KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE KIT Istitut für Aalysis Dr A Müller-Rettkowski Dr T Gauss WS 00/ Höhere Mathematik I für die Fachrichtuge Elektroigeieurwese, Physik ud Geodäsie Lösugsvorschläge zum Übugsblatt Aufgabe a i I Polardarstellug läßt sich + 3 i schreibe als + 3 i cosπ/3 + i siπ/3 Mit der Formel vo Moivre folgt + 3 i 4 4 cos4 π/3 + i si4 π/3 4 ii Wir bemerke zuächst, daß sich die Aussage aus Übugsblatt 3 Aufgabe 6 Teleskopsumme, geometrische Summeformel samt der zugehörige Beweise wortwörtlich is Komplexe übertrage lasse Es gilt also a k a k+ a 0 a, wobei N ud a 0, a, a,, a komplexe Zahle k0 q k q, wobei N ud q C \ {} q k0 Wir verwede die geometrische Summeformel ud erhalte k i k + i k + k0 i i 3 i3 i + i3 i i i Zur Berechug vo i 3 beutze wir die Darstellug i cos π/4 + i si π/4 cosπ/4 i siπ/4 ud die Formel vo Moivre i 3 3 cosπ/4 i siπ/4 3 3/ cos3 π/4 i si3 π/4 Hiermit erhalte wir k 3/ cos4 π/4 π/4 i si4 π/4 π/4 3/ cos3 π π/4 i si3 π π/4 3/ cos π/4 i si π/4 3/ / + i / + i i k i + i + i 049 + 047 i iii Mit + i cos π 4 + i si π 4 ud i cos π 4 i si π 4 ergibt sich ach der Formel vo Moivre π π π π + i + i cos + i si + cos i si { π + 0 falls k +, cos k k+ falls k
b i Für z 0 ist die gegebee Gleichug sicher icht erfüllt Ist z 0, so gibt es eideutig bestimmte r > 0 ud ϕ [0, π mit z rcosϕ + i siϕ Polardarstellug Nach der Formel vo Moivre gilt da z 6 r 6 cos6ϕ + i si6ϕ Dies ist gleich cosπ + i siπ geau da, we r 6 ud 6ϕ π + kπ für ei k Z gilt, also geau da, we r ud ϕ k + π 6 für ei k Z ist Die Bedigug ϕ [0, π ist ur für k {0,,, } erfüllt Somit besitzt die Gleichug z 6 geau die sechs verschiedee Lösuge k + π k + π z k cos + i si für k {0,,, } 6 6 Bemerkug: All diese Zahle liege i der komplexe Zahleebee auf dem Eiheitskreis ii Zuerst bestimme wir die Polardarstellug vo i Wege i + ud arg i π π 4 7π 4 lautet diese i cos 7π 4 + i si 7π 4 Daher gilt z i geau da, we z, also z 0, ud argz 7π 4 + kπ für ei k Z gilt Wege der Forderug argz [0, π erhalte wir geau die Lösuge z k C mit z k 0 ud argz k 7π 0 + kπ, also z k 0 cos 7π 0 + kπ 7π + i si 0 + kπ, für k {0,,, 4} iii Wieder bestimme wir zuerst die Polardarstellug vo + 3 i 49 Aalog zu ai erhalte wir + 3 i 49 49 cos49 π/3 + i si49 π/3 49 cos8 π + π/3 + i si8 π + π/3 49 cosπ/3 + i siπ/3 iv Daher gilt z 7 + 3 i 49 geau da, we z 7 49, also z 7 8, ud 7 argz π 3 + kπ für ei k Z gilt Wege der Forderug argz [0, π erhalte wir geau die 7 Lösuge z k C mit z k 8 ud argz k π + kπ 7, also z k 8 cos π + kπ 7 + i si π + kπ 7, für k {0,,, 6} Ma ka die Lösug aalog zu i bis iii bestimme Alterativ ist machmal die Auffasug als Nullstellesuche eies Polyoms etwas kürzer: Es ist z 3 + 8 z + z z + 4 z + z + 3 0
z oder z 3 z oder z 3 i oder z 3 i z oder z + 3 i oder z 3 i c Mit Hilfe vo Reλ λ + λ für λ C erhalte wir z + w z +wz + w z +wz +w zz +zw + }{{} wz +ww z + Rezw+ w wzzw Daraus ergibt sich sofort z w z + Re z w + w z Rezw + w Addiert ma diese Gleichuge, so folgt z + w + z w z + w Geometrische Bedeutug: I eiem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate der Diagoaleläge gleich der Summe der Quadrate der Seiteläge i Im z + w w z z z z w z + w w w Re Aufgabe a Wege a + + Für jedes N ist Daher ergibt sich vermute wir, dass a N für gege kovergiert a + + + a < ε + < ε > ε Sei ε > 0 beliebig Wähle N N mit N > ε Wie ebe gesehe, gilt da a < ε für alle N mit N Also kovergiert a N gege b Ist ε 0 0, so ka ma beispielsweise N 0 0 > 0 0 ε ehme Damit gilt a < 0 0 für alle N mit 0 0 3
Aufgabe 3 a Bemerkug: Solche Brüche läßt sich oft mit dem folgedem Stadardtrick Erweiter mit dem Kehrwert der höchste auftretede Potez beikomme Diese Folge ist koverget, de es gilt + 3 4 + + 4 3 / + 3/ 4/ 3 / 3 + / + 4 0 + 0 0 0 + 0 + 4 0 b Wege a k + k k ud a k+ + k+ k besitzt die Folge a N die zwei verschiedee Häufugspukte ud Daher ist a N diverget c Mit der bekate Formel m k k mm+, m N, ergibt sich für jedes N a k k 4 4 k k + 4 + Wege lim 0 folgt mit de Grezwertsätze lim a +0 d Für jedes N gilt a + 3 3 3 + 3 + 3/ + 3/ + 3/ 3 3 + / 3 3 3 + / 3 3 3 + / 3 3 Wege + 3/ ud 3 + / 3 3 0 für kovergiert die Folge a N ach de Grezwertsätze gege 4 3 3 7 e Bemerkug: Solche Differeze, i dee ählich große Wurzelausdrücke auftrete, läßt sich oft mit dem folgedem Stadardtrick Erweiter uter Beachtug der biomische Formel a ba+ b a b, a, b R beikomme Beachte: a + + ; hier drägt sich der Trick geradezu auf Es gilt für jedes N a + + Wege 0 ++ 0 für folgt lim a 0 f Der biomische Lehrsatz liefert für jedes N 4 + 4 k0 + + + + + + + + + 4 k α 0 + α + + α 4 4, wobei α k : k 4 k Wege α 4 4 ergibt sich + 4 4 α 0 + α + + α 4 4 Folglich ist a α 0 + α + + α 40 40 + α 4 4 4 α 0 4 + α 40 + + α 40 + α 4 α 4 4 4 4 4 4
g Zuächst forme wir de Ausdruck mit Hilfe der geometrische Summeformel vgl Aufgabe 6 b vom 3 Übugsblatt mit ud q um ud verwede im Aschluss 0 sowie die Grezwertsätze k0 k + + + 3 + 4 h Für jedes N ist a + + + 3 + 4 { + 3+4i falls k für ei k N, + falls k + für ei k N {0} Es gilt 3+4i 3 + 4i 3 + 4 3+4i 3 ud 3+4i 3 für alle N Wege 3 0 für folgt 3+4i 3+4i 0 für, so dass sich lim + ergibt Nach Aufgabe 6 a ist da auch lim k + 3+4i k Für jedes N gilt + + + / + + / + + + + + + / + + + + Aufgrud vo lim / 0 folgt ach de Grezwertsätze lim + + 0 + Nach Aufgabe 6 a ist damit auch lim k k + + k + k + Die Folge a N besitzt somit die beide kovergete Teilfolge a k k N ud a k+ k N Ferer gilt lim k a k lim k a k+ Daher liefert Aufgabe 6 d, dass a N gege kovergiert Aufgabe 4 I II : Sei ε > 0 Gemäß I gibt es ei Ñ N so, daß a a < ε für alle N mit > Ñ gilt Wir setze N : Ñ + Für alle N ist da > Ñ gleichbedeuted mit N Isbesodere erhalte wir a a < ε ε für alle N mit N II III : Sei t R\{0} Da ist ε : 3t > 0 Gemäß II gibt es zu ε also ei N N so, daß a a ε für alle N mit N gilt Daraus folgt a a ε 3t < 3t für alle N mit N III I : Sei ε > 0 Da ist t : ε 3 R\{0} Gemäß III gibt es zu t also ei N N so, daß a a < 3t für alle N mit N gilt Daraus folgt a a < 3t 3 ε 3 ε für alle N mit N Also gilt erst recht a a < ε für alle N mit > N
Aufgabe a Es gilt z z x + iy x + iy mit x Re z, y Im z, x Re z, y Im z ε>0 N N x + iy x + iy < ε für alle N mit > N ε>0 N N x x + y y < ε für alle N mit > N ε>0 N N x x < ε ud y y < ε für alle N mit > N ε>0 N N x x < ε ud y y < ε für alle N mit > N x x ud y y Die Äquivalez bei sieht ma so ei: Bei wähle wir zu vorgegebeem ε > 0 ε : ε; bei wähle wir zu vorgegebeem ε > 0 ε : ε/ b Das folgt aus z z Geauer: Es gilt z z x + iy x + iy mit x Re z, y Im z, x Re z, y Im z ε>0 N N x + iy x + iy < ε für alle N mit > N ε>0 N N x x + y y < ε für alle N mit > N ε>0 N N x iy x iy < ε für alle N mit > N x iy x iy z z Bemerkug: Alterativ ka ma die Aussage auch uter Verwedug vo a löse: Es gilt Aufgabe 6 z z a x x ud y y mit x Re z, y Im z, x Re z, y Im z x x ud y y z z a a Wir erier us zuächst a die Defiitio eier Teilfolge: Sei a N eie Folge ud k k N eie Folge i N mit < < 3 < Ist b k : a k für jedes k N gesetzt, da heißt b k k N Teilfolge vo a N Es sei a N eie kovergete Folge mit lim a : a ud a k k N eie Teilfolge vo a N Wir zeige, dass a k k N kovergiert ud lim k a k a gilt Sei dazu ε > 0 Wege a a für existiert ei N N mit a a < ε für alle N Wege < < existiert ei K N mit K N Für alle k N mit k K ist da k K N Deshalb gilt a k a < ε für alle k K, d h a k k N kovergiert gege a b Die Folge a N besitze eie divergete Teilfolge Zu zeige ist, dass da a N diverget ist Wir führe eie Widerspruchsbeweis Aahme: a N kovergiert Da kovergiert laut a jede Teilfolge vo a N Dies widerspricht der Voraussetzug, dass a N eie divergete Teilfolge besitzt Also ist die Aahme falsch ud a N diverget 6
c Diese Situatio liegt bei folgedem Beispiel vor: Die Folge a N sei defiiert durch a : Da sid a k ud a k+ für jedes k N Daher kovergiere die beide Teilfolge a k k N ud a k+ k N für k Jedoch ist a N diverget, weil a N die zwei verschiedee Häufugspukte ud besitzt d : Die Folge a N kovergiere, etwa gege a Gemäß a kovergiert da auch jede Teilfolge vo a gege de selbe Grezwert Isbesodere trifft dies auf die beide Teilfolge a k k N ud a k+ k N zu : Nu seie die beide Teilfolge a k k N ud a k+ k N koverget ud es gelte a : lim a k lim a k+ Wir zeige u, dass a N gege a kovergiert k k Sei dazu ε > 0 Wege a k a für k gibt es ei K N mit woraus a k a < ε für alle k N mit k K, a m a < ε für alle gerade m N mit m K folgt Wege a k+ a für k gibt es ei K N mit woraus a k+ a < ε für alle k N mit k K, a m a < ε für alle ugerade m N mit m K + folgt Demach gilt für alle m N mit m max{k, K + } d h a N kovergiert ud zwar gege a Aufgabe 7 a m a < ε, a Da i S zwei Widerstäde R i Reihe geschaltet sid, ist W R Für sieht die Schaltug S folgedermaße aus: } {{ } } Widerstad W {{ } Widerstad R Da die Widerstäde R ud W parallel geschaltet sid, gilt R R + W R RW R + W R ud R sid i Reihe geschaltet, daher ergibt sich für de Gesamtwiderstad vo S Zusamme habe wir W R + R R + RW R + W W R, W R + RW R + W für N \ {} 7
b Die Folge a N mit a : W /R ist gegebe durch a, a + a + a für N \ {} Wir zeige durch vollstädige Iduktio, dass + a für alle N gilt IA: Wege a ist + a für erfüllt Dabei beachte ma, dass aus 3 die Gültigkeit der Ugleichug + + 3 folgt IS: Sei N Für dieses gelte + a IV Da folgt eierseits a + + a + IV + a + a + + + + + 3 + 3 3 ud adererseits + + 9 a + + + a + IV + a + a + + + 3 3 Außerdem ist a N mooto falled, de für alle N gilt a a + a + a + a + a a + a a + a + + a + a + a a + a 0, da a + + a c a N ist als beschräkte ud mooto fallede Folge koverget Aus a + + a + a für alle N folgt für de Grezwert a : lim a ach de Grezwertsätze Ma beachte lim a + a a + a + a a + a + 0 a + oder a Wege a + für alle N muss auch auch a + gelte Deshalb ist a + Aufgabe 8 Defiiere a : + Zu zeige ist a a + für jedes N Dies ist äquivalet zu + + + + + + + + + + + + + + + + Die letzte Ugleichug gilt: Die Beroullische Ugleichug liefert ämlich + + + + + + +, ud wege + + + + + folgt + + + + 8
Sei b : + + Zu zeige ist b b + für jedes N Wir forme die Aussage b b + äquivalet um: + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + Um die letzte Ugleichug zu zeige, verwede wir wieder die Beroullische Ugleichug ud + + : Aufgabe 9 + + + + + + + + + + + + + a Es seie a N N ud b N N Da ist a beschräkt ud b koverget Jedoch kovergiert die Folge c N mit c : a b icht b Nu seie a N eie beschräkte ud b N eie Nullfolge Behauptet wird, dass die Folge c N mit c : a b gege 0 kovergiert Da a beschräkt ist, existiert eie Kostate K > 0 so, dass a K für alle N gilt Deshalb ergibt sich für jedes N c a b a b K b Wege b 0 kovergiert auch K b 0 für Daher folgt c 0 für Aufgabe 0 P a Gegebe seie 0 q < ud eie Folge a N {0} mit a + a q für jedes N {0} Beh: a N {0} ist eie Cauchy-Folge Wir zeige zuächst: ε>0 N N N k N {0} a +k a < ε Für beliebige k, N {0} gilt k k a +k a a +k + a +j+ a +l+ a l0 j:l+ k k a +k + a +j+ a +j a k a +j+ k j k a +j a +j+ a +j Hieraus ergibt sich uter Verwedug der Dreiecksugleichug ud der geometrische Summeformel k k k a +k a a +j+ a +j q +j q q j q qk q q q Sei u ε > 0 beliebig Wege 0 q < kovergiert die Folge q q N gege 0, daher fide wir ei N N so, dass q q q 0 q < ε für alle N mit N gilt Demzufolge ist a +k a < ε für alle N ud k N {0} 9
Hieraus folgt a m a < ε für alle m, N mit m, N De: Seie m, N mit m, N beliebig Ohe Eischräkug sei m Da ist k : m N {0} ud ach ergibt sich a m a a +k a < ε b Die Folge a N {0} sei rekursiv defiiert durch a 0 : 0, a :, a + : a + a für N Wir bereche die erste Folgeglieder a a + a 0, a 3 a + a 3 4, a 4 8, a 6 ud bilde die Differez vo je zwei Folgeglieder a a 0, a a, a 3 a 4, a 4 a 3 8, a a 4 6 Wir vermute a + a für alle N {0} Dies bestätige wir per Iduktio: IA: 0 Dies habe wir ebe gesehe IS: Sei N {0} Für dieses gelte a + a Da folgt a + a + a + + a a + a + a IV + Somit sid die Voraussetzuge aus a z B mit q erfüllt Daach ist a N {0} eie Cauchy-Folge i R, das Cauchysche Kovergezkriterium liefert ihre Kovergez Sei a : lim a Bilde wir i der Rekursiosformel vo a de Limes, so erhalte wir uter Beachtug vo lim a lim a + lim a a a a + a a a Hieraus köe wir keie Iformatioe über de Grezwert a gewie Zur Bestimmug vo a betrachte wir mit 0, setze da a j+ a j j ei ud verwede im Aschluss die geometrische Summeformel a a 0 k 0 k a k a 0 a j+ a j k Wege k 0 für k folgt lim k a k 3 j k 3 k 0