Prüfung im Anschluss an das Sommersemester 2003 Nachtermin am 20. Februar 2004 von bis Uhr in Hörsaal 14

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1 Note Technische Universität München WS 2003/2004 Zentrum Mathematik apl. Prof. Dr. J. Hartl Höhere Mathematik 2 (Weihenstephan) Prüfung im Anschluss an das Sommersemester 2003 Nachtermin am 20. Februar 2004 von bis Uhr in Hörsaal I II Name Vorname 03 Matrikelnummer Fachsemester Fachrichtung Hörsaal Hinweise: Platz Die Bearbeitung der Aufgaben muss den Lösungsweg eindeutig erkennen lassen. 2. Als Hilfsmittel sind zugelassen: Eigene Aufzeichnungen, Skripten, Formelsammlungen, Lehrbücher, Taschenrechner. Diese Hilfsmittel dürfen während der Prüfung nicht weitergegeben werden Unterschrift:... Summe: Ich wünsche, dass meine Note nach der Korrektur unverzüglich durch Veröffentlichung unter meiner Matrikelnummer im Internet bekanntgegeben wird. I II Unterschrift:... 1

2 1. Die Lebensdauer eines Verschleißteils wird durch eine Zufallsvariable D beschrieben, deren Verteilungsfunktion F : R [0, 1] gegeben ist durch 0 falls x < 0 w(d x) = F (x) = 0, 001x 3 falls 0 x < falls 10 x Dabei ist x die Zeit in Stunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit a) w 1, dass ein solches Teil eine Lebensdauer zwischen 4 und 5 Stunden hat? b) w 2, dass ein solches Teil eine Lebensdauer von mindestens 7,8 Stunden hat? 2) Auf vier Dienstreisen gibt ein bayerischer Beamter Spesen aus. Dauer in Tagen Ausgabe in Euro pro Tag 0, , 5 30 a) Welchen Betrag an Spesen hat der Beamte durchschnittlich pro Tag verbraucht? b) Welche Mittelbildung ist zu verwenden, wenn man aus den einzelnen Spesenbeträgen pro Tag von mehreren Dienstreisen die Spesenbeträge pro Tag insgesamt ermitteln will? 2

3 3. Eine neue ansteckende Krankheit verbreitet sich schnell. Nachdem die Meldepflicht eingeführt wurde, verdoppelt sich die Anzahl der Erkrankten innerhalb einer Woche, obwohl bereits erste Maßnahmen zur Eindämmung der Krankheit ergriffen wurden. In der nächsten Woche nimmt die Anzahl der Erkrankten um 50 % zu, in der dritten Woche nach Einführung der Meldepflicht um 12, 5%. a) Wie hoch war in den ersten drei Wochen nach der Einführung der Meldepflicht die durchschnittliche wöchentliche Zunahme der Zahl der Erkrankten in Prozent? b) Um wieviel Prozent darf die Anzahl der Erkrankten in der vierten Woche nach Einführung der Meldepflicht höchstens zunehmen, damit die durchschnittliche wöchentliche Zunahme der Zahl der Erkrankten in der dritten und vierten Woche zusammen nicht mehr als 20 % beträgt? 3

4 4. Ein Magier teilt in einer Vorstellung auf der Suche nach medial begabten Personen Karten mit vier Fragen aus, deren Antworten die Zuschauer nicht wissen können. Die richtige Antwort ist jeweils eine der Zahlen 1, 2 oder 3. Eine Person gilt als medial begabt, wenn sie mindestens drei der vier Fragen richtig beantwortet hat. a) Wie viele medial begabte Personen sind in einer Vorstellung mit 486 Zuschauern zu erwarten, wenn man annimmt, dass jeder Zuschauer die Fragen rein zufällig beantwortet? b) Die medial begabten Personen werden anschließend demselben Test (mit anderen Fragen!) noch einmal unterzogen. Von wievielen ist zu erwarten, dass Sie sich jetzt als wirklich medial begabt herausstellen, wenn wieder alle Testteilnehmer die Fragen rein zufällig beantworten? 4

5 5. Im Rahmen einer Untersuchung des Ernährungsverhaltens wurde bei einem Ehepaar an den fünf Arbeitstagen einer Woche die Energiezufuhr durch Nahrung beobachtet. Der Ehemann hatte am Montag, Dienstag usw. nacheinander eine Energieaufnahme von 5400, 8600, 6200, 7000, 7800 kj. Die Ehefrau hatte an denselben Tagen eine Energieaufnahme von 5000, 7200, 5400, 6400, 6000 kj. a) Berechnen Sie die durchschnittliche tägliche Energieaufnahme (arithmetisches Mittel) x M des befragten Ehemannes und x F der befragten Ehefrau. der Energieauf- b) Berechnen Sie die mittlere quadratische Abweichung s 2 M nahmen des Ehemannes in der Einheit kj 2. c) Wie groß ist die empirische Standardabweichung s M der täglichen Energieaufnahme des Ehemannes in der Untersuchungswoche? Geben Sie die dabei verwendete Einheit an! 5

6 d) Um Ihnen das Vorblättern zu ersparen noch einmal die tägliche Energieaufnahme x i des Ehemannes und y i der Ehefrau in kj: x i y i Geben Sie den Korrelationskoeffizienten r an für die tägliche Energieaufnahme des Ehemannes und der Ehefrau. Schreiben Sie dazu eine explizite Formel für r mit eingesetzten Zahlenwerten hin. Das Ergebnis brauchen Sie nicht auszurechnen! Zur Erleichterung der Schreibarbeit können Sie z.b. in einem Bruch kürzen oder erweitern. 6

7 6. Bei den Staaten Afghanistan, Ägypten, Albanien, Algerien, Angola, Antigua und Barbuda (ein Staat!), Äquatorialguinea, Argentinien und Armenien werden die Urbanisierung x i und die Alphabetisierung y i der Bevölkerung in dieser Reihenfolge jeweils in Prozent angegeben wie folgt: x i y i Zeichnen Sie ein Streudiagramm, um einen ersten Eindruck davon zu bekommen, wie die Urbanisierung und die Alphabetisierung der Bevölkerung in den aufgeführten Staaten sich zueinander verhalten. 7

8 7. Eine Umfrage ergibt, dass 60 % der Wähler lieber Herrn Huber als Oberbürgermeister wollen, 40 % lieber Herrn Meyer. Kurz: w(h) = 60%, w(m) = 40%. Bei der Wahl erhält Huber 70 % der Stimmen, Meyer 30 %. Kurz: Die Wahlbeteiligung war 50 %, kurz: w W (H) = 70%, w W (M) = 30%. w(w ) = 50%. a) Welcher Anteil der gesamten Wählerschaft ist wählen gegangen und hat Huber gewählt? Kurz: Geben Sie w(w H) in % an. b) Wie groß ist der Anteil w H (W ) der Anhänger von Huber, die zur Wahl gegangen sind in %? 8