Propädeutikum Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Wintersemester 03/04 Grundlagen der BWL Propädeutikum Wahrscheinlichkeitsrechnung Moritz Krebs Weitere Informationen finden Sie auf unserer Instituts-Homepage: unter Lehre >> WS 03/4 >> Grundlagen der BWL

2 Ansprechpartner Dozent Prof. Christian Hofmann Koordinatoren Moritz Krebs Daniel Meindl GBWL-Helpdesk Simon Müller Ansprechpartner für organisatorische Fragen zu der Veranstaltung Übungsgruppenleiter/Tutoren Diana Bauer Markus Hertlein Alexander Rühr Daniel Burkhard Batuhan Ceylangil Raphael Dick Cathrin Kessel Ivonne Klauser Maximilian Link Kevin Schädler Alexander Schramm Michael Sixt Erste Ansprechpartner für inhaltliche Fragen Martin Franck Ina Rudelsberger Alina Steinweg Florian Ganss Juliane Gutsmiedl Christoph Johanngieseker Julia Vedder Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4

3 Übungstermine Zeit Montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag 08:5-09:45 0:00-:30 :5-3:45 Vorlesung 4:5-5:45 :5-7:45 8:00-9:30 Übungstermin Übungstermin Übungstermin 3 Übungstermin 7 Übungstermin 4 Übungstermin 8 Übungstermin 5 Übungstermin Zu jedem der 8 Übungstermine finden parallel mehrere Übungsgruppen statt. Es ist lediglich die Teilnahme an einer Übungsgruppe je Woche erforderlich. A- und B-Gruppen wechseln ihre Raumbelegung zwischen Hauptgebäude- Nähe und Freimann wochenweise ab. C-Gruppen finden stets am gleichen Ort statt, entweder zu attraktiver Zeit in Freimann oder zu Randzeit in Hgb.-Nähe. Nr. Kalenderwoche A-Gruppen B-Gruppen finden statt in finden statt in 43 (ab 0.0.3) Hgb. Nähe Freimann 44 (ab 7.0.3) Freimann Hgb.-Nähe 3 45 (ab 3..3) Hgb. Nähe Freimann 4 4 (ab 0..3) Freimann Hgb.-Nähe 5 47 (ab 7..3) Hgb. Nähe Freimann 48 (ab 4..3) Freimann Hgb.-Nähe 7 49 (ab..3) Hgb. Nähe Freimann 8 50 (ab 8..3) Freimann Hgb.-Nähe 9 5 (ab 5..3) Hgb. Nähe Freimann 0 3 (ab 3..4) Freimann Hgb.-Nähe 4 (ab 0..4) Hgb. Nähe Freimann 5 (ab 7..4) Freimann Hgb.-Nähe C-Gruppen finden statt in Hgb.- Nähe/Freimann Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 3

4 Übungsgruppen Übungstermin A-Gruppen B-Gruppen C-Gruppen Mo, 0:00- :30 Uhr Mo, 4:5-5:45 Uhr Mo, :5-7:45 Uhr Mo, 8:00-9:30 Uhr Raum in Hgb.-Nähe Raum in Freimann - - C- - Edmund-Rumpler- Str. 3, B C- - Edmund-Rumpler- Str. 9, A - - C-3 - Edmund-Rumpler- Str. 3, B - - C-4 - Edmund-Rumpler- Str. 9, 9 A- B- - Amalienstr. 73A - Edmund-Rumpler- Str. 3, B A- B- - Geschw.-Scholl- Edmund-Rumpler- Pl. - C 0 Str. 9, A A-3 B-3 - Geschw.-Scholl- Edmund-Rumpler- Pl., E 0 Str. 3, B 09 A3- B3- - Geschw.-Scholl- Edmund-Rumpler- Pl., E 0 Str. 9, A A3- B3- - Geschw.-Scholl- Edmund-Rumpler- Pl., A U 5 Str. 9, C3- Geschw.-Scholl- Pl., E C7- Geschw.-Scholl- Pl., B C7- Amalienstr. 73A C7-3 Geschw.-Scholl- Pl., E C7-4 Geschw.-Scholl- Pl., E C7-5 Geschw.-Scholl- Pl., A C7- Geschw.-Scholl- Pl. (M), M 07 - Übungstermin A-Gruppen B-Gruppen Di, :5-3:45 Uhr Di, 8:00-9:30 Uhr Mi, 4:5-5:45 Uhr Do, :5-3:45 Uhr A4- B4- A4- B4- A8- B8- A5- B5- A5- B5- A5-3 B5-3 A5-4 B5-4 A- B- Raum in Hgb.-Nähe Geschw.-Scholl- Pl., E Geschw.-Scholl- Pl., B 0 Geschw.-Scholl- Pl., E 0 Geschw.-Scholl- Pl., B 0 Geschw.-Scholl- Pl., C 0 Geschw.-Scholl- Pl., A U 7 Amalienstr. 73A, 4 Amalienstr. 73A, Raum in Freimann Edmund-Rumpler- Str. 3, B 09 Edmund-Rumpler- Str. 9, A 8 Edmund-Rumpler- Str. 9, A 8 Edmund-Rumpler- Str. 9, A 7 Edmund-Rumpler- Str. 9, A 8 Edmund-Rumpler- Str. 3, B 47 Edmund-Rumpler- Str. 3, B 09 Edmund-Rumpler- Str. 9, 9 Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 4

5 Anmeldung zu Übungsterminen Die Anmeldung zu Übungsterminen ist ab Montag, , ca. 8 Uhr, über unsere Website möglich und endet am Donnerstag, , ca. 8 Uhr. Die Ameldung erreichen Sie unter folgendem Link auf unserer Website: Anmeldungen sind verbindlich. Nachträgliche Änderungen (z.b. Wechsel der Gruppe) sind grundsätzlich nicht möglich, außer wenn ein Tauschpartner angegeben wird und unsere Kapazitäten zur Bearbeitung ausreichen. Wir empfehlen eindringlich, die Übungen zu besuchen. Es besteht jedoch keine Anwesenheitspflicht oder Pflicht zur Krankmeldung. Wir behalten uns vor zu prüfen, dass nur diejenigen Studierenden an einer Übungsgruppe teilnehmen, die zu dieser Übungsgruppe angemeldet sind. Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 5

6 Vorlesungsunterlagen und Klausur Vorlesungsunterlagen finden Sie bis auf Weiteres auf der Veranstaltungsseite unserer Homepage: Das Passwort der Unterlagen wird in der ersten Vorlesung bekannt gegeben. Klausurtermin gemäß (vorläufigem!) ISC-Masterplan (Stand:.09.03): , 8:30-9:30 Uhr, im Audimax Für die Teilnahme an der Klausur ist eine vorherige Online-Anmeldung über das LSF- Portal erforderlich. Nähere Informationen finden Sie auf der Website des Prüfungsamtes/ISC: Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4

7 Literatur Neus, Werner (0): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre, 7. Auflage, Tübingen Lehrbuch, auf dem im Wesentlichen die Inhalte der Vorlesung basieren Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 7

8 Inhalte der Vorlesung. Gegenstand und Methoden der Betriebswirtschaftslehre (Neus, Kap. ). Grundlagen der Entscheidungstheorie (Neus, Kap. und Kap. 0) 3. Kooperationsvorteile und Austausch über Märkte (Neus, Kap. 3) 4. Warum Unternehmungen? (Neus, Kap. 4) 5. Unternehmensverfassung und Shareholder Value (Neus, Kap. 5) Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 8

9 Inhalte des Propädeutikums I. Einführendes Beispiel: Monopoly II. III. IV. Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsverteilung Lagemaße V. Aufgaben Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 9

10 I. Einführendes Beispiel: Monopoly Bei seinem Lieblingsspiel Monopoly ist Lukas gerade wieder auf GO gelandet und hat dabei $00 in seiner Tasche. Er wirft einen -seitigen Würfel um voranzukommen. Er hat vor zu kaufen unabhängig davon, worauf er auch landen wird. Bevor er würfelt, stellt sich Lukas zwei Fragen: Wie viel Geld werde ich nach der Runde noch haben? Und kann ich mir dabei sicher sein? Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 0

11 II. Zufallsvariable Sowohl das Würfelergebnis als auch Lukas Geldbetrag am Ende der Runde sind Zufallsvariablen. Sie werden analog zu gewöhnlichen Variablen mit Buchstaben, z.b. x, bezeichnet. Die unterschiedlichen Ausprägungen j = n, die eine Zufallsvariable annehmen kann, heißen Ergebnisse x j. Der Eintritt der Ergebnisse ist mit Unsicherheit p(x j ) behaftet. Wirft Lukas beispielsweise eine, dann zahlt er $00 für das Elektrizitätswerk und ihm verbleiben $00 - $00 = $00. $00 - $00 = $00 Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4

12 II. Zufallsvariable Wir gehen von einem fairen Würfel aus, d.h. jede Seite fällt gleichwahrscheinlich. Da der Würfel sechs Seiten hat, wird sich in einem Sechstel aller Fälle eine als Ergebnis einstellen. Dieses Sechstel, 0,7 oder,7% bezeichnet die Wahrscheinlichkeit p(x ) des Ergebnisses x : Würfel ergibt eine zwei. Eine Wahrscheinlichkeit erklärt, dass in einer endlosen Reihe von Wiederholungen eines Vorgangs das Ereignis in p% der Fälle eintreten wird. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses x j wird als p(x j ) geschrieben. Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4

13 II. Zufallsvariable Wahrscheinlichkeiten folgen einigen Regeln: Eine Wahrscheinlichkeit ist eine positive Zahl, die zwischen null und eins liegt. Es muss immer ein Ereignis eintreten, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass überhaupt ein Ereignis eintritt (das sogenannte sichere Ereignis) ist gleich eins. Zwei Ereignisse sind überschneidungsfrei (disjunkt), wenn sie nicht beide gleichzeitig eintreten können. Sind Ereignisse überschneidungsfrei, ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines von beiden eintritt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten des einen nicht die Wahrscheinlichkeit des Eintreten des anderen beeinflusst. Sind zwei Ereignisse stochastisch unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 3

14 II. Zufallsvariable Das Ereignis des Würfels bestimmt das Ergebnis des Endvermögens. Aus unterschiedlichen Würfen kann aber das gleiche Endvermögen resultieren. Um einem bestimmten Endvermögen eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen, sind die Wahrscheinlichkeiten der dieses Endvermögen erzeugenden Würfelergebnisse zu addieren. $00 - $00 = $00 $00 - $00 = $0 $00 - $00 = $00 $00 - $0 = $40 $00 - $00 = $00 $00 - $0 = $40 Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 4

15 II. Zufallsvariable $0 3 $00 $40 $00 - $00 = $00 $00 - $00 = $0 $00 - $00 = $00 $00 - $0 = $40 $00 - $00 = $00 $00 - $0 = $ Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 3 5

16 III. Wahrscheinlichkeitsverteilung Die korrekte Darstellung eines derartigen Zufallsvorgangs erfordert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ordnet jedem möglichen Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit zu. Bei unserem Monopolybeispiel handelt es sich um eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, da die Menge an Ergebnissen abzählbar ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich sowohl in mathematischer Notation als auch in graphischer Form darstellen. p(y) 0, p(y j 3 ) für y $0 für y $00 für y $40 3 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 $0 $00 $40 y Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4

17 III. Wahrscheinlichkeitsverteilung Um das Prinzip der Wahrscheinlichkeitsverteilung zu verstehen, wird der Begriff der Funktion eingeführt. Strikt mathematisch gesprochen ist eine Funktion eine Abbildung einer Menge in eine andere Menge. Das heißt, einer Zahl eines gewissen Formates wird eine Zahl eines anderen Formates zugeordnet. Dabei kann es passieren, dass sich die Art der Zuordnung ab einem gewissen Wert ändert. Dies wird durch unterschiedliche Definitionsbereiche dargestellt. Eine derartige Funktion wird als abschnittsweise definiert bezeichnet. Als Beispiel kann man sich einen Telefonvertrag vorstellen, der zunächst 0 Cent pro Minute kostet und sobald die Kosten 0 erreichen, diese nicht überschreitet. K m 0,m 0 für 0 m 00 für m 00 Kosten in Euro Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/ Minuten 7

18 III. Wahrscheinlichkeitsverteilung Im Fall von Lukas Monopoly Problem wird jedem möglichen Endvermögenswert eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Die Funktion ist diskret, da es nur drei mögliche Geldwerte gibt. Die drei möglichen Endvermögenswerte bilden den Definitionsbereich. p(y j ) 3 für y für y für y 3 $0 $00 $40 0, 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 p(y) $0 $00 $40 y Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 8

19 IV. Lagemaße Nun können wir Lukas erste Frage beantworten: Wie viel Geld wird er nach der Runde noch haben? Dabei verwenden wir das statistische Konzept des Erwartungswerts. Dieser wird häufig als μ bezeichnet und hat den mathematischen Operator E(x). Der Erwartungswert ist die Summe der mit den Eintrittswahrscheinlichkeiten gewichteten Ergebnisse. In mathematischer Notation: E(x) μ x n j x j p x j Zum Verständnis dieser Formel folgt eine Einführung des Summenzeichens. Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 9

20 IV. Lagemaße Ende des Index Start des Index n j a j Folgenglied Laufindex Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 0

21 IV. Lagemaße Zwei Beispiele verdeutlichen die Verwendung des Summenzeichens. Hat man eine indizierte Variable, so bedarf es einer Wertezuordnung zur Berechnung der Summe. 3 Variable Wert aj a a a3 a j 3 a 5 a a 3 8 j 5 8 j 3 j Es ist zu beachten, dass j nicht nur als Index verwendet werden kann, sondern auch direkt in der Summe. 5 j a j j Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4

22 IV. Lagemaße Der Erwartungswert ergibt das durchschnittliche Ergebnis aus einer großen Anzahl Wiederholungen einer Zufallshandlung (Experimentes). Strikt mathematisch gesprochen entspricht er dem Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Für Lukas ergibt sich folgender Wert: p(y j ) 3 für y $0 für y $00 für y $40 3 n y p E y j j y j $0 3 $00 $40 $9,7 Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4

23 IV. Lagemaße Lukas sollte also im Durchschnitt mit $ 9,7 am Ende seines Zuges rechnen. Doch wie lässt sich ein solcher Wert interpretieren? Es ist offensichtlich, dass dieser spezielle Wert unerreichbar ist. Der Wert dient jedoch als Anhaltspunkt für das zu erwartende Ergebnis. Lukas zweite Frage ist also klar mit nein zu beantworten. Er kann sich dieses Wertes nicht sicher sein. Um eine Aussage über die Unsicherheit des Endvermögens treffen zu können, ist die Streuung der Verteilung zu untersuchen. Hierzu benutzen wir die statistischen Konzepte der Varianz und der Standardabweichung. Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 3

24 IV. Lagemaße Die Varianz, auch σ² genannt, ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert. Es ist ein Streumaß, welches mit der Streuung der Verteilung zunimmt. Der quadratische Term wird verwendet, um zum einen das gegenseitige Aufheben von negativen und positiven Abweichungen zu verhindern und zum anderen stärkeren Abweichungen vom Mittel mehr Gewicht zu geben. σ x p(y j n n x j μx px j xj px j μx j 3 ) für y $0 für y $00 für y $40 3 j Vary 3 $0 $9,7 $00 $9,7 $40 $9,7 $ 88,88 Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 4

25 IV. Lagemaße Betrachtet man die Einheit der Varianz, so fällt auf, dass diese nicht mit der Einheit des Erwartungswertes übereinstimmt. Das Konzept der Standardabweichung, auch σ genannt, löst dieses Problem. Die Standardabweichung entspricht der positiven Wurzel der Varianz. σ n x: Varx Px jx j Ex In Lukas Beispiel: y j σ $ 88,88 $4,79 Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 5

26 IV. Lagemaße Erwartungswerte und Varianzen folgen den anschließenden Rechenregeln: Rechenregeln für Erwartungswerte E(a x) a E(x) E(b x) b E(x) E(x y) E(x) E(y) Rechenregeln für Varianzen Var(x) E(x Var(a x) Var(x) Var(b x) b ) [E(x)] Var(x) Verschiebungssatz Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4

27 V. Aufgaben Aufgabe : Antonia kann zwischen zwei Lotterien wählen: Wahrscheinlichkeit Lotterie Lotterie p = 0% 0 $ 4 p = 30% $ 5 p = 0% $ 0 p = 40% 5 $ 8 Errechnen Sie Erwartungswert und Varianz der beiden Lotterien. Was fällt Ihnen auf? Aufgabe : Eine faire Münze wird drei Mal geworfen. Es wird jeweils notiert, ob Bild (B) oder Zahl (Z) oben lag. Die Zufallsvariable S zählt, wie häufig Z oben lag. Wie ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von S? Berechnen Sie zusätzlich Erwartungswert und Varianz von S! Hofmann: Propädeutikum zu Grundlagen der BWL, WS 03/4 7