Technische Universität München SS 2006 Zentrum Mathematik Blatt 8 Prof. Dr. J. Hartl Dr. Hannes Petermeier Dr. Cornelia Eder Dipl.-Ing.

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Technische Universität München SS 2006 Zentrum Mathematik Blatt 8 Prof. Dr. J. Hartl Dr. Hannes Petermeier Dr. Cornelia Eder Dipl.-Ing."

Dominik Möller
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Technische Universität München SS 2006 Zentrum Mathematik Blatt 8 Prof. Dr. J. Hartl Dr. Hannes Petermeier Dr. Cornelia Eder Dipl.-Ing. Martin Nagel Höhere Mathematik 2 (Weihenstephan) 1. a) Man zeige: Für beliebige Ereignisse A, B, C gilt: w(a+b+c) = w(a)+w(b)+w(c) w(ab) w(ac) w(bc)+w(abc). Hinweis: Man beachte dabei, dass für beliebige Mengen A, B, C gilt: (A B) C = A (B C) =: A B C, dass also für beliebige Ereignisse A, B, C gilt: (A + B) + C = A + (B + C) =: A + B + C. b) Man berechne w(a + B + C + D). a) Wir wissen aus der Vorlesung: w(a + B) = w(a) + w(b) w(ab) (Dabei: A, B beliebige Ereignisse) Damit gilt: w(a+b+c) = w((a+b)+c) = w(a+b)+w(c) w((a+b)c) (1) Wir wissen aus dem 1. Semester: (A + B)C = (A B) C = (A C) (B C) = AC + BC Damit ist w((a + B)C) = w(ac + BC) = w(ac) + w(bc) w(acbc) = w(ac) + w(bc) w(abc) (2) (2) in (1) liefert: w(a + B + C) = w(a) + w(b) w(ab) + w(c) (w(ac) + w(bc) w(abc)) = w(a) + w(b) + w(c) w(ab) w(ac) w(bc) + w(abc) 1

2 b) Wir verwenden a): w(a+b+c+d) = w((a+b+c)+d) = w(a+b+c)+w(d) w((a+b+c)d) Dabei ist Folglich ist (A + B + C)D = AD + BC + CD. w(a + B + C + D) = w(a) + w(b) + w(c) w(ab) w(ac) w(bc)+ w(abc) + w(d) (w(ad) + w(bd) + w(cd) w(adbd) w(adcd) w(bdcd) + w(adbdcd)) = w(a) + w(b) + w(c) + w(d) w(ab) w(ac) w(ad) w(bc) w(bd) w(cd)+w(abc)+w(abd)+w(acd)+w(bcd) w(abcd) Dabei wurde verwendet, dass z.b. w(adbd) = w(abd). 2. a) Man zeige: Für beliebige Ereignisse A, B, C mit w(ab) 0 gilt: w(abc) = w(a)w A (B)w AB (C). Hinweis: Man beachte dabei, dass für beliebige Mengen A, B, C gilt: (A B) C = A (B C) =: A B C, dass also für beliebige Ereignisse A, B, C gilt: (AB)C = A(BC) =: ABC. b) Man berechne w(abcd). c) Man berechne w(abcdf ). a) Wir wissen aus der Vorlesung: w(ab) = w(a) w A (B) (Dabei sind A, B beliebige Ereignisse mit w(a) 0. Damit gilt: w(abc) = w((ab)c) = w(ab) w AB (C) = w(a) w A (B) w AB C Voraussetzen mussten wir dabei: w(ab) 0. 2

3 b) w(abcd) = w((abc)d) = w(abc)w ABC (D) = w(a) w A (B) w AB (C) w ABC (D) Vorausgesetzt ist dabei: w(abc) 0. c) Wir gehen vor wie in a) oder in b): w(abcd) = w((abc)d) = w(abc) w ABC (D) = w(a) w A (B) w AB (C) w ABC (D) 3. Eine Münze wird 6 mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, daß mindestens 3 mal hintereinander Kopf oben liegt? Eine Münze wird sechsmal hintereinander geworfen. Bezeichnung: K i... Beim i-ten Wurf liegt Zahl oben. Gesucht wird w(k 1 K 2 K 3 + K 2 K 3 K 4 + K 3 K 4 K 5 + K 4 K 5 K 6 ) Für diese Wahrscheinlichkeit haben wir in 1.b) eine Formel hergeleitet, nach der gilt: w(k 1 K 2 K 3 + K 2 K 3 K 4 + K 3 K 4 K 5 + K 4 K 5 K 6 ) = w(k 1 K 2 K 3 ) + w(k 2 K 3 K 4 ) + w(k 3 K 4 K 5 ) + w(k 4 K 5 K 6 ) w(k 1 K 2 K 3 K 4 ) w(k 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ) w(k 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 ) w(k 2 K 3 K 4 K 5 ) w(k 2 K 3 K 4 K 5 K 6 ) w(k 3 K 4 K 5 K 6 ) + w(k 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ) +w(k 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 ) + w(k 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 ) + w(k 2 K 3 K 4 K 5 K 6 ) w(k 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 ) = 4 ( 1 2 )3 3 ( 1 2 )4 2 ( 1 2 )5 ( 1 2 )6 + 2 ( 1 2 )5 + 2 ( 1 2 )6 ( 1 2 )6 = Schlau schlägt Schlumpf folgendes Spiel vor: Du darfst drei Würfel werfen. Wenn dabei Sechser auftreten, hast du gewonnen, sonst ich. Schlumpf überlegt: Wahrscheinlichkeit für 6 beträgt 1/6, Wahrscheinlichkeit, daß der erste oder der zweite oder der dritte Würfel eine 6 zeigt, ist also 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2. Er meint, es wäre ein faires Spiel. Warum ist das nicht 3

4 so? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß Schlumpf gewinnt? Schlumpf verwendet eine Regel, die nur gilt, wenn das Ereignis eine Sechs zu würfeln in jedem Wurf unvereinbar ist, mit dem Ereignis bereits eine Sechs geworfen zu haben. Das würde aber heißen, daß er, wenn er eine Sechs im ersten Wurf hat, in den weiteren Würfen keine Sechs mehr wirft. Schlau hat sich überlegt, daß es geschickter ist, sich zu überlegen, was passiert, wenn man im ersten, zweiten und dritten Wurf keine Sechs wirft. Dann ist nach der Laplaceschen Abzählregel jeweils P = 5 und wegen der Unabhängigkeit 6 der einzelnen Würfe die Wahrscheinlichkeit nach drei Würfen keine Sechs zu haben gleich ( ) Die Wahrscheinlichkeit, (mindestens) einmal eine Sechs zu erwischen ist dann 1 ( 5 3 6) 0.42, also auch die Wahrscheinlichkeit, daß Schlumpf gewinnt. 5. Ein Gerät bestehe aus einer großen Anzahl N von Bauteilen. Es sei so aufgebaut, daß das ganze Gerät funktionsuntüchtig wird, wenn auch nur eines der Bauteile fehlerhaft ist. Für jedes Bauteil sei die Wahrscheinlichkeit, fehlerhaft zu sein, gleich p. Wenn p = und N = 250 ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, daß das Gerät funktionsuntüchtig ist? Die Wahrscheinlichkeit, daß eines der Bauteile defekt ist, ist p. Also ist 1 p die Wahrscheinlichkeit, daß ein Bauteil funktionstüchtig ist. Die Funktionstüchtigkeit der Bauteile selbst hängt nicht voneinander ab (am leichtesten vorzustellen bei N unterschiedlichen Zulieferern), also sind die Ereignisse unabhängig und man erhält für die Wahrscheinlichkeit, daß das Gerät funktioniert P funktioniert = (1 p) N. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Gerät nicht funktioniert, ist demnach P defekt = 1 P funktioniert. Mit den angegebenen Zahlenwerten erhält man P defekt = 1 ( ) Mit einem Würfel, bei dem die Augenzahl durch große Löcher gekennzeichnet ist, wurde 600mal gewürfelt. Die dabei auftretenden Häufigkeiten für die gewürfelten Augenzahlen sind in folgender Tabelle angegeben: 4

5 Augenzahl absolute Häufigkeit a) Berechnen Sie die relative Häufigkeitsfunktion und stellen Sie diese in Form eines Stabdiagramms graphisch dar. b) Zeichnen Sie auch einen Graph der zugehörigen Summenhäufigkeitsfunktion. c) Bestimmen Sie den Median der hier gewürfelten Augenzahl. a) Stabdiagramm: siehe Tafelanschrieb. Augenzahl absolute Häufigkeit relative Häufigkeit Summenhäufigkeit b) Siehe Tafelanschrieb. c) Der Median ist zugleich das 50%-Fraktil, also die Zahl x K% = min{x F (x) K%} x 50% = min{x F (x) 50%}. Da F (3) = < 0.5 und F (4) = , ist der Median gleich Die Plankton-Konzentration im Meer nimmt exponentiell mit zunehmender Wassertiefe ab. a) Wie groß könnte bei einigen Messwerten in verschiedener Meerestiefe der Korrelationskoeffizient zwischen Meerestiefe und dem Logarithmus der Planktonkonzentration in etwa sein? b) Warum liegt im allgemeinen der Korrelationskoeffizient zwischen Meerestiefe und Plankton-Konzentration näher bei Null als der Korrelationskoeffizient zwischen Meerestiefe und dem Logarithmus der Planktonkonzentration? 5

6 a) Wenn die Plankton-Konzentration C p im Meer exponentiell mit zunehmender Wassertiefe t abnimmt, läßt sich der Zusammenhang als C p = k 1 k k 3t 2 angeben. Logarithmiert man diese Gleichung, so erhält man ln C p = ln k 1 + ln ( e ( k 3t) ln k 2 ) = ln k1 + ( k 3 t) ln k 2, also eine Geradengleichung. Damit ist zu erwarten, daß der Korrelationskoeffizient, der seine Aussagekraft ja für lineare Abhängigkeit zeigt, eher bei 1 liegt. b) Die Abhängigkeit zwischen Meerestiefe und Plankton-Konzentration liegt näher bei Null als die Abhängigkeit zwischen Meerestiefe und dem Logarithmus der Plankton-Konzentration, weil ersteres eine nichtlineare Abhängigkeit darstellt, letzteres durch die Transformation (vgl. oben) eben eine lineare. Die Aufgaben 1 bis 3 sollen - soweit möglich - in der Übung am Donnerstag, dem 1. Juli 2004 besprochen werden. Die Aufgaben 4 bis 7 sind zur häuslichen Bearbeitung gedacht. Gelegenheit zu Fragen gibt es nach der Vorlesung und nach der Übung sowie in den Tutorübungen. Auf einer Ausstellung von Unterrichtsprojekten entdeckte ich eine farbige Weltkarte der Temperaturverteilung. Ich fragte den Autor, warum es bei ihm am Amazonas so kalt sei - laut seiner Karte lag die Temperatur mit 38 Grad Fahrenheit um den Gefrierpunkt. Er zuckte mit den Achseln: Ich weiß nicht, ich hab die Karte aus dem Internet. Er hatte übersehen, dass die Temperaturen dort in Grad Celsius angegeben waren! Aus dem Buch Warum Computer nichts im Klassenzimmer zu suchen haben und andere High-Tech-Ketzereien von Clifford Stoll, erschienen im S. Fischer Verlag, Frankfurt am Main, 2001 (Dort zu finden auf S. 21) 6

Ähnliche Dokumente

Technische Universität München SS 2006 Zentrum Mathematik Blatt 7 Prof. Dr. J. Hartl Dr. Hannes Petermeier Dr. Cornelia Eder Dipl.-Ing.

Technische Universität München SS 2006 Zentrum Mathematik Blatt 7 Prof. Dr. J. Hartl Dr. Hannes Petermeier Dr. Cornelia Eder Dipl.-Ing. Martin Nagel Höhere Mathematik 2 (Weihenstephan) 1. In einer Urne