Ferienkurs Experimentalphysik 1 Julian Seyfried Wintersemester 2014/2015 1
Seite 2 Inhaltsverzeichnis 3 Energie, Arbeit und Leistung 3 3.1 Energie.................................. 3 3.2 Arbeit................................... 3 3.3 Leistung.................................. 3 4 Schwingungen/Oszillationen 4 4.1 freier ungedämpfter Oszillator...................... 4 4.2 gedämpfter Oszillator.......................... 4 4.2.1 schwache Dämpfung....................... 5 4.2.2 starke Dämpfung......................... 5 4.2.3 aperiodische Grenzfall...................... 5 4.3 erzwungene Schwingungen........................ 6 5 Systeme von Massenpunkten 7 A Aufgaben 8 A.1 Fluchtgeschwindigkeit von der Erde................... 8 A.2 Federpendel................................ 8 B Musterlösung 9 B.1 Fluchtgeschwindigkeit von der Erde................... 9 B.2 Federpendel................................ 9
Seite 3 3 Energie, Arbeit und Leistung 3.1 Energie In der Mechanik gilt in einem abgeschlossenen System Energieerhaltung. Die mechanischen Energieformen werden unterteilt in potentielle Energie und kinetische Energie. Wird Energie nicht in Wärme oder Verformung umgewandelt, gilt folgende Gleichung: E ges = E pot + E kin = konstant (1) 3.2 Arbeit Bewegt man sich man sich in einem Kraftfeld, so wird dabei Arbeit verrichtet: W = F ( r) d r (2) γ Da Kraft und infinitesimales Wegstück mit einem Skalarprodukt verknüpft sind, zählt nur die Kraftkomponente die senkrecht zum Weg ist. In einem konservativen Kraftfeld (z.b. Gravitationspotential) ist die Arbeit wegunabhängig. W = r 2 r 1 F ( r) d r = Epot = E pot,1 E pot,2 (3) Im Fall konstante Kraft ergibt sich: W = F s cos(θ), (4) wobei θ der Winkel zwischen Bewegungsrichtung und Kraft ist. Man kann die wirkende Kraft folgendermaßen aus der potentiellen Energie berechnen: F ( r) = grad E pot ( r) = d dr E pot(r) e r, (5) wobei im letzten Schritt ein radialsymmetrisches Potential angenommen wurde. Beispiel: Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche 3.3 Leistung Die Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeit und daher gegeben als: P = dw dt (6)
Seite 4 4 Schwingungen/Oszillationen 4.1 freier ungedämpfter Oszillator Eine freie ungedämpfte Schwingung wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben: ẍ(t) + ω 2 0 x(t) = 0 (7) Differentialgleichungen dieser Art können IMMER mit folgendem Ansatz gelöst werden: x(t) = e λ t (8) Daraus erhalten wir: ẍ(t) = λ 2 e λ t (9) Setzen wir dies in die Differentialgleichung ein erhalten wir nach dem Kürzen der e-funktion das sog. charakteristische Polynom zur Bestimmung von λ: λ 2 + ω 2 0 = 0 (10) Diese quadratische Gleichung können wir lösen und erhalten: λ 1,2 = ±i ω 0, (11) d.h. x 1 (t) = e i ω 0 t und x 2 (t) = e i ω 0 t lösen die Differentialgleichung. Eine Differentialgleichung 2. Ordnung hat immer zwei linear unabhängige Lösungen. Man kann beweisen, dass eine Differentialgleichung dieser Form auch vom Real- bzw. Imaginärteil einer Lösung gelöst wird. Real- und Imaginärteil stellen zwei linear unabhängige Lösungen. Daher können wir für die allgemeine Lösung der Differentialgleichung schreiben: x(t) = A sin(ω 0 t) + B cos(ω 0 t) = C sin(ω 0 t + ϕ) (12) Die Bestimmung der beiden unbekannten A & B bzw. C & ϕ erfolgt durch die Anfangsbedingungen. Schwingungen, die zur Zeit t = 0 eine verschwindende Geschwindigkeit haben sind reine Cosinus-Schwingungen. Ist der Oszillator zur Zeit t = 0 in der Gleichgewichtslage und besitzt eine Anfangsgeschwindigkeit, so ist es eine reine Sinus-Schwingung. Beispiel: Federpendel 4.2 gedämpfter Oszillator In einem realistischen Fall ist die Schwingung gedämpft. Im Folgenden nehmen wir eine Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit an.
Seite 5 Wir erarbeiten den gedämpften Oszillator an Hand des Federpendels. Unsere wirkende Kraft setzt sich nun zusammen aus Federkraft und Reibungskraft(entgegen der Bewegung). m ẍ = D x b ẋ, (13) wobei b die Stärke der Dämpfung (z.b. Reibung) beschreibt. Wir stellen nun die Gleichung um und definieren 2γ := b m. Es wird ein Faktor 2 gewählt um später ein schöneres Ergebnis zu erhalten. ẍ + 2γ ẋ + ω 2 0 x = 0 (14) Analog zum vorherigen Kapitel erhalten wir wieder das charakteristische Polynom: λ 2 + 2γ λ + ω 2 0 = 0 (15) Mit der Mitternachtsformel erhalten wir für λ folgendes Ergebnis (nun ist auch offensichtlich warum ein Faktor 2 vor dem γ gewählt wurde): λ 1,2 = γ ± γ 2 ω0 2 (16) Offensichtlich müssen wir drei Fälle unterscheiden: 4.2.1 schwache Dämpfung In diesem Fall gilt: γ 2 < ω0 2. Daher ist die Wurzel rein imaginär und wir erhalten in der Lösung eine komplexe e-funktion und damit eine Schwingung. Außerdem definieren wir ω 2 := ω0 2 γ2. x(t) = e γ t [A sin(ω t) + B cos(ω t)] = Ce γ t sin(ω t + ϕ) (17) Das Federpendel schwingt also mit Kreisfrequenz ω ω 0 und einer exponentiell abklingenden Amplitude. 4.2.2 starke Dämpfung In diesem Fall gilt γ 2 > ω0 2. Die Wurzel ist also reell und somit findet keine Schwingung statt (α 2 := γ 2 ω0 2): x(t) = e γ t [A e α x + B e α x ] (18) 4.2.3 aperiodische Grenzfall Im letzten Fall betrachten wir γ = ω 0. Jetzt fallen die Lösungen der quadratischen Gleichung zusammen. Da eine Differentialgleichung 2. Ordnung immer zwei Lösungen hat, benötigen wir eine 2. Lösung. Auch in diesem Fall hilft uns ein Satz aus der Analysis weiter, so dass man die Lösung sofort hinschreiben kann: x(t) = e γ t (c 1 + c 2 t) (19)
Seite 6 4.3 erzwungene Schwingungen Die Beschreibung einer erzwungenen Schwingung ist verhältnismäßig anspruchsvoll und die exakte Lösung des Problems zeitaufwendig. Daher wird hier das Thema nicht im Detail besprochen, sondern nur die Lösungsidee skizziert und die Ergebnisse qualitativ besprochen. Im Falle einer erzwungenen Schwingung wirkt eine periodische äußere Kraft F ext auf den Oszillator: ẍ + 2γ ẋ + ω 2 0 x = K cos(ω t), (20) mit F ext = F cos(ω t) = K m cos(ω t). Die ist eine inhomogene Differentialgleichung. Die Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung setzt sich aus der homogenen und einer partikulären Lösung, welche die inhomogenen Gleichung löst, zusammen. x(t) = x hom (t) + x part (t) (21) Die homogene Lösung ist die Lösung des freien gedämpften Oszillators. Die partikuläre Lösung muss erraten werden. Es zeigt sich, dass die folgende Gleichung eine Lösung des Problems ist: x spez (t) = A cos(ω t + ϕ) (22) Durch Einsetzen in die Gleichung kann A und ϕ bestimmt werden: A = F 1 m 4γ 2 Ω 2 + (ω0 2 (23) Ω2 ) 2 ϕ = arctan( ω 2 0 2γΩ ) (24) Ω2 A beschreibt die Amplitude der erzwungenen Schwingung und ϕ den Phasenversatz zur anregenden Kraft. Hat die Erregerschwingung eine fast verschwindende Frequenz, so verschwindet auch der Phasenunterschied näherungsweise. Im Resonanzfall beträgt er 90 und steigt weiter an bis er 180 für eine unendlich hohe Frequenz der Erregerschwingung erreicht. Die maximale Amplitude wird beim gedämpften getriebenen Oszillator nicht bei Ω = ω 0 erreicht, sondern für Ω = ω 2 0 2γ2. Für γ 0 divergiert die Amplitude für Ω = ω 0.
Seite 7 5 Systeme von Massenpunkten Hat man ein System von mehreren Massenpunkten mit Massen m i, Geschwindigkeiten v i und Koordinaten r i, so kann man den sog. Schwerpunkt R s bestimmen. i R s = m i r i i i m = m i r i (25) i M Man kann damit auch die Geschwindigkeit des Schwerpunkts V s angeben: V s = d R s dt = i m i v i M (26) Der Impuls des Schwerpunkts P s kann ebenfalls angegeben werden: P s = M V s = i p i (27) Dieser ist also über die Summe der Einzelimpulse gegeben. Wirken keine äußeren Kräfte auf das System, so ist der Schwerpunktimpuls eine Erhaltungsgröße. Die gilt wegen dem 3. Newtonschen Axiom auch bei Kräften zwischen den einzelnen Massenpunkten. Als Schwerpunktsystem bezeichnet man das Koordinatensystem dessen Ursprung im Schwerpunkt ruht. Falls sich der Schwerpunkt bezüglich des Laborsystems bewegt, so bewegt sich auch das Koordinatensystem. Das Schwerpunktsystem ist insbesondere bei Berechnung von Stößen von großer Bedeutung. Wir bezeichnen den Ortsvektor eines Teilchens i als r i,s. Wir können schreiben: r i = R s + r i,s (28) Auf Grund der Definition des Schwerpunkts verschwindet die Summe über die mit der Masse gewichteten Koordinaten im Schwerpunktsystem: m i r i,s = 0 (29) i Dementsprechend verschwindet auch die Summe über die Zeitableitungen der Koordinaten im Schwerpunktsystem und es gilt daher: p i,s = 0 (30) Die Geschwindigkeit des Teilchens i kann geschrieben werden als: i v i = V s + v i,s (31)
Seite 8 A Aufgaben A.1 Fluchtgeschwindigkeit von der Erde In dieser Aufgabe soll die minimale Geschwindigkeit eines Körpers auf der Erdoberfläche berechnet werden, damit er sich dem Schwerefeld der Erde entziehen kann (2. kosmische Geschwindigkeit). Es soll dabei nur die Gravitationskraft der Erde berücksichtigt werden. Auf welche Größe muss die Erde komprimiert werden, damit sie zu einem schwarzen Loch wird? A.2 Federpendel Leite die Differentialgleichung für die Schwingung einer masselosen Hookschen Feder mit Federkonstante k = 1 N cm, an deren Ende sich eine Masse mit m = 5kg befindet, her. Gib die Lösung für folgende Situation an: Die Feder ist zur Zeit t = 0 um 5cm aus der Ruhelage ausgelenkt und besitzt die Geschwindigkeit 5 m s.
Seite 9 B Musterlösung B.1 Fluchtgeschwindigkeit von der Erde Der Flugkörper der Masse m muss genug Geschwindigkeit haben um sich unendlich weit von der Erde entfernen zu können. Wir können die dafür nötige Arbeit wie folgt berechnen: W = r e F (r)dr = G m M Nun setzen wir Energieerhaltung an: r e 1 m M dr = G (32) r2 r e 1 2 m v2 = E pot = W = G m M r e (33) Erwartungsgemäß ist das Ergebnis unabhängig von m und wir erhalten: v = 2 G M r e = 11, 2 km s (34) Damit die Erde zu einem schwarzen Loch wird, kann man folgende (stark vereinfachte Überlegung) verwenden: Damit das Loch schwarz ist, muss die Fluchtgeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit sein. 2 G M c = (35) r loch Und damit: r loch = 2 G M c 2 = 8, 8mm (36) B.2 Federpendel Um die Differentialgleichung herzuleiten verwendet man das 2. Newtonsche Gesetz: F = k x = m ẍ (37) Man erkennt sofort, dass dies die Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung ist mit ω 0 = k rad m = 10 s. Die Lösung hat daher die Form: x(t) = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) (38) Für die erste Ableitung, also die Geschwindigkeit, folgt: ẋ(t) = A ω 0 sin(ω 0 t) + B ω 0 cos(ω 0 t) (39)
Seite 10 Nun schreiben wir unser Anfangswertproblem in zwei Gleichungen um: x(0) = A = 5cm (40) ẋ(0) = ω 0 B = 5 m s (41) Damit erhalten wir B = 0.5m = 50cm. Somit können wir jetzt die konkrete Lösung unseres Problems angeben: x(t) = 5cm cos(ω 0 t) + 50cm sin(ω 0 t) (42)