Semantik 4: Baumkalküle
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- Hartmut Arwed Stieber
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1 Semantik 4: Baumkalküle Robert Zangenfeind, Hinrich Schütze Center for Information and Language Processing, LMU Munich Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 1 / 33
2 Beurteilung natürlichsprachiger Sätze/Argumente Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 2 / 33
3 Beurteilung natürlichsprachiger Sätze/Argumente Prädikatenlogische Wahrheit von natürlichsprachigen Sätzen kann gezeigt werden durch Übersetzung dieser Sätze in PL. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 2 / 33
4 Beurteilung natürlichsprachiger Sätze/Argumente Prädikatenlogische Wahrheit von natürlichsprachigen Sätzen kann gezeigt werden durch Übersetzung dieser Sätze in PL. Prädikatenlogische Gültigkeit von natürlichsprachigen Argumenten kann gezeigt werden durch Übersetzung dieser Argumente in PL. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 2 / 33
5 Beurteilung natürlichsprachiger Sätze/Argumente: Wie? Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 3 / 33
6 Beurteilung natürlichsprachiger Sätze/Argumente: Wie? (i) optimal strukturreiche Übersetzung des zu überprüfenden Satzes/Argumentes in PL finden Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 3 / 33
7 Beurteilung natürlichsprachiger Sätze/Argumente: Wie? (i) optimal strukturreiche Übersetzung des zu überprüfenden Satzes/Argumentes in PL finden (ii) prüfen, ob die Übersetzung in PL logisch wahr/gültig ist. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 3 / 33
8 Beurteilung natürlichsprachiger Sätze/Argumente: Wie? (i) optimal strukturreiche Übersetzung des zu überprüfenden Satzes/Argumentes in PL finden (ii) prüfen, ob die Übersetzung in PL logisch wahr/gültig ist. Wahrheitstabelle nicht allgemein einsetzbar bei PL. Warum? Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 3 / 33
9 Beurteilung natürlichsprachiger Sätze/Argumente: Wie? (i) optimal strukturreiche Übersetzung des zu überprüfenden Satzes/Argumentes in PL finden (ii) prüfen, ob die Übersetzung in PL logisch wahr/gültig ist. Wahrheitstabelle nicht allgemein einsetzbar bei PL. Warum? Nachweis der logischen Wahrheit/Gültigkeit: indirekter Beweis durch Baumkalküle Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 3 / 33
10 Beurteilung natürlichsprachiger Sätze/Argumente: Wie? (i) optimal strukturreiche Übersetzung des zu überprüfenden Satzes/Argumentes in PL finden (ii) prüfen, ob die Übersetzung in PL logisch wahr/gültig ist. Wahrheitstabelle nicht allgemein einsetzbar bei PL. Warum? Nachweis der logischen Wahrheit/Gültigkeit: indirekter Beweis durch Baumkalküle Alternativ: Angabe eines geeigneten Gegenbeispiels zum Nachweis, dass ein Satz nicht logisch wahr ist Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 3 / 33
11 Beurteilung natürlichsprachiger Sätze/Argumente: Wie? (i) optimal strukturreiche Übersetzung des zu überprüfenden Satzes/Argumentes in PL finden (ii) prüfen, ob die Übersetzung in PL logisch wahr/gültig ist. Wahrheitstabelle nicht allgemein einsetzbar bei PL. Warum? Nachweis der logischen Wahrheit/Gültigkeit: indirekter Beweis durch Baumkalküle Alternativ: Angabe eines geeigneten Gegenbeispiels zum Nachweis, dass ein Satz nicht logisch wahr ist Aber: Gegenbeispiel ist nicht immer einfach zu finden Wahrheitsbaum Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 3 / 33
12 Beurteilung natürlichsprachiger Sätze/Argumente: Wie? (i) optimal strukturreiche Übersetzung des zu überprüfenden Satzes/Argumentes in PL finden (ii) prüfen, ob die Übersetzung in PL logisch wahr/gültig ist. Wahrheitstabelle nicht allgemein einsetzbar bei PL. Warum? Nachweis der logischen Wahrheit/Gültigkeit: indirekter Beweis durch Baumkalküle Alternativ: Angabe eines geeigneten Gegenbeispiels zum Nachweis, dass ein Satz nicht logisch wahr ist Aber: Gegenbeispiel ist nicht immer einfach zu finden Wahrheitsbaum Weitere Motivation: automatische Verfahren fuer KI Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 3 / 33
13 Beurteilung natürlichsprachiger Sätze/Argumente: Wie? Manchmal lässt sich Wahrheitsbaum nicht schließen, dann kann man über Gültigkeit des Arguments nichts sagen. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 4 / 33
14 Outline 1 Baumkalkül für die AL 2 Baumkalkül für die PL 3 Regeln zur Entwicklung der Bäume Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 5 / 33
15 Aussagenlogikbeispiel (1) (a) Wenn Adelheid mitmacht, gewinnen weder Paul noch Maria. (b) Wenn Maria nicht gewinnt, gewinnt Paul. (c) Also: Adelheid macht nicht mit oder Maria gewinnt. p: Adelheid macht mit. q: Paul gewinnt. r: Maria gewinnt. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 6 / 33
16 Aussagenlogikbeispiel (1) (a) Wenn Adelheid mitmacht, gewinnen weder Paul noch Maria. (b) Wenn Maria nicht gewinnt, gewinnt Paul. (c) Also: Adelheid macht nicht mit oder Maria gewinnt. p: Adelheid macht mit. q: Paul gewinnt. r: Maria gewinnt. p ( q r) r q p r Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 6 / 33
17 Aussagenlogikbeispiel (1) (a) Wenn Adelheid mitmacht, gewinnen weder Paul noch Maria. (b) Wenn Maria nicht gewinnt, gewinnt Paul. (c) Also: Adelheid macht nicht mit oder Maria gewinnt. p: Adelheid macht mit. q: Paul gewinnt. r: Maria gewinnt. p ( q r) r q p r Wir wollen zeigen: [((p ( q r)) ( r q)) ( p r)] Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 6 / 33
18 Aussagenlogikbeispiel (1) (a) Wenn Adelheid mitmacht, gewinnen weder Paul noch Maria. (b) Wenn Maria nicht gewinnt, gewinnt Paul. (c) Also: Adelheid macht nicht mit oder Maria gewinnt. p: Adelheid macht mit. q: Paul gewinnt. r: Maria gewinnt. p ( q r) r q p r Wir wollen zeigen: [((p ( q r)) ( r q)) ( p r)] Wie? Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 6 / 33
19 Beweis eines Satzes der Aussagenlogik Wie? Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 7 / 33
20 Beweis eines Satzes der Aussagenlogik Wie? Wahrheitstabelle Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 7 / 33
21 Beweis eines Satzes der Aussagenlogik Wie? Wahrheitstabelle Alternative: Baumkalkül Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 7 / 33
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23 Outline 1 Baumkalkül für die AL 2 Baumkalkül für die PL 3 Regeln zur Entwicklung der Bäume Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 9 / 33
24 Analytic Tableau (= Baumkalkül): Basic idea For refutation tableaux, the objective is to show that the negation of a formula cannot be satisfied. There are rules for handling each connective, starting with the main connective. Many rules divide the subtableau into two. Quantifiers are instantiated. If any branch of a tableau leads to an evident contradiction, the branch closes. If all branches close, the proof is complete and the original formula is a logical truth. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 10 / 33
25 Prädikatenlogikbeispiel (1) Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 11 / 33
26 Prädikatenlogikbeispiel (1) (2) (a) Alle Väter sind älter als ihre Kinder. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 11 / 33
27 Prädikatenlogikbeispiel (1) (2) (a) Alle Väter sind älter als ihre Kinder. (b) Paul ist nicht älter als Hans. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 11 / 33
28 Prädikatenlogikbeispiel (1) (2) (a) Alle Väter sind älter als ihre Kinder. (b) Paul ist nicht älter als Hans. (c) Also: Paul ist nicht der Vater von Hans. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 11 / 33
29 Prädikatenlogikbeispiel (1) (2) (a) Alle Väter sind älter als ihre Kinder. (b) Paul ist nicht älter als Hans. (c) Also: Paul ist nicht der Vater von Hans. Übersetzung in die Prädikatenlogik [ x y(f(x,y) G(x,y)) G(a,b)] F(a,b) U = Menge aller Menschen, a: Paul, b: Hans F(x,y):... ist der Vater von... G(x,y):... ist älter als... (Wahrheitstabelle keine Option fuer PL) Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 11 / 33
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31 Analytic Tableau (= Baumkalkül): Basic idea For refutation tableaux, the objective is to show that the negation of a formula cannot be satisfied. There are rules for handling each connective, starting with the main connective. Many rules divide the subtableau into two. Quantifiers are instantiated. If any branch of a tableau leads to an evident contradiction, the branch closes. If all branches close, the proof is complete and the original formula is a logical truth. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 13 / 33
32 Beide Äste mit x geschlossen (d.h. Widerspruch) Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 14 / 33
33 Beide Äste mit x geschlossen (d.h. Widerspruch), also: Annahme ist falsch Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 14 / 33
34 Beide Äste mit x geschlossen (d.h. Widerspruch), also: Annahme ist falsch, d.h. Argument ist logisch gültig! Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 14 / 33
35 Prädikatenlogikbeispiel (2) Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 15 / 33
36 Prädikatenlogikbeispiel (2) (3) (a) Kein Hund ist eine Katze. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 15 / 33
37 Prädikatenlogikbeispiel (2) (3) (a) Kein Hund ist eine Katze. (b) Keine Katze ist ein Vogel. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 15 / 33
38 Prädikatenlogikbeispiel (2) (3) (a) Kein Hund ist eine Katze. (b) Keine Katze ist ein Vogel. (c) Also: Kein Hund ist ein Vogel. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 15 / 33
39 Prädikatenlogikbeispiel (2) (3) (a) Kein Hund ist eine Katze. (b) Keine Katze ist ein Vogel. (c) Also: Kein Hund ist ein Vogel. Übersetzung in die Prädikatenlogik [[[ x(f(x) G(x))] [ x(g(x) H(x))]] x(f(x) H(x))] U = Menge aller Tiere F(x):... ist ein Hund G(x):... ist eine Katze H(x):... ist ein Vogel Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 15 / 33
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41 Analytic Tableau (= Baumkalkül): Basic idea For refutation tableaux, the objective is to show that the negation of a formula cannot be satisfied. There are rules for handling each connective, starting with the main connective. Many rules divide the subtableau into two. Quantifiers are instantiated. If any branch of a tableau leads to an evident contradiction, the branch closes. If all branches close, the proof is complete and the original formula is a logical truth. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 17 / 33
42 Auswertung des Wahrheitsbaums Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 18 / 33
43 Auswertung des Wahrheitsbaums nicht alle Äste mit x geschlossen, vgl. Zeile 14. (d.h. kein Widerspruch) Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 18 / 33
44 Auswertung des Wahrheitsbaums nicht alle Äste mit x geschlossen, vgl. Zeile 14. (d.h. kein Widerspruch) Gegenbeispiel: Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 18 / 33
45 Auswertung des Wahrheitsbaums nicht alle Äste mit x geschlossen, vgl. Zeile 14. (d.h. kein Widerspruch) Gegenbeispiel: H(x):... ist ein Hund Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 18 / 33
46 Auswertung des Wahrheitsbaums nicht alle Äste mit x geschlossen, vgl. Zeile 14. (d.h. kein Widerspruch) Gegenbeispiel: H(x):... ist ein Hund restliche Interpretation wie bei (3) Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 18 / 33
47 Auswertung des Wahrheitsbaums nicht alle Äste mit x geschlossen, vgl. Zeile 14. (d.h. kein Widerspruch) Gegenbeispiel: H(x):... ist ein Hund restliche Interpretation wie bei (3) d.h. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 18 / 33
48 Auswertung des Wahrheitsbaums nicht alle Äste mit x geschlossen, vgl. Zeile 14. (d.h. kein Widerspruch) Gegenbeispiel: H(x):... ist ein Hund restliche Interpretation wie bei (3) d.h. (3 ) (a) Kein Hund ist eine Katze. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 18 / 33
49 Auswertung des Wahrheitsbaums nicht alle Äste mit x geschlossen, vgl. Zeile 14. (d.h. kein Widerspruch) Gegenbeispiel: H(x):... ist ein Hund restliche Interpretation wie bei (3) d.h. (3 ) (a) Kein Hund ist eine Katze. (b) Keine Katze ist ein Hund. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 18 / 33
50 Auswertung des Wahrheitsbaums nicht alle Äste mit x geschlossen, vgl. Zeile 14. (d.h. kein Widerspruch) Gegenbeispiel: H(x):... ist ein Hund restliche Interpretation wie bei (3) d.h. (3 ) (a) Kein Hund ist eine Katze. (b) Keine Katze ist ein Hund. (c) Also: Kein Hund ist ein Hund. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 18 / 33
51 Outline 1 Baumkalkül für die AL 2 Baumkalkül für die PL 3 Regeln zur Entwicklung der Bäume Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 19 / 33
52 Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 20 / 33
53 Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 21 / 33
54 Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 22 / 33
55 Regeln für Prädikatenlogik Die Regeln der Aussagenlogik Vier weitere Regeln: (U), (E), (NU), (NE) Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 23 / 33
56 Regel (U) xf Fx/a Jede beliebige Konstante a kann gewählt werden. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 24 / 33
57 Regel (E) xf Fx/a Nur eine neue Konstante a darf gewählt werden. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 25 / 33
58 Regel (NU) xf x F Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 26 / 33
59 Regel (NE) xf x F Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 27 / 33
60 Faustregel (Beckermann) Zuerst: nicht verzweigende Regeln; (NU); (NE) Dann: (E) Dann: verzweigende Regeln Dann: (U) Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 28 / 33
61 Korrektheit und Vollständigkeit (1) Ein Satz der Aussagenlogik ist genau dann logisch wahr, wenn es einen Wahrheitsbaum der Negation dieses Satzes gibt, der nur mit Hilfe der angegebenen 9 Regeln der Aussagelogik entwickelt wurde und in dem alle Äste mit einem x geschlossen werden können, da in ihnen ein Satz der Aussagenlogik sowohl in negierter wie in nicht negierter Form vorkommt. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 29 / 33
62 Korrektheit und Vollständigkeit (2) Ein Satz der Prädikatenlogik ist genau dann logisch wahr, wenn es einen Wahrheitsbaum der Negation dieses Satzes gibt, der nur mit Hilfe der angegebenen 13 Regeln entwickelt wurde und in dem alle Äste mit einem x geschlossen werden können, da in ihnen ein Satz von PL sowohl in negierter wie in nicht negierter Form vorkommt. Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 30 / 33
63 Gegenbeispiele (1) [ x(f(x) G(x)) x(g(x) F(x))] Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 31 / 33
64 Gegenbeispiele (2) [ x(f(x) F(x)) ( xf(x) x F(x))] Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 32 / 33
65 Gegenbeispiele (3) ([ x(h(x) G(x)) x(f(x) G(x))] x(f(x) H(x))) Zangenfeind & Schütze (LMU Munich): Baumkalküle 33 / 33
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