Prüfung im Anschluss an das Sommersemester 2004 Nachtermin am 18. Februar 2005 von bis Uhr in Hörsaal 14

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1 Note Technische Universität München WS 2004/2005 Zentrum Mathematik apl. Prof. Dr. J. Hartl Höhere Mathematik 2 (Weihenstephan) Prüfung im Anschluss an das Sommersemester 2004 Nachtermin am 8. Februar 2005 von 0.30 bis.30 Uhr in Hörsaal 4 0 I II 02 Name Vorname 03 Matrikelnummer Fachsemester Fachrichtung Hörsaal Platz Hinweise: 08. Die Bearbeitung der Aufgaben muss den Lösungsweg eindeutig erkennen lassen. 2. Als Hilfsmittel sind zugelassen: Eigene Aufzeichnungen, Skripten, Formelsammlungen, Lehrbücher, Taschenrechner. Diese Hilfsmittel dürfen während der Prüfung nicht weitergegeben werden Summe: Unterschrift:... I Ich wünsche, dass meine Note nach der Korrektur unverzüglich durch Veröffentlichung unter meiner Matrikelnummer im Internet bekanntgegeben wird. II Unterschrift:...

2 . Die Lebensdauer eines Verschleißteils wird mit guter Näherung durch eine Zufallsvariable D beschrieben, deren Verteilungsfunktion F : R [0, ] gegeben ist durch { w(d x) = F (x) = 0 falls x < 0 2 x falls 0 x < Dabei ist x die Zeit in Stunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit a) w, dass ein solches Teil eine Lebensdauer zwischen 3 und 4 Stunden hat? w = F (4) F (3) = 2 4 ( 2 3 ) = 8 6 = 6 }. = 0, 0625 = 6, 25%. b) w 2, dass ein solches Teil eine Lebensdauer von mindestens 2 Stunden hat? w 2 = F (2) = ( 2 2 ) = w 2 = 4096 = 0, , 024%. 2) In einer kleinen Zisterne läuft das Regenwasser einer Dachfläche zusammen. Während dreier Regenperioden in einem Sommer wird jeweils am Abend festgestellt, um wieviel der Zisterneninhalt zugenommen hat. Sonst bleibt der Sommer trocken. Am Ende des Sommers wird folgende Tabelle erstellt: Dauer der Regenperiode in Tagen Wasserzunahme in Litern pro Tag a) Um wieviele Liter hat das Wasser in der Zisterne in diesem Sommer pro Regentag durchschnittlich zugenommen? ( ) = ( ) = 2 2 = 300 Das Wasser in der Zisterne hat pro Regentag um 300 Liter zugenommen. b) Welche Mittelbildung ist zu verwenden, wenn man aus den durchschnittlichen Zunahmen pro Tag für mehrere Regenperioden die durchschnittliche Zunahme pro Regentag über alle betrachteten Regenperioden insgesamt ermitteln will? Das gewogene (oder gewichtete) arithmetische Mittel, wobei die Gewichte gegeben werden durch die Dauern der einzelnen Regenperioden in Tagen, dividiert durch die Gesamtdauer aller Regenperioden in Tagen. 2

3 3. Da der Holzpreis in einem Jahr günstig ist, werden 20 % einer Waldfläche gefällt (und neu aufgeforstet). Im nächsten Jahr werden noch einmal 6, 25 % der dann noch vorhandenen Fläche des Altbestandes gefällt (und neu aufgeforstet). a) Wieviel Prozent der ursprünglichen Fläche F des Altbestandes müssen nach drei Jahren noch stehen, damit man in die Statistik schreiben kann, dass in den drei Jahren durchschnittlich pro Jahr 0 % der Fläche des Altbestandes gefällt wurden? Abnahme der Fläche um 0 % reduziert F auf 0,9F. Jährliche Abnahme um 0 % der Fläche über drei Jahre reduziert F auf 0, 9 3 F = 0, 729F. Nach drei Jahren müssen noch 72,9 % der Fläche des Altbestandes stehen. b) Wieviel Prozent der ursprünglichen Fläche des Altbestandes stehen nach zwei Jahren noch? 0, 80 0, 9375 = 0, 75 Nach zwei Jahren stehen noch 75 % der ursprünglichen Fläche des Altbestandes. c) Welchen Anteil der nach zwei Jahren noch stehenden Fläche des Altbestandes darf man im dritten Jahr fällen, damit man in die Statistik schreiben kann, dass in den drei Jahren durchschnittlich pro Jahr 0 % des Altbestandes abgeholzt wurden? Nach zwei Jahren stehen noch 75 % der Fläche des Altbestandes, nach drei Jahren müssen noch 72,9 % der Fläche des Altbestandes stehen. 72,9 75 = 0, 972 = Im dritten Jahr dürfen noch 2,8 % der noch stehenden Fläche des Altbestandes gefällt werden. 3

4 4. Bei einem Glücksspiel wird eine Münze viermal geworfen. Bei jedem Wurf ist die Wahrscheinlichkeit je 50 %, Kopf (K) oder Zahl (Z) zu werfen. Vor dem Spiel wird eine Kombination (unter Berücksichtigung der Reihenfolge) von vier möglichen Ergebnissen aufgeschrieben und verdeckt abgelegt. Die Teilnahme an einem Spiel kostet Euro. Werden beim Spiel alle vier Ergebnisse so geworfen, wie sie auf dem verdeckt abgelegten Blatt stehen, beträgt der Gewinn 0 Euro. Werden drei Ergebnisse, aber nicht vier, richtig geworfen, so beträgt der Gewinn 2 Euro. a) Wieviele verschiedene Kombinationen kann man aufschreiben und verdeckt ablegen? 2 4 = 6 verschiedene Kombinationen kann man aufschreiben. b) Wie groß ist bei einem Spiel die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von 0 Euro? Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von 0 Euro bei einem Spiel ist = 0, 0625 = 6, 25%. 6 c) Wie groß ist bei einem Spiel die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von 2 Euro? Einen Gewinn von 2 Euro gibt es, wenn einer der Würfe nicht das richtige Ergebnis hatte, aber die anderen drei. Dafür gibt es vier unvereinbare Möglichkeit, je mit der Wahrscheinlichkeit 3 =. Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von 2 Euro beträgt also 4 = = 0, 25 = 25%

5 5. Um das Wachstum der Bäume in einem bestimmten Waldstück zu beschreiben, hat ein Förster eine einfache Faustregel: Damit hat er vor einem Jahr die Höhe einiger Bäume vorhergesagt (Höhen x,..., x 6 in Metern). Nun hat er die tatsächlich erreichte Höhe dieser Bäume gemessen (Messergebnisse y,..., y 6 in Metern) und will vergleichen. x i 24, 9, 8 2, 5 7, 0 33, 6 20, 2 y i 24, 9, 7 2, 6 7, 0 33, 5 20, 8 a) Berechnen Sie den Durchschnitt x der vorhergesagten Höhen x i der Bäume und den Durchschnitt ȳ der gemessenen Höhen y i der Bäume (jeweils i =,..., 6) in Metern. x = (24, + 9, 8 + 2, 5 + 7, , , 6) = 6 36, 2 = 22, 7. 6 ȳ = (24, + 9, 7 + 2, 6 + 7, , , 8) = 36, 7 = 22, , 78 22, 8. 6 b) Berechnen Sie die mittlere quadratische Abweichung s 2 x der vorhergesagten Höhen in Quadratmetern. s 2 x = n n (x i x) 2 = i= 5 ((24, 22, 7)2 + (9, 8 22, 7) 2 + (2, 5 22, 7) 2 + (7, 0 22, 7) 2 + (33, 6 22, 7) 2 +(20, 2 22, 7) 2 ) = 5 (, 96+8, 4+, 44+32, 49+8, 8+6, 25) = 69, 36 = 33, c) Wie groß ist die empirische Standardabweichung s x der vorhergesagten Höhen in Metern? s x = s 2 x = 33, 872 5,

6 d) Um Ihnen das Vorblättern zu ersparen noch einmal die vorausgesagte Höhe x,..., x 6 in Metern und die tatsächlich erreichte Höhe der Bäume (Messergebnisse y,..., y 6 in Metern): x i 24, 9, 8 2, 5 7, 0 33, 6 20, 2 y i 24, 9, 7 2, 6 7, 0 33, 5 20, 8 Geben Sie den Korrelationskoeffizienten r an für die vorausgesagte und für die gemessene Höhe der Bäume. Schreiben Sie dazu eine explizite Formel für r mit eingesetzten Zahlenwerten hin. Zur Erleichterung der Schreibarbeit können Sie z.b. in einem Bruch kürzen oder erweitern. r xy = n i= (x i x)(y i ȳ) n i= (x i x) 2 n i= (y i ȳ) 2 = 5sx (24, 22,78) 2 +(9,7 22,78) 2 +(2,6 22,78) 2 +(7,0 22,78) 2 +(33,5 22,78) 2 +(20,8 22,78) 2 ((24, 22, 7)(24, 22, 78) + (9, 8 22, 7)(9, 7 22, 78) + (2, 5 22, 7)(2, 6 22, 78) + (7, 0 22, 7)(7, 0 22, 78) + (33, 6 22, 7)(33, 5 22, 78) + (20, 2 22, 7)(20, 8 22, 78)) = 5 33,872,7424+9,4864+, ,4084+4,984+3,9204 (, 4, 32 + ( 2, 9) ( 3, 08) + (, 2) (, 8) + ( 5, 7) ( 5, 78) + 0, 9 0, 72 + ( 2, 5)(, 98)) = 5 33,872 64,8684 (, , 932 +, , , , 95) = 5 33,872 64,8684 (66, 94) 66,94 67, , e) Ermitteln Sie die Gleichung der Regressionsgeraden in der Gestalt ŷ = aˆx + b. Aus der Vorlesung: a = a = ( n i= y i) ( n i= x i) n n i= y ix i ( n i= x i) 2 n( n i= x2 i ) b = ȳ x a 36, (24, 2 + 9, , , , , 2 2 ) (36, 7 36, 2 6 (24, 24, + 9, 8 9, 7 + 2, 5 2, 6 + 7, 0 7, 0+ 33, 6 33, , 2 20, 8)) = 868, , , , 6 b (22, 78 22, 7 0, 9857) = 0, , , , , = = 00, 64 06, 6 0, 9857 näherungsweise Gleichung der Regressionsgeraden: ŷ = 0, 99ˆx + 0, 40 6

7 6. Bei den sieben südlichen Bundesländern Bayern, Baden-Württemberg, Sachsen, Thüringen, Hessen, Rheinland-Pfalz und Saarland betrugen im Jahr 998 die Arbeitslosenquote x i in Prozent und das Bruttoinlandsprodukt y i je Erwerbstätigen in DM: x i 7, 0 7, 7, 5 7, 9, 0 8, 8, 5 y i Zeichnen Sie ein Streudiagramm, um einen ersten Eindruck davon zu bekommen, ob und wie die Arbeitslosenquote und die Höhe des Bruttoinlandsprodukts in den aufgeführten Bundesländern sich zueinander verhalten

8 7. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine über 50 Jahre alte gesund erscheinende Person in einem bestimmten Land Darmkrebs hat, beträgt 0,3 %. Wenn eine Person Darmkrebs hat, zeigt fällt der Hämokkulttest auf Darmkrebs mit 50 % Wahrscheinlichkeit positiv aus. Wenn eine Person keinen Darmkrebs hat, beträgt die Wahrscheinlichkeit 3 %, dass der Test trotzdem positiv ausfällt. Bezeichnungen für Ereignisse: D Eine Person hat Darmkrebs. G Eine Person ist gesund (hat keinen Darmkrebs). P Ein Hämokkulttest auf Darmkrebs fällt positiv aus. N Ein Hämokkulttest auf Darmkrebs fällt negativ aus. Es gilt also für einen Hämokkult-Reihentest auf Darmkrebs unter über 50 Jahre alten gesund erscheinenden Personen in diesem Land: w(d) = 0, 003, w D (P ) = 0, 5, w G (P ) = 0, 03. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilnehmer an dem Reihentest positiv getestet wird, also w(p )? P = DP + GP, und DP, GP sind unvereinbare Ereignisse. = w(p ) = w(dp + GP ) = w(dp ) + w(gp ) = w(d)w D (P ) + w(g)w G (P ) = 0, 003 0, 5 + 0, 997 0, 03 = 0, , 0299 = 0, 034 w(p ) = 0, 034 = 3, 4% b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getesteter Teilnehmer tatsächlich Darmkrebs hat, also die Wahrscheinlichkeit w P (D)? w P (D) = w(p D) = w(dp ) = w(d)w D(P ) = 0,003 0,5 w(p ) w(p ) w(p ) 0,034 0, , 78% c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein negativ getesteter Teilnehmer tatsächlich keinen Darmkrebs hat, also die Wahrscheinlichkeit w N (G)? = w(gn) w(n) = w(g)w G(N) w(n) w N (G) = w(ng) w(n) Jetzt braucht man w(g) = w(d) = 0, 997, w G (N) = w G (P ) = 0, 97, w(n) = w(gn + DN) = w(gn) + w(dn) = w(g)w G (N) + w(d)w D (N) = w(g)( w G (P )) + w(d)( w D (P )) = 0, 997 0, , 003 0, 5 = 0, w N (G) = 0, 997 0, 97 0, , , 85% 8