Grundwissen Mathematik 7I/1

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1 Grundwissen athematik 7I/ ultiplikation und Division in QI Rechenregeln a c a c = a c a d : = b d b d b d b c Vorzeichenregeln + +=+ =+ += + = + : +=+ : =+ : += + : = otenzgesetze. otenzgesetz n m n m a a = a eispiel: = + = Ü: a) = b) 2 5 0,5 0,5 0,5 = c) = = = 4 4 ( 2) ( 2) = 2. otenzgesetz n m n m (a ) = a eispiel: ( ) = = Ü: a) (,5 ) = b) [(k ) ] = c) 2 7 =. otenzgesetz n n n a b = (a b) eispiel: 2 = (2 ) = 6 Ü: a) = b) x y z = c) 7 7 ( 2,5) ( 2) = 4. otenzgesetz n a m a = a n m eispiel: 4 = = = 4 4 = = = 4 Ü: a) :7 = b) ( 2,2) :( 2,2) = c) = 5 5. otenzgesetz n n a a = n b b eispiel: = 4 = 6 6 Ü: a) :4 = b) 5 5 ( 8) :4 = c) 9 = Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

2 Gleichungen Grundwissen athematik 7I/2 Lösen von (Un)gleichungen durch Äquivalenzumformungen Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten die gleiche ahl addiert oder subtrahiert, beide Seiten mit der gleichen von Null verschiedenen ahl multipliziert oder durch sie dividiert. eispiele: GI = QI. 2x + 6= 6 2x = :(2) x =,5 IL = {, 5} 2. x 5 = x = x = 8 IL = { 8} 2 Ungleichungen Die Lösungsmenge einer Gleichung ändert sich nicht, wenn man auf beiden Seiten die gleiche ahl addiert oder subtrahiert, beide Seiten mit der gleichen positiven ahl multipliziert oder durch sie dividiert, beide Seiten mit der gleichen negativen ahl multipliziert oder durch sie dividiert und das Ungleichheitszeichen umkehrt (Inversionsgesetz). eispiele: GI = QI. 2x < 4 :(2) x > 7 Inversion! IL = {x x> 7} 2. 6x > 27 :6 x > 4,5 IL = {x x> 4,5}. x+ 5> 5 4 x > 8 4 ( 4) x < 2 Inversion! IL = {x x < 2} Ü: Löse durch Äquivalenzumformungen die folgenden Gleichungen und Ungleichungen mit GI = QI : a) 5x + 6 = 28 b) x 67< 4 c) 2x + < 8 d) 2x 4 > 2 e) (77 202) x = 4 f) + 2 x < 6 2 g) 2 x > 2 Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

3 Indirekte roportionalität Grundwissen athematik 7I/ Entspricht bei einer uordnung von Größen das n-fache der einen Größe dem n-ten Teil der anderen Größe, so heißt diese uordnung indirekte roportionalität. eispiel: Der Flächeninhalt eines Rechtecks beträgt 24 cm². Wenn GI = IN IN, ist dies für acht Rechtecke verschiedener Länge x cm und reite y cm möglich. 8 2 x y :2 : :8 Eigenschaften: lle ahlenpaare (x y) einer indirekten roportionalität sind produktgleich. Das rodukt x y hat immer den gleichen Wert. eispiel: x y = 24 = 2 2 = 8 = 4 6 = 6 4 = 8 = 2 2 = 24 Sprechweise: x und y sind zueinander indirekt proportional Schreibweise: y x Der Graph einer indirekten y roportionalität ist ein + + Hyperbelast. ( GI = QI 0 QI 0) eispiel: O x Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

4 insrechnung Grundwissen athematik 7I/4 Die insrechnung ist eine nwendung der rozentrechnung. Unter insen (kurz: ins) versteht man den Geldbetrag, den man nach einer bestimmten eit für geliehenes Geld bezahlen muss oder für verliehenes Geld bekommt. Es entsprechen sich: rozentwert (W) rozentsatz (p) Grundwert (GW) Jahreszins ( J ) inssatz (p) Kapital (K) Die so berechneten insen J beziehen sich auf ein Jahr (Jahreszins). Wird ein anderer eitraum betrachtet, so muss der Jahreszins auf diesen eitraum umgerechnet werden. Ein Geschäftsjahr hat 65 Tage. ins für Jahr (Jahreszins) J K p = ins für Tag t 00 K p = ins für n Jahre n K p n = ins für T Tage T 00 K p T = eispiel: erechne die insen für 292 instage, wenn ein Kapital 5000,00 zu 8% verliehen wird. T = T = 960 Der ins für 292 Tage beträgt 960,00. Übungen:.0 uf einem Sparbuch, das mit,75% verzinst wird, sind 940,00.. erechne die insen nach einem Jahr..2 erechne den insertrag für das zweite Jahr, wenn die insen des ersten Jahres dem Kapital zugerechnet werden. 2 Herr aurer gibt 0000,00 zu 6,5% auf die ank und legt alljährlich die gewonnen insen wieder zu seinem Kapital. Damit erhöht sich sein Kapital Jahr für Jahr um den insertrag. erechne sein Endkapital nach 5 Jahren. Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

5 Die arallelverschiebung Grundwissen athematik 7I/5 v Eigenschaften: I ' ei allen arallelverschiebungen sind die Verbindungsstrecken von Urpunkt und ildpunkt ' parallel, gleich lang und gleich gerichtet. Sie bilden eine feilklasse. Jede feilklasse heißt Vektor. Durch jede arallelverschiebung ist umkehrbar eindeutig ein Vektor bestimmt. lle arallelverschiebungen haben keinen Fixpunkt. lle arallelverschiebungen sind längen- und winkeltreu ( Kongruenzabbildung ). lle arallelverschiebungen sind geraden- und kreistreu. D ' ' feilklasse = Vektor v ' D'... v (Fußpunkt) ' (Spitze) Jeder Vektor v lässt sich im Koordinatensystem durch seine Koordinaten eindeutig festlegen. Die Koordinaten des feils ' und damit des Vektors v werden durch die Koordinaten des Fußpunktes (x y) und die Koordinaten der Spitze '(x' y') festgelegt. an berechnet sie nach der Regel: x' x ' = y' y Spitze minus Fuß z.. ( 2 ) und '(4 ) 4 ( 2) ' = 6 ' = 2 eispiel: 6 v= 2 I ''' mit ( ), ( 2) und (4 2) y ' ' O ' +2 x +6 Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

6 Gesetze zur Vektorrechnung Grundwissen athematik 7I/5 2 Kommutativgesetz und ssoziativgesetz bei der ddition von Vektoren Kommutativgesetz a b = b a ssoziativgesetz (a b) c = a (b c) 2 erechnung von Summenvektoren a x bx ax bx llgemein a = ; b = a b= a y by ay by eispiel a = ; 2 a + b a b= ay + by x x ( 4) b = a b= a b= a b= 2 2+ Ortspfeil Ortspfeile sind feile, die vom Ursprung des Koordinatensystems zu einem unkt im Koordinatensystem führen. Die Koordinaten des Ortspfeils sind dieselben wie die Koordinaten des unktes. 4 z..: (4 ) O = y O 4 O = (4 ) x 4 erechnung der Koordinaten von ildpunkten llg.: O ' = O v x' x v x = y' y vy 4 z..: (2 ) v = O ' = O ' = + 6 O ' = '(6 4) 4 x' x+ v x = y' y+ vy y (2 ) '(x+ v y+ v ) x '(6 4) + +4 y O x 5 erechnung der Koordinaten des ittelpunktes der Strecke [] llg.: (x y ), (x y ), (x y ) x + x y + y (x y ) = 2 2 z..: ( 2 ), ( 4) = (0,5 2,5) Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule y O x

7 Die Drehung Grundwissen athematik 7I/6 ; ϕ Eigenschaften: I ' Jede Drehung besitzt einen unkt als Drehzentrum und einen Winkel ϕ als Drehwinkel. Die Verbindungsstrecken [] von Urpunkt und Drehzentrum und ['] vom zugehörigen ildpunkt ' und Drehzentrum sind gleich lang und schließen den Winkel ' mit dem aß ϕ ein. lle Drehungen haben nur das entrum als Fixpunkt. lle Drehungen sind längen- und winkeltreu ( Kongruenzabbildung ). lle Drehungen sind geraden- und kreistreu. positive Drehrichtung negative Drehrichtung ' ' ' ' ' ϕ = 54 ϕ = -54 ϕ ; ϕ= 54 I ' ; ϕ= 54 I ' ; ϕ I '' ' Eine Drehung um 80 nennt man auch eine unktspiegelung am entrum. ' ; ϕ= 80 I ''' ' ' ϕ erke: Eine Figur heißt punktsymmetrisch, wenn sie durch Drehung an einem unkt um 80 auf sich selbst abgebildet werden kann. D D D D arallelogramm Rechteck Quadrat Raute Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

8 Regeln für Winkel Grundwissen athematik 7I/7 Neben- und Scheitelwinkel β β g Scheitelwinkel sind gleich groß: * * = und β =β Nebenwinkel ergänzen sich zu 80 : +β= 80 2 Winkel an arallelen ( g ) 2. Stufenwinkel (F-Winkel) g β g β g β 4 g β =β =β 4 =β4 2 =β2 2.2 Wechselwinkel (-Winkel) g β g 2 β 4 g β g β 2 4 =β 2 =β4 =β 4 =β2 Innenwinkelsummen. im Dreieck.2 im Viereck In jedem Dreieck beträgt die Summe der Winkelmaße der drei Innenwinkel 80 : +β+γ= 80 Ü: Gib die fehlenden Winkelmaße an und begründe. In jedem Viereck beträgt die Summe der Winkelmaße der vier Innenwinkel 60 : +β+γ+δ= 60 2 δ g δ 2 γ δ g 70 Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

9 Der Kreis Grundwissen athematik 7I/8 Kreis k Die Verbindungsstrecke zweier Kreispunkte E und F heißt Sehne s. Die Sehne s teilt die Kreislinie in zwei Kreisbögen EF und FE. Das von Kreissehne und Kreisbogen begrenzte Flächenstück ist ein Kreissegment. Ein von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenztes Flächenstück ist ein Kreissektor. Die beiden Radien schließen den ittelpunktswinkel mit dem aß ε ein. E Radius r Durchmesser d Sehne s Segment Sektor ε F 2 Lagebeziehung von Kreis k und Gerade assante p: p k = Tangente t: t k = {} Tangente t assante p entrale z: z k = {; } mit z Sekante s: s k = {E;F} entrale z erührradius Sekante s E F erechnungen am Kreis Für den Kreisumfang u gilt: Für den Inhalt der Kreisfläche gilt: u=2 r π 2 =r π r r Für die Kreiszahl π wird vorläufig der Wert π,4 oder 22 π benutzt. 7 Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

10 Geometrische Ortslinien Grundwissen athematik 7I/9 Kreis Der Kreis ist der geometrische Ort aller unkte, die von einem unkt die gleiche r Entfernung haben. k(; r) = { = r} k 2 ittelsenkrechte Die ittelsenkrechte ist der geometrische Ort aller unke, die von zwei unkten die gleiche Entfernung haben. m = { = } [] m a a Winkelhalbierende Die Winkelhalbierende ist der geometrische Ort aller unkte, die von beiden Schenkeln eines Winkels den gleichen bstand haben. w S 4 ittelparallele Die ittelparallele zweier paralleler Geraden ist der geometrische Ort aller unkte, die von den beiden Geraden den gleichen bstand haben. a a g m h 5 arallelenpaar Das arallelenpaar zu einer Geraden ist der geometrische Ort aller unkte, die von einer Geraden den gleichen bstand a haben. a a g p p 2 Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

11 Winkel am Kreis Grundwissen athematik 7I/0 Randwinkelsatz Der Winkel heißt ittelpunktswinkel über der Sehne []. Die Winkel n sind die Randwinkel über der Sehne []. lle Randwinkel über einer Sehne eines Kreises besitzen das gleiche aß und sind halb so groß wie der dazugehörige ittelpunktswinkel. 2 2 Thaleskreis (Sonderfall des Randwinkelsatzes) Verbindet man die unkte n des Halbkreises über einer ittelsehne mit den Endpunkten und, so haben alle Winkel n bzw. n das aß 90. Umgekehrt gilt: Hat der Winkel bzw. das aß 90, liegt sein Scheitel auf dem Halbkreis über der ittelsehne [] Tangentenkonstruktion Fall: Tangente im erührpunkt, der auf der Kreislinie k liegt. Fall 2: Tangenten von einem unkt aus an die Kreislinie k. eichne die Strecke [] oder die entrale durch und. eichne die Strecke []. eichne die Senkrechte zur Strecke [] oder zur entrale durch und. T T 2 eichne einen Kreis (Thaleskreis), dessen ittelpunkt der ittelpunkt der Strecke [] ist. Die Schnittpunkte der beiden Kreise bilden die erührpunkte und 2 der beiden Tangenten. Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

12 7/ : a) 2: a) : a) 4: a) 5: a) b) 25,5 b) Lösungen 8 0,5 c) 6 k c) 2 5 b) (x y z) c) 7 b) ( 2,2) 6 c) 2 = 49 b) 5 ( 2) c) Grundwissen athematik 7I/L 0 ( 2) = = 7/2 a) IL = {, 6} b) IL = {x x > 0} c) IL = {x x < 5, 5} d) IL = {x x <, 5} e) IL = { 4, 6} f) g) IL = {x x < 0} IL = {x x < } 4 7/4.: Jahr = 5,25.2: Jahr2 = 6,57 2: Jahr5 K = 700,87 7/7 δ = 80 2 δ = 68 (Nebenwinkel) =δ = 68 (Stufenwinkel) δ =δ δ 2 = 68 (Scheitelwinkel) 2 δ = 70 (Wechselwinkel) γ = γ= 42 (Innenwinkelsumme im Dreieck) Staatsinstitut für Schulqualität und ildungsforschung bteilung Realschule

13 Daten und ufall: Erfassen und uswerten von Daten ddiert man Daten und dividiert deren Summe durch die nzahl der Daten, so erhält man den Druchschnittswert oder das arithmetisches ittel der Daten. Die Differenz aus dem aximum und inimum der Daten heißt Spannweite. eispiel: Ergebnisliste einer Umfrage zum Körpergewicht. 46 kg, 45 kg, 47 kg, 49 kg, 52 kg, 45 kg, 46 kg, 56 kg, 46 kg rithmetisches ittel: ( ) kg 9 = 48 kg Spannweite: 56 kg 45 kg= kg Ordnet man Daten der Größe nach, so ist der Wert in der itte der sortierten Liste ein besonderer ittelwert. an nennt ihn entralwert (oder edian). Ergebnisliste mit ungeraden nzahl an Daten: 45 kg 45 kg 46 kg 46 kg 46 kg 47 kg 49 kg 52 kg 56 kg entralwert: 46 kg Ergebnisliste mit gerader nzahl an Daten: 45 kg 45 kg 46 kg 46 kg 47 kg 49 kg 52 kg 56 kg entralwert: 46,5 kg Der Wert, der in einer Ergebnisliste am häufigsten auftritt, heißt odalwert. Dieser Wert ist nur aussagekräftig, wenn viele Daten erhoben worden sind. 45 kg 45 kg 46 kg 46 kg 46 kg 47 kg 49 kg 52 kg 56 kg odalwert: 46 kg oxplot oxplot ist ein modernes Verfahren aus den US, um statistische Daten auf einen lick zu erfassen. eim oxplot werden die geordneten Daten in vier gleiche bschnitte, die sogenannten Quartile, zerlegt. Das erste Quartil liegt bei 25% der Daten, das heißt, man rechnet ¼ nzahl der Daten, das zweite Quartil ist der edian, das dritte Quartiel liegt bei 75% der Daten, das heißt, man rechnet ¾ nzahl der Daten. Ist das Ergebnis der Quartilsberechnung nicht in der Liste, so nimmt man den nächsthöheren Wert. anschließend wird das Schaubild gezeichnet.

14 Wahrscheinlichkeit it verschiedenen ufallsgeräten kann man ufallsexperimente durchführen. ei einem ufallsexperiment kann man nicht vorhersagen, welches Ergebnis eintritt. ufallsgeräte: Ergebnis: ahl und Wappen;, 2,, 4, 5, 6 0,, 2,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Ereignis: Verschiedene Ergebnisse können ein Ereignis bilden, z.. das Ereignis Würfeln einer ungeraden ahl wird gebildet durch die Ergebnisse,, 5. Das einmalige Würfeln nennt man ein einstufiges ufallsexperiment. Wenn man zwei Würfel gleichzeitig oder zweimal wirft, spricht man von einem zweistufigen ufallsexperiment. eim werfen eines Würfels kann man mit Hilfe von sehr vielen Versuchen schätze, wie oft ein bestimmtes Ereignis eintreten könnte. Dazu bestimmt man im Experiment die absolute Häufigkeit, mit der ein bestimmtes Ereignis eintritt, sowie die Gesamtzahl der durchgeführten Experimente. Hieraus lässt sich die relative Häufigkeit berechnen. relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit Gesamtzahl der Experimente eispiel: absolute Häufigkeit es wurde 5 mal die ugenzahl 6 gewürfelt Gesamtzahl: 500 durchgeführte Würfe Relative Häufigkeit = 0,09 = 9 % it der relativen Häufigkeit kann man abschätzen, wie fot ein bestimmtes Ereignis eintritt. Laplace - Wahrscheinlichkeit Ein ufallsexperiment bei dem jedes Ereignis gleich wahrscheinlich ist, nennt man Laplace - Experiment. Um die Laplace Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu berechnen bestimmt man die nzahl der günstigen Ergebnisse und die nzahl der möglichen Ergebnisse. erechnung der Wahrscheinlichkeit : = nzahl der günstigen Ergebnisse nzahl der möglichen Ergebnisse

15 DTEN UND UFLL KLSSE 7 Gesamtheit und Stichprobe Eva möchte mithilfe einer Umfrage herausfinden, ob die ehrheit der evölkerung in ihrer Heimatstadt für oder gegen den Neubau einer naheliegenden utobahn ist. Sie befragt dazu zehn ersonen, die in unmittlbarer Nähe wohnen. Die Stichprobe kann aufgrund des geringen Stichprobenumfangs und der Tatsache, dass nur ersonen befragt werden, die in unmittlbarer Nähe wohnen, nicht als repräsentativ angesehen werden. Wenn man ussagen über eine Gesamtheit machen will, die man nicht vollständig untersuchen kann, so beschränkt man sich auf die Untersuchung eines Teils der Gesamtheit. an spricht von einer Stichprobe. Die Größe einer Stichprobe bezeichnet man als Stichprobenumfang. Um aus dem Ergebnis einer Stichprobe Rückschlüsse auf die Gesamtheit ziehen zu können, muss die Stichprobe repräsentativ sein. oxplots Um bei einer großen nzahl von Daten einen Überblick über die Verteilung der Daten zu bekommen, bietet sich die Erstellung eines oxplots an. Die ox gibt an, in welchem ereich die mittleren 50 % der Daten liegen. Die ntennen geben an, in welchem ereich die unteren bzw. oberen 25 % der Daten liegen. eispiel: Die Schülerinnen der Klasse 7b der Wernervon-Siemens Realschule haben notiert, wie viele aar Schuhe jede von ihnen besitzt (siehe Kasten rechts). Gesetz der großen ahlen Wenn man ein ufallsexperiment wiederholt durchführt, stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines beobachteten Ergebnisses mit wachsender Versuchszahl. Diese Erfahrungstatsache wird als empirisches Gesetz der großen ahlen bezeichnet. Die betreffende relative Häufigkeit kann als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit angesehen werden.

16 Laplace-Wahrscheinlichkeit ei manchen ufallsexperimenten kann aufgrund theoretischer Überlegungen davon ausgegangen werden, dass alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Gibt es n mögliche Ergebnisse (n = 2,, 4, ), dann ist die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Ergebnis. an spricht von einer Laplace-Wahrscheinlichkeit.