Vorlesungsskript Mthemtik I für Wirtschftsingenieure Verfsserin: HSD Dr. Sybille Hndrock TU Chemnitz Fkultät für Mthemtik e-mil: hndrock@mthemtik.tu-chemnitz.de Wintersemester 2005/06 Litertur [] Dllmnn, H., Elster, K. H.: Einführung in die höhere Mthemtik für Nturwissenschftler und Ingenieure, Bd. 2, Uni TB GmbH, Stuttgrt, 99. [2] Dietmier, C.: Mthemtik für Wirtschftsingenieure, Fchbuchverlg, Leipzig, 2005. [3] Henze, N., Lst, G.: Mthemtik für Wirtschftsingenieure, Vieweg, Brunschweig/Wiesbden, 2005. [4] Luderer, B., Würker, U.: Einstieg in die Wirtschftsmthemtik, B.G. Teubner, Stuttgrt, 2004. [5] Nollu, V.: Mthemtik für Wirtschftswissenschftler, B.G. Teubner, Stuttgrt, 2003. [6] Pforr, E. A., Schirotzek, W.: Differentil- und Integrlrechnung für Funktionen mit einer Vriblen, Teubner, Stuttgrt, Leipzig, 993. [7] Rommelfnger, H.: Mthemtik für Wirtschftswissenschftler, Bd. 2, B.I. Wissenschftsverlg, Mnnheim/Leipzig, Wien, Zürich, 2004/2002.
Inhltsverzeichnis Grundlgen. Elemente der mthemtischen Logik....................... Aussgen und ihre Verknüpfung......................2 Aussgenlogische Gesetze....................... 3.2 Mengenlehre................................... 5.2. Der Mengenbegriff........................... 5.2.2 Reltionen (Beziehungen) zwischen Mengen............. 6.2.3 Opertionen (Verknüpfungen) von Mengen.............. 7.2.4 Eigenschften von Mengenreltionen und Mengenopertionen.... 7.3 Zhlbereiche................................... 9.3. Aufbu der Zhlbereiche und Drstellung komplexer Zhlen.... 9.3.2 Rechenopertionen in C........................ 2 2 Folgen und Reihen 5 2. Zhlenfolgen (ZF)................................ 5 2.2 Reihen mit konstnten Gliedern........................ 8 2.3 Anwendungen us der Finnzmthemtik................... 20 2.3. Zins- und Zinseszinsrechnung..................... 20 2.3.2 Rentenrechnung............................. 22 3 Reelle Funktionen einer reellen Vriblen 24 3. Der Funktionsbegriff.............................. 24 3.2 Eigenschften reeller Funktionen........................ 25 3.3 Rtionle Funktionen.............................. 28 3.3. Gnze rtionle Funktionen...................... 28 3.3.2 Gebrochen rtionle Funktionen.................... 32 3.4 Nichtrtionle Funktionen........................... 33 3.4. Wurzelfunktionen............................ 33 3.4.2 Trnszendente Funktionen....................... 34 3.5 Grenzwerte von Funktionen.......................... 37 3.6 Stetigkeit einer Funktion............................ 38 3.7 Differenzilrechnung.............................. 40 3.7. Der Ableitungsbegriff.......................... 40 3.7.2 Ableitungen höherer Ordnung..................... 42 I
3.8 Anwendungen der Differenzilrechung..................... 43 3.8. Approximtion von Funktionen.................... 43 3.8.2 Elstizitätsbetrchtungen....................... 44 3.8.3 Die Regeln von de l Hospitl...................... 45 3.9 Untersuchung reeller Funktionen mit Hilfe von Ableitungen......... 46 3.9. Monotonieverhlten........................... 46 3.9.2 Extrem................................. 47 3.9.3 Krümmungsverhlten.......................... 48 3.9.4 Wendepunkte (WP).......................... 49 3.0 Integrlrechnung................................ 50 3.0. Ds unbestimmte Integrl....................... 50 3.0.2 Ds bestimmte Integrl......................... 52 3.0.3 Uneigentliche Integrle......................... 56 II
Grundlgen. Elemente der mthemtischen Logik.. Aussgen und ihre Verknüpfung In der Umgngssprche sind Aussgesätze nicht immer eindeutig interpretierbr, z.b. Ds Wetter ist schön. In der mthemtischen Logik verstehen wir dgegen unter einer Aussge einen sinnvollen Stz, der seiner inhltlichen Bedeutung nch entweder whr oder flsch ist. (Prinzip der Zweiwertigkeit) Sätze, die weder whr noch flsch sind und solche, die sowohl whr ls uch flsch sind, gehören in unserem Sinne nicht zu den Aussgen. Zur Formlisierung des Zweiwertigkeitsprinzips führen wir die Whrheitswerte W für whr und F für flsch ein. Sttt Eine Aussge ist whr können wir jetzt sgen Einer Aussge wird der Whrheitswert W zugeordnet, entsprechend bedeutet die Zuordnung des F Wertes, dss die betreffende Aussge flsch ist. Die us den Whrheitswer- ten W und F bestehende Menge {W, F } nennen wir Whrheitswertemenge. Aussgen bezeichnen wir mit Kleinbuchstben p, q, r,.... Beispiel. Wir betrchten die folgenden Sätze: () Kufen Sie soviel wie möglich! Der Stz ist weder whr noch flsch, lso keine Aussge. (2) In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel gleich 80. Der Stz ist sowohl whr ls uch flsch. In der ebenen Trigonometrie ist er whr, in der sphärischen Trigonometrie flsch. (3) Der Umstz ist gleich dem Produkt us Abstz und Verkufspreis. (W) Unter Verknüpfungen von Aussgen verstehen wir Opertionen, wie sie uch us nderen Gebieten der Mthemtik beknnt sind. Chrkteristik für die Verknüpfungen von Aussgen sind: Es werden usschließlich Aussgen miteinnder verknüpft. Ds Ergebnis einer solchen Verknüpfung ist wieder eine Aussge. Die Verknüpfungen sind so beschffen, dss der Whrheitswert der zusmmengesetzten Aussge einzig und llein von den Whrheitswerten der verknüpften Aussgen bhängt (Drstellung durch Whrheitswertetbellen). Definition. (Opertionen mit Aussgen). Die Opertion p (nicht p) heißt Negtion (Verneinung) von p. Die Aussge p ist genu dnn whr, wenn p flsch ist.
p W F p F W 2. Die Opertion p q (p und q) heißt Konjunktion von p und q. Die Aussge p q ist genu dnn whr, wenn sowohl p ls uch q whr sind. p q p q W W W W F F F W F F F F 3. Die Opertion p q (p oder (uch) q) heißt Alterntive von p und q. Die Aussge p q ist genu dnn whr, wenn mindestens eine der Aussgen p und q whr ist. p q p q W W W W F W F W W F F F 4. Die Opertion p >< q (entweder p oder q) heißt Disjunktion von p und q. Die Aussge p >< q ist genu dnn whr, wenn genu eine der Aussgen p und q whr ist. p q p >< q W W F W F W F W W F F F 5. Die Opertion p\q (p unverträglich mit q) heißt Unverträglichkeit von p und q. Die Aussge p\q ist genu dnn whr, wenn höchstens eine der Aussgen p und q whr ist. p q p\q W W F W F W F W W F F W 6. Die Opertion p = q (wenn p dnn q) heißt Impliktion von p und q. Die Aussge p = q ist genu dnn flsch, wenn p whr und q flsch ist. p q p = q W W W W F F F W W F F W 2
7. Die Opertion p q (p genu dnn, wenn q) heißt Äquivlenz von p und q. Die Aussge p q ist genu dnn whr, wenn p und q whr oder p und q flsch sind. p q p q W W W W F F F W F F F W Beispiel.2 p (bzw. q): In einem Lnd A (bzw. B) ht ein Unternehmen U einen Mrktnteil von über 30%. Dnn ist () p : In A ht U einen Mrktnteil von höchstens 30%. (2) p q : In A und B ht U einen Mrktnteil von über 30%. (3) p q : In wenigstens einem der Länder A oder B ht U einen Mrktnteil von über 30%. (4) p >< q : In genu einem der Länder A oder B ht U einen Mrktnteil von über 30%. (5) p\q : In höchstens einem der Länder A oder B ht U einen Mrktnteil von über 30%. (6) p = q : Wenn U in A einen Mrktnteil von über 30% ht, dnn uch in B. (7) p q : In A ht U genu dnn einen Mrktnteil von über 30%, wenn dies uch in B der Fll ist. Die Impliktion ist nicht kommuttiv (folgt us der Whrheitswertetbelle dieser Opertion). Desweiteren knn us einer flschen Vorussetzung eine whre Aussge folgen, z. B. ist die Impliktion (+ = ) = ((+) 2 = ( ) 2 ) whr, obwohl die Aussge + = flsch ist. Eine wenn dnn Formulierung ist lso nicht in jedem Fll mit einer Beziehung zwischen Ursche und Wirkung in Zusmmenhng zu bringen. Die Impliktion knn eine notwendige bzw. uch eine hinreichende Bedingung ngeben: p = q knn bedeuten: q ist notwendig für p (nur wenn q, so p) bzw. p ist hinreichend für q, während die Äquivlenz eine notwendige und hinreichende Bedingung widerspiegelt. Wir betrchten z.b. folgende Aussgen: p: es regnet und q: die Strße ist nss. Dnn ist p ist hinreichend für q, jedoch ist q nicht notwendig für p...2 Aussgenlogische Gesetze Mit Hilfe der Opertionen können us vorgegebenen Aussgen p, q, r,... weitere zusmmengesetzte Aussgen (ussgenlogische Gesetze) gebildet werden. Dbei wird die Eindeutigkeit dieser neuen Aussgen durch ) die Rngfolge 3
- zuerst Negtion, - dnn Konjunktion, Alterntive, Disjunktion und Unverträglichkeit, - dnn Impliktion und Äquivlenz b) ds Setzen von Klmmern, die von innen nch ußen interpretiert werden gesichert. Der Whrheitswert eines ussgenlogischen Gesetzes lässt sich mit Hilfe einer Whrheitswertetbelle bestimmen. Definition.2 (Tutologien, Kontrdiktionen). Eine Aussge, die stets whr ist, heißt Tutologie, z.b. p p (Stz vom usgeschlossenen Dritten). 2. Eine Aussge, die stets flsch ist, heißt Kontrdiktion, z.b. p p (Stz vom usgeschlossenen Widerspruch). Theorem. Es gelten folgende Behuptungen:. Stz von der Negtion der Negtion: ( p) p. 2. Stz von der Trnsitivität der Impliktion: [(p = q) (q = r)] = (p = r). 3. Stz von der Kontrposition: (p = q) ( q = p). 4. De Morgnschen Regeln () (p q) p q, (2) (p q) p q. Beweis für die de Morgnsche Regeln: p q p q p q p q (p q) p q (p q) p q W W W W F F F F F F W F F W F W W W F F F W F W W F W W F F F F F F W W W W W W Beispiel.3 Nch einer Hvrie, ls deren Verurscher drei Aggregte A, B, C möglich sind, kmen die Gutchter zu folgenden Aussgen:. Mindestens eines der Aggrete verurschte die Hvrie. 2. Flls nicht A und B die Hvrie verurschten, dnn wr C nicht der Verurscher. 3. Ist A ein Verurscher oder C nicht, dnn ist B kein Verurscher. Aus diesen Angben folgt, dss ds Aggregt A der lleinige Verurscher der Hvrie ist. 4
.2 Mengenlehre.2. Der Mengenbegriff Cntorsche Erklärung einer Menge: Eine Menge ist eine wohldefinierte Zusmmenfssung bestimmter unterscheidbrer Objekte unserer Anschuung oder unseres Denkens welche die Elemente der Menge gennnt werden zu einem Gnzen. (In: Beiträge zur Begründung der trnsfiniten Mengenlehre (895)). Wichtig sind dbei die Begriffe wohldefiniert und unterscheidbr. Zum einen müssen sich die Elemente einer Menge eindeutig beschreiben lssen, d.h., für jedes Objekt x und jede Menge A muss stets entscheidbr sein, ob x ls Element zu A gehört oder nicht. Zum nderen muss sich jedes Element von den nderen Elementen durch wenigstens ein Merkml unterscheiden. Mengen bezeichnen wir mit Großbuchstben A, B, C,... und die Elemente mit Kleinbuchstben, b, c,.... Die Schreibweise A bedeutet gehört zur Menge A, während / A den Schverhlt gehört nicht zur Menge A bezeichnet. Definition.3 (leere, endliche, bzählbr unendliche, überbzählbr unendliche, disjunkte Mengen). Eine Menge A heißt leer, wenn sie kein Element enthält. Eine Menge, die wenigstens ein Element enthält, heißt nichtleer. Bezeichnung der leeren Menge: Es gilt: x x. ( bedeutet für lle) 2. Eine Menge heißt endlich, wenn sie endlich viele Elemente oder überhupt kein Element enthält. In llen nderen Fällen heißt die Menge unendlich. 3. Eine unendliche Menge heißt bzählbr unendlich, wenn sich ihre Elemente ls unendliche Folge durchnummerieren lssen. Jede nichtbzählbr unendliche Menge heißt überbzählbr unendlich. 4. Besitzen die Mengen B und C keine gemeinsmen Elemente, so heißen sie elementefremd oder disjunkt. Beispiel.4 (leere, endliche, bzählbr unendliche, überbzählbr unendliche, disjunkte Mengen) () A = {x R x 2 + 4 = 0} =. Aber: Die Mengen und B = {0} sind wohl zu unterscheiden. (2) N 0 = {0,, 2, 3,...} ist bzählbr unendlich. (3) I = [0, ] ist überbzählbr unendlich. (4) A = {, 2, 3} und B = {4, 5, 6} sind disjunkt. Zur Vernschulichung von Mengen und der zwischen Mengen bestehenden Beziehungen verwendet mn oft Punktmengen in der Ebene, die durch geschlossene Kurven begrenzt werden (Venn Digrmme). 5
.2.2 Reltionen (Beziehungen) zwischen Mengen Mn erhält Aussgen über die Vergleichbrkeit von Mengen. Definition.4 (Mengeninklusion, Mengengleichheit, Unvergleichbrkeit). Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, genu dnn, wenn jedes Element von A uch Element von B ist. Bezeichnung: A B oder B A. A B (x A = x B) für lle x A. 2. A heißt echte Teilmenge von B, gdw A B A B, d.h. - A ist Teilmenge von B und - B enthält mindestens ein Element, ds nicht in A enthlten ist. Bezeichnung: A B Flls A B ist, so sgt mn uch: () A ist echt enthlten in B, bzw. (2) B ist echte Obermenge von A. 3. Zwei Mengen A und B heißen gleich gdw sie dieselben Elemente besitzen. Bezeichnung: A = B A = B (A B B A) 4. Zwei Mengen A und B heißen unvergleichbr, wenn es sowohl Elemente von A gibt, die nicht in B liegen, ls uch Elemente von B, die nicht in A enthlten sind. Es gilt lso keine der Reltionen A B, A = B oder B A, sondern A B und B A. Beispiel.5 (Mengeninklusion, Mengengleichheit, Unvergleichbrkeit) () A: Menge ller Qudrte in der Ebene, B: Menge ller Rechtecke in der Ebene. Dnn ist A B. (2) A: Menge ller Qudrte in der Ebene, B: Menge ller Rechtecke in der Ebene, deren Digonlen sich unter einem rechten Winkel schneiden. Dnn ist A = B. (3) A = {, 2, 4} B = {, 2, 3, 5, 8, 2} Es gilt: A B und B A. Die Mengeninklusion knn mn im Sinne der Aussgenlogik ls Impliktion der Aussgen x A und x B uffssen. Anloges gilt für die Mengengleichheit und Äquivlenz. 6
.2.3 Opertionen (Verknüpfungen) von Mengen Durch Verknüpfungen wird eine neue Menge gebildet. Definition.5 (Komplementärmenge, Vereinigung, Durchschnitt, Differenzmenge). Komplementärmenge (Komplement) von B bezüglich einer Obermenge Ω, die die Grundgesmtheit ller betrchteten Elemente drstellt (Ω heißt uch Universlmenge), heißt die Menge ller Elemente von Ω, die nicht zu B gehören (Anlogon zur Negtion). Bezeichnung: B := {x x Ω x B} 2. Vereinigung der Mengen A und B heißt die Menge der Elemente, die zu A oder zu B (die zu mindestens einer der beiden Mengen) gehören (Anlogon zur Alterntive). Bezeichnung: A B := {x x A x B} 3. Durchschnitt der Mengen A und B heißt die Menge der Elemente, die zu A und zu B (die sowohl zu A ls uch zu B) gehören (Anlogon zur Konjunktion). Bezeichnung: A B := {x x A x B} 4. Differenzmenge der Mengen A und B heißt die Menge ller Elemente, die zu A, ber nicht zu B gehören (Komplement von B bez. A, flls B A). Bezeichnung: A\B := {x x A x B} Beispiel.6 (Komplementärmenge, Vereinigung, Durchschnitt, Differenzmenge) () Ω = {x 3 x 8} A = {x 3 x } B = {x 3 x 2}. Es ist A B Ω und A = {x < x 8} B A. B = {x 2 < x 8} und somit (2) A = {, 2, 3} B = {3, 2,, 0} A B = {0,, 2, 3} A B = {, 2, 3} (3) A = {, 2, 3} B = {3, 4, 5} A\B = {, 2}.2.4 Eigenschften von Mengenreltionen und Mengenopertionen Theorem.2 Es gelten folgende Behuptungen:. A = A A A 2. (A = B B = C) = (A = C) (A B B C) = (A C) 7
3. (A = B) = (B = A) Aber: Wenn A B, dnn gilt i. Allg. nicht B A. 4. A A 5. (A B) (B A) 6. A = A A 7. Ω = = Ω 8. A B = B A A B = B A 9. A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C 0. A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C). A = A A = A Ω = Ω A Ω = A A A = A A A = A 2. A (A B) = A A (A B) = A 3. A A = Ω A A = 4. A B = A B A B = A B 5. A\A = \A = A\ = A 6. (A B)\C = (A\C) (B\C) (A B)\C = (A\C) (B\C) Beweis für die erste der Formeln 4.:. Methode: Anlogon zur Whrheitswertetbelle x A x B x A x B x A B x A B x A B W W F F W F F W F F W W F F F W W F W F F F F W W F W W 2. Methode: Anlogon zur Methode der äquivlenten Umformungen x A B x A B x A x B x A x B x A B. 8
.3 Zhlbereiche.3. Aufbu der Zhlbereiche und Drstellung komplexer Zhlen Wir betrchten Zhlenmengen, in welchen zwei Opertionen, die Addition und die Multipliktion, eingeführt sind, und untersuchen Gleichungen uf ihre Lösbrkeit.. Menge der ntürlichen Zhlen N 0 = {0,, 2, 3,...} bzw. N = {, 2, 3,...}. Es gilt:, b N = + b N und b N. Die Gleichung x + 7 = 3 ist in N nicht lösbr. 2. Menge der gnzen Zhlen Z = {..., 3, 2, } N 0. Es gilt:, b Z = + b Z, b Z und b Z. Die Gleichung 3x = 7 ist in Z nicht lösbr. { } 3. Menge der rtionlen Zhlen Q = Z, b Z\{0}, ggt(, b) =. Jede b rtionle Zhl lässt sich ls endlicher oder unendlicher periodischer Dezimlbruch drstellen. Es gilt:, b Q = + b Q, b Q, b Q und Q (b 0). b Die Gleichung x 2 = 2 ist in Q nicht lösbr. 4. Menge der reellen Zhlen (Menge ller Dezimlbrüche) R = Q R irr, wobei R irr die Menge ller irrtionlen Zhlen (ller nichtperiodischen unendlichen Dezimlbrüche) bezeichnet. Z.B. sind 2, 3, π irrtionle Zhlen. Es gilt:, b R = + b R, b R, b R und b R (b 0). (Absoluter) Betrg einer reellen Zhl heißt der Abstnd des diese Zhl drstellenden Punktes uf der Zhlengerden vom Nullpunkt, d.h., flls > 0 = 0, flls = 0, flls < 0. In R sind zwei verschiedene Zhlen stets vergleichbr, d.h, es gilt, b R b = ( < b) ( > b), b < b = b, b > b = b. Die Gleichung x 2 + = 0 ist in R nicht lösbr. Für die betrchteten Zhlenmengen gilt: N N 0 Z Q R. Die Zhlengerde ist durch Zhlen us R lückenlos usgefüllt, d.h., flls es eine Zhl gibt, die die Gleichung x 2 + = 0 erfüllt, so knn diese Zhl nicht uf der Zhlengerden liegen. Wir führen eine neue Zhlenmenge ein, deren Elemente geordete Pre reeller Zhlen sind, nämlich die 9
5. Menge der komplexen Zhlen C = {z z = (, b), b R}. Die Elemente der Menge C stellen Punkte in der Gußschen Zhlenebene dr. Ein Koordintensystem in der Gußschen Zhlenebene ist durch eine reelle und eine imginäre Achse gegeben.. z = (, b) Zwei wichtige Teilmengen sind ) C r = {z z = (, 0) R} C - die Menge ller Punkte uf der reellen Achse, b) C i = {z z = (0, b) b R} C - die Menge ller Punkte uf der imginären Achse. Wir betrchten zwei komplexe Zhlen z i = ( i, b i ) (i =, 2) und und führen den Begriff der Gleichheit sowie die Opertionen Addition und Multipliktion ein: Gleichheit: z = z 2 = 2 b = b 2, Addition: z = z + z 2 = ( + 2, b + b 2 ) z, z 2 C, Multipliktion: z = z z 2 = ( 2 b b 2, b 2 + 2 b ) z, z 2 C. Speziell gilt für Elemente der Menge C r : (, 0) = ( 2, 0) = 2, (, 0) + ( 2, 0) = ( + 2, 0), (, 0) ( 2, 0) = ( 2, 0), d.h. Gleichheit und die Opertionen Addition und Multipliktion entsprechen der Gleichheit und den Opertionen Addition und Multipliktion in R. Deshlb knn mn (, 0) = und C r = R setzen. Die Zhl (, 0) = nennt mn reelle Einheit, während die Zhl (0, ) =: i imginäre Einheit heißt. Es gilt nun i i = (0, ) (0, ) = (, 0) =, b i = (b, 0) (0, ) = (0, b), d.h., es gilt (0, b) = b i (ds geordnete Pr (0, b) ist gleich dem Produkt der reellen Zhl b mit der imginären Einheit i). Die Menge C i besteht lso us llen rein imginären Zhlen. 0
Es ist lso = (, 0) eine Drstellung einer reellen Zhl ls geordnetes Pr und b i = (0, b) eine Drstellung einer rein imginären Zhl ls geordnetes Pr. Somit erhält mn us der Drstellung einer komplexen Zhl ls geordnetes Pr die krtesische oder lgebrische Drstellung einer komplexen Zhl: z = (, b) = (, 0) + (0, b) = + b i = + i b. Dbei heißt der Relteil und b Imginärteil von z. Bezeichnungen: = Re z b = Im z. (Absoluter) Betrg z einer komplexen Zhl z heißt der Abstnd des diese Zhl drstellenden Punktes in der Gußschen Zhlenebene vom Koordintenursprung, d.h. z = 2 + b 2 =: r. Für b = 0 erhält mn r =, den Betrg einer reellen Zhl. Bezeichnet mn den Winkel, den die Strecke Oz mit der positiven Richtung der reellen Achse einschließt, mit ϕ = rg z, so gilt = r cos ϕ, b = r sin ϕ, r = 2 + b 2, tn ϕ = b, flls 0, ϕ = π 2, flls = 0 und b > 0, ϕ = 3π 2, flls = 0 und b < 0. Für 0 und b 0 ist durch die Vorzeichen dieser reellen Zhlen eindeutig festgelegt, in welchem Qudrnten z liegt. Mn nennt (r, ϕ) uch die Polrkoordinten eines Punktes z in der Ebene. Folglich erhält mn us der lgebrischen Drstellung einer komplexen Zhl mit 0 oder b 0 die trigonometrische Drstellung einer komplexen Zhl: z = + i b = r(cos ϕ + i sin ϕ). Für = b = 0, d.h. z = (0, 0) ist r = 0 und rg z unbestimmt. Die Zhl z = (0, 0) ist die einzige komplexe Zhl mit unbestimmtem Argument. Für z (0, 0) besitzt rg z unendlich viele Werte. Der Wert von rg z, für den 0 rg z < 2π gilt, heißt Huptwert von rg z. Alle übrigen Werte gehen us dem Huptwert durch Addition von 2kπ k Z hervor. Mit Hilfe der Eulerschen Formeln e ±iϕ = cos ϕ±i sin ϕ erhält mn us der trigonometrischen Drstellung einer komplexen Zhl z (0, 0) die Exponentildrstellung einer komplexen Zhl: z = r(cos ϕ + i sin ϕ) = r exp(iϕ) = r e iϕ. Wir unterscheiden lso vier Drstellungsformen komplexer Zhlen: () z = (, b) die Drstellung ls geordnetes Pr reeller Zhlen und b,
(2) z = + b i = + i b die lgebrische Drstellung, (3) z = r(cos ϕ + i sin ϕ) die trigonometrische Drstellung für z (0, 0), (4) z = r exp(iϕ) = r e iϕ die Exponentildrstellung für z (0, 0). Beispiel.7 Für die komplexe Zhl z = (, 3) erhält mn in der lgebrischen Form z = + i 3 Re z =, Im z = 3, ( in der trigonometrischen Form z = 2 cos π 3 + i sin π ) r = 2, ϕ = π 3 3, ( in der Exponentilform z = 2 exp i π ) = 2 e i π 3. 3 Spezielle komplexe Zhlen: Sei z = + i b. Dnn heißt. z = i b konjugiert komplexe Zhl von z, 2. z = i b entgegengesetzte Zhl von z, 3. z = z = + i b entgegengesetzte zur konjugiert komplexen oder konjugiert komplexe zur entgegengesetzten Zhl von z. + i b = z.. z = + i b i b = z.. z = i b Im Unterschied zu R sind in C zwei verschiedene komplexe Zhlen nicht vergleichbr. Ein Vergleich zweier komplexer Zhlen ist nur über die Beträge möglich..3.2 Rechenopertionen in C Zur bequemen Ausführung von Rechenopertionen der. bis 3. Stufe wurden die Drstellungsmöglichkeiten (2) bis (4) eingeführt.. Rechenopertionen der. Stufe Addition und Subtrktion (Ausführung zweckmäßig in lgebrischer Drstellung (2)) Zwei komplexe Zhlen werden ddiert (subtrhiert), indem mn die Relteile und die Imginärteile jeweils für sich ddiert (subtrhiert): z ± z 2 = ( + i b ) ± ( 2 + i b 2 ) = ( ± 2 ) + i (b ± b 2 ). 2
2. Rechenopertionen der 2. Stufe Multipliktion (Ausführung in den Drstellungen (2) bis (4) möglich) (2) Zwei komplexe Zhlen in lgebrischer Drstellung werden multipliziert, indem mn die Fktoren gliedweise usmultipliziert: z z 2 = ( + i b ) ( 2 + i b 2 ) = ( 2 b b 2 ) + i ( b 2 + 2 b ). (3) Zwei komplexe Zhlen in trigonometrischer Drstellung werden multipliziert, indem mn die Beträge multipliziert und die Argumente ddiert: z z 2 = r (cos ϕ + i sin ϕ ) r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) r r 2 (cos(ϕ + ϕ 2 ) + i sin(ϕ + ϕ 2 )). (4) Zwei komplexe Zhlen in Exponentildrstellung werden multipliziert, indem mn die Beträge multipliziert und die Argumente ddiert: z z 2 = r exp(i ϕ ) r 2 exp(i ϕ 2 ) = r r 2 exp(i (ϕ + ϕ 2 )) = r r 2 e i (ϕ +ϕ 2 ). Division (Ausführung in den Drstellungen (2) bis (4) möglich) (2) Zwei komplexe Zhlen in lgebrischer Drstellung werden dividiert, indem mn den Quotienten mit der zum Divisor konjugiert komplexen Zhl erweitert (Reellmchen des Nenners) und die erhltenen Fktoren im Zähler usmultipliziert: z = + i b = ( + i b )( 2 i b 2 ) z 2 2 + i b 2 ( 2 + i b 2 )( 2 i b 2 ) = 2 + b b 2 2 2 + b 2 2 + i 2b b 2. 2 2 + b 2 2 (3) Zwei komplexe Zhlen in trigonometrischer Drstellung werden dividiert, indem mn die Beträge dividiert und die Argumente subtrhiert: z = r (cos ϕ + i sin ϕ ) z 2 r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) = r (cos ϕ + i sin ϕ )(cos ϕ 2 i sin ϕ 2 ) r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 )(cos ϕ 2 i sin ϕ 2 ) = r ( cos ϕ cos ϕ 2 + sin ϕ sin ϕ 2 r 2 cos 2 ϕ 2 + sin 2 + i sin ϕ ) cos ϕ 2 cos ϕ sin ϕ 2 ϕ 2 cos 2 ϕ 2 + sin 2 ϕ 2 = r r 2 (cos(ϕ ϕ 2 ) + i sin(ϕ ϕ 2 )). (4) Zwei komplexe Zhlen in Exponentildrstellung werden dividiert, indem mn die Beträge dividiert und die Argumente subtrhiert: z z 2 = r exp(i ϕ ) r 2 exp(i ϕ 2 ) = r r 2 exp(i (ϕ ϕ 2 )) = r r 2 e i(ϕ ϕ 2 ). ( Beispiel.8 z = + i b z 2 = i lso ist r 2 = und ϕ 2 = π ) ( ( 2 z z 2 = z i = b + i = r ( sin ϕ + i cos ϕ ) = r exp i ϕ + π )) 2 z = z ( ( = b i = r (sin ϕ i cos ϕ ) = r exp i ϕ π )) z 2 i 2 3
3. Rechenopertionen der 3. Stufe Potenzieren (Ausführung in den Drstellungen (2) bis (4) möglich) Sei n N. Wir definieren z 0 :=, z n := z n z. (2) z n = ( + i b) n - Ds Binom ist uszumultiplizieren. (2) z n = (r(cos ϕ + i sin ϕ)) n = r n (cos(nϕ) + i sin(nϕ)) - Formel von Moivre (4) z n = r n exp(i n ϕ). Rdizieren ( i. Allg. nur in Drstellung (3) und (4) möglich) In R gilt: Für jedes β 0 und jede ntürliche Zhl n 2 existiert genu eine reelle Zhl α 0, so dss α n = β gilt. In C gilt: Für jedes z (0, 0) und jede ntürliche Zhl n 2 existieren stets n verschiedene komplexe Zhlen w 0, w,..., w n, so dss w n k = z für k = 0,,..., n gilt. Berechnungsformeln für die n komplexen Wurzeln: ( ( ) ( )) (3) w k = n z = n ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ r cos + i sin n n ( ( )) (4) w k = n z = n ϕ + 2kπ) r exp i n Der Wert für k = 0 heißt Huptwert von n z, flls 0 ϕ < 2π gilt. Logrithmieren (in Drstellung (4) möglich) k = 0,,..., n, k = 0,,..., n. (4) ln z = ln(r exp(i (ϕ + 2kπ))) = ln re i(ϕ+2kπ) = ln r + i (ϕ + 2kπ) k Z. Der Logrithmus einer komplexen Zhl besitzt unendlich viele Werte. Der Wert für k = 0 heißt Huptwert von ln z, flls 0 ϕ < 2π gilt. Beispiel.9 (Rechenopertionen der 3. Stufe) () Die binomische Gleichung w n = besitzt die Wurzeln w k = n ( ) ( ) 2kπ 2kπ = cos + i sin n n (2) Die Gleichung w n = besitzt die Wurzeln w k = n ( ) ( ) π + 2kπ π + 2kπ = cos + i sin n n k = 0,,..., n. k = 0,,..., n. (3) ln( ) = ln + i (π + 2kπ) = i (π + 2kπ) Huptwert: i π (4) w 2 + = 0 besitzt die Lösungen w 0 = +i und w = i. (5) z 2 2z + 2 = 0 besitzt die Lösungen z 0 = + i und z = i. (6) Stellen Sie z = (3 + i 4) (+i) in trigonometrischer und lgebrischer Form dr. (z =.98 (cos 2.54 + i sin 2.54), z =.63 + i.3). 4
2 Folgen und Reihen 2. Zhlenfolgen (ZF) Definition 2. Für l N 0 setzen wir N l = {n N n l}. Eine Vorschrift f, die jedem n N l in eindeutiger Weise eine reelle Zhl zuordnet, heißt reelle ZF. Die Zhl n := f(n) heißt dbei n-tes Glied der ZF. Bezeichnungen: ( n ) n Nl ( n ) l l, l+,..., n,... Die einzelnen Glieder einer ZF lssen sich lso durchnummerieren. Die Zhl n stellt den Zählindex dr, d.h., sie gibt n, um ds wievielte Glied der ZF es sich hndelt. Von besonderem Interesse sind ZF, die in ihrem Aufbu eine Gesetzmäßigkeit ufweisen. Wichtige Vorschriften zur Vorgbe einer ZF Vorschrift in Form eines nlytischen Ausdrucks: ( n ) n N0 = ( n ) 0 = (( ) n ) 0 lternierende Folge 2 Vorschrift in Form einer Rekursionsformel: Seien 0, d R gegeben. Dnn heißt k+ = k + d eine rithmetische Folge, d.h., die Differenz zweier ufeinnderfolgender Glieder ist konstnt. Seien 0, q R (q 0) gegeben. Dnn heißt k+ = k q eine geometrische Folge, d.h., der Quotient zweier ufeinnderfolgender Glieder ist konstnt. Beispiel 2. Ein Strtkpitl K 0 wird bei einem jährlichen Zinsstz von p%, d.h. einem Aufzinsungsfktor ( + p ) ngelegt. Die nfllenden Zinsen werden in den folgenden 00 Jhren mitverzinst. Für ds Gesmtkpitl K n nch n Jhren ergibt sich die Folge: K 0 Strtkpitl ( K = K 0 + p ) 00 ( K 2 = K + p ) 00. ( K n = K n + p ) 00 ( = K 0 + p ) 2 00 ( =... = K 0 + p ) n. 00 Die letzte Zeile liefert die Leibnizsche Zinseszinsformel. Mn erhält offensichtlich eine geometrische Folge mit q = K n+ = + p K n 00. Eine reelle ZF lässt sich in einer Koordintenebene mit den Achsen n und n durch die Punktmenge {(n, n ) n N l }, den Grphen der ZF ( n ), vernschulichen. Definition 2.2 Wir schreiben nstelle von n N l kurz n. 5
. Eine ZF ( n ) heißt konstnt oder sttionär, gdw ein R existiert, so dss n = n. 2. Eine ZF ( n ) heißt beschränkt, gdw ein c > 0 existiert, so dss n c n. Geometrische Vernschulichung der Beschränktheit: Alle Punkte (n, n ) liegen innerhlb oder uf dem Rnd eines Streifens der Breite 2c, prllel zur n-achse, denn es gilt: n c n c n c n n [ c, c]. Definition 2.3 Eine ZF ( n ) heißt Nullfolge, gdw zu jedem (noch so kleinem) ε > 0 ein n 0 (ε) N existiert, so dss für lle n n 0 (ε) die Ungleichung n < ε gilt. Bezeichnung: lim n n = 0 Für jedes ε > 0 liegen lso stets unendlich viele ufeinnderfolgende Glieder dieser ZF innerhlb eines Streifen der Breite 2ε prllel zur n-achse. Beispiel 2.2 Die ZF ( n ) = Eigenschften von NF ( ) n ist eine NF. ( n ) NF = ( n ) beschränkt. 2 (( n ) NF (b n ) beschränkt) = ( n b n ) NF. 3 ((b n ) NF n b n n) = ( n ) NF. 4 (( n ) NF (b n ) NF) = ( n ± b n ) NF ( n b n ) NF. 5 Der Quotient ( ) zweier NF ist i. Allg. keine NF. Z.B. ist der Quotient der NF ( ) ( ) n ( n ) = und (b n ) = eine konstnte Folge mit =, denn = n n b n (). Definition 2.4 Eine ZF ( n ) heißt konvergent mit dem eigentlichen (endlichen) Grenzwert (GW) gdw ( n ) eine NF ist. Beispiel 2.3 Die ZF ( n ) = Bezeichnung: lim n n = ( + ) n Eigenschften konvergenter ZF ist eine konvergente ZF mit dem GW. ( lim n n = lim n n = b) = = b. Der GW einer ZF ist eindeutig bestimmt. 6
2 ( n ) konvergent = ( n ) beschränkt. 3 (( n ) (b n ) konvergent, d.h. lim n = lim b n = b) = ( n ± b n ) ( n b n ) n n konvergent und es gilt lim [ n±b n ] = lim n ± lim b n = ±b sowie lim [ n n n n n b n ] = lim n n lim b n = b. n 4 (( n ) (b n ) konvergent (b n ) keine NF) = [ n lim n b n ] = lim n n lim n b n ( n b n = b. ) konvergent und es gilt 5 ( lim n = lim b n = b m N : n b n n m) = b. ( bedeutet es n n existiert ein) 6 ( lim n n = lim n b n = m N : n c n b n n m) = lim n c n =. Definition 2.5 (Divergente ZF). Jede ZF ( n ), die nicht konvergent ist, heißt divergent. 2. Die ZF ( n ) heißt bestimmt divergent mit dem uneigentlichen (unendlichen) Grenzwert (GW) + ( ) gdw zu jedem (noch so großem) ω > 0 ein n 0 (ω) N existiert, so dss für lle n n 0 (ω) die Ungleichung n > ω ( n < ω) gilt. Bezeichnung: lim n n = + ( lim n n = ) 3. Die ZF heißt unbestimmt divergent gdw ( n ) divergent und nicht bestimmt divergent ist, d.h. die ZF besitzt keinen GW. Beispiel 2.4 (Divergente ZF) () Die ZF ( n ) = (n) 0 ist nicht beschränkt. Sie ist bestimmt divergent mit dem uneigentlichen GW +, d.h. es gilt lim n n = +. (2) Die ZF ( n ) = (( ) n ) 0 ist unbestimmt divergent. Unter der Vorussetzung, dss lle benötigten GW ls eigentliche GW existieren, knn die Berechnung von GW mit Hilfe der Eigenschften 3 und 4 für konvergente ZF uf bereits beknnte GW zurückgeführt werden. Beispiel 2.5 (Grenzwertberechnung) () lim n 2n 3n + 2 = 2 3 7
(2) ( n ) = (b n ) = (( ) n ) 0 Beide GW lim n und lim b n existieren nicht, ber lim [ n b n ] =. Folglich ist n n n (3) lim n ( n 2 + n + b n) = 2 lim [ n b n ] lim n lim b n. n n n 2.2 Reihen mit konstnten Gliedern Definition 2.6 (Reihe, Konvergenz, Divergenz). Sei ( k ) k=l, l N 0, k R eine ZF. Der durch Summtion der Glieder der ZF forml gebildete Ausdruck l + l+ + l+2 +... = heißt (unendliche) Reihe, k heißen die Glieder der Reihe. Die Summe der ersten n + Glieder der Reihe k=l k l+n l + l+ +... + l+n = k := s n (n fest) heißt n-te Prtilsumme der Reihe. 2. Eine Reihe heißt konvergent, wenn die Folge (s n ) n=l ihrer Prtilsummen konvergiert. Dnn heißt der GW s = lim s n = lim k Summe der l+n Reihe. 3. Existiert uch der GW lim konvergent. n k=l k=l n k=l n k, so heißt die unendliche Reihe k bsolut k=l ihrer Prtilsummen (be- 4. Eine Reihe heißt divergent, wenn die Folge (s n ) n=l stimmt) oder (unbestimmt) divergiert. Bei einer konvergenten Reihe mit der Summe s schreibt mn k = s nstelle von lim s n = s. n Beispiel 2.6 Wir betrchten die geometrische Reihe mit dem Anfngsglied 0 = + q + q 2 + q 3 +... = q k (q R). Ist q, so gilt folgende Formel für die n-te Prtilsumme dieser Reihe: n s n = q k = + q + q 2 +... + q n = qn+ q. k=0 k=0 k=l 8
Für die Folge der Prtilsummen gilt: konvergent für q <, ( lim s n = n q = s), bestimmt divergent für q >, ( lim s n = + ), n (s n ) ist unbestimmt divergent für q <, ( lim s n existiert nicht), n bestimmt divergent für q =, ( lim s n = n + = + ), n unbestimmt divergent für q =, ( lim s n existiert nicht). n Konvergenzuntersuchungen von Reihen lssen sich lso uf Konvergenzuntersuchungen von ZF zurückführen. Ds Auffinden von Formeln für die n-ten Prtilsummen ist ber oft nicht möglich. Deshlb sind Konvergenzkriterien erforderlich. Notwendiges Konvergenzkriterium: k=l k konvergent = lim k k = 0. Dies ist gleichbedeutend mit der Aussge lim k 0 = k ist nicht konvergent, lso divergent. k Beispiel 2.7 Die Reihe k= k=l denn lim k = lim ( k k + ) k = e 0. k ( + ) k ist divergent, k Ds Kriterium ist nur notwendig, ber nicht hinreichend. Beispiel 2.8 Die Reihe k= ist divergent, obwohl lim k = 0, k k denn s n = + 2 +... + n > n n = n, lso lim n s n = +. Hinreichende Konvergenzkriterien:. Quotientenkriterium (QK) in GW-Form: Es existiere lim k Ist lim k+ k k <, so konvergiert die Reihe k bsolut. k=l Ist lim k+ k k >, so divergiert die Reihe k. k=l Ist lim k+ k k =, so liefert ds QK keine Aussge. k+ k. 9
2. Wurzelkriterium (WK) in GW-Form: Es existiere lim k k k. Ist lim k k <, so konvergiert die Reihe k bsolut. k k=l Ist lim k k >, so divergiert die Reihe k. k k=l Ist lim k k k =, so liefert ds WK keine Aussge. Für Reihen mit sämtlich positiven Gliedern entfllen die Beträge und ds Wort bsolut bei der Konvergenz. Vergleich zwischen dem QK und dem WK: Wenn lim k+ k k k existiert, dnn existiert uch lim k und es gilt lim k+ k k k = k k, d.h. wenn ds QK eine Aussge über ds Verhlten der Reihe liefert, so lim k erhält mn die gleiche Aussge uch mit dem WK. Die Umkehrung gilt nicht. Ds WK ist stärker ls ds QK. Beispiel 2.9 (QK, WK) () Die Reihe ( ) k= k k! k k denn lim k+ k k = lim (2) Die Reihe k= k konvergiert nch dem QK bsolut, k k (k + ) k = e. ( ) k 2k + konvergiert nch dem WK, 3k denn lim k k k = lim k 2k + 3k = 2 3. 2.3 Anwendungen us der Finnzmthemtik 2.3. Zins- und Zinseszinsrechnung Unter dem Begriff Zinsen versteht mn die Vergütung für die Überlssung eines Geldbetrges in einer bestimmten Zeit (Zinsperiode). Die Höhe der Zinsen hängt von den folgenden drei Einflussgrößen b: vom Strtkpitl (Geldbetrg), von der Lufzeit (Duer der Überlssung) und vom Zinsstz oder Zinsfuß (Betrg n Zinsen in e, der für einen Geldbetrg von 00 e in einer Zinsperiode zu zhlen) ist.. Einfche Verzinsung: Am Ende der Zinsperiode werden die Zinsen usgezhlt bzw. einem nderen Konto gutgeschrieben. Mit den Bezeichnungen: K 0 Strtkpitl, t Teil der Zinsperiode und p Zinsstz (in %) 20
erhält mn die Formeln p Z t = K 0 t - Zinsen für die Zeit t, (2.) 00 ( K t = K 0 + Z t = K 0 + p ) 00 t - Zeitwert zum Zeitpunkt t, (2.2) K t K 0 = + p 00 t - Zeitwert für t = 0 (Brwert). (2.3) Der Zeitwert zum Zeitpunkt t ist gleichzeitig ds Endkpitl nch der Zeit t. Die Größe t bezeichnet lso zum einen den Zeitpunkt, zum nderen den Zeitrum. D (in Deutschlnd) ein Jhr zu 360 und jeder Mont zu 30 Zinstgen ngenommen wird, knn mn uch t = T setzen, wobei T die Anzhl der Zinstge ist. 360 Beispiel 2.0 Ein m.03. eines Jhres eingezhlter Betrg von 3 000 e wird m 6.08. desselben Jhres wieder bgehoben. Wieviel Zinsen erbringt er bei einer jährlichen Verzinsung von 5 %? (Z t = 64.58 e) 2. Zinseszinsrechnung: Am Ende einer Zinsperiode werden die Zinsen dem Kpitl zugeschlgen und im Weiteren mit verzinst. Mit den Bezeichnungen: n Anzhl der Zinsperioden (Jhre), i Zinsrte, q Aufzinsungsfktor und K n Kpitl m Ende des n-ten Jhres (Endwert, Zeitwert nch n Jhren), wobei i = p und q = + i ist, erhält mn die Formeln 00 ( K n = K 0 + p ) n = K0 ( + i) n = K 0 q n - Zeitwert nch n Jhren,(2.4) 00 K 0 = K n q n - Brwert, (2.5) ( ) p = 00 n Kn K 0 - Zinsstz, (2.6) n = ln K n ln K 0 ln( + i) - Lufzeit. (2.7) Die Formel (2.4) ist die Leibnizsche Zinseszinsformel (vgl. Beispiel 2.). Der Aufzinsungsfktor q n für n Jhre gibt n, uf welchen Betrg ein Kpitl von e bei einem Zinsstz p und Wiedernlge nch n Jhren nwächst, während der Abzinsungsfktor q n für n Jhre ufzeigt, welchen Wert ein nch n Jhren erreichtes Endkpitl von e zum Zeitpunkt t = 0 besitzt. Die Berechnung des Brwertes nennt mn uch Abzinsen oder Diskontieren. Beispiel 2. (Zinseszinsrechnung) () Ein Bürger kuft Finnzierungsschätze des Bundes (Lufzeit 2 Jhre) im Nominlwert von 5 000 e und muss dfür 4 44.60 e bezhlen. Welcher Verzinsung pro Jhr entspricht dies? (6.0 %) 2
(2) Am 0.0.2002 verleiht A n B 0 000 e zu 0 % Zinsen/Jhr. Welchen Betrg muss B m Rückzhlungstermin, dem 3.2.2008, zurückzhlen bei ) einfcher Verzinsung, (7 000 e) b) Verzinsung mit Zinseszins? (9 487.7 e) 2.3.2 Rentenrechnung Eine in gleichen Zeitbständen erfolgende Zhlung in bestimmter Höhe nennt mn Rente. Diese Zhlungen können einem Guthben entnommen werden, so dss dieses nch einer endlichen Anzhl von Zhlungen erlöschen knn. Die Zhlungen können ber uch dzu dienen, ein Guthben nzusmmeln. Dbei bezeichnet r die Höhe der Rtenzhlung und n die Anzhl der Rtenzhlungen bzw. Perioden. Eine Rente heißt vorschüssig, wenn die Zhlungen zu Beginn jeder Periode erfolgen und nchschüssig, wenn die Zhlungen m Ende jeder Periode erfolgen. Zur Vereinfchung der Drlegungen vereinbren wir, dss die Rtenperiode gleich der Zinsperiode (gleich einem Jhr) ist. Ferner unterscheidet mn Zeitrenten (von begrenzter Duer) und ewige Renten (von unbegrenzter Duer). Diese können in Bezug uf ihre Rentenhöhe sowohl strr (gleichbleibende Rente) oder dynmisch (veränderliche, meist wchsende Rente) sein. Wir betrchten hier nur Renten konstnter Höhe. Uns interessiert der Brwert B und der Endwert E ller Rentenzhlungen.. Vorschüssige Zeitrenten Der Rentenendwert En V ist derjenige Betrg, der zum Zeitpunkt n ein Äquivlent für die n zu zhlenden Rten drstellt. Zur Berechnung von En V bestimmen wir die Endwerte der einzelnen Zhlungen gemäß (2.4) mit K 0 = r. Entsprechend den unterschiedlichen Zhlungszeitpunkten werden die Rten der Höhe r über eine unterschiedliche Anzhl von Perioden ufgezinst. Anschließend werden lle Endwerte ufsummiert: E V n = rq + rq 2 +... + rq n + rq n = rq( + q +... + q n ). Nch der Formel für die n-te Prtilsumme einer geometrischen Reihe (vgl. Beispiel 2.6) ergibt sich: En V = rq qn q. (2.8) Der Rentenbrwert Bn V ist derjenige Betrg, der zum Zeitpunkt 0 einmlig ngelegt werden müsste, um zum Zeitpunkt n den Rentenendwert En V zu erreichen. Mn erhält ihn durch Abzinsen von (2.8) über n Jhre (vgl. Formel (2.5)): B V n = q n E V n = r q q n q n q = r q n q n q. (2.9) 22
Vorschüssiger Rentenendwertfktor (Rentenbrwertfktor) heißt die Zhl REF V = q ( qn RBF V = ) q n. (2.0) q q n q 2. Nchschüssige Zeitrenten Der Rentenendwert En N wird wieder durch Addition der n einzelnen Zhlungen errechnet. D die Zhlungen hier m Ende der Periode erfolgen, erhält mn E N n = r + rq +... + rq n = r( + q +... + q n ) = r qn q. (2.) Der Rentenbrwert Bn N ergibt sich wieder durch Abzinsen des Ausdrucks (2.) über n Jhre Bn N = q n En N = r q n q n q. (2.2) Nchschüssiger Rentenendwertfktor (Rentenbrwertfktor) heißt die Zhl REF N = ( qn RBF N = ) q n. (2.3) q q n q Die nchstehende Tbelle zeigt die Zusmmenhänge zwischen Br- und Endwerten von vor- und nchschüssigen Renten. Vorschüssige Rente Nchschüssige Rente Rentenbrwert B V n = q n E V n = r RBF V B N n = q n E N n = r RBF N Rentenendwert E V n = q n B V n = r REF V E N n = q n B N n = r REF N Beispiel 2.2 Ein Großvter zhlt für seine Enkelin jeweils zu Jhresende 200 e bei einer Bnk ein. Auf welchen Betrg sind die Einzhlungen nch 5 Jhren bei 6.5 % jährlicher Verzinsung ngewchsen und welchem Brwert entspricht dieses Guthben? (E N n = 29 08.60 e, B N n = 283.20 e) 3. Ewige Renten Es sind unter der in der Finnzmthemtik stets erfüllten Vorussetzung q = +i > die GW der Ausdrücke (2.8),(2.9),(2.) und (2.2) für n zu berechnen: E V = lim En V n = + B V = lim Bn V n = r q q = r 00 + p p E N = lim En N n = + B N = lim Bn N n = r q = r 00 p. Somit ist die Frge nch einem Endwert der ewigen Rente nicht sinnvoll. Der Brwert ist llerdings von Interesse, z.b. bei Stiftungen, bei denen nur die Zinsen usgezhlt werden sollen und ds eigentliche Kpitl unngetstet bleiben soll. Beispiel 2.3 Ein Unternehmen stiftet einen Betrg, us dessen Zinserträgen jährlich (vorschüssig) ein Preis von 000 e verliehen werden soll. Wie hoch ist der Betrg bei einer Verzinsung von 7 %? (5 285.7 e) 23
3 Reelle Funktionen einer reellen Vriblen 3. Der Funktionsbegriff Definition 3. (Funktion, Definitionsbereich, Wertebereich). Eine Vorschrift f, die jedem Element x einer Menge X in eindeutiger Weise ein Element y einer Menge Y zuordnet (d.h. jedem x X wird genu ein Element y Y zugeordnet), heißt Funktion. 2. Die Menge X heißt Definitionsbereich D(f) der Funktion f, während die Menge W (f) = {y Y x D(f) : y = f(x)} Y Wertebereich von f gennnt wird. 3. Gilt X R und Y R, so spricht mn von reellen Funktionen einer reellen Vriblen. Dbei heißt x unbhängige Vrible und y bhängige Vrible. Wegen der Eindeutigkeit der Zuordnung ist eine Funktion gegeben durch y = f(x) x D(f). Fehlt bei Vorgbe einer Funktion die Angbe über D(f), so verstehen wir unter D(f) die Menge ller x R, für die f sinnvoll ist (mximl möglicher Definitionsbereich). Der Definitionsbereich einer Funktion besteht häufig us llen zwischen zwei reellen Zhlen und b liegenden Zhlen. Eine solche Zhlenmenge wird ls Intervll bezeichnet. Definition 3.2 Es gelte, b R mit < b. Dnn heißt [, b ] = {x x R x b} bgeschlossenes Intervll in R, ], b [ = {x x R < x < b} offenes Intervll in R, [, b [ = {x x R x < b} rechtsoffenes Intervll in R, ], b ] = {x x R < x b} linksoffenes Intervll in R. Die beiden letztgennnten Intervlle heißen uch hlboffene Intervlle in R. Die Punkte, b heißen Rndpunkte dieser Intervlle. Die Fälle = oder b = + sind zulässig. Mn spricht dnn von unbeschränkten Intervllen. Gilt = und b = +, so ist ], + [= R. Die Punktmenge U ε () =] ε, + ε [ heißt ε-umgebung des Punktes. Beispiel 3. Funktionen der Gestlt y = f(x) = + b e cx D(f) =], + [ (, b, c > 0) heißen logistische Funktionen. Sie beschreiben Wchstumsprozesse für einen Bestnd y bez. der Zeit x, z.b. Spreinlgen, Steuereinnhmen, die eine Sättigungsgrenze besitzen. Drstellungsmöglichkeiten reeller Funktionen: 24
Verble Drstellung Drstellung durch eine Tbelle von Messwerten (empirische Funktion) Grfische Drstellung: Die Menge {(x, f(x)) x D(f)} heißt Grph von f. Anlytische Drstellung: Explizite Drstellung: y = f(x) x D(f) 2 Implizite Drstellung: F (x, y) = 0. Definition 3.3 Erfüllt die Funktion y = f(x) x D(f) die Gleichung F (x, y) = 0, (3.) d.h. gilt F (x, f(x)) = 0 für lle x D(f), so heißt y = f(x) eine durch F (x, y) = 0 implizit definierte Funktion von x. Beispiel 3.2 (Implizit definierte Funktionen) () Durch (3.) können mehrere Funktionen implizit definiert sein, z.b. sind durch F (x, y) = x 2 + y 2 = 0, zwei Funktionen implizit erklärt: y = f (x) = + x 2 x D(f ) = [, +], y = f 2 (x) = x 2 x D(f 2 ) = [, +]. (2) Durch (3.) ist nicht notwendig eine Funktion implizit definiert, z.b. ist durch F (x, y) = x 2 + y 2 + = 0, keine Funktion implizit erklärt. (3) F (n, q) = 2 000 qn q 30 000 = 0 ist nicht explizit nch q uflösbr. 3.2 Eigenschften reeller Funktionen Definition 3.4 (Beschränktheit, Monotonie, Periodizität). f heißt uf D(f) beschränkt gdw c > 0 : f(x) c x D(f), 2. f heißt uf D(f) konstnt gdw > 0 : f(x) = x D(f), 3. f heißt uf D(f) monoton wchsend gdw f(x ) f(x 2 ) x, x 2 D(f) mit x < x 2, 4. f heißt uf D(f) monoton fllend gdw f(x ) f(x 2 ) x, x 2 D(f) mit x < x 2, 25
5. f heißt uf D(f) streng monoton wchsend gdw f(x ) < f(x 2 ) x, x 2 D(f) mit x < x 2, 6. f heißt uf D(f) streng monoton fllend gdw f(x ) > f(x 2 ) x, x 2 D(f) mit x < x 2, 7. f heißt uf D(f) periodisch mit der Periode p 0 gdw x D(f) = x + p D(f), 2 f(x + p) = f(x) x D(f), 8. f heißt uf D(f) gerde gdw x D(f) = x D(f), 2 f( x) = f(x) x D(f), 9. f heißt uf D(f) ungerde gdw x D(f) = x D(f), 2 f( x) = f(x) x D(f), 0. f = f 2 gdw D(f ) = D(f 2 ), 2 f (x) = f 2 (x) x D(f ). Beispiel 3.3 Sei f : f (x) = x D(f ) = [, ] f 2 : f 2 (x) = x D(f 2 ) = [ 0, 5 ]. Dnn ist f f 2. Definition 3.5 Sei y = f(x) x D(f) eine Funktion, d.h., sie ordnet jedem Element x D(f) = X genu ein Element y W (f) Y zu. Gilt uch die Umkehrung, d.h., gehört zu jedem Element y W (f) genu ein Element x X, so heißt die Funktion f : D(f) W (f) eineindeutig und die Funktion f besitzt eine Umkehrfunktion, die mit f bezeichnet wird. Berechnung der Umkehrfunktion Mn löst die vorgegebene Funktionsgleichung y = f(x) nch der unbhängigen Vriblen x uf (diese Auflösung muss eindeutig möglich sein). Die so erhltene Funktion x = f (y) ist die Umkehrfunktion von y = f(x). 2 Durch formles Vertuschen der beiden Vriblen in der Gleichung x = f (y) erhält mn y = f (x). 26
Z.B. gilt für eine streng monoton wchsende Funktion f mit D(f) = [, b] < b: nlyt. D. Definitionsbereich Wertebereich y = f(x) D(f) = {x R x b} W (f) = {y R f() y f(b)} x = f (y) D(f ) = W (f) W (f ) = D(f) y = f (x) D (f ) = {x R f() x f(b)} W (f ) = {y R y b} Die Funktionen y = f(x) und x = f (y) besitzen denselben Grphen. Der Grph von y = f (x) stellt eine Spiegelung des Grphen von x = f (y) n der Gerden y = x dr. Dbei geht D(f) = W (f ) in W (f ) und W (f) = D(f ) in D (f ) über. y = x Beispiel 3.4 (Existenz einer Umkehrfunktion) () y = f(x) = x 2 D(f) = R, W (f) = {y R 0 y < } = {y R y 0}, f ist nicht eineindeutig, es existiert keine Umkehrfunktion. (2) y = f (x) = x 2 D(f ) = {x R x 0}, W (f ) = {y R y 0}, f ist eineindeutig, es existiert eine Umkehrfunktion y = f (x) = + x D (f ) = {x R x 0}, W (f ) = {y R y 0}, (3) y = f 2 (x) = x 2 D(f 2 ) = {x R x 0}, W (f 2 ) = {y R y 0}, f 2 ist eineindeutig, es existiert eine Umkehrfunktion y = f 2 (x) = x D (f 2 ) = {x R x 0}, W (f 2 ) = {y R y 0}. (4) y = f(x) = x 3 D(f) = R, W (f) = R, f ist eineindeutig, es existiert eine Umkehrfunktion { y = f x (x) = /3 für x 0 ( x) /3 D (f ) = R, W (f ) = R. für x 0 In diesem Fll ist die Funktion f und uch ihre Umkehrfunktion f monoton wchsend. streng 27
Theorem 3. Jede streng monotone Funktion f einer reellen Vriblen besitzt eine Umkehrfunktion f, die ebenflls streng monoton ist. Ist f streng monoton wchsend (fllend), so ist uch f streng monoton wchsend (fllend). Definition 3.6 Es seien x = g(t) t D(g) und y = f(x) x D(f) Funktionen, die der Eigenschft W (g) D(f) genügen. Dnn heißt (f g)(t) = f(g(t)) t D(g) (f g wird gelesen f von g) mittelbre (verkettete) Funktion. Beispiel 3.5 (Mittelbre Funktionen) () x = g(t) = 3 + 2t D(g) = {t R t 3 }, W (g) = {x R x 0}, 2 y = f(x) = cos x D(f) = R x, W (f) = {y R y } Es gilt: W (g) D(f). Eine mittelbre Funktion f(g(t)) existiert und ht die Gestlt: y = cos( 3 + 2t) = f(g(t)) t D(g). (2) Die Bedingung W (g) D(f) ist wesentlich: x = g(t) = sin t D(g) = R t, W (g) = {x R x } y = f(x) = ln x D(f) = {x R x > 0}, W (f) = R y Es gilt: W (g) D(f). Eine mittelbre Funktion f(g(t)) ist nicht erklärt. Abhilfe: Bildung einer Erstzfunktion x = g (t) = sin t mit D(g ) = {t R 0 < t < π} D(g). Für den Wertebereich gilt nun W (g ) = {x R 0 < x } Somit ist wegen W (g ) D(f) eine mittelbre Funktion f(g (t)) korrekt erklärt. Sie ht die Gestlt: y = ln sin t = f(g (t)) t D(g ). 3.3 Rtionle Funktionen 3.3. Gnze rtionle Funktionen Definition 3.7 (Gnze rtionle Funktion, Nullstellen). Eine Funktion der Gestlt p n (x) = n x n + n x n +... + x + 0 D(p n ) = R. (3.2) heißt gnze rtionle Funktion oder Polynom. Die reellen Zhlen n ( 0), n,..., 0 heißen Koeffizienten, die Zhl n N 0 der Grd des Polynoms. 2. Gilt p n (x 0 ) = 0 für eine reelle oder komplexe Zhl x 0, so heißt x 0 Nullstelle (NS) oder Wurzel des Polynoms p n (x). Gilt x 0 R, so ist x 0 D(p n ). 28
Beispiel 3.6 (Gnze rtionle Funktionen) () n = 0, y = p 0 (x) = 0 konstnte Funktion (2) n =, y = p (x) = x + 0 linere Funktion (3) n = 2, y = p 2 (x) = 2 x 2 + x + 0 qudrtische Funktion (4) n = 3, y = p 3 (x) = 3 x 3 +... + 0 Polynom 3. Grdes (5) n = 4, y = p 4 (x) = 4 x 4 +... + 0 Polynom 4. Grdes Der Grph einer qudrtischen Funktion heißt Prbel. Für 2 > 0 ist diese nch oben geöffnet, für ( 2 < 0 nch unten. Der Scheitel der Prbel besitzt die Koordinten (x s, p 2 (x s )) = ), 0 2. 2 2 4 2 Beispiel 3.7 Die Preis-Abstzreltion eines Unternehmens sei f(x) = 2 x + 0. Dbei bezeichnet x den Preis und f den Abstz. Sein Erlös ist dnn gleich E(x) = x f(x) = 2 x2 + 0x = 2 (x 0)2 + 50. Der Scheitel dieser Prbel besitzt die Koordinten: (x s, E s ) = (0, 50), d.h. für x s = 0 nimmt der Erlös sein Mximum n. Theorem 3.2 (Fundmentlstz der Algebr) Jedes Polynom p n (x) (n N) mit komplexen Koeffizienten lässt sich ls Produkt von n Linerfktoren in der Form p n (x) = n (x x ) (x x 2 )... (x x n ) (3.3) drstellen, wobei die x i (i =,..., n) i. Allg. komplexe Zhlen sind, d.h. ein Polynom n-ten Grdes knn höchstens n verschiedene NS besitzen. Eigenschften von NS für Polynome mit reellen Koeffizienten Besitzt ein Polynom mit reellen Koeffizienten eine komplexe NS der Gestlt x = + i b, so ist uch x = i b NS dieses Polynoms. In der Drstellung (3.3) treten dnn (reelle) qudrtische Terme uf: (x x ) (x x ) = x 2 2x + ( 2 + b 2 ) = x 2 + px + q mit p = 2, q = 2 + b 2. 2 Jedes Polynom ungerden Grdes mit reellen Koeffizienten besitzt mindestens eine reelle NS. Definition 3.8 Ist ein Polynom vom Grde n in der Form p n (x) = (x x 0 ) k p n k (x) drstellbr, wobei p n k (x 0 ) 0 ist und p n k den Grd n k besitzt, so heißt x 0 k-fche NS (NS der Vielfchheit k) von p n (x). 29
Beispiel 3.8 (NS von Polynomen) () p 3 (x) = x 3 + x 2 x x 0 = ist einfche NS, x = ist zweifche NS, p 3 (x) = (x ) (x + ) 2 = (x ) (x + ) (x + ) = (x )(x + ) 2 (2) p 3 (x) = x 3 x 2 + x x 0 = ist einfche NS, p 3 (x) = (x ) (x 2 + ) = (x ) (x + i) (x i) = (x )(x 2 + ) Nullstellen von Polynomen höheren Grdes berechnet mn mit dem Tschenrechner. Interpoltion durch Polynome Bei Messungen erhält mn eine Funktion in Form einer Wertetbelle ls eine Anzhl von diskreten Messpunkten. Es ist jedoch beknnt, dss die Funktion uch zwischen diesen Punkten definiert ist. In einem solchen Fll knn mn die Punkte durch eine Kurve verbinden. Diesen Vorgng bezeichnet mn ls Interpoltion. (I) Linere Interpoltion Gegeben: (x, f(x )), (x 2, f(x 2 )). Gesucht: Näherung für f(c) für c ] x, x 2 [. Lösung: Bei linerer Interpoltion existiert stets eine eindeutige Lösung. - Aufstellen der Sekntengleichung durch die beiden gegebenen Punkte: y = f(x ) + f(x 2) f(x ) x 2 x (x x ). - Berechnung des Funktionswertes dieser Gerden im Punkt x = c: d = f(x ) + f(x 2) f(x ) x 2 x (c x ). - Setzen f(c) d, d.h. d wird ls Näherungswert für f(c) ngenommen. Der Fehler wird u. U. sehr groß. (II) Allgemeine Interpoltionsufgbe Gegeben: (x i, f(x i )) mit x i [, b] (i =,..., n), x i x j für i j. Dbei sind x i die Stützstellen, f(x i ) die Stützwerte und (x i, f(x i )) die Interpoltionsknoten für i =,..., n. Ds Intervll [, b] ist ds Interpoltionsintervll. Gesucht: f(x) für ein beliebiges x [, b]. Lösung: Die Existenz einer eindeutigen Lösung der llgemeinen Interpoltionsufgbe folgt us dem Stz: Theorem 3.3 Für n vorgegebene Interpoltionsknoten (x i, f(x i )) (i =,..., n) existiert genu ein Polynom p n (x) von höchstens (n )-tem Grde, für welches gilt: f(x i ) = p n (x i ) (i =,..., n). 30
Es gibt verschiedene Verfhren zur Ermittlung des Interpoltionspolynoms p n (x). Wir betrchten nur ds Interpoltionspolynom von Newton Wir definieren die ersten Steigungen durch [ x k x l ] = f(x k) f(x l ) x k x l, zweiten Steigungen durch [ x k x l x m ] = [ x kx l ] [ x l x m ] x k x m,... (n-)-ste Steigung durch [ x x 2... x n ] = [ x x 2... x n ] [ x 2... x n x n ] x x n und betrchten ds Steigungsschem x i f(x i ). Steigungen 2. Steigungen 3. Steigungen 4. Steigung x f(x ) [ x x 2 ] x 2 f(x 2 ) [ x 2 x 3 ] [ x x 2 x 3 ] [ x x 2 x 3 x 4 ] x 3 f(x 3 ) [ x 3 x 4 ] [ x 2 x 3 x 4 ] [ x 2 x 3 x 4 x 5 ] [ x x 2 x 3 x 4 x 5 ] x 4 f(x 4 ) [ x 4 x 5 ] [ x 3 x 4 x 5 ] x 5 f(x 5 ) Ds Polynom. p N n (x) = f(x ) + [ x x 2 ](x x ) + [ x x 2 x 3 ](x x ) (x x 2 ) +... + [ x x 2... x n ](x x ) (x x 2 )... (x x n ) heißt Newtonsches Interpoltionspolynom. Wir setzen f(x) p N n (x). Dnn gilt f(x i ) = p N n (x i ) (i =,..., n). Vorteil des Newtonschen Interpoltionspolynoms: Wird ein weiterer Interpoltionsknoten hinzugefügt, so erhöht sich der Rechenufwnd nur unwesentlich. Beispiel 3.9 Gegeben: (, ), (2, 2), (3, 3), (0, 3). Gesucht: p 3 (x). Konstruktion des Newtonschen Interpoltionspolynoms x i f(x i ). Steigungen 2. Steigungen 3. Steigung 2 2 0 /2 3 3 /2 2 0 3 p N 3 (x) = + (x ) + 2 (x ) (x 2) (x 3) = 2 x3 3x 2 + 3 2 x 3. 3