VORWORT LITERATUR. [2b] Bauer (Heinz). Wahrscheinlichkeitstheorie, 4. Auflage. Berlin, Walter De

Transkript

1 VORWORT Das vorliegende Buch ist die Übersetzung des leicht überarbeiteten französischen Originaltextes: D. Foata, A. Fuchs, Calcul des Probabilités, Cours et exercices corrigés, Masson, Paris, Herr Dr. Volker Strehl (Erlangen) hat die Aufgabe der Übersetzung auf sich genommen und wir möchten es nicht versäumen, ihm gleich zu Beginn den gebührenden Dank auszusprechen. Es war keineswegs die Absicht der Verfasser, einen tiefschürfenden Grundriss der Wahrscheinlichkeitstheorie zu schreiben; vielmehr wollten sie dem einigermassen fortgeschrittenen Studenten ein brauchbares Lehrbuch bieten. Zu diesem Zwecke enthält jedes Kapitel auch eine Anzahl von ergänzenden Bemerkungen und Übungsaufgaben, deren Lösungen der interessierte Leser am Ende des Buches finden wird. Zum tieferen Verständnis des Buches ist eine gute Praxis der mathematischen Analysis, wie sie zum Beispiel in den ersten zwei Jahren des Universitätsstudiums gelehrt wird, unerlässlich. Insbesondere ist ein Umgang mit unendlichen Reihen, insbesondere auch (formalen) Potenzreihen, erforderlich. In den ersten neun Kapiteln wird die Theorie der diskreten Wahrscheinlichkeiten vorgestellt. Diese fusst hauptsächlich auf der Theorie der unendlichen Reihen. Aber auch andere, tiefer liegende Begriffe werden in diesen Kapiteln gestreift, so zum Beispiel die Dynkin-Systeme, welche in einigen Fällen den üblichen monotonen Systemen vorzuziehen sind. Es hat sich gezeigt, dass eine vertiefte Behandlung der Wahrscheinlichkeitsrechnung nur auf der Basis der Mass und Integrationstheorie möglich ist. Für diesen modernen, axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie, der bekanntlich auf Kolmogorov zurückgeht, verfügt man über ausgezeichnete Lehrbücher; wir erwähnen H. Bauer[1, 2a], M. E. Munroe[8], J. Neveu [9]. Die Erfahrung lehrt jedoch, dass die wenigsten Studenten, die mit dem Studium der Wahrscheinlichkeitstheorie beginnen, über genügende Kenntnisse in der Mass und Integrationstheorie verfügen. Es schien uns deshalb angebracht, die wichtigsten Elemente dieser Theorie in ihren Grundzügen vorzustellen; dies geschieht im zehnten Kapitel. Später werden wir zeigen, dass die wichtigsten masstheoretischen Begriffe auch eine

2 x VORWORT wahrscheinlichkeitstheoretische Deutung zulassen; so ist zum Beispiel der Erwartungswert einer Zufallsvariablen nichts anderes als das abstrakte Integral bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmasses. Ähnliches gilt für viele andere wahrscheinlichkeitstheoretische Begriffe. Diese Betrachtungen erlauben es dann, den axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie auf einer soliden Basis zu vollziehen. Dies geschieht in den Kapiteln 11 bis 15. Zudem behandeln wir folgende Abschnitte: Zufallsvariable in mehreren Dimensionen, bedingte Erwartungswerte im Falle absolut-stetiger Zufallsvariablen, Gaussverteilte Zufallsvariable in mehreren Dimensionen, erzeugende und charakteristische Funktionen. Bevor wir aber zum Kern der Theorie übergehen, geben wir einen Überblick über die wichtigsten absolut-stetigen Zufallsvariablen, zusammen mit einer Beschreibung ihrer häufigsten Anwendungsgebiete. In den Kapiteln 16 bis 19 dringen wir endlich zum Kern der Theorie vor; wir behandeln die stochastischen Konvergenzbegriffe, das schwache und das starke Gesetz der grossen Zahlen, die zentralen Grenzwertsätze und schliesslich das Gesetz vom iterierten Logarithmus. Im zwanzigsten Kapitel werden schliesslich einige Probleme mit vollständigen Lösungen vorgestellt. Diese Probleme, die ihrer Natur nach sehr verschieden sind, eröffnen Querverbindungen zu anderen Gebieten der Mathematik, so zum Beispiel zu den Kettenbrüchen und zur Diffusionstheorie. Zum Schluss seien noch einige Lehrbücher der Wahrscheinlichkeitsrechnung erwähnt, welche dieselbe mathematische Basis voraussetzen: auf Deutsch Bauer [2b], Rényi [11], auf Englisch das klassische Buch von Feller [3] und Grimmet und Stirzaker [4], auf Französisch Métivier [7] und auf Italienisch Letta [6]. Bei der Niederschrift des Manuskriptes haben uns die Herren A. Joffe (Montréal) und G. Letta (Pisa) stets ihre fachkundige Hilfe angedeihen lassen. Ihnen, sowie vielen anderen Kollegen, die uns durch ihre Bemerkungen behilflich waren, sei herzlich gedankt.

3 VORWORT xi LITERATUR [1] Bauer (Heinz). Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie, Band I. Berlin, Walter De Gruyter & Co., Sammlung Göschen Band 1216/1216a, Englische Übersetzung : Probability Theory and Elements of Measure Theory. New York, Academic Press, [2a] Bauer (Heinz). Maß und Integrationstheorie, 2. Auflage. Berlin, Walter De Gruyter & Co., [2b] Bauer (Heinz). Wahrscheinlichkeitstheorie, 4. Auflage. Berlin, Walter De Gruyter & Co., [3] Feller (William). An Introduction to Probability and its Applications, vol. 1, 3rd Edition. New York, John Wiley & Sons, [4] Grimmett (G.R.) and Stirzaker (D.R.). Probability and Random Processes, 2 vol., (with problems and solutions). Oxford, Clarendon Press, [5] Jean (R.). Mesure et Intégration. Montréal, Presses de l UniversitéduQuébec, [6] Letta (Giorgio). Probabilità elementare. Bologna, Zanichelli, [7] Métivier (Michel). Notions fondamentales de la théorie des probabilités. Paris, Dunod, [8] Munroe (M.E.). Introduction to Measure and Integration. Reading, Mass., Addison-Wesley, 2. Auflage, [9] Neveu (Jacques). Bases mathématiques du calcul des probabilités. Paris, Masson, 1964; neue Auflage: [10] Rényi (Alfred). Wahrscheinlichkeitsrechnung (Mit einem Anhang über Informationstheorie). Berlin, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften (Hochschulbücher für Mathematik, Band 54), Strasbourg, den 24. August 1998 Dominique FOATA Aimé FUCHS Département de mathématique Université LouisPasteur 7, rue René-Descartes, F Strasbourg

4

5 LISTE DER BENUTZTEN SYMBOLE (Ω, A, P) : das fundamentale Tripel, Kap. 1 2 P(Ω) : die Potenzmenge von Ω, Kap. 1 2 : das unmögliche Ereignis, Kap. 1 2 Ω : das sichere Ereignis, Kap. 1 2 A B : A impliziert B, Kap.1 2 A B oder AB : die Konjunktion von A und B, Kap.1 2 A B : die Vereinigung von A und B, Kap.1 2 A c =Ω\ A : das entgegengesetzte Ereignis zu A, Kap.1 2 A + B := A B (falls A B = ) :Kap.1 2 A \ B : die Differenz zwischen A und B, Kap.1 2 n A n : mindestens eines der Ereignisse A n tritt ein,kap.1 2 n A n : alle A n treten ein,kap.1 2 lim inf n A n : alle A n von einer bestimmten Stelle an treten ein,kap.1 3 lim sup n A n : unendlich viele der Ereignisse A n treten ein,kap.1 3 I A : die Indikatorfunktion von A, Kap.1 3 P : die Menge aller halboffenen Intervalle der reellen Geraden, Kap. 2 1 R =], + [ : die reelle Gerade, Kap. 2 1 σ(c) :dievonc erzeugte σ-algebra,kap.2, 2 B 1 oder B : die Borel-σ-Algebra der reellen Geraden, Kap. 2, 2 B n : die Borel-σ-Algebra des R n,kap.2, 2 (Ω, A) : ein messbarer Raum, Kap. 2, 2 D(C) : dasvonc erzeugte Dynkin-System, Kap. 2, 3 M(C) :dievonc erzeugte monotone Klasse, Kap. 2, 4 (Ω, A, P) : ein Wahrscheinlichkeitsraum, Kap. 3, 1 (a) n : die wachsende Faktorielle, Kap. 3, 5 ( a1,...,a ) p pf q ; x : die hypergeometrische Funktion, Kap. 3, 5 b 1,...,b q ε ω0 : das singuläre Wahrscheinlichkeitsmass in ω 0,Kap.4, 1 card A oder A : die Kardinalzahl, Mächtigkeit von A, Kap.4, 3 N = {0, 1,...} : die Menge der natürlichen Zahlen, Kap. 4, 3

6 xiv LISTE DER BENUTZTEN SYMBOLE N = {1, 2,...} :diemengederpositivennatürlichen Zahlen, Kap. 4, 3 [ n ]:diemenge{1, 2,...,n}, Kap.4, 3 ( p ) n : der Binomialkoeffizient, Kap. 4, 4 ( ) p n 1,n 2,...,n k : der Multinomialkoeffizient, Kap. 4, 4 X 1 : die inverse Abbildung von X, Kap.5, 1 {X B} : das Ereignis {ω Ω:X(ω) B}, Kap.5, 3 P(A 1,A 2 ) : die Wahrscheinlichkeit dafür, dass A 1 und A 2 gleichzeitig eintreten, Kap. 5, 3 P X oder L(X) : die Verteilung der Zufallsvariablen X, Kap.5, 4 F(x) =P{X x} : die Verteilungsfunktion von X, Kap.5, 5 π(x) : die Punktgewichtung von X, Kap.5, 6 S X :derträger der reellen Zufallsvariablen X, Kap.5, 6 σ(x) :dievonx erzeugte σ-algebra, Kap. 5, 6 P{ A} : die bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung relativ zu A, Kap. 6, 1 B(n, p) : die Binomialverteilung, Kap. 7, 2 H(n, N, M) : die hypergeometrische Verteilung, Kap. 7, 3 G(p) : die geometrische Verteilung, Kap. 7, 4 R =[, + ] : die erweiterte reelle Gerade, Kap. 7, 4 π λ oder P(λ) : die Poisson-Verteilung, Kap. 7, 5 P Q : das Faltungsprodukt von P mit Q, Kap. 8, 3 E[X] : der Erwartungswert von X, Kap.8, 4 am r :dasina zentrierte Moment r-ter Ordnung von X Kap. 8, 5 Var X : die Varianz von X, Kap.8, 5 σ X oder σ(x) : die Standardabweichung von X, Kap.8, 5(σ(X) bezeichnet ebenfalls die von X erzeugte σ-algebra. Eine Verwechslung istnicht möglich.) e r : die Abweichung r-ter Ordnung, Kap. 8, 5 Cov(X, Y ) : die Kovarianz von X und Y,Kap.8, 6 r(x, Y ) : der lineare Korrelationskoeffizient des Paares (X, Y ), Kap. 8, 7 M : die Menge der Wahrscheinlichkeitsmasse mit Träger N, Kap. 9, 1 M : die Familie der Zufallsvariablen deren Verteilung zu M gehört, Kap. 9, 1 M(s) : die Menge der Potenzreihen die zu M in Bijektion stehen, Kap. 9, 1 G P (s) : die erzeugende Funktion des Wahrscheinlichkeitsmasses P, Kap. 9, 1 G X (s) : die erzeugende Funktion der Zufallsvariablen X, Kap.9, 1 (Ω, A,µ) : ein Massraum, Kap. 10, 1

7 LISTE DER BENUTZTEN SYMBOLE xv F{ } : das von F erzeugte Lebesgue-Stieltjes Mass, Kap. 10, 2 λ 1 oder λ : das Lebesgue-Mass auf der reellen Geraden, Kap. 10, 2 λ n : das Lebesgue-Mass auf R n, Kap. 10, 4 B : die vervollständigte Borelsche σ-algebra, Kap. 10, 5 Xdµ: das Integral von X bezüglich des Masses µ, Kap. 10, 6 E[X] : der Erwartungswert der Zufallsvariablen X, Kap. 11, 1 Xdλoder X(x) dx : das Lebesgue-Integral von X, Kap. 11, 3 XdF : das Stieltjes-Lebesgue-Integral von X, Kap. 11, 4 f X,Y (x, y) : die gemeinsame Dichte von (X, Y ), Kap. 12, 2 f Y X ( x) : die durch {X = x} bedingte Dichte von Y, Kap. 12, 3 E[Y X = x] : der durch {X = x} bedingte Erwartungswert von Y, Kap. 12, 3 E[Y X] : der Erwartungswert von Y bezüglich X, Kap. 12, 3 t A : die Transponierte der Matrix A, Kap. 12, 5 N 2 (0, Γ) : die zweidimensoniale zentrierte Normalverteilung, Kap. 12, 5 N 2 (µ, Γ) : die zweidimensoniale Normalverteilung, Kap. 12, 5 g X (u) : die erzeugende Funktion der Momente von X, Kap. 13, 1 ϕ X (t) : die charakteristische Funktion von X, Kap. 13, 4 ψ X (t) : die zweite charakteristische Funktion von X, Kap. 13, 5 κ n :dern-te Kumulant von X, Kap. 13, 5 g(u, v) : die erzeugende Funktion der Momente von (X, Y ), Kap. 13, 6 N (0, 1) : die zentrierte und reduzierte Normalverteilung, Kap. 14, 3 N (µ, σ) : die Normalverteilung, Kap. 14, 3 E(λ) : die Exponentialverteilung, Kap. 14, 5 C(0, 1) : die Cauchy-Verteilung, Kap. 14, 7 Γ(p, λ) : die Gamma-Verteilung, Kap. 14, 8 B(r, s) : die Beta-Verteilung, Kap. 14, 9 X n X n L X : Xn konvergiert in der Verteilung gegen X, Kap. 16, 1 p X : X n konvergiert in der Wahrscheinlichkeit gegen X, Kap. 16, 2 X n f.s. X : X n konvergiert fast sicher gegen X, Kap. 16, 4

8

9