 7 0 folgt 7 7, aus 7 0 folgt D \ 7 D \; D \ ; g) D \ 0; h) D \ 0; 7 7 9 Lösung Aufgabe Kurzlösungen D \7 6 08 6 6 6 D \ 7 7 9 777 D \7 D \ 0; 9 D \0; ; D \;
Bruchterme Lösung Aufgabe. Methode Lösung durch Faktorisierung 8 8 6 6 Nullstellen des Nenners -8, 8 D \8 Nullstellen des Nenners -, D \ 0 7 Nullstellen des. Nenners,. Nullstelle des. Nenners 0 Nullstellen des Nenners und. ;0 D \D \. Methode Lösung durch Lösen quadratischer Gleichungen (und Grundmenge ) Nullstellen des Nenners 6 0 D 6 6 8, 8 Nullstellen des Nenners 6 0 6 6, \. Nenner 0 0 0,. Nenner 0 Nullstellen des Nenners 7 0 7 7, 8 D \ D \. ;0 D \
Bruchterme Lösung Aufgabe. Faktorisierung mit binomischen Formeln 86 66 8 0 9 6 g) 7 i) 0 8 98 9 7. Faktorisierung über die Lösung quadratischer Gleichungen (keine p-q-formel) Beachte Wenn der Radikand Null wird, gibt es eine doppelte Lösung und somit erhält man zwei gleiche Faktoren, die man dann als Quadrat aufschreibt 8 66 80 86 0, 86 6 6 6 6 0 66 0, 8 66 8 0 00 0 0 0 0, 0 0, 0 9 6 0, 8 98 0 6 69 60 9 8 9 6 9 96 9 0 9 0, 7 8 98 9 7 g) 7, 0 7 0 7 i) 0 0 0 0, 0
Bruchterme Lösung Aufgabe 6. Mittels Faktorisieren mit binomischen Formeln Nenner 0 0. binomische Formel 0 Nullstelle des Nenners Definitionsbereich D \ 88 8. Nenner 0 88 0. binomische Formel 9 0 Nullstelle des. Nenners 9. Nenner 0 8 0 9 0 9 Definitionsbereich D \9. Nenner 0 0. binomische Formel 0 Nullstelle des. Nenners. Nenner 0 0. binomische Formel 0 Nullstelle des. Nenners, Definitionsbereich D \
Bruchterme. Mittels Lösen quadratischer Gleichungen Ich verwende die p-q-formel aus Prinzip nicht! Nenner 0 0 Definitionsbereich D \ 6 0, 88 8. Nenner 0 88 0 8 8 8 0, 9. Nenner 0 8 0 9 Definitionsbereich D \9. Nenner 0. Nenner 0 0 8 0, 0, Definitionsbereich D \
Bruchterme 6 Lösung Aufgabe 7. Methode Faktorisieren in a b 8 8 ab a b Vergleichen ergibt ab und ab 8 Das klappt mit a - und b 0 mit den Lösungen und ; D \ 0 0 0 ab a b. Vergleichen ergibt a b 0 und a b Das klappt mit a und b -0 0 0 mit den Lösungen und 0 0 ab a b. Vergleichen ergibt a b und a b 0 ;0 D \Das klappt mit a - und b -7 7 0 mit den Lösungen und 7 ;7 D \ 7 6 7 0 Faktorisieren führt auf 0 und damit auf die Lösungen - und - D \; Erklärung und 7. 6 0. Faktorisieren führt auf mit den Lösungen und 0 D \; 8 8 0 0 D \. Faktorisieren führt auf mit den Lösungen und ; g) h) 8 6 9 0. Faktorisieren führt auf mit den Lösungen und 7 9 0 7 0 D \;7. Faktorisieren führt auf 7 0 D \;7 mit den Lösungen und 7
Bruchterme 7 Lösung Aufgabe 7. Methode Lösen quadratischer Gleichungen Ich verwende die p-q-formel nicht eigentlich gar nie. Es gibt viele Fälle, in denen sie ganz umständlich und nicht hilfreich ist. 8 8 0, 8 6 8 D \mit den Lösungen und ; 0 0 0, 0 mit den Lösungen 0 und ;0 D \ 0 00, 0 00 0 D \mit den Lösungen 7 und ;7 7 7 0, mit den Lösungen und 7 9 7 D \; 6 8 6 0, 6 mit den Lösungen und 8 0, 8 6 mit den Lösungen und ; D \ ; D \g) 8 0, 9 mit den Lösungen 7 und ;7 D \h) 6 9 9 0, 9 8 9 mit den Lösungen 7 und ;7 D \
Bruchterme 8 Lösung Aufgabe 8 f D \ f eistiert nicht, gehört ja aus diesem Grunde auch nicht zum Definitionsbereich. f 0 f 0, f, f 8 8 D \ 8 8 8 f, f 6 6 0 eistiert nicht, D. f 9 0 f0 0 0, f 8 6, 6 f D \; f, f 0 0 denn D, 9 6 f 0 f 0 0, f, 6 8 9 f D \ ; f 0, denn D, f 8 7, f 9 8 8 f 0 0, f0 00 f 8 Der Nenner ist für alle mindestens 8, wird also nie 0 D f 8 9, f 6 6 9 f6 6 8, 8, 0 0 f 0 0 0 8 8
Bruchterme 9 Lösung Aufgabe 9 T T 7 7 8 T 7 8 7 T 7 7 7 T T 8 6 6 6 6 oder so T oder oder 6 T 6 0 T 8 7 8 T 0 7 7 oder T 7 7 6 0 6 6 9 960 7 7 7 9 7 9 0 70 7 9 6 T 0 7 oder so T T oder so T T 7 7 708 78 6 9 6 0 7 9, T 7 7 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 oder so T 9 9 9 9 9 9 9 T 8 96 oder so T 9 96 9 96 9 9 8 96
Bruchterme 0 6 T 9 T 6 9 9 8 8 9 9 9 8 8 9 9 9 9 oder besser so T 9 9 T 9 8 6 7 8 6 7 9 9 8 9 9 9 6 6 9 9 8 8 8 6 7 7 7 7 oder besser so T 9 9 9 8 8 9 6 00 8 6 9 6 6 8 6 7 9 86 7 6 8 8 T oder besser so T T 8 6 6 6 00 8 9 6 6 6 9 8 T 7 7 T 9 9 9 9 9 9 7 86 6 9 9 6 9 9 T 6 9
Bruchterme Lösung Aufgabe 0 ab b 8a b a y z y z y z 8u v 80u v v u 9 7 w 7u v w u u v w 7 yz y z y 0 8 y z 7 y z y z 8 9 Lösung Aufgabe 8 8 Man kann nicht kürzen. 8aa b a b 6a b a a ab ba ab (a b a b a 0 Lösung Aufgabe yy y y y y 0 7 7 9 9 7 7 7 6 8 8 9 6
Bruchterme Lösung Aufgabe 6 ( ) 9 ( )( ) y y y y y y y y y y 8 9 9 9 9 0 8 6 8 8 8 66 8 8 8 Lösung Aufgabe 6 0 8 86 Man kann nicht kürzen. 6 6 6 6 6 9 8 99 9 0 9 9
Bruchterme Lösung Aufgabe Vertauschen der Zahlen in der Differenz im Zähler ändert das Vorzeichen. Zum Ausgleich setzen wir ein Minuszeichen davor 6 0
Bruchterme Aufgaben aus Rechnen mit Bruchtermen Lösung Aufgabe 6 7 7 7 8 6 6 6 6 6 6 7 8 8 8 9 9 9 7 6 68 0 70 0 7 0 0 7 7 0 0 0 0 9 9 9 7 98 80 6 6 6 6 6 60 60 Lösung Aufgabe 7 098 7 6 9 6 6 9 8 8 9 7 7 7 9 7 9 7 9 9 7 7 7 7 88 0 0 0 0 00 00 7 7 9 7 8 7 0 6 6 8 8 8 9 8 9 8 98 6 9
Bruchterme Lösung Aufgabe 8 g) 8 6 6 + 7 + h) i) j) k) l) m) n) o) + ( + ) + + + + + + + + ( + ) ( + ) ( + ) - - ( -) -6 + ( -) -- 8+ - - + 6 6 6 - - 6 - + ( - ) + ( + ) 6- + + - + 6 + ( + ) - ( + ) + 8-- - + + ( + )( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) ( - ) + ( + ) - + + 0 + + - ( + )( - ) ( + )( -) - 0 + 0 + - ( + ) 0 + -0-0 - 0 ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) + + + - + + - - - - - - - Hier wurde im. Nenner die Differenz vertauscht, wozu man ein Minuszeichen anschreiben musste + - 0 + 6 - + - Man sollte besser schon im gegebenen Term kürzen + - + - + -
Bruchterme 6 Lösung Aufgabe 9 + + + + + ( + ) ( + ) + - ( + )( - ) + ( -)( -) + ( - )( + ) ( - )( + ) ( - )( + )( -) - + -0-6 + 8 9-6 + 7 ( - )( + )( -) ( - )( + )( -) - 7-7 - 7 8-8 + 0 8( - 6) ( + 6) ( - 6) ( + 6) ( + 6) -7 ( - 6) + 90- + 8 + 7 ( )( ) ( ) ( 0-6 + 6 0-6 0-6) - + - + ( - )( + ) + ( + )( -) + + - + ( - ) ( + ) ( - )( + ) + - + + - 7 + 8- ( - )( + ) ( - )( + ) Lösung Aufgabe 0-9 -7-9 -7-9 + ( -7) + + - 9 + 7 ( + 7)( - 7) + 7 ( + 7)( -7) - 9 + - + 9 ( + 7)( -7) -9 + + + - ( - - + -) - - - + + - ( + ) - ( - ) + -9-8- + 0 ( + )( - ) ( + )( -) - + + ( -) ( -) - ( + ) - - ( + ) - 9 ( + ) ( + )( -) ( + ) ( -) -- -6-8 ( + ) ( - ) ( + ) ( -) ( + y)( - y) + ( y- )( + y) ( )( ) + y y- + + y - y + y -y - y + y - y + é y + y - - y ù êë úû + y ( + y)( - y) ( + y)( -y)
Bruchterme 7 8 + + - -- -9 Faktorisierung der Nenner Lösung Aufgabe () -- ( + ( + + ( a+ + ( a Zerlegung von - in ein Produkt a b, mit der Summe a + b - - (-) 7 (- ) + 7 falsch - ( -7) + (-7) - richtig Also gilt -- ( + )( - 7) () - 9 ( + 7)( - 7) Folgerung 8 + + 8 + + - - -- - 9 ( + )( - 7) ( + 7)( -7) ( 8+ )( + 7) -( + )( + ) 8 + 6 + + - [ + + + 6] ( + )( - 7)( + 7) ( + )( - 7)( + 7) 8 + 6 + + - - - - 6 + - ( + )( - 7)( + 7) ( + )( - 7)( + 7) - - - + + + 0+ Faktorisierung der Nenner () + + ( + ( + + ( a + + ( a Zerlegung von in ein Produkt a b, so dass a + b ist 7 + 7 richtig Also gilt + + ( + )( + 7) () + 0+ ( + ) Folgerung - - - - - - + + + 0+ ( + )( + 7) ( + ) ( )( ) ( - + - - )( + 7) + --0-[ + 7 --] ( + ) ( + 7) ( + ) ( + 7) + --0- - 7 + + - + + ( + ) ( + 7) ( + ) ( + 7)
Bruchterme 8 + + - - + - - 6 Faktorisierung der Nenner () - + 6 ( - 6) () -- ( + ( + + ( a+ + ( a Zerlegung von - in ein Produkt a b, so dass a + b - ist - ( -6) + (- 6) - richtig Also gilt -- ( + )( - 6) Folgerung + + + + - - - + 6 -- ( - 6) ( + )( -6) ( )[ ] ( )[ ] ( + + + - 6 + 9 + - -8 -) - ( -6) [ + ] ( + )( -6)[ - 6] ( -6) ( + ) - + + 7 ( - 6) ( + ) + - - + - - - + + Faktorisierung der Nenner () -- ( + ( + + ( a+ + ( a Zerlegung von - in ein Produkt a b, so dass a + b - ist - ( - ) + (- ) - richtig Also gilt -- ( + )( - ) () + + ( + ( + + ( a+ + ( a Zerlegung von in ein Produkt a b, so dass a + b ist + richtig Also gilt + + ( + )( + ) Folgerung + - - + + - - + - - -- + + ( + )( - ) ( + )( + ) ( + -)( + ) -( - + )( -) ( + )( - )( + ) [ ] + + + --- - - + 0+ -0 - + 6 ( + )( - )( + ) ( + )( - )( + )
Bruchterme 9 Lösung Aufgabe 8 8 + - + - - 7 + 0 + 6 ( ) - + 0 + ( + )( - ) ( + ) ( ) ( ) ( 8 + + 6 - - - )( + ) 6 ( + ) ( -) 6 + 80 + -60-[ + --] 6 ( + ) ( -) 6 + 80 + -60- - + + 6 ( + ) ( -) - + + + 6 ( + ) ( -) + - - + 9-6 + 9-0 + Faktorisierung der Nenner () - + 9 ( - 7). Binomische Formel () - 6+ 9 ( - ). Binomische Formel () - 0 + ( + ( + + ( a + + ( a Zerlegung von in Faktoren a und b, deren Summe -0 sein muss 7 + 7 0 falsch (-) ( -7) (- ) + (- 7) -0 richtig Also ist - 0+ ( -)( - 7) Folgerung + - + - - + 9-6+ 9-0+ ( -7) ( -) ( -)( -7) ( -) + ( -7) -( -)( -7) ( -7) ( -) ( - 6 + 9) + ( - + 9) -( - 0 + ) ( -7) ( -) - + 8 + - 8 + 98 - + 0-8 ( -7) ( -) ( -7) ( -)
Bruchterme 0 Lösung Aufgabe 8 7 7 6 7 8 9 8 9 77 9 7 7 0 6 78 9 7 8 7 9 8 7 8 0 7 6 7 0 9 9 7 7 6 Lösung Aufgabe 8 9 9 8 6 6 9 9 7 8 8 9 6 6 8 8 8 8 9 7 7 9 Lösung Aufgabe 6 8 6 6 8 0 0 6 6 Lösung Aufgabe 6 0 0 8 8 0 9 08 08 8 8 8
Bruchterme Lösung Aufgabe 7 g) h) g) 9 9 6 ab a b ab c c Lösung Aufgabe 8 0 Es wurde durch a, b und c gekürzt. c c c a b a yz yz yz ab zb ab ab ab yz y Es wurde durch, y, z, a und b gekürzt. 0 y y y y y y y y y y y y 9 9 8 9 6 y y 8 Man kann nicht kürzen. 0 8 ( 8) 6 h) 8 6
Bruchterme Aufgabe 9 y y y y y y y y ab abc bcd a b c ab cd a b b cd d a acd cd d c abc b bc abc bc bc c c c ab ac a ab abc ab ab ab ab y a b y y y y 8 y 8 y y a b aa b ba b a b a b a ab a b a b a a b a b a