Strömung mit Ablösung Eine Grenzschicht, der ein positiver Druckgradient aufgeprägt ist, kann ablösen: z.b.: Strömung in einem Diffusor reibungsfreie Strömung: Grenzschicht A(x) u a ρu a x = p x A(x) x > ; u a x < Konti p x > x 1
Strömung mit Ablösung δ(x) u a (x 1 ) Stromlinie u a (x 2 ) u a (x 3 ) x 1 Ablösepunkt x 2 Rückströmgebiet x 3 2
Strömung mit Ablösung In der Regel: Rezirkulationsgebiet ist wesentlich dicker als die Grenzschicht Reibungskräfte sind nicht mehr auf einen dünnen Bereich beschränkt Grenzschichtapproximation ist nicht mehr gültig Der Ablösepunkt kann dennoch mit der Kàrmàn-Pohlhausen-Methode bestimmt werden. Randbedingungen für den Ablösepunkt 1. Haftbedingung (Stokes) für y δ = u = v = (u B = u w ) 2. Grenzschichtrand y δ = 1 u = U 3
Strömung mit Ablösung 3. Druckverteilung unbekannt Wandbindung nicht möglich aber die Ablösebedingung gilt u y = y= 4. y δ > 1 u y = kontinuierlicher Übergang von der Grenzschicht zur äußeren Strömung 5. y δ = 1 2 u y 2 = reibungsfreie Strömung 4
Folge der Ablösung Der Druck im Ablösegebiet erreicht nicht den Druck der reibungsfreien Strömung (siehe Kreiszylinder) Widerstandserhöhung (Druckwiderstand) Bei Tragflügelprofilen kann sich zusätzlich der Auftrieb stark verringern (Stall) http://www.ultraleichtflugschule.de/auftrieb.html 5
Vermeidung oder Verschiebung der Ablösung 1. Erzwingen des laminar-turbulenten Umschlags Stolperdraht Rauigkeitsveränderung der Oberfläche bei Flügeln: Vortex Generator turbulente Strömung: Durch Mischbewegung ist mehr Energie in Wandnähe turbulente Grenzschicht kann mehr Druckanstieg überwinden als die laminare Grenzschicht 6
Vermeidung oder Verschiebung der Ablösung 2. Mitbewegen der Wand Ausbildung der Grenzschicht wird vermieden keine Geschwindigkeitsdifferenz zwischen Wand (Haftbedingung) und Außenströmung für gekrümmte Körperformen schwer technisch zu verwirklichen Untersuchung an einem Tragflügel mit Endlosband auf der Profiloberseite: Anstellwinkel bis ca. α = 55 maximaler Auftriebsbeiwert: c a 3.5 7
Vermeidung oder Verschiebung der Ablösung 2. Mitbewegen der Wand Ablöseformen für u w u a ; u a (x) p x > Ablösekriterium u = ; u y = nicht an der Wand 8 u w
Eine Gitter von ebenen Platten wird längs mit der Geschwindigkeit angeströmt. Ein Teil der Grenzschicht wird an der Platte abgesaugt. Die Absauggeschwindigkeit v A wird so gewählt, dass die Außengeschwindigkeit am Grenzschichtrand gleich der Anströmgeschwindigkeit ist. Die Strömung ist laminar. Bestimmen Sie a) den Zusammenhang zwischen v A und δ 1 b) den Verlauf der Grenzschichtdicke δ(x) c) die Absauggeschwindigkeit v A (x) d) den Widerstandsbeiwert einer Platte u geg.: = y δ ; ; L; H; η; ρ 9
8u y η, ρ = konst x H δ (x) v a (x) L 1
a) Bilanz am differentiellen Element y δ (x) δ 1 (x) dx v= v = H/2 δ 1 1 1 11 11 11 11 111 111 111 111111 111111 1111 1111 111111 11111 1111 111 11 U δ 1 u v A Flaechen sind gleich Definition von δ 1 11
Q = H/2 udy = = H/2 H 2 u dy = H/2 H 2 u dy = H/2 H 2 1 u dy = = ( H 2 δ 1 ) 12
Volumenbilanz für das Element ( ) H 2 δ 1(x) + v A (x + dx 2 ) = Bemerkung: wegen v(x, H/2) = : kein Volumenstrom über die Symmetrieebene y = H/2 v A (x),δ 1 (x) mit Talorreihe entwickeln: v A (x + dx 2 ) = v A(x) + dv A dx dx 2 + δ 1 (x + dx) = δ 1 (x) + dδ 1 dx dx + ( ) H 2 δ 1(x + dx) 13
= einsetzen in Volumenbilanz δ 1 + v A dx + dv A dx O(dx 2 ) dx 2 dx = u dδ δ 1 u 1 dx dx dδ = v A = u 1 dx b) Verlauf der Grenzschichtdicke δ(x) von Kàrmàn-Pohlhausen für Grenzschicht mit Absaugen Integration von v u y von y = bis y = δ dδ 2 dx + 1 d dx (2δ τ(y = ) 2 + δ 1 ) = ρu 2 dδ 2 dx v A τ(y = ) = ρu 2 14 = dδ 2 dx + dδ 1 dx + v A(x) = τ(y = ) ρu 2
Bestimmung von δ 2 (δ) und δ 1 (δ) δ 2 = δ u ( 1 u ) dy Linearer Ansatz für das Geschwindigkeitsprofile u = y δ Transformation der unabhängigen Variable η = y δ dy dη = δ dy = δ dη δ 2 = 1 u ( 1 u ) δdη 15
= δ 2 δ = 1 η η 2 dη = 1 2 η 2 1 3 η 3 1 = 1 6 ebenso für δ 1 δ 1 δ = 1 δ 1 = 1 1 u dy 1 η dη = η 1 2 η 2 1 = 1 2 16
Berechnung von τ(y = ): allgemein τ(y = ) ρu 2 = η u y 1 ρu 2 = η (u/ ) ρu 2 (y/δ) δ aus Ansatz für Profil (u/ ) (y/δ) = 1 = τ(y = ) ρu 2 = η ρ δ Einsetzen in Kàrmàn-Pohlhausen dδ 2 dx = dδ 2 dδ dδ 1 dx = dδ 1 dδ dδ dx = 1 dδ 6dx dδ dx = 1 dδ 2dx 17
= 1 dδ 6dx + 1 dδ 2dx = η ρ δ 2 3 δ dδ = Anfangsbedingung für δ η ρ dx = 1 3 δ2 = x = δ(x) = = C = η ρ x + C = δ(x) = 3 ηx ρ = δ x = 3 1 Rex 18
c) Absauggeschwindigkeit v A aus b) δ 1 δ = 1 2 aus a) v A (x) = dδ 1 dx = 1 2 d dx ( 3 1 Rex ) = 1 2 3η ρ 1 2 x = 3 4 1 Rex 19
d) Definition von c w y c w = F w 1 2 ρu2 LB F p = n x p n da und n x = = F wp = Druckkräfte haben keinen Anteil am Widerstand. Widerstandskraft resultiert aus Reibungskräften auf der Plattenoberfläche. 2
F w = L (τ wo + τ wu ) B dx B: Breite der Platte Die Strömung ist symmetrisch zur Platte τ wo = τ wu = τ w c w = 4 L L τ w ρu 2 dx = 4 L L η ρ δ dx δ aus b) 4 η L ρ 3 L 1 dx = 4 η 2 x x L 3ρ L = 8 3 1 ReL 21