Einführung in die moderne Logik

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1 Sitzung 1 1 Einführung in die moderne Logik Einführungskurs Mainz Wintersemester 2011/12 Ralf Busse Sitzung Beginn: Was heißt Einführung in die moderne Logik? Titel der Veranstaltung: Einführung in die moderne Logik (3) (2) (1) Fragen: (1) Was heißt Logik? (2) Was heißt moderne Logik? (3) Was heißt Einführung? 2 2 Sitzung 1 2 Zu (1): Was heißt Logik? Eine Frage: Was ist überhaupt Logik? Vgl. Was ist Physik? Antwort: Die Physik ist diejenige wissenschaftliche Disziplin, welche die physikalischen Tatsachen erforscht (insb.: welche Naturgesetze tatsächlich bestehen). Entsprechend unbefriedigende vorläufige Antwort: Die Logik ist diejenige wissenschaftliche Disziplin, welche die logischen Tatsachen erforscht (in etwa: welche logischen Gesetzmäßigkeiten tatsächlich bestehen). Sitzung 1 3 Wichtig: Genau zu klären, was logische Tatsachen sind und wie man sie erforschen kann, ist letztlich nicht Aufgabe der Logik, sondern der Philosophie der Logik. Vgl.: Was sind überhaupt Naturgesetze? und Wie erforscht man Naturgesetze sind Fragen der Wissenschaftsphilosophie, nicht der Physik. Erste Annäherung: Logische Tatsachen sind Tatsachen dahingehend, dass Schlüsse logisch gültig oder logisch ungültig sind. (Logische Gesetzmäßigkeit: Aus Prämissen dieser Form kann man logisch gültig auf eine Konklusion jener Form schließen.) 3 4

2 Sitzung 1 4 Zu (2): Was heißt moderne Logik? Gemeint ist diejenige Logik, die insbesondere von zwei Männern etwa um 1900 begründet worden ist: Sitzung 1 5 Bertrand Russell ( ) Russell/Whitehead, Principia Mathematica 1910/12/13 Gottlob Frege ( ) Begriffsschrift Sitzung 1 6 Zu (3): Was heißt Einführung? Wir lernen nur einen Ausschnitt der modernen Logik: - (klassische) Aussagenlogik Z.B. Sätze Es regnet und es hagelt, Wenn es regnet, dann schneit es nicht - (klassische) Prädikatenlogik erster Stufe (ohne Identität und ohne Funktionsausdrücke): Z.B. Sätze Arista fliegt (Prädikation), Alle Katzen fliegen oder schwimmen, Es gibt fliegende Katzen Sitzung 1 7 Prädikatenlogik enthält Aussagenlogik als Teil: (klassische) Aussagenlogik (klassische) Prädikatenlogik erster Stufe Nur Ausschnitt der modernen Logik, aber: Es handelt sich um den vollen Kernbestand der modernen Logik. Es handelt sich um einen für philosophische Zwecke bereits äußerst leistungsfähigen Ausschnitt. 7 8

3 Sitzung 1 8 Vorgehen am Anfang: - Vorbegriff von Gültigkeit, dann zügiger Beginn mit Aussagenlogik, erste logische Techniken (Wahrheitstafeln). - Anschließend zurück zur Grundsatzfrage Was ist logische Gültigkeit?. Annäherung: Was heißt Gültigkeit/Ungültigkeit von Schlüssen? Zunächst: Was ist überhaupt ein Schluss? Vergleiche zwei Texte: 9 Sitzung 1 9 Text 1: Für alle endlichen Dinge ist es unmöglich, immer zu existieren: Etwas, dessen Nichtexistenz möglich ist, existiert auch zu irgendeiner Zeit nicht. Wenn es aber auf schlechthin alles zutreffen soll, dass seine Nichtexistenz möglich ist, dann muss es eine Zeit gegeben haben, zu der tatsächlich nichts existierte. Wenn das aber der Fall wäre, dann würde auch heute nichts existieren; denn etwas, das nicht existiert, beginnt nur zu existieren durch etwas, das existiert. Da aber offenkundig heute etwas existiert, muss es etwas geben, dessen Existenz notwendig ist, und das ist Gott. (aus: W. Salmon, Logik (Reclam)) 10 Sitzung 1 10 Sitzung 1 11 Text 2: Jede Welle transportiert Energie und Impuls. Die Energiestromdichte der Welle, d.h. die Energie, die sie in der Zeiteinheit durch eine Einheitsfläche senkrecht zu ihrer Ausbreitungsrichtung transportiert, heißt auch Intensität. Bei einer elastischen Welle steckt diese Energie teils in der kinetischen Energie der schwingenden Teilchen, teils in der potentiellen Deformationsenergie der komprimierten, dilatierten oder gescherten Bereiche. (aus: Gertsen/Kneser/Vogel, Physik, 16. Aufl., S. 157) 11 Unterschied: Nur Text 1 enthält eine Argumentation. Charakteristisch: Eine bestimmte Aussage, hier Es gibt etwas, dessen Existenz notwendig ist, nämlich Gott, soll begründet werden. Zweifacher Anspruch beim Argumentieren: (1) Die zur Begründung angeführten Aussagen sind tatsächlich wahr sowie ihrerseits bereits begründet oder unmittelbar einsichtig. (2) Wenn man alle zur Begründung angeführten Aussagen akzeptiert, dann ist es irrational, die begründete Aussage nicht zu akzeptieren. Entscheidend: Für die Logik ist nur (2) relevant. 12

4 Sitzung 1 12 Schluss : in Form gebrachte Argumentation, aber unter Absehung von Anspruch (1). Definition: Ein umgangssprachlicher Schluss in Standardform ist eine Aufeinanderfolge von n deutschen Aussagen, den Prämissen, und einer weiteren Aussage, der Konklusion, vor der ein Also: steht. Ein solcher Schluss wird typischerweise mit dem Anspruch vorgebracht, dass die Akzeptanz aller Prämissen die Akzeptanz der Konklusion rational macht. Ein solcher Schluss ist gültig genau dann, wenn der genannte Anspruch zu recht besteht. 13 Sitzung 1 13 In der Logik interessiert uns ein besonders gut verstandener Fall von Gültigkeit: logische Gültigkeit von Schlüssen. Grundgedanke: Ein Schluss ist logisch gültig genau dann, wenn es aus logischen Gründen ausgeschlossen (unmöglich) ist, dass alle Prämissen wahr sind und dennoch die Konklusion falsch ist. Im Fall logischer Gültigkeit gilt: Die Kombination alle Prämissen wahr, aber Konklusion falsch logisch ausgeschlossen ist. Und deshalb muss jemand, der die Prämissen akzeptiert, rationalerweise auch die Konklusion akzeptieren. 14 Sitzung 1 14 (I) Beispiel für einen logisch gültigen Schluss: (P1) Alle Frauen sind Menschen. (P2) Alle Menschen sind Lebewesen. (K) Also: Alle Frauen sind Lebewesen. (II) Beispiel für einen logisch ungültigen Schluss: (P1) Alle Draiser sind Rheinland-Pfälzer. (P2) Alle Mainzer sind Rheinland-Pfälzer. (K) Also: Alle Draiser sind Mainzer. In beiden Fällen sind alle drei Aussagen wahr! Worin liegt dann der Unterschied? 15 Sitzung 1 15 Betrachte (II). Gehe über zu Schlussschema: Schlussschema (S-II): (P1) Alle F sind G. (P2) Alle H sind G. (K) Also: Alle F sind H. Definition: Ein Schema ist Schlussschema eines Schlusses genau dann, wenn man den Schluss aus dem Schema erhält, indem man gleiche Schemabuchstaben durch gleiche deutsche Ausdrücke ersetzt. Der Schluss ist genau dann eine Instanz des Schlussschemas. Hier: F durch Philosophinnen, G durch Menschen, H durch Frauen. 16

5 Sitzung 1 16 Bei (II) fällt auf: Es gibt Instanzen von (S-II), deren Prämissen allesamt wahr sind, während ihre Konklusion falsch ist. Z.B: Schluss (II*): (P1) (P2) (K) Was bedeutet das? Alle Männer sind Menschen. Alle Frauen sind Menschen. Also: Alle Männer sind Frauen. Das Schlussschema (S-II) enthält so etwas wie die logische Struktur des Schlusses (II). Es gibt also einen Schluss mit derselben logischen Struktur wie (S-II), dessen Prämissen alle wahr sind und dessen Konklusion falsch ist. 17 Sitzung 1 17 Die logische Struktur von (S-II) schließt demnach die Kombination alle Prämissen wahr, aber die Konklusion falsch nicht aus. Deshalb ist (S-II) logisch ungültig: Es ist nicht aus logischen Gründen ausgeschlossen, dass seine Prämissen wahr sind und die Konklusion falsch ist. Anders bei (I). Es gibt keine Instanz des entsprechenden Schlussschemas mit wahren Prämissen und falscher Konklusion. Schema (S-I): (P1) Alle F sind G. (P2) Alle G sind H. (K) Also: Alle F sind H. 18 Sitzung 1 18 Dies legt Vorgehen zum Nachweis der Ungültigkeit eines Schlusses nahe: Gegenbeispiel-Methode: (i) Ermittle das Schlussschema des Schlusses, welches am genauesten seine logische Struktur wiedergibt. (ii) Gib einen Schluss an, der Instanz dieses Schlussschemas ist und dessen Prämissen alle wahr sind, während seine Konklusion falsch ist. Sogar Definition möglich: Ein Schluss ist logisch gültig genau dann, wenn es ein Schlussschema des Schlusses gibt, das keine Instanz mit allesamt wahren Prämissen und falscher Konklusion hat. 19 Sitzung 1 19 Ganz wichtig: Logische Gültigkeit eines Schlusses hat mit der tatsächlichen Wahrheit der Prämissen und der Konklusion nichts zu tun. Sie betrifft allein den Zusammenhang zwischen Prämissen und Konklusion. Beispiel für logisch gültigen Schluss aus falschen Aussagen, Instanz von (S-I): (P1) (P2) (K) Alle Elefanten sind Primzahlen. Alle Primzahlen sind Himmelskörper. Also: Alle Elefanten sind Himmelskörper. Entscheidend nur: Schlussschema lässt Kombination wahre Prämissen, falsche Konklusion nicht zu. 20

6 Sitzung 1 20 Probleme mit Blick auf Logik als Wissenschaft: (1) Syntaktisches (d.h. Zeichenaufbau betreffendes) Problem: Aufgrund der Komplexität, Mehrdeutigkeit und Vagheit der natürlichen Sprache ist oft unklar, worin die logische Struktur eines vorliegenden Schlusses besteht. Z.B. einzelne Aussage: Wenn es regnet, wird man nass, es sei denn, man hat einen Schirm. Schema (a): (Wenn A, dann B), es sei denn dass C. Schema (b): Wenn A, dann (B, es sei denn dass C). Sitzung 1 21 (2) Semantisches (d.h. Bedeutung betreffendes) Problem: Unter welchen Bedingungen gilt eine Aussage, die ein bestimmtes Schema erfüllt, als wahr bzw. falsch? Z.B.: Unter welchen Bedingungen genau ist eine Aussage des Schemas A, es sei denn, dass B wahr bzw. falsch? Entscheidend für Gegenbeispiel-Methode! Denn wir suchen dabei nach Instanzen eines Schlussschemas mit wahren Prämissen und falscher Konklusion Sitzung 1 22 Unsere Lösung: Wir schaffen uns vereinfachte künstliche Sprachsysteme AL (aussagenlogische Sprache) und PL (prädikatenlogische Sprache). Es soll gelten: (i) Die logische Struktur von Aussagen und Schlüssen in AL/PL ist syntaktisch eindeutig festgelegt. (ii) Die Wahrheits- und Falschheitsbedingungen für Aussagen von AL/PL sind explizit präzise festgelegt. 23