Was Temperatur mit Zufall zu tun hat

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1 Kanonische Verteilungen 1866, 1902 und 2006 Tübingen, 25. Juni 2008

2 Die Gaußsche Normalverteilung Maxwells Geschwindigkeits-Verteilung Der Phasenraum 1866: Maxwells Geschwindigkeitsverteilung

3 Die Gaußsche Normalverteilung Die Gaußsche Normalverteilung Maxwells Geschwindigkeits-Verteilung Der Phasenraum Carl Friedrich Gauß ( )

4 Die Gaußsche Normalverteilung Maxwells Geschwindigkeits-Verteilung Der Phasenraum f (x) = 1 σ 2π (x µ) 2 e 2σ 2 f = ρ = Dichte einer Wahrscheinlichkeits-Verteilung X N (µ, σ 2 ) P(a < X < b) = b ρ(x) dx a σ 2 = Varianz Für uns µ = 0: ρ(x) = 1 x2 e 2σ Z 2 Z = Normierungskonstante Geschichte Abraham de Moivre 1733: Approximation für Binomialverteilung Gauß 1809: zur Rechtfertigung der Methode der kleinsten Quadrate

5 Gauß-Verteilung in 2 Dimensionen ρ(x, y) = 1 x 2 Z e 2σ x 2 y2 2σ y 2 Die Gaußsche Normalverteilung Maxwells Geschwindigkeits-Verteilung Der Phasenraum Z.B. 2 unabhängige, Gauß-verteilte Zufallsvariablen X, Y Falls σ x = σ y, dann rotationssymmetrisch, sonst Höhenlinien = Ellipsen

6 Gauß-Verteilung in 3 Dimensionen Die Gaußsche Normalverteilung Maxwells Geschwindigkeits-Verteilung Der Phasenraum ρ(x, y, z) = 1 x 2 Z e 2σ x 2 y2 2σ y 2 z2 2σ z 2 oder, wenn man die Orthonormalbasis (ONB) um ˆR SO(3) dreht: ρ(x) = ρ(x 1, x 2, x 3 ) = 1 ( Z exp 1 2 (x 1, x 2, x 3 )ˆP x 1 ) = 1 Z e 1 2 x ˆPx mit x y = 3 x i y i und ˆP = ˆR 1 i=1 σx 2 σ 2 y x 2 x 3 σ 2 z ˆR Daher: ˆP symmetrisch, positiv-definit, sonst beliebig. Kovarianzmatrix Ĉ = (C ij ) ij, C ij = E(X i X j ). Es gilt ˆP = Ĉ 1.

7 Die Gaußsche Normalverteilung Maxwells Geschwindigkeits-Verteilung Der Phasenraum Maxwells Geschwindigkeits-Verteilung 1866 Maxwell-Verteilung im idealen Gas ρ(v) = 1 ( ) Z exp m v 2 2kT Z = Normierungs-Konstante m = Masse eines Moleküls k = Boltzmann-Konstante = 1, J/K T = absolute Temperatur (0 C = K) = Gauß-Verteilung in 3D mit ˆP = m/kt m/kt m/kt v N 3 (0, kt /m) James Clerk Maxwell ( )

8 Die Gaußsche Normalverteilung Maxwells Geschwindigkeits-Verteilung Der Phasenraum Maxwells Geschwindigkeits-Verteilung 1866 Verteilung der Geschwindigkeitsbeträge ρ(v) = 4πv 2 ( Z exp mv 2 ) 2kT

9 Der Phasenraum 1866: Maxwells Geschwindigkeitsverteilung Die Gaußsche Normalverteilung Maxwells Geschwindigkeits-Verteilung Der Phasenraum In der klassischen Mechanik: Phasenraum Φ = Menge aller Mikrozustände ξ Mikrozustand = Phasenpunkt = Liste der Orte und Geschwindigkeiten aller Moleküle Für uns: N Moleküle = Punktteilchen im Volumen Λ R 3, Φ = Λ N R 3N R 6N Energie = H(ξ) = Hamilton-Funktion Für ideales Gas (keine Wechselwirkung): H(ξ) = N k=1 Phasenpunkt m 2 v k 2 Energiefläche H 1 (E) = Λ N S R (R 3N ) für R = 2E/m, wobei { ( N ) 1/2 } S R (R 3N ) = v R 3N : v = v k 2 = R = Sphäre vom Radius R k=1

10 1877: Boltzmanns Argument, Teil 1 Die Gaußsche Normalverteilung Maxwells Geschwindigkeits-Verteilung Der Phasenraum Satz 1 über die Maxwell-Verteilung Sei T > 0 gegeben und X u (N) R = Gleichverteilung auf S R (R 3N ) (d.h. Oberflächeninhalt auf 1 normiert) mit R = 2E/m und E = 3 2NkT. Dann ist für große N die Rand-Verteilung P(X 1, X 2, X 3 ) N 3 (0, kt /m). Genauer: P(X 1, X 2, X 3 ) konvergiert schwach gegen N 3 (0, kt /m) im Limes N. Ludwig Boltzmann ( ) Die ersten 3 Komponenten eines n-dim Einheitsvektors sind Gauß-verteilt im Limes n. Beweisidee: betrachte Y N 3N (0, R 2 ), X = Y / Y.

11 Die Gaußsche Normalverteilung Maxwells Geschwindigkeits-Verteilung Der Phasenraum Allgemeinere Variante für H(ξ 1,..., ξ N ) = k H 1(ξ k ) und u H 1 (E) Maxwell Boltzmann-Verteilung ρ(ξ 1 ) = 1 Z exp( H 1(ξ 1 )/kt ) Spezialfall barometrische Höhenformel ρ(x, y, z) = 1 Z exp( mgz/kt )

12 Kanonisches und mikrokanonisches Ensemble Temperatur: nicht Funktion, sondern Parameter der Verteilung Warum überhaupt zufällig?

13 Kanonisches und mikrokanonisches Ensemble Temperatur: nicht Funktion, sondern Parameter der Verteilung Warum überhaupt zufällig? kanonisches Ensemble : ρ(ξ) = 1 Z e H(ξ)/kT mikro-kanonisches Ensemble : ρ(ξ) = 1 Z 1 E H(ξ)<E+δE oder ρ(ξ) = 1 Z δ(h(ξ) E) ˆ=u H 1 (E) (= Oberflächenmaß H 1 ) Gleichverteilung auf Energiefläche groß-kanonisches Ensemble : ρ(ξ) = 1 +µn(ξ)/kt Z e H(ξ)/kT (variable Teilchenzahl N(ξ), µ = chemisches Potenzial)

14 Kanonisches und mikrokanonisches Ensemble Temperatur: nicht Funktion, sondern Parameter der Verteilung Warum überhaupt zufällig? Beziehung zwischen kanonischem und mikrokanonischem Ensemble System s, Wärmebad b (sehr groß), Kopplungsenergie gering Phasenpunkt ξ s+b = (ξ s, ξ b ) Analog zu Satz 1 Ausgehend von der mikrokanonischen Verteilung für s + b ist die Randverteilung von ξ s kanonisch im Limes, in dem die Größe des Bades geht.

15 Kanonisches und mikrokanonisches Ensemble Temperatur: nicht Funktion, sondern Parameter der Verteilung Warum überhaupt zufällig? Temperatur: nicht Funktion, sondern Parameter Physikalische Größe = Funktion auf Phasenraum: Gesamt-Energie, mittlere Energie pro Teilchen, Gesamt-Impuls, -Drehimpuls, jedes Messergebnis. Nicht so die Temperatur! Insbesondere: bei gegebenem Phasenpunkt ist Temperatur T nicht exakt definiert, sondern nur mit Ungenauigkeit T Unschärferelation der Temperatur : T 6T N (Z.B. Tasse Kaffee: T = 1 Milliardstel C)

16 Kanonisches und mikrokanonisches Ensemble Temperatur: nicht Funktion, sondern Parameter der Verteilung Warum überhaupt zufällig? Warum sollte der Zustand überhaupt zufällig sein? Z.B. betrachten wir nicht als zufällig: Orte und Geschwindigkeiten der Planeten (fast in einer Ebene)

17 Kanonisches und mikrokanonisches Ensemble Temperatur: nicht Funktion, sondern Parameter der Verteilung Warum überhaupt zufällig? Warum sollte der Zustand überhaupt zufällig sein? Erklärungsversuch: Der Zustand ist nicht zufällig! Wahrscheinlichkeiten sind hier rein subjektiv ( degree of belief ). Z.B. [Adam/Hittmair: Wärmetheorie (1977)] Argument vom Typ: Wenn man keine weitere Information über den Zustand des Systems hat als die mittlere Energie, dann sollte man verschiedene Zustände als gleichermaßen wahrscheinlich betrachten, und die unvoreingenommene ( unbiased ) Verteilung ist die kanonische Verteilung, weil sie die Shannon-Entropie ρ(ξ) log ρ(ξ) dξ maximiert unter der Nebenbedingung des vorgegebenen Energie-Erwartungswertes. Diese Erklärung ist falsch. Mein subjektiver Glaube hat keine Relevanz für das objektive Geschehen.

18 Was bedeutet typisch? der Maxwell-Verteilung

19 Was bedeutet typisch? Was bedeutet typisch? der Maxwell-Verteilung Die Aussage p(ω) gilt für typische ω µ{ω : p(ω)} > 1 ε überwältigende Mehrheit Bsp: schwaches Gesetz der großen Zahlen Für mindestens /n aller Zahlen zwischen 0 und 1 gilt, dass die Häufigkeit der Ziffer 7 unter den ersten n Dezimalstellen zwischen 9 und 11% liegt. (µ = Lebesgue-Maß) leichter Sprach-Missbrauch: typische Zahl

20 Was bedeutet typisch? Was bedeutet typisch? der Maxwell-Verteilung f (ω) y ist typisch für ω Ω y ist der typische Wert von f auf Ω f (ω) y für die meisten ω Ω µ { ω Ω : f (ω) y > δ } < ε f ist nahezu konstant auf Ω (nämlich y Ef ) f hat geringe Varianz E(f Ef ) 2 genauer, betrachte Folge (Ω n, µ n ) n N von Wahrscheinlichkeits-Räumen, f n : Ω n Y δ > 0 : µ n { ω Ωn : f n (ω) y < δ } 1 Leicht verschieden: Konvergenz in Wahrscheinlichkeit (hier Ω n = Ω, µ n = µ, nur f n variiert, Konvergenz gegen f statt gegen Konstante y; sonst dasselbe) Bsp: In klassischer statistischer Mechanik sind thermodynamische Funktionen oft nahezu konstant auf der Energie-Fläche.

21 Was bedeutet typisch? der Maxwell-Verteilung Maxwell-Verteilung ist typisch Für die meisten Phasenpunkte auf S R (R 3N ) mit großem N liegt die empirische Verteilung der Geschwindigkeiten nahe an der Maxwell-Verteilung. Satz 2 über die Maxwell-Verteilung Sei T > 0 gegeben, E = 3 2 NkT und R = 2E/m. Für jedes δ > 0 und jede beschränkte stetige Testfunktion ϕ : R 3 R gilt { u (N) R v S R (R 3N ) : N ϕ(v k ) N 3( 0, kt ) } (ϕ) < δ 1 m k=1 für N, in der Notation µ(ϕ) = µ(dx) ϕ(x) = E µ ϕ.

22 der Maxwell-Verteilung Was bedeutet typisch? der Maxwell-Verteilung...der Fall, dass alle Moleküle genau die gleiche, gleichgerichtete Geschwindigkeit haben, [ist] um kein Haar unwahrscheinlicher als der Fall, dass jedes Molekül genau die Geschwindigkeit und Geschwindigkeitsrichtung hat, die es wirklich in einem bestimmten Momente im Gase hat. Vergleichen wir aber die erstere Eventualität mit der, dass im Gase die Maxwell sche Geschwindigkeitsvertheilung herrscht, so finden wir wieder, dass zu Gunsten der letzteren Eventualität viel mehr gleichmögliche Fälle sprechen. (1896) Ludwig Boltzmann

23 Was bedeutet typisch? der Maxwell-Verteilung Die Moral daraus: Der Zustand ξ braucht nicht zufällig zu sein Es reicht aus, wenn er nicht speziell ist. Beachte: Der Zustand mag durchaus zufällig sein, etwa wenn der Anfangszustand des Universums zufällig gewählt war (z.b. Roger Penroses Weyl-Krümmungs-Hypothese). Die Verteilung zur Zeit t ist dann aber keineswegs kanonisch. Kanonische Verteilung ist typisch, analog zu Satz 1 - System s, Wärmebad b (sehr groß), Kopplungsenergie gering - Phasenpunkt ξ s+b = (ξ s, ξ b ) - Bezüglich der mikrokanonischen Verteilung für s + b ist typisch, dass ξ s typisch kanonisch ist. Satz 1: Wenn ξ typisch mikrokanonisch, dann v eines Moleküls typisch Maxwellsch. Satz 2: Wenn ξ typisch mikrokanonisch, dann empirische Verteilung Maxwellsch.

24 Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch

25 Quantenmechanik 1866: Maxwells Geschwindigkeitsverteilung Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch Bild: B. Thaller 2004 Wellenfunktion ψ t : R 3N C Schrödinger-Gleichung i ψ t = Ĥψ mit Ĥ = Hamilton-Operator Ĥψ = N k=1 2 2m k 2 kψ + V ψ V (q 1,..., q N ) = potentielle Energie Was hat ψ mit der Materie zu tun? Kopenhagener Deutung: Wahrscheinlichkeits-Amplitude Bohm (1952): Teilchenbahnen dq k dt = m k Im k ψ ψ Ghirardi-Rimini-Weber (1986): spontaner Kollaps Blitz-Ontologie P(F ) = ψ t0 Ê( ) ψ t0 Materiedichte-Ontologie m(x, t) = ψ t ˆM(x) ψ t Everett (1957): Viele Welten, z.b. m(x, t) = ψ t ˆM(x) ψ t

26 Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch Dichteoperator und Verteilung der Wellenfunktion Hilbert-Raum H, z.b. L 2 (R 3N, C) Einheits-Sphäre S(H ) = {ψ H : ψ = 1} mit Borel σ-algebra Wahrscheinlichkeits-Verteilung µ auf S(H ) Äquivalenzrelation µ ˆ=ν : empirisch ununterscheidbar ˆρ µ = ˆρ ν, wobei ˆρ µ = S(H ) µ(dψ) ψ ψ zugehöriger Dichteoperator (DO) (= Dichtematrix) (= Kovarianz-Operator von µ, da o.b.d.a. E µ ψ = 0.) Nicht injektiv: ˆρ µ = ˆρ ν µ = ν ˆρ ist DO ˆρ ist positiv, in der Spurklasse und tr(ˆρ) = 1

27 Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch Dichteoperator und Verteilung der Wellenfunktion Dichteoperator ist zu benutzen zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse eines Experiments: P( ) = tr(ˆρ Ê( )), Ê( ) = POVM. Verteilung ist zu benutzen wenn jedes System eines Ensembles eine Wellenfunktion hat s-aussagen, die für die meisten Wellenfunktionen (bzgl. µ) gelten: µ{ω : p(ω)} > 1 ε Bsp [D. Page 1993] Für die meisten ψ S(H 1 H 2 ) hat ρ 1 = tr 2 ψ ψ nahezu maximales tr(ρ 1 log ρ 1 ) im Limes dim H 2.

28 1927: Kanonischer Dichteoperator Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch kanonischer DO: ˆρ T = 1 ( Z exp Ĥ ) kt mikrokanonischer DO: ˆρ E,δE = 1 Z 1 [E,E+δE](Ĥ), wobei δe klein, makroskopisch gesehen aber δe Abstand der Energie-Eigenwerte John von Neumann ( )

29 Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch GAP als kanonische Verteilung der Wellenfunktion Behauptung Ein quantenmechanisches System im thermischen Gleichgewicht bei Temperatur T wird beschrieben durch eine zufällige Wellenfunktion ψ mit Verteilung GAP(T ) = GAP(ˆρ T ). Zu jedem Dichteoperator ˆρ auf H gibt es eine Wahrscheinlichkeits-Verteilung GAP( ˆρ) auf S(H ). Anwendung In vielen Fällen kennen wir die Wellenfunktion nicht: Photonen von der Sonne oder einem Stern Photonen von einer Glühlampe Elektronen aus einem Metallstück gesaugt (Braunsche Röhre) Wenn das Teilchen aus einem System im thermischen Gleichgewicht stammt, ist die Antwort GAP(T ).

30 Gauß-Verteilung in C n Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch In C: wie in 2 Dimensionen, symmetrisch mit Varianz c = E X 2, d.h. Re X und Im X sind unabhängig mit Varianz c/2. In C n : ρ(x 1,..., x n ) = 1 Z e x ˆPx Dabei ist ˆP eine selbst-adjungierte, positiv-definite Matrix. Kovarianzmatrix Ĉ = (C ij) ij, C ij = E(X i X j ). Es gilt wieder ˆP = Ĉ 1.

31 Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch Gauß-Verteilung in -vielen Dimensionen sei H ein separabler, -dim Hilbert-Raum Dichtefunktion ρ(x 1, x 2,...) existiert nicht, weil Volumen (Lebesgue-Maß) nicht existiert sei Ĉ selbst-adjungierter, positiver Operator auf H sei Ĉ = c n n n Spektralzerlegung n=1 mit ONB { n : n N}, c n 0 sei X n komplex-gauß-verteilt mit Varianz c n, unabhängig setze ψ = n X n n ψ H fast sicher, wenn n c n < Konstruktion definiert µ = G(Ĉ), falls Ĉ in der Spurklasse liegt

32 Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch GAP-Verteilung eingeführt S. Goldstein, J.L. Lebowitz, R. Tumulka, N. Zanghì: On the Distribution of the Wave Function for Systems in Thermal Equilibrium. J. Statist. Phys. 125, (2006). Sheldon Goldstein Joel Lebowitz Nino Zanghì

33 Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch GAP-Verteilung eingeführt S. Goldstein, J.L. Lebowitz, R. Tumulka, N. Zanghì: On the Distribution of the Wave Function for Systems in Thermal Equilibrium. J. Statist. Phys. 125, (2006). Literatur zur GAP-Verteilung R. Tumulka, N. Zanghì: Smoothness of Wave Functions in Thermal Equilibrium. J. Math. Phys. 46, (2005). J. D. Urbina, K. Richter: Random Wave Models. Preprint (2006). P. Reimann: Typicality for Generalized Microcanonical Ensembles. Phys. Rev. Lett. 99, (2007). P. Reimann: Typicality of pure states randomly sampled according to the Gaussian adjusted projected measure. J. Statist. Phys. (2008) Goldstein, Lebowitz, Mastrodonato, Tumulka, Zanghì: Typicality of the GAP Measure. In Vorbereitung (2008)

34 Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch GAP-Verteilung: Definition in 3 Schritten AUSSIAN DJUSTED ROJECTED

35 Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch GAP-Verteilung: Definition in 3 Schritten AUßSCH NGEPASST ROJIZIERT

36 Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch GAP-Verteilung: Definition in 3 Schritten AUßSCH: Beginne mit G(ˆρ) = Gauß-Verteilung auf H mit Kovarianz ˆρ, d.h. E G(ˆρ) φ ψ ψ χ = φ ˆρ χ φ, χ H.

37 Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch GAP-Verteilung: Definition in 3 Schritten AUßSCH: Beginne mit G(ˆρ) = Gauß-Verteilung auf H mit Kovarianz ˆρ NGEPASST: Erhalte die Verteilung GA( ˆρ) auf H durch Multiplikation mit Dichtefunktion ψ ψ 2 : GA(ˆρ)(dψ) = ψ 2 G(ˆρ)(dψ)

38 Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch GAP-Verteilung: Definition in 3 Schritten AUßSCH: Beginne mit G(ˆρ) = Gauß-Verteilung auf H mit Kovarianz ˆρ NGEPASST: Erhalte die Verteilung GA( ˆρ) auf H durch Multiplikation mit Dichtefunktion ψ ψ 2 : GA(ˆρ)(dψ) = ψ 2 G(ˆρ)(dψ) ROJIZIERT auf die Sphäre S(H ): ψ GAP = ψga ψ GA oder GAP(ˆρ)(B) = GA(ˆρ)(R + B) für B S(H ). Der Faktor ψ 2 kompensiert die Änderung der Kovarianz durch die Projektion auf S(H ), daher ˆρ GAP(ˆρ) = ˆρ.

39 Eigenschaften der GAP-Verteilung Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch der richtige Dichteoperator ˆρ GAP(ˆρ) = E GAP(ˆρ) ψ ψ = E GA(ˆρ) ψ ψ ψ 2 kovariant Û GAP(ˆρ) = GAP(Û ˆρÛ 1 ) = E G(ˆρ) ψ ψ = ˆρ für jeden unitären Operator Û auf H invariant unter der unitären Zeitentwicklung, wenn ˆρ invariant erblich Wenn ein System Temperatur T hat, dann auch jedes Teilsystem GAP eines Produkt- ˆρ hat Randverteilung GAP Habe ψ S(H 1 H 2 ) Verteilung GAP(ˆρ 1 ˆρ 2 ), dann hat, für beliebige ONB {b i } von H 2, die bedingte Wellenfunktion ψ 1 Verteilung GAP(ˆρ 1 ).

40 Bedingte Wellenfunktion Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch Bohmsche Mechanik Eine Version von Quantenmechanik mit Teilchenbahnen Zustand zur Zeit t = ( Q(t), ψ(t) ) = (Konfiguration, Wellenfkt) W keits-verteilung von Q(t) ist ψ(t) 2. Hier Q(t) = (Q 1 (t), Q 2 (t)). Def bedingte Wellenfunktion [Dürr, Goldstein, Zanghì 1992] ψ 1 (q 1, t) = 1 Z ψ(q 1, Q 2 (t), t) Viele-Welten In jeder Welt besitzt das System eine bedingte Wellenfunktion.

41 Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch Allgemeine Definition der bedingten Wellenfunktion Def Sei ψ H 1 H 2 mit ψ = 1, wähle Orthonormalbasis (ONB) {b j } von H 2. ψ 1 = 1 Z b J ψ 2 H 1 b J = zufälliger Basisvektor mit P(J = j) = bj ψ 2 2

42 Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch Wir schreiben System 1 die Wellenfunktion ψ 1 zu. ψ 1 ist zufällig, obschon ψ es nicht ist (in BM ist Q(t) zufällig, in GRW kollabiert ψ stochastisch zu etwa ψ 1 ψ 2, in Viele-Welten hängt ψ 1 von der Welt ab) ψ legt die Verteilung P ψ 1 von ψ 1 fest ˆρ P ψ = ˆρ 1 1 der Dichteoperator von ψ 1 ist der reduzierte Dichteoperator,d.h. ψ P ψ 1 ψ ψ tr 2 Unter allen Verteilungen µ 1 auf S(H 1 ) mit ˆρ µ1 = ˆρ 1 sind nicht alle gleichermaßen plausibel: ˆρ1 50% hier 50% dort vs. 50% 2 1/2 ( hier + dort ) 50% 2 1/2 ( hier dort )

43 GAP ist typisch 1866: Maxwells Geschwindigkeitsverteilung Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch mikrokanonische Verteilung = Gleichverteilung auf S(H [E,E+δE] ) Behauptung Für die meisten ψ gemäß der mikrokanonischen Verteilung für s + b gilt P ψ 1 GAP(ˆρ T ). Diese Behauptung entspricht f (ω) y ist typisch mit ω = ψ H s H b gemäß der mikrokanonischen Verteilung, f (ω) = P ψ 1 ist die W keits-verteilung von ψ 1, y = GAP(ˆρ T ) Die Verteilung von ψ 1 ist nahezu konstant Klassisch: Zufall rein, Zufall raus. Quantenmechanisch: Zufall raus ohne Zufall rein. Klassisch: fester Phasenpunkt ( ξ s, ξ b ) ergibt festen ξs Quantenmechanisch: festes ψ H s H b, zufälliges ψ s

44 GAP ist bedingt typisch Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch Betrachte H 1 fest und festen DO ˆρ 1 auf H 1, aber H 2 = H (n) 2, n N, dim H (n) 2 für n ; sei R n = { ψ S(H 1 H (n) } 2 ) : tr 2 ψ ψ = ˆρ 1, sei u n die Gleichverteilung auf R n ; fü bel. Orthonormalbasis B = {b 1,..., b d(n) } of H (n) 2, betrachte P (n,ψ,b) 1 = Verteilung von ψ 1, gegeben ψ H (n) 2 und B. Satz über bedingte [RT et al., 2007] Für jedes δ > 0 und jede beschränkte stetige Testfkt ϕ : S(H 1 ) R gilt } u n {ψ R n : P (n,ψ,b) 1 (ϕ) GAP(ˆρ 1 )(ϕ) < δ 1 für n, gleichmäßig in B, Notation P(ϕ) = P(dψ) ϕ(ψ) = E P ϕ.

45 GAP ist bedingt typisch Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch In anderen Worten: Für typisches ψ mit tr 2 ψ ψ = ˆρ 1 hat ψ 1 Verteilung GAP(ˆρ 1 ). Beweis: Beruht auf Schmidt-Zerlegung ψ = i c i χ i 1 φ i 2 = i pi i 1 φ i 2, ONS {φ i } Betrachte unitäre Zufalls-Matrix (U ij ) U(m) mit Gleichverteilung (Haar-Maß); die obere linke k k Teilmatrix konvergiert in Verteilung (nach Multiplikation mit Normierungsfaktor m) für m gegen eine Matrix aus unabhängigen komplex-gauß-verteilten Zufallsvariablen mit Mittel 0 und Varianz 1 [Petz and Réffy 2004; RT and CM 2007] (analog zu Satz 1)

46 Typische Basis 1866: Maxwells Geschwindigkeitsverteilung Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch Wir brauchen entweder typische Wellenfunktion ψ, beliebige Basis B oder beliebige Wellenfunktion ψ, typische Basis B Satz 2 über bedingte [RT et al., 2007] Für jedes δ > 0 und jede beschränkte stetige Testfkt ϕ : S(H 1 ) R gilt { } B ONB(H (n) 2 ) : P (n,ψ,b) 1 (ϕ) GAP(ˆρ 1 )(ϕ) < δ 1 u (n) ONB für n, gleichmäßig in ψ R n. (Notation P(ϕ) = P(dψ) ϕ(ψ) = E P ϕ) u (n) (n) ONB = Gleichverteilung auf ONB(H 2 ) ( Haar-Maß)

47 GAP- 1866: Maxwells Geschwindigkeitsverteilung Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch H 1 fest, während H 2 = H (n) 2, n N, dim H (n) sei H (n) R (z.b. H (n) R sei u (n) R H 1 H (n) 2 Unterraum, dim H (n) R = H E,δE mikrokanonisch). Sei ˆρ (n) R (n) die Gleichverteilung auf S(H sei ˆρ (n) can = tr 2 ˆρ (n) R sei u (n) ONB Satz in spe R ) die Gleichverteilung auf ONB(H (n) 2 ). 2 für n ; für n (n) = (dim H R ) 1 ˆPH (n) R Für jedes δ > 0 und jede beschränkte stetige Testfkt ϕ : S(H 1 ) R, { } u (n) R u(n) ONB (ψ, B) : P (n,ψ,b) 1 (ϕ) GAP(ρ (n) can)(ϕ) < δ 1 für n unter Bedingungen an das Wachstum von H R. (Notation P(ϕ) = P(dψ) ϕ(ψ) = E P ϕ.)

48 Beweis für GAP- Quantenmechanik Definition der GAP-Verteilung Bedingte Wellenfunktion GAP ist typisch Zutaten: bedingte von GAP( ˆρ) gegeben ˆρ kanonische

49 Was ist kanonische? GAP- kanonische Beweisidee kanonische

50 Was ist kanonische? GAP- kanonische Beweisidee kanonische Literatur über kanonische E. Schrödinger (1952) Statistical Thermodynamics, second edition P. Bocchieri, A. Loinger (1959) Phys. Rev. 114, 948 J. Gemmer, G. Mahler, M. Michel (2004) Quantum Thermodynamics S. Goldstein, J.L. Lebowitz, R. Tumulka, N. Zanghì (2006) Canonical Typicality. Phys. Rev. Lett. 96, S. Popescu, A. J. Short, A. Winter (2006) Entanglement and the foundation of statistical mechanics. Nature Physics 21,

51 Was ist kanonische? GAP- kanonische Beweisidee kanonische System s, Wärmebad b, Kopplung vernachlässigbar: Bekannt: (Aussage im Mittel ) Ĥ = Ĥs Îb + Îs Ĥb. tr b ˆρ E,δE ˆρ T partielle Spur mikrokan. DO kanonischer DO im thermodynamischen Limes N b, E/N b e < Neu: (Aussage fast immer ) kanonische u E,δE { ψ : tr b ψ ψ ˆρ T } 1 mikrokanonische Verteilung auf S(H s H b ) im thermodynamischen Limes Für die meisten ψ von s + b aus dem mikrokanonischen Ensemble ist die reduzierte Dichtematrix von s kanonisch.

52 Was ist kanonische? GAP- kanonische Beweisidee kanonische GAP- kanonische Um zu zeigen, dass P ψ 1 GAP(ˆρ T ), beweist man zunächst kanonische. Andererseits ist kanonische auch eine Konsequenz: per definitionem, ˆρ P ψ 1 = E ψ 1 ψ 1 = j b j ψ 2 2 b j ψ ψ b j b j ψ 2 2 = tr b ψ ψ ; wie wir wissen, Daher ˆρ GAP(ˆρT ) = ˆρ T. tr b ψ ψ ˆρ T.

53 Was ist kanonische? GAP- kanonische Beweisidee kanonische Satz über Kanonische [Popescu, Short, Winter 2005] Seien H R H s H b ein beliebiger Unterraum (z.b. H R = H E,δE mikrokanonisch), u R die Gleichverteilung auf S(H R ), ˆρ R = 1 dim H R ˆPHR und ε > 0. Dann u R {ψ : } tr b ψ ψ tr b ˆρ 1 R η η, wobei η, η klein sind, wenn dim H s 1/tr(tr s ˆρ R ) 2 (System Bad) und ε 1 ε 2 dim H R (viele Zustände möglich). ˆM 1 = tr ˆM = = tr ˆM ˆM Sandu Popescu Andreas Winter

54 Was ist kanonische? GAP- kanonische Beweisidee kanonische Dankeschön für die Aufmerksamkeit

55 Beweisidee kanonische Was ist kanonische? GAP- kanonische Beweisidee kanonische Erste Hälfte altbekannt: Ĥ s = n E n n s n ˆρ E,δE = (dim H E,δE ) 1 n ˆP Hb,E En,δE n s n ( ) dim Hb,E En,δE n s n ˆρ T tr b ˆρ E,δE = (dim H E,δE ) 1 n ( ) weil dim H b,e En,δE e S(E En) exp S E E n = e En/kT

56 Was ist kanonische? GAP- kanonische Beweisidee kanonische Zweite Hälfte neuartig: u E,δE G(ˆρ E,δE ) ( Alle nicht-verschwindenden Komponenten sind nahezu i.i.d. Gaußsch ). Sei Ψ G(ˆρ E,δE ). Dann Ψ = n n s Φ n b mit Φ n = E E n E b,m E+δE E n X nm m b Hierbei sind X nm i.i.d. komplex-gauß-verteilte Zufallsvariablen mit Mittel 0 und Varianz E X nm 2 = (dim H E,δE ) 1. Weiter tr b Ψ Ψ = n,n Φ n Φ n b n s n n p n n s n mit p n = X nm 2 dim H b,e En,δE dim H E,δE E E n E b,m E+δE E n weil Φ n Φ n 0 für n n: Φ n = XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Φ n = XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX