Auf der Spur von Fermats Grossem Satz Das Theorem von Sophie Germain. Maturitätsarbeit HS 2017/18 Valentin Nussli, 4f

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1 Auf der Spur von Fermats Grossem Satz Das Theorem von Sophie Germain Maturitätsarbeit HS 2017/18 Valentin Nussli, 4f Betreuung: Michael Anderegg Kantonsschule Im Lee Winterthur Winterthur, 8. Januar 2018

2 Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere. Pierre de Fermat [1, p. 86] Übersetzung in das Deutsche von Klaus Fritz: Es ist nicht möglich, einen Kubus in zwei Kuben, oder ein Biquadrat in zwei Biquadrate und allgemein eine Potenz, höher als die zweite, in zwei Potenzen mit demselben Ex- ponenten zu zerlegen. [1, p. 87] II

3 Inhaltsverzeichnis Begriffsverzeichnis... IV Symbolverzeichnis... IV 1. Einleitung Fermats Grosser Satz Zahlentheorie Primfaktorzerlegung Restklasse Modulo Unendlicher Abstieg Lemma von Bézout Euklids Lemma Fermats Kleiner Satz Zwei weitere Lemmata Das Theorem von Sophie Germain Schlussfolgerung Danksagung Quellen- und Literaturverzeichnis Bücher Internetquellen Abbildungsverzeichnis III

4 Begriffsverzeichnis Satz, Theorem, Lemma, Korollar: Diese Begriffe bezeichnen mathematische Sätze (Aussagen) im allgemeinen Sinn. Die Unterscheidung der Begriffe liegt jedoch in der Wichtigkeit der Aussagen: [2] Sätze und Theoreme sind in etwa das Gleiche. Sie bezeichnen mathematische Aussagen, die von grundlegendem Interesse sind und oft im Zentrum eines Beweises stehen. Lemmata sind Hilfssätze, die verwendet werden, um Sätze und Theoreme zu beweisen. Korollare sind Folgerungen aus Sätzen, Theoremen oder Lemmata, die ohne Beweis oder aus einem kurzen Beweis folgen. Teilerfremd: Zwei oder mehrere Zahlen sind teilerfremd, wenn der einzige gemein- same Teiler dieser Zahlen 1 ist. O.B.d.A.: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Symbolverzeichnis für alle p a p teilt a p a p teilt a nicht (a, b) grösster gemeinsamer Teiler (ggt) der Zahlen a und b Element von es gibt/existiert A B A ist eine Teilmenge von B, d.h. alle Elemente, die in A vorhanden sind, sind auch in B vorhanden. n! n Fakultät. Ist gleich: n n 1 1 bezeichnet das Ende eines Beweises. Tabelle 1: Symbolverzeichnis IV

5 1. Einleitung Fermats Grosser Satz: Die Gleichung x 7 + y 7 = z 7 hat keine ganzzahlige, nichttriviale Lösung für n 3. [2, p. xi] Fermats Grosser Satz ist einer der berühmtesten Sätze der Mathematik, was u.a. sicher damit zusammenhängt, dass es über 350 Jahre dauerte bis ein Beweis dafür gefunden wurde. [3, p. 271] Der Satz erreichte nicht nur in der Mathematik- Szene Berühmtheit, auch in der Fernsehserie Die Simpsons (siehe Titelbild) tauchen vermeintliche Lösun- gen mehrfach auf, die beinahe richtig sind sogenannte near misses. [4] Aber nicht nur die Geschichte und Kontroverse um den Satz machen ihn aussergewöhnlich span- nend; der Satz hat in seiner Einfachheit etwas ungewöhnlich Anziehendes. Die Aussage des Satzes ist nämlich ausgesprochen simpel und trotzdem gibt es keinen Beweis, der auch nur annähernd intuitiv erklärbar ist. Beim ersten Kontakt mit dem Satz scheint es beinahe unglaublich, dass die Aussage richtig sein soll. Wieso sollte es für die Gleichun- gen mit n = 1 und n = 2 jeweils unendlich viele Lösungen geben, aber für die unendlich vielen Fälle mit n 3 keine einzige Lösung? Diese Frage stellten sich viele der berühm- testen Mathematiker der Neuzeit und keiner kam auf eine Lösung, abgesehen von Andrew Wiles. [2, p. xii] Der Beweis von Wiles ist mir mit meinem derzeitigen mathematischen Wissen jedoch unzugänglich, deshalb suchte ich nach einem alternativen Thema, welches immer noch sehr nahe an Fermats Grossem Satz ist, und so stiess ich auf das Theorem von Sophie Germain, welches sich mit einem Spezialfall des Satzes beschäftigt: Theorem von Sophie Germain: Wenn p (= n) eine ungerade Primzahl ist und 2p + 1 = q ebenfalls eine Primzahl ist, dann hat Fermats Grosser Satz keine ganzzahlige Lösung mit p xyz. [4, p. 275] In dieser Arbeit bin ich auf der Spur von Fermats Grossem Satz, indem ich das Theorem von Sophie Germain beweise. Mein Ziel ist es, einen vollständigen Beweis des Theorems 1

6 von Sophie Germain zu liefern, wobei alle mathematischen Konzepte und Sätze, die über den obligatorischen Mathematikstoff des Gymnasiums hinausgehen, erklärt und bewie- sen werden. Um das Lesen der Arbeit zu erleichtern, erkläre ich den Aufbau meiner Arbeit. Nach der Einleitung im Kapitel 1 folgt im Kapitel 2 ein kurzer geschichtlicher Überblick zu Fermats Grossem Satz. Im Kapitel 3 werden alle Theorien und Sätze der Zahlentheorie, die im Beweis vom Theorem von Sophie Germain gebraucht werden, erklärt und bewiesen. Dieses dritte Kapitel ist das längste Kapitel der Arbeit und kann als Grundlage für den Beweis des Theorems von Sophie Germain angesehen werden. Im Kapitel 4 folgt der Beweis des Theorems von Sophie Germain. Das Kapitel 5 ist die Schlussfolgerung, nach welcher noch eine Danksagung folgt. 2

7 2. Fermats Grosser Satz Im 17. Jahrhundert stellte der französische Mathematiker, Anwalt und Richter Pierre de Fermat seine wohl berühmteste Vermutung auf. [3, p. 136] Beim Lesen der Arithmetica von Diophant, einem zahlentheoretischen Buch der Spätantike, befasste er sich mit der Frage, ob die Gleichung x 7 + y 7 = z 7 mit n 3 ganzzahlige, nichttriviale (ungleich Null) Lösungen habe. [3, p. 271] Fermat kam dabei zum Schluss, dass dem nicht so sei: Fermats Grosser Satz (I): Die Gleichung x 7 + y 7 = z 7 hat keine ganzzahlige, nichttriviale Lösung für n 3. [2, p. xi] Einen Beweis für seinen Satz lieferte Fermat jedoch nicht, sondern schrieb lediglich auf den Seitenrand seiner Lektüre folgende Notiz in Latein: Cuius rei demonstrationem mi- rabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet. [1, p. 87] Auf Deutsch heisst das (übersetzt von Klaus Fritz): Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren Beweis, doch ist dieser Rand hier zu schmal, um ihn zu fassen. [1, p. 87] Fermats Vermutung wurde allerdings zusammen mit vielen anderen Vermutungen, die er in der Arithmetica niedergeschrieben hatte, erst nach seinem Tod berühmt. Sein äl- tester Sohn Samuel publizierte eine Version des Buches mit allen Bemerkungen und Be- hauptungen, die Fermat in das Buch geschrieben hatte. [5, p. 1 f] Darauf machten sich viele berühmte Mathematiker daran, dazu gehörten auch Leonhard Euler und Adrien- Marie Legendre, diese Aussagen zu beweisen bzw. zu widerlegen. [2, p. xi f] Doch Fer- mats Grosser Satz schien lange Zeit unbeweisbar. Erst mehr als 350 Jahre später, im Jahr 1994, fand Andrew Wiles zusammen mit Richard Taylor einen Beweis für Fermats Gros- sen Satz. [2, p. xii] Der Beweis umfasst 150 Seiten und es werden mathematische Theo- rien verwendet, die zu Fermats Zeit noch nicht bekannt waren. [3, p. 272] Insofern ist Wiles Beweis also sicher nicht derjenige Beweis, von dem Fermat in seiner Notiz sprach. Ob Fermat seine Vermutung aber auch wirklich hätte beweisen können, ist heute nach wie vor umstritten. 3

8 3. Zahlentheorie Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, welche sich mit ganzen Zahlen und deren Eigenschaften beschäftigt. Somit gehören auch Fermats Grosser Satz und das The- orem von Sophie Germain zur Zahlentheorie. Zahlreiche Mathematiker haben sich mit Fragen der Zahlentheorie beschäftigt; zu den berühmtesten zählen Pierre de Fermat, Leonhard Euler und Joseph- Louis Lagrange. [2, p. xii] Aufbau des Kapitels 3: In Kapitel 3 werden einige Grundlagen der Zahlentheorie behandelt, deren Verständnis notwendig ist, um der Beweisführung des Theorems von Sophie Germain im Kapitel 4 folgen zu können. Im Kapitel 3.1 wird das Prinzip der Primfaktorzerlegung betrachtet und kurz gezeigt, wie mit Hilfe der Faktorisierung die Menge zu beweisender Fälle von Fermats Grossem Satz stark eingeschränkt werden kann. Im Kapitel 3.2 wird das Prinzip der Restklasse Modulo eingeführt und erklärt, wobei der Fokus auf den Regeln der Modulo- Restklassen- Rechnung liegt. Zudem wird ein Lemma bewiesen, welches im Beweis des Theorems von Sophie Germain verwendet wird. Im Kapitel 3.3 wird die Idee des unendlichen Abstiegs erläutert und anhand des Bewei- ses eines Lemmas veranschaulicht. In den darauffolgenden Kapiteln 3.4 bis 3.7 werden einige Sätze, Lemmata und Korollare bewiesen, die allesamt im Beweis des Theorems von Sophie Germain verwendet wer- den. Dazu gehören das Lemma von Bézout (Kapitel 3.4), Euklids Lemma (Kapitel 3.5) und Fermats Kleiner Satz (Kapitel 3.6). Im Kapitel 3.7 werden zwei weitere Lemmata bewie- sen. 4

9 3.1 Primfaktorzerlegung Die Primfaktorzerlegung ist die Darstellung von natürlichen Zahlen als Produkt von Prim- zahlen. Der Fundamentalsatz der Arithmetik beweist, dass jede natürliche Zahl als Pro- dukt von Primzahlen geschrieben werden kann. Zudem zeigt der Fundamentalsatz der Arithmetik, dass die Primfaktorzerlegung eindeutig ist; d.h. eine Zahl kann nur durch eine bestimmte einzigartige Menge von Primzahlen dargestellt werden. [6, p. 3 f] Die Primfaktorzerlegung wird im Beweis des Theorems von Sophie Germain genutzt und ist grundlegend für das Verständnis verschiedenster Aspekte des Beweises. Zudem kann die Primfaktorzerlegung gebraucht werden, um zu zeigen, dass Fermats Grosser Satz (I) nicht für alle natürlichen Zahlen n 3 beweisen werden muss, sondern nur für alle Primzahlen p 3 und die Zahl 4. [6, p. 125] Denn laut der Primfaktorzerlegung gilt, dass jede natürliche Zahl n als Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann. Somit kann n = d p gesetzt werden, wobei p prim und d ein beliebiger Faktor ist, der selbst wieder als Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann. Folglich gilt: x 7 + y 7 = z 7 x C D + y C D = z C D x C D + y C D = z C D Wenn Fermats Grosser Satz für p bewiesen wird, folgt daraus der Beweis für alle n, die p als Teiler haben. Zudem muss der Satz auch für n = 4 bewiesen werden, weil 4 = 2 2 ist und 4 somit nur 2 als Teiler hat (abgesehen von 1 und sich selbst). Deshalb kann die Gleichung nur wie folgt umgeformt werden: x H + y H = z H x I I + y I I = z I I x I I + y I I = z I I Weil die Gleichung aber für n = 2 unendlich viele Lösungen hat, nämlich die pythagore- ischen Tripel, muss der Fall n = 4 ebenfalls bewiesen werden. Die Menge der Primzah- len ist zwar immer noch unendlich, trotzdem stellt diese Erkenntnis eine immense Ver- einfachung der Aufgabe dar, Fermats Grossen Satz zu beweisen. 5

10 3.2 Restklasse Modulo In diesem Kapitel wird das Rechnen mit Restklassen eingeführt. Dabei wird zuerst er- klärt, was unter Modulo zu verstehen ist und anschliessend werden einige wichtige Re- geln zur Modulo- Restklassen- Rechnung erläutert. Definition Modulo (II): Zwei ganze Zahlen a und b heissen kongruent modulo m (symbolisch: a b mod m), wenn m (a b). [6, p. 7] Anmerkung: Wenn m (a b), dann sind a und b nicht kongruent modulo m und wir schreiben: a b mod m. [7, p. 19] Für das Rechnen mit Modulo gilt eine sehr wichtige Eigenschaft: Satz (III): Zwei Zahlen a und b, die kongruent modulo m sind, können bei gleichbleibendem m als gleich angesehen werden. [6, p. 7] Diese Eigenschaft beruht darauf, dass Restklassen Modulo m sogenannte Äquivalenz- klassen sind. [6, p. 7] Auf Äquivalenzklassen und warum Restklassen Modulo m Äquiva- lenzklassen sind, wird in dieser Arbeit nicht weiter eingegangen. Rechnen mit Modulo: Die nachfolgenden sieben Regeln werden nicht bewiesen. Sie sind jedoch sehr wichtig, um mit Modulo rechnen zu können und sind grundlegend für verschiedenste Aspekte dieser Arbeit. Aus a b mod m folgen: [2, p. 14] 1. b a mod m 2. a ± c b ± c mod m 3. ac bc mod m 4. a P b P mod m 6

11 Aus a b mod m und c d mod m folgen: [2, p. 14] 5. a + c b + d mod m 6. a c b d mod m 7. ac bd mod m Um die Restklassen- Rechnung Modulo zu demonstrieren, wird nachfolgend ein Lemma bewiesen, welches im Beweis des Theorems von Sophie Germain gebraucht wird: Lemma (IV): Wenn y ±1 mod m, dann y QRS 1 mod m, wenn p ungerade ist. Beweis: Weil Zahlen, die kongruent modulo m sind, als gleich betrachtet werden können, gilt: y QRS ±1 QRS mod m Weil p ungerade ist, folgt daraus, dass p 1 gerade ist. Somit sind sowohl 1 QRS und 1 QRS gleich 1. Deshalb gilt: ±1 QRS = 1 y QRS mod m. 3.3 Unendlicher Abstieg Das Prinzip des unendlichen Abstiegs ist eine Beweismethode, die von Pierre de Fermat erfunden wurde. Sie beruht darauf, dass es in den natürlichen Zahlen keine unendliche Folge geben kann, deren Elemente immer kleiner werden, weil die natürlichen Zahlen eine kleinste Zahl haben (je nach Definition ist das entweder 0 oder 1). Diese Eigenschaft natürlicher Zahlen wird insofern genutzt, dass angenommen wird, dass eine allgemeine Lösung einer Gleichung oder eines Problems vorliegt und gezeigt wird, dass es noch eine kleinere Lösung der Gleichung geben muss. Dieses Prinzip wird unendlich oft angewen- det und so ergibt sich dann das Problem, dass es immer eine kleinere Lösung geben muss was aber eben nicht geht, weil es in den natürlichen Zahlen immer eine kleinste Zahl gibt. [2, p. xiii] 7

12 Anwendung des unendlichen Abstiegs: Das Prinzip des unendlichen Abstiegs wird u.a. im Beweis von Fermats Grossem Satz (I) für den Fall n = 4 angewandt. [6, p. 125 f] Auch im Beweis des nachfolgenden Lemmas wird das Prinzip des unendlichen Abstiegs verwendet. Das Lemma besagt, dass teilerfremde Teiler einer Potenz ebenfalls Potenzen sind: Lemma (V): vw = a 7, vw = 1. Somit muss v = b 7 und w = c 7 sein. [10] Anmerkung zum Beweis: Im nachfolgenden Beweis werden Euklids Lemma (VII) und ein daraus folgendes Korollar (VIII) gebraucht, die im Kapitel 3.5 erläutert werden. Wem diese Sätze unbekannt sind, der sollte zuerst das Kapitel 3.4 (in dem ein Lemma bewie- sen wird, welches im Kapitel 3.5 gebraucht wird) und das Kapitel 3.5 lesen. Beweis: [10] 1. Voraussetzung: vw = 1, vw = a 7 2. Annahme: v ist keine n- te Potenz. Somit gilt v b Somit ist v 1, denn 1 ist eine Potenz. 4. Es gibt somit eine Primzahl p, die v teilt und somit auch ein k, sodass: v = pk. 5. Somit teilt p die Potenz a 7, denn a 7 = vw = pkw. Aus dem Korollar (VIII) folgt so- mit, dass p die Zahl a teilt. 6. Somit gibt es ein m, sodass: a = pm. 7. Somit gilt: a 7 = vw = pkw = pm 7 = p 7 m Durch p 7 teilen liefert: PZ Q [\] = m7. 9. Aufgrund von Euklids Lemma (VII) gilt, dass p entweder k oder w teilt. 10. p kann w aber nicht teilen, weil es schon v teilt und v, w = 1 ist. Somit teilt p die Zahl k. 11. Es kann für alle p in p 7RS gleich überlegt werden und somit folgt, dass p 7RS die Zahl k teilt. 8

13 12. Somit gibt es ein v, sodass: k = p 7RS v. 13. Somit gilt: kw = p 7RS m 7 = p 7RS v w. 14. Durch p 7RS teilen liefert: v _ w = m Aus v = pk (Schritt 4) folgt: v = p p 7RS v _ = p 7 v. Daraus folgt: ` = `a p7. Somit ist v ein Teiler von v und deshalb auch kleiner als v. 16. Daraus folgt: v _, w = v kann jedoch auch keine n- te Potenz sein, denn sonst gilt (für v _ = d 7 ): v = p 7 v _ = p 7 d 7 = p d 7 und so wäre v eine n- te Potenz, was der Annahme wider- spricht. 18. Somit gibt es ein v, welches kleiner als v ist (Schritt 15) und sonst genau die gleichen Eigenschaften wie v hat (ist ein Teiler einer Potenz (Schritt 14), ist selbst keine Po- tenz (Schritt 17) und ist teilerfremd zu einem anderen Teiler der Potenz (Schritt 16)). Dies ergibt einen Widerspruch nach unendlichem Abstieg und deshalb ist die An- nahme falsch. 3.4 Lemma von Bézout Anwendung: Das Lemma von Bézout, welches nach Étienne Bézout benannt ist, wird u.a. im Beweis von Euklids Lemma (VII) gebraucht (siehe Kapitel 3.5). [11] Das Lemma von Bézout besagt, dass der grösste gemeinsame Teiler von zwei ganzen Zahlen a, b als Linearkombination von a und b dargestellt werden kann: [7, p. 14] Lemma von Bézout (VI): a, b Z s, t Z: a, b = s a + t b Weil dieses Lemma für alle ganzen Zahlen (Z) gilt, gilt es auch für alle natürlichen Zahlen (N), weil die natürlichen Zahlen eine Teilmenge von den ganzen Zahlen sind (N Z). Somit gilt das Lemma von Bézout auch in der Zahlentheorie. 9

14 Euklidischer Algorithmus: Im Folgenden wird der Euklidische Algorithmus erklärt. Dieser wird normalerweise ge- braucht, um den grössten gemeinsamen Teiler von zwei ganzen Zahlen a, b zu finden. Um das Lemma von Bézout zu beweisen, werden die Erkenntnisse umgeformt, die mit Hilfe des Algorithmus gewonnen werden, um so auf eine Formulierung zu kommen, die derjenigen des Lemmas von Bézout entspricht. Der Algorithmus: [6, p. 2], [7, p. 12] Gegeben: a, b N Gesucht: (a, b) Um den Algorithmus übersichtlicher zu machen, werden a und b geschrieben als: a = x g und b = x S. x g = q S x S + x I x S = q I x I + x h x 7RI = q 7RS x 7RS + x 7 x 7RS = q 7 x < x I < x S 0 < x h < x I 0 < x 7 < x 7RS Erklärung des Algorithmus: Es wird jeweils die grössere Zahl (bei Schritt 1 ist das x g ) als Vielfaches von der kleineren Zahl (bei Schritt 1 ist das x S ) mit einem Rest (bei Schritt 1 ist das x I ) dargestellt: x g = q S x S + x I. Dabei wird das maximale Vielfache der kleine- ren Zahl genommen, welches noch kleiner ist als die grössere Zahl. Im zweiten Schritt wird jeweils die kleinere Zahl des letzten Schrittes (bei Schritt 2 ist das x S ) als Vielfaches des Restes des vorhergehenden Schrittes (bei Schritt 2 ist das x I ) mit einem erneuten Rest (bei Schritt 2 ist das x h ) dargestellt. Dies wird so oft getan, bis der Rest gleich Null ist (x 7kS = 0). Dann ist der letzte Rest, der ungleich Null ist (x 7 ), der ggt von a und b. Diesen nennen wir d (d = x 7 ). 10

15 Beweis des Euklidischen Algorithmus: Um zu beweisen, dass d = x 7 auch wirklich der ggt von a, b ist, muss erstens gezeigt werden, dass d = x 7 sowohl Teiler von a = x g und b = x S ist. Zweitens muss gezeigt werden, dass jeder Teiler d, der sowohl ein Teiler von a = x g und b = x S ist, auch ein Teiler von d ist. Diese beiden Eigenschaften beschreiben den ggt. 1. d = x 7 ist sowohl Teiler von a = x g und b = x S : [6, p. 2] Wir betrachten die Zeilen des Euklidischen Algorithmus von der letzten bis zur ersten Zeile. Aus der letzten Zeile (x 7RS = q 7 x 7 + 0) folgt, dass d = x 7 ein Teiler von x 7RS ist. Somit folgt aus der zweiten Zeile, dass d = x 7 auch ein Teiler von x 7RI ist. Diese Überlegung kann bis zur ersten Zeile durchgedacht werden und daraus folgt, dass d ein Teiler von allen x P, k = n, n 1,, 1, 0 ist. Wichtig ist hier v.a., dass d sowohl von x g = a als auch von x S = b ein Teiler ist. Damit ist die erste Eigenschaft bewiesen. 2. Jeder Teiler d, der sowohl ein Teiler von a = x g und b = x S ist, ist auch ein Teiler von d: [6, p. 2] Wir betrachten die Zeilen des Euklidischen Algorithmus von der ersten bis zur letzten Zeile. Weil d sowohl x g als auch x S teilt, folgt aus der ersten Zeile, dass d auch x I teilt. Aufgrund der gleichen Überlegung folgt dann aus der zweiten Zeile, dass d auch x h teilt. Diese Überlegung kann bis zur letzten Zeile weitergeführt werden, aus der dann folgt, dass d auch x 7 = d teilt. Somit ist die zweite Eigenschaft ebenfalls bewiesen. Folglich wurde bewiesen, dass d = x 7 der ggt von a, b ist. Anmerkung zur Darstellung des Euklidischen Algorithmus: Der Euklidische Algorithmus könnte auch mit Modulo dargestellt werden, weil nur die resultierenden Reste der Teilschritte und nicht die Faktoren der kleineren Zahl von Inte- resse sind. Die erste Zeile des Algorithmus sieht dann so aus: x g x I mod x S. 11

16 Linearkombination von a, b mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus: [6, p. 2] Im ursprünglichen Sinn des Algorithmus ist das Ziel erreicht, denn es wurde ermittelt, dass d = x 7 der ggt von a und b ist. Um den Euklidischen Algorithmus für das Lemma von Bézout zu nutzen, werden jedoch noch einige weitere Umformungen der Teil- schritte des Euklidischen Algorithmus vorgenommen, um so auf eine Linearkombination von a, b zu kommen, die gleich dem ggt d von a und b ist (Lemma von Bézout). Anmerkung: Es wird eine Vereinfachung gemacht, um die nachfolgenden Schritte einfa- cher und verständlicher zu veranschaulichen. Das Lemma von Bézout und der dazuge- hörige Beweis funktionieren jedoch unabhängig von der Anzahl Schritte des Euklidi- schen Algorithmus. Es wird angenommen, dass die Schritte x S = q I x I + x h und x 7RI = q 7RS x 7RS + x 7 direkt aufeinander folgen und somit gelten: x I = x 7RI, x h = x 7RS, x 7 = x H, q 7RS = q h und q 7 = q H. x g = q S x S + x I x S = q I x I + x h x I = q h x h + x H x h = q H x H + 0 Durch Umformung der ersten drei Zeilen folgt: x I = x g q S x S x h = x S q I x I x H = x I q h x h Durch Einsetzen der ersten Zeile in die zweite und dritte Zeile folgt: x h = x S q I x g q S x S x H = x g q S x S q h x h Durch Einsetzen der ersten Zeile in die zweite Zeile folgt: x H = 1 + q I q h x g + q S q h q S q I q h x S Hier ist x H der ggt von a und b und sowohl s = 1 + q I q h als auch t = q S q h q S q I q h sind ganzzahlige Faktoren. Dieser Term entspricht dem Aus- druck des Lemmas von Bézout. Es wurde gezeigt, dass der ggt von zwei ganzen Zahlen a, b als Linearkombination von a und b geschrieben werden kann. 12

17 3.5 Euklids Lemma Anwendung: Das Lemma von Euklid ist eine grundlegende Aussage der Zahlentheorie und wird in vie- len Beweisen der Zahlentheorie gebraucht wie z.b. im Beweis des Fundamentalsatzes der Arithmetik. [6, p. 4] Euklids Lemma besagt: Wenn eine Primzahl ein Produkt aus zwei Zahlen teilt, dann teilt diese Primzahl entweder den einen und/oder den anderen Wert: Euklids Lemma (VII): p ist prim und a, b Z. Wenn p ab, dann entweder p a oder p b. [6, p. 4] Beweis: [6, p. 3 f] 1. Voraussetzung: Die Primzahl p teilt das Produkt ab: p ab. 2. Annahme: p teilt a nicht: p a. 3. Somit ist p, a = Laut dem Lemma von Bézout (VI) kann somit 1 (der ggt von a und p) als Linearkom- bination von a und p geschrieben werden: 1 = as + pt. 5. Mit b multiplizieren liefert: b = b as + pt = abs + ptb 6. Weil p ab ist, muss ein k existieren, sodass: ab = pk 7. Folglich ist b = pks + ptb = p ks + tb und somit teilt p die Zahl b. Intuitive Erklärung: Eine eher intuitive Erklärung ergibt sich aus der Primfaktorzerlegung (siehe Kapitel 3.1). Diese besagt, dass jede ganze Zahl als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann. Somit ist das Produkt ab einfach ein Produkt aus allen Teilern (Primzahlen) der Zahlen a und b. Wenn nun die Primzahl p das Produkt ab teilt, dann muss in diesem Produkt aus allen Teilern von a und b die Primzahl p enthalten sein. Dies bedeutet, dass p entweder ein Teiler von a und/oder b ist und p somit a und/oder b teilt. Diese Überlegung beruht auf dem Fundamentalsatz der Arithmetik. Um diesen zu beweisen, wird jedoch Euklids Lemma verwendet. Somit wäre ein Beweis nach dieser Überlegung ein Zirkelschluss. 13

18 Eine Anwendung von Euklids Lemma: Mit Euklids Lemma kann ein Korollar bewiesen werden, das mehrere Male im Beweis des Theorems von Sophie Germain gebraucht wird. Korollar (VIII): p ist prim und a, b Z. Wenn p a 7, dann p a bzw. wenn p a 7, dann p a. Beweis: 1. Weil a 7 = a a a ist, folgt nach Euklids Lemma (VII) aus p a 7, dass p entweder a oder a a a teilt. 7RS nop 2. Falls p a, dann ist der Satz bewiesen. Falls p (a a a), folgt nach Euklids Lemma (VII) erneut, dass p entweder a oder a a a teilt. 7RI nop 3. Diese Überlegung kann so oft angewendet werden, bis p (a a) ist. Daraus folgt er- neut aus Euklids Lemma (VII), dass p a. Somit gilt p a. 4. Für p a 7 kann ähnlich argumentiert werden. 3.6 Fermats Kleiner Satz Anwendung: Fermats Kleiner Satz wird nicht direkt im Theorem von Sophie Germain gebraucht, aber aus Fermats Kleinem Satz folgt ein Korollar, das mehrfach im Theorem von Sophie Ger- main gebraucht wird. Fermats Kleiner Satz besagt: Für eine ganze Zahl a und eine Primzahl p, für die gilt, dass p kein Teiler von a ist, folgt, dass a QRS und 1 kongruent modulo p sind: Fermats Kleiner Satz (IX): p ist prim, p a. Dann gilt: a QRS 1 mod p. [2, p. 130] 14

19 Anmerkung zum Beweis: In Fermats Kleinem Satz werden sehr viele Eigenschaften der Modulo- Restklassen- Rechnung verwendet (Kapitel 3.2). Um diesen Beweis zu verste- hen, ist das Verständnis des Kapitels 3.2 notwendig. Beweis: [2, p. 16 f] 1. Wenn eine Zahl durch eine Zahl p geteilt wird, ist der Rest zwischen 0 und p Somit gibt es für eine beliebige Zahl a genau p mögliche Kongruenzen (mod p) und zwar folgende: a 0 mod p a 1 mod p a p 1 mod p 3. Wir betrachten die Zahlenfolge 0a, 1a, 2a,, p 1 a. Behauptung: Jede dieser Zahlen entspricht einer einzigartigen Kongruenz modulo p Wir nehmen das Gegenteil an: Es gibt zwei Zahlen na und ma, welche die glei- che Kongruenz modulo p haben: na c mod p, ma c mod p. Daher gilt: na ma mod p Aus der Definition von Modulo (II) folgt: p (na ma). Daraus folgt: p (a n m ) Aus Euklids Lemma (VII) folgt, dass p entweder a oder n m teilt. Weil aber p a ist, folgt daraus: p (n m) Aus dem 2. Schritt wissen wir, dass sowohl n als auch m zwischen 0 und p 1 sind. Somit ist n = m. Dies ist die einzige Möglichkeit, sodass p (n m) gilt. Das bedeutet, dass es keine zwei Zahlen der Zahlenfolge 0a, 1a, 2a,, p 1 a gibt, die der gleichen Kongruenz entsprechen. 4. Wir nehmen die Zahl 0a, die kongruent zu 0 ist, aus der Zahlenfolge. Daraus folgt: 1a 2a p 1 a 1 2 p 1 mod p 5. Weil 1 2 p 1 = p 1! ist, folgt aus 4.: a QRS p 1! p 1! mod p 6. Weil p 1! teilerfremd zu p ist, kann durch p 1! geteilt werden und es folgt: a QRS 1 mod p. 15

20 Eine Anwendung von Fermats Kleinem Satz: Aus Fermats Kleinem Satz folgt ein Korollar, welches mehrfach im Theorem von Sophie Germain verwendet wird. Das Korollar besagt: Es gilt für Primzahlen n mit der Eigen- schaft q = 2n + 1 ist ebenfalls eine Primzahl, dass die n- te Potenz einer beliebigen Zahl a (a 7 ) kongruent zu plus oder minus 1 modulo q ist, wenn a 7 nicht von q geteilt wird: Korollar (X): n ist prim, q = 2n + 1, q ist prim. Wenn q a 7, dann gilt a 7 ±1 mod q. [12] Beweis: [12] 1. Weil q a 7 folgt nach (VIII): q a. 2. Aus Fermats kleinem Satz (IX) folgt: a qrs = a I7 1 mod q. 3. Somit gilt: a I7 = a 7 I 1 mod q. 4. Daraus folgt: q a 7 I 1 = a (a 7 1). 5. Weil q prim ist, folgt aus Euklids Lemma (VII), dass q entweder a und/oder a 7 1 teilt. Somit folgt: a 7 ±1 mod q. 3.7 Zwei weitere Lemmata In diesem Kapitel werden zwei Lemmata beschrieben und bewiesen, die beide im Be- weis des Theorems von Sophie Germain vorkommen. Die beiden Lemmata haben keine mathematischen Ähnlichkeiten. So beschreibt das erste Lemma die Teilerfremdheit von Zahlen, welche Lösungen von Fermats Grossem Satz (I) sind. Das zweite Lemma stellt eine Umformung einer Summe zweier Potenzen in ein Produkt aus zwei Termen dar. Lemma (XI): Für x, y, z, die Fermats Grossen Satz (I) erfüllen, kann angenommen werden, dass sie paarweise teilerfremd sind. [13] Beweis: [13] Es wird gezeigt, dass jede Lösung von Fermats Grossem Satz (I) auf eine Lösung verein- facht werden kann, bei der x, y, z paarweise teilerfremd sind. Somit kann von der neuen Lösung ausgegangen und gefolgert werden, dass x, y, z paarweise teilerfremd sind. 16

21 Um das Lemma (XI) zu beweisen, müssen die zwei Aussagen a und b bewiesen werden: a. Wenn ein Faktor d zwei Werte von x, y, z teilt, dann teilt die Potenz des Faktors (d 7 ) die Potenz des dritten Faktors. b. Wenn eine Potenz eines Faktors eine Potenz einer Zahl teilt, dann teilt der Faktor diese Zahl. Beweise der beiden Aussagen: 1. Beweis der Aussage a: Die erste Aussage a muss für zwei Fälle bewiesen werden: Nämlich für den ersten Fall, dass d ein Teiler von x und y ist und für den zweiten Fall, dass d ein Teiler von z und x oder y ist (x und y sind austauschbar). Fall 1: d ist ein Teiler von x und y Somit gilt: x = d x und y = d y und es folgt: z 7 = x 7 + y 7 = d x _ 7 + d y _ 7 = d 7 x _ 7 + d 7 y _ 7 = d 7 [ x _ 7 + y _ 7 ] Daraus folgt: t[ u [ = x_ 7 + y 7. Somit teilt d 7 die Potenz von z (z 7 ). Fall 2: d ist ein Teiler von z und x (das gleiche Argument gilt auch für z und y) Somit gilt: x = d x und z = d z und es folgt: y 7 = z 7 x 7 = d z _ 7 d x _ 7 = d 7 z _ 7 d 7 x _ 7 = d 7 [ z _ 7 x _ 7 ] Daraus folgt: v[ u [ = z_ 7 x _ 7. Somit teilt d 7 die Potenz von y (y 7 ). 17

22 2. Beweis der Aussage b: Aus der Voraussetzung, dass d 7 die Potenz a 7 teilt, folgt, dass es ein k gibt, sodass: o [ u [ = k. Um zu beweisen, dass aus dieser Voraussetzung die Aussage b folgt, muss gezeigt werden, dass k eine n- te Potenz ist. Dies ergibt nach der Umformung des Terms Folgendes: a d a 7 = k = u7 d7 7 = u 7 a d = u Es wird nun gezeigt, dass k eine n- te Potenz ist: 2.1 Wir setzen c als den ggt von a und d und setzen zudem zwei Unbekannte A, D als: A = o y bzw. D = u y. 2.2 Daraus folgt, dass A, D = 1 ist. Somit ist der ggt der dazugehörigen Po- tenzen A 7 und D 7 gleich 1: A 7, D 7 = Die Voraussetzung kann wie folgt umgeformt werden: a 7 d 7 = k a 7 = k d 7 c A 7 = k c D 7 c 7 A 7 = k c 7 D 7 A 7 = k D Aus 2.2 und 2.3 folgt, dass (D 7, k) = 1. Denn der ggt e von D 7 und k teilt sowohl D 7 (ist ein Teiler davon) und A 7 (folgt aus 2.3). Weil der grösste ge- meinsame Teiler von D 7 und A 7 gleich 1 ist, muss e also 1 sein: e = D 7, k = Es folgt, dass k eine n- te Potenz sein muss, denn aus 2.3 und 2.4 folgt, dass k bestimmte Faktoren von A 7 enthalten muss. Weil nun aber alle Faktoren von A genau n Mal in A 7 vorkommen, muss k ebenfalls eine n- te Potenz sein. 18

23 Die beiden Aussagen a und b besagen somit, dass ein Teiler von zwei Werten auch ein Teiler des dritten Wertes ist. Die Gleichung kann wie folgt umgeformt werden (d ist der gemeinsame Faktor): x 7 + y 7 = z 7 x _ d 7 + y_ d 7 = z_ d 7 x _ 7 d 7 + y_ 7 d 7 = (z )7 d 7 x _ 7 + y _ 7 d 7 = z_ 7 d 7 x _ 7 + y _ 7 = z _ 7 Hier wird die ursprüngliche Gleichung auf eine Gleichung reduziert, bei der alle gemein- samen Teiler gekürzt werden. Somit sind x _, y _ und z teilerfremd. Das nachfolgende Lemma wird im 4. Schritt des Beweises des Theorems von Sophie Ger- main gebraucht. Es stellt eine Umformung des Terms a 7 + b 7 dar: Lemma (XII): Falls n ungerade ist, gilt: a 7 + b 7 = (a + b)(a 7RS a 7RI b+... ab 7RI + b 7RS ) [14] Beweis: [14] a + b a 7RS a 7RI b + ab 7RI + b 7RS = a a 7RS a 7RI b + ab 7RI + b 7RS + b a 7RS a 7RI b+... ab 7RI + b 7RS = a 7 a 7RS b + a I b 7RI + ab 7RS + a 7RS b a 7RI b I + ab 7RS + b 7 = a 7 + b 7. Bemerkung zum Beweis: In der dritten Zeile kommen alle Terme ausser a 7 und b 7 je- weils einmal positiv und negativ vor und lösen sich somit gegenseitig auf. Deshalb bleibt nur a 7 + b 7 übrig. 19

24 4. Das Theorem von Sophie Germain Das Theorem von Sophie Germain ist eine Aussage der französischen Mathematikerin Sophie Germain über die Teilbarkeit von Lösungen von Fermats Grossem Satz (I). Ge- nauer gesagt beschäftigt es sich mit Lösungen, bei denen der ungerade Exponent n, hier p, zu den Sophie- Germain- Primzahlen gehört. Bemerkenswert ist nicht nur das Theo- rem, sondern auch die Arbeitsumstände. In dem chauvinistischen Frankreich des frühen 19. Jahrhunderts war es für Frauen unüblich höhere Mathematik zu studieren. Doch ge- gen Sophie stellten sich nicht nur die Normen der Gesellschaft, auch ihr eigener Vater tat alles, um sie davon abzuhalten. Sie liess sich jedoch nicht beirren und trug mit ihrem Theorem ihren Teil zu Fermats Grossem Satz bei. [1, p. 128 ff] Einschub zu den Sophie- Germain- Primzahlen: Sophie- Germain- Primzahlen sind Primzahlen p, für die gilt, dass 2p + 1 ebenfalls Prim- zahlen sind, also z.b. 2, 3, 5 usw. [6, p. 127] Bemerkung: Im Theorem von Sophie Germain werden jedoch nicht alle Sophie- Germain- Primzahlen angeschaut, sondern nur die ungeraden Primzahlen. Dies bedeutet, dass die Sophie- Germain- Primzahl 2 nicht dazugezählt wird, denn es werden nur diejenigen Primzahlen angeschaut, die auch bei Fermats Grossem Satz betrachtet werden. Das Theorem von Sophie Germain besagt, dass Fermats Grosser Satz (I) für ungerade Exponenten, die zu den Sophie- Germain- Primzahlen gehören, keine Lösungen hat, bei welcher der Exponent p keine der Zahlen x, y, z teilt: Theorem von Sophie Germain (XIII): Wenn p (= n) eine ungerade Primzahl ist und 2p + 1 = q ebenfalls eine Primzahl ist, dann hat Fermats Grosser Satz (I) keine ganzzahlige Lösung mit p xyz. [4, p. 275] Anmerkung zum Beweis: Im nachfolgenden Beweis werden sämtliche Definitionen, Lemmata, Sätze und Korollare des 3. Kapitels verwendet. Ein vertieftes Verständnis dieser Grundlagen ist notwendig, um dem Beweis des Theorems von Sophie Germain folgen zu können. 20

25 Beweis: [4, p. 275 f], [6, p. 127 f], [5, p. 63 f], [12] 1. Annahme: Es gibt eine ganzzahlige Lösung für Fermats Grossen Satz (I) mit p xyz und sowohl der Exponent p als auch q = 2p + 1 sind prim. 2. Aufgrund von (XI) gilt, dass x, y und z paarweise teilerfremd sind. 3. Weil p ungerade ist, kann Fermats Grosser Satz (I) wie folgt umgeformt werden: x Q + y Q = z Q x Q + y Q = z Q x Q + y Q + z Q = 0 Weil alle nachfolgenden Aussagen sowohl für z als auch für z gelten, wird fortan z anstelle von z geschrieben: x Q + y Q + z Q = 0 4. Aufgrund von (XII) gilt: y Q + z Q = (y + z)(y QRS y QRI z+... +z QRS ) 5. Aus 3. und 4. folgt: x Q = y Q + z Q = (y + z)(y QRS y QRI z+... +z QRS ) 6. Behauptung: (y + z) und (y QRS y QRI z+... +z QRS ) sind teilerfremd. 6.1 Es wird das Gegenteil angenommen. Somit gibt es eine Primzahl r, sodass: r (y + z), r (y QRS y QRI z+... +z QRS ). Daraus folgt auch: r ( x Q ). 6.2 Aus r (y + z) folgt nach der Definition von Modulo (II): z y mod r. 6.3 Weil Zahlen, die kongruent modulo m sind, als gleich betrachtet werden kön- nen (III), folgt: y QRS y QRI z + + z QRS y QRS y QRI y + + y QRS y QRS + y QRS + + y QRS p y QRS mod r 6.4 Aus Euklids Lemma (VII) folgt, dass entweder r p oder r y QRS gilt. Aufgrund von (VIII) folgt aus r y QRS, dass r y gilt r p kann nicht sein, weil r und p Primzahlen sind und somit r = p sein müsste. Aus 6.1 folgt dann: p ( x Q ). Aufgrund von (VIII) folgt daraus: p ( x) bzw. p x. Dies widerspricht jedoch der Annahme in Schritt 1. 21

26 6.4.2 Deshalb muss r y gelten. Das kann nicht sein, denn aus 6.1 folgt r y + z. Das wiederum bedeutet, dass r z gilt. Somit haben y und z jedoch einen gemeinsamen Teiler, was der paar- weisen Teilerfremdheit von x, y, z (siehe Schritt 2) widerspricht. 6.5 Es folgt aus der Annahme ein Widerspruch, was bedeutet, dass die Annahme 6.1 falsch ist. Dies ergibt, dass (y + z) und (y QRS y QRI z z QRS ) teilerfremd sind. 7. Aus (V) folgen: y + z = A Q y QRS y QRI z+... +z QRS = T Q 8. Alle bisherigen Schritte können auch für y Q und z Q gemacht werden. Daraus fol- gen: y Q = x + z x QRS x QRI z+... +z QRS z Q = (x + y)(x QRS x QRI y+... +y QRS ) Somit folgen auch: x + z = B Q x + y = C Q x QRS x QRI z+... +z QRS = U Q x QRS x QRI y+... +y QRS = V Q 9. Weil x Q + y Q + z Q = 0 ist, folgt: 0 = x Q + y Q + z Q 0 mod q = 2p + 1 Das stimmt, weil 0 durch jede Zahl geteilt werden kann. 10. Aufgrund von (X) gilt: u Q ±1 mod q = 2p + 1, wenn q u. Daraus folgt, dass ent- weder x, y oder z von q geteilt werden muss. Wenn alle drei Zahlen nicht von q geteilt werden, gilt aufgrund von 9. und 10.: x Q + y Q + z Q ±1 ± 1 ± 1 0 Daraus folgt: ±1 ± 1 ± 1 = 0 und das ist unmöglich. Es muss somit eine der drei Zahlen x, y, z von q = 2p + 1 geteilt werden. O.B.d.A. sagen wir, dass q x gilt. Dies kann getan werden, weil alle nachfolgenden Argumentationen auch für y und z ge- macht werden können. Daraus folgt, dass q y und q z gelten. Das muss so sein, 22

27 weil sonst x, y, z einen gemeinsamen Teiler hätten, was der Teilerfremdheit von x, y, z widerspricht (siehe Schritt 2.). 11. Aus 8. folgt: B Q + C Q A Q = x + z + x + y y + z = 2x 12. Aufgrund von q x gilt (siehe Schritt 10.): 2x = B Q + C Q A Q 0 mod q 13. Es kann gleich wie in Schritt 10. argumentiert werden. Daraus folgt, dass q eine der Zahlen A, B, C teilen muss: q ABC. 14. Aus q x, q y und q z folgen (siehe Schritt 10.): q (x + y) und q (x + z). Weil x + z = B Q und x + y = C Q gelten, folgen daraus: q B Q und q C Q. Aufgrund von (VIII) folgen daraus: q B und q C. Somit folgt aus Schritt 13.: q A. 15. Aus q A folgt q A Q. Somit folgt aufgrund von Schritt 7: q y + z bzw. z y mod q Weil T Q = y QRS y QRI z+... +z QRS ist (siehe Schritt 7.) folgt somit: T Q py QRS mod q 16. Es folgt aus x + y = C Q (siehe Schritt 8.) und q x (siehe Schritt 10.): y C Q mod q. Weil q C gilt (siehe Schritt 14.) folgt aus (X): y C Q ±1 mod q Aufgrund von (IV) folgt: y QRS 1 mod q 17. Aus Schritt 6. und 7. folgt: (A Q, T Q ) = 1. Aufgrund des Fundamentalsatzes der Arith- metik (Kapitel 3.1) folgt: A, T = Es folgt aus q A (siehe Schritt 14.): q T. 19. Aufgrund von (X) folgt daraus: T Q ±1 mod q Aus T Q py QRS mod q folgt (siehe Schritt 15.): py QRS ±1 mod q 20. Aus y QRS 1 mod q folgt (siehe Schritt 16.): py QRS p ±1 mod q Weil aber q = 2p + 1 ist, kann das gemäss der Definition von Modulo (II) unmöglich sein, denn: 23

28 Fall 1: p 1 mod 2p + 1. Aus der Definition von Modulo (II) folgt daraus: (2p + 1) (p 1) Fall 2: p 1 mod 2p + 1. Aus der Definition von Modulo (II) folgt daraus: 2p + 1 (p + 1) Weil nur eine kleinere Zahl eine grössere oder gleich grosse Zahl teilen kann, stim- men weder Fall 1 noch Fall 2. Denn 2p + 1 ist sowohl grösser als p 1 als auch als p + 1. Damit herrscht ein Widerspruch und daraus folgt, dass die Annahme falsch ist. Auswirkung des Theorems auf die Lösungsstrategie: Das Theorem von Sophie Germain (XIII) führt zu einer Unterscheidung von Fermats Gros- sem Satz (I) in zwei Fälle: 1. Fall: Lösungen mit p xyz. 2. Fall: Lösungen mit p xyz. Diese Fallunterscheidung taucht in der Literatur immer wieder auf, u.a. auch im Beweis von Fermats Grossem Satz von Andrew Wiles. [6, p. 127] 24

29 5. Schlussfolgerung Nach meiner intensiven Auseinandersetzung mit Fermats Grossem Satz, dem Theorem von Sophie Germain und verschiedenen Grundlagen der Zahlentheorie, ziehe ich Bilanz. Ist es mir gelungen einen vollständigen Beweis des Theorems von Sophie Germain nach- vollziehbar niederzuschreiben? Hinter dem Beweis des Theorems von Sophie Germain steckt sehr viel mehr, als ich zu- nächst vermutet hatte. So fordert der Beweis des Theorems von Sophie Germain ein fundiertes Verständnis wichtiger Grundlagen der Zahlentheorie, wie der Restklassen- Rechnung Modulo und des Konzepts des unendlichen Abstiegs. Ich musste aber auch verschiedene Sätze, Lemmata und Korollare verstehen, deren Beweise teilweise ähnlich lang wie derjenige Beweis des Theorems von Sophie Germain sind. Alles in allem ist meine Arbeit nun umfangreich geworden. Ich bin zum Schluss gekom- men, dass ich einen ziemlich vollständigen Beweis aufgeschrieben habe, der genau so viel enthält, wie ich es für nötig empfinde, damit der Beweis des Theorems von Sophie Germain gut nachvollziehbar ist. Natürlich könnten verschiedene Aspekte vertiefter be- trachtet werden und ich könnte detaillierter erklären, wieso z.b. die Restklassen Modulo zu den Äquivalenzklassen gehören (siehe Kapitel 3.2, S.6) oder wieso die sieben in der Arbeit aufgeführten Rechenregeln der Modulo- Restklassen- Rechnung gelten (siehe Ka- pitel 3.2, S. 6-7). Um den Umfang der Arbeit sinnvoll zu beschränken, habe ich darauf verzichtet, diese Themen genauer zu beschreiben und zu beweisen. Danksagung An dieser Stelle möchte ich mich zunächst bei meinem Betreuer Michael Anderegg be- danken. Er hat meine Fragen jeweils sehr schnell beantwortet und hat mich auch auf einige sehr wichtige Aspekte zu meiner Arbeit aufmerksam gemacht. Ich möchte mich ebenfalls auch bei meinem älteren Bruder bedanken, der mir jeweils die benötigten Fachbücher von der ETH mitgebracht hat und mir auch einige sehr wichtige Rückmel- dungen zu meiner Arbeit gegeben hat. Ich bedanke mich auch bei meinen Eltern, die mich mit dem Lektorat der Arbeit unterstützt haben. 25

30 Quellen- und Literaturverzeichnis Bücher [1] S. Singh, Fermats letzter Satz, München: Hanser, [3] M. Křížek, F. Luca und L. Somer, 17 lectures on Fermat numbers, New York: Springer, [4] B. Maurer, Mathematik - die faszinierende Welt der Zahlen, Köln: Fackelträger, [6] K. Ireland und M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, New York: Springer, [7] H. M. Edwards, Fermat's last theorem, New York: Springer, [8] A. Schmidt, Einführung in die algebraische Zahlentheorie, Berlin: Springer, [9] T. Andreescu, D. Andrica und Z. Feng, 104 number theory problems, Cambridge: Birkhäuser Boston, Internetquellen [2] Wikipedia: Satz (Mathematik) k.a., Zugriff am [5] Youtube: Homer Simpson vs Pierre de Fermat Numberphile B. Haran, , Zugriff am [10] Fermat's Last Theorem Blog: Infinite Descent. descent.html L. Freeman, , Zugriff am [11] Wikipedia: Lemma von Bézout k.a., Zugriff am

31 [12] Fermat's Last Theorem Blog: Sophie's Proof proof.html L. Freeman, , Zugriff am [13] Math Refresher Blog: Coprime Numbers: xn+yn=zn numbers- xn- yn- zn.html L. Freeman, , Zugriff am [14] Math Refresher Blog: Useful Equations equations.html L. Freeman, , Zugriff am Abbildungsverzeichnis Titelbild, S. I: Bild aus der Folge The Wizard of Evergreen Terrace aus der Fern- sehserie Die Simpspons Datenquelle: homer- simpson- actually- solve- fermat- s- last- theorem- take- a- look R. Krulwich, , Zugriff am Tabelle 1, S. IV: Symbolverzeichnis Datenquelle: [9, p. xii]. 27