2.6 Natürliches Schließen in AL

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1 Aussagenlogik (AL).6 Natürliches Schließen in AL [ Gamut 8-40, Partee 5-3, McCawley ] Bisher wurde bei der Überprüfung der Gültigkeit von Schlüssen oder Schlussschemata insofern ein semantisches Herangehen verfolgt, als wir auf die Bewertung von Formeln mit Wahrheitswerten zurückgegriffen haben. Eine andere Möglichkeit besteht in einem rein syntaktischen Herangehen: Ein Schlussschema φ,..., φ / n ψ ist AL-gültig gdw es eine Ableitung von ψ aus φ,..., φ n in AL gibt. Eine Ableitung ist ein rein syntaktisches Verfahren des Operierens mit Ausdrücken. Dabei wird nur auf die Gestalt von Formeln Bezug genommen; insbesondere bleiben die Wahrheitswerte von Formeln unberücksichtigt. D.9 Ableitung Eine Ableitung von ψ aus φ,..., φ n ist eine endliche Folge von Formeln, wobei die letzte dieser Formeln ψ ist und für jede Formel der Folge gilt: Entweder ist die jeweilige Formel eine der n (Voraussetzungen) φ,..., φ n oder aus vorhergehenden Formeln mit Hilfe von Ableitungsregeln gewonnen. D.0 AL-Ableitbarkeit Aus φ,..., φ n ist ψ AL-ableitbar gdw es eine Ableitung von ψ aus φ,..., φ n in AL gibt. Notation: φ,..., φ n ψ D. AL-Beweisbarkeit (AL-Theorem, AL-Gesetz) AL Eine Formel ψ ist AL-beweisbar (ein AL-Theorem, AL-Gesetz) gdw es eine Ableitung von ψ aus der leeren Menge von n in AL gibt. Notation: ψ AL Metatheoreme über AL φ,..., φ n ψ gdw φ,..., φ AL n ψ AL ψ gdw ψ AL AL Zwei Typen von deduktiven Systemen Axiomatische Systeme: Axiome + Ableitungs-(Deduktions-)regeln Systeme des natürlichen Schließens: Ableitungs-(Deduktions-)regeln Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig.

2 .6 Natürliches Schließen in AL Ein System des natürlichen Schließens für AL Struktur einer Ableitung im SNSAL Ableitung von ψ aus n φ,..., φ n :. φ. φ n n. φ n n } Anwendung von Ableitungsregeln k. ψ Konklusion Zwei Typen von Ableitungsregeln im SNSAL Einführungsregeln für Konnektoren (E) Beseitigungsregeln für Konnektoren (B) Konjunktion E m. χ m. χ χ E m, m B (i) m. χ χ B (ii) m. χ χ B m B m Beispiel: p q q p. p q. p B 3. q B 4. q p E 3, Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig.

3 Aussagenlogik (AL) Disjunktion E (i) m. χ χ E m E (ii) m. χ χ E m B (i) m. χ χ m. χ B m, m B (ii) m. χ χ m. χ B m, m Beispiel: p q, q p r. p q. q 3. p B, 4. p r E 3 Materiale Implikation E m. χ zusätzliche () n. χ χ E m, n χ χ gilt gdw χ aus χ abgeleitet werden kann. Nur die Zeile n ist eine echte Zeile der Ableitung. Die Zeilen m bis n sind eine eingeschobene Ableitung ( Nebenrechnung ); sie dienen allein als Beweis der Zeile n und dürfen in der weiteren Ableitung nicht mehr verwendet werden. B m. χ χ m. χ B m, m Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 3

4 .6 Natürliches Schließen in AL Beispiel: p q, q r p r. p q. q r 3. p 4. q B, 3 5. r B, 4 6. p r E 3, 5? Zeige, dass r p q aus r p und r q ableitbar ist. Beispiel: ( p q) ( p q r). ( p q). p 3. q B, 4. q r E 3 5. p q r E, 4 6. ( p q) ( p q r) E, 5? Zeige, dass ( p q) ( q p) beweisbar ist. Materiale Äquivalenz E m. χ χ m. χ χ χ E m, m B (i) m. χ χ χ B m B (ii) m. χ χ χ B m Negation E m. χ n. χ χ Widerspruch n. χ E m Die Zeilen m bis n sind wieder nur ein eingeschobener Beweis für die n. Zeile und dürfen in der weiteren Ableitung nicht mehr verwendet werden. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 4

5 Aussagenlogik (AL) Beispiel: p q, q p. p q. q 3. p 4. q B, 3 5. q q E 4, Widerspruch 6. p E 3 B m. χ n. χ χ Widerspruch χ B m n Beispiel: p p. p. p 3. p p E, Widerspruch 4. p B? Zeige, dass p aus q ( q p) ableitbar ist. Ergänzungen zur Struktur einer Ableitung im SNSAL Bewiesene AL-Gesetze (AL-Theoreme) dürfen als neue Zeilen in eine Ableitung eingefügt werden. Bewiesene AL-Schlussschemata dürfen in einer Ableitung verwendet werden. Bewiesene AL-Äquivalenzen dürfen zur äquivalenten Ersetzung von Formeln in einer Ableitung verwendet werden. Beispiel: p q r, q r p. p q r. q r 3. q r ( q r) de Morgansches Gesetz 4. q r ( q r) B 3 5. ( q r) B 4, (oder äquivalente Ersetzung ) 6. p modus tollens (MT), 5? Zeige, dass Hans nicht lacht oder Maria nicht lacht, wenn es nicht der Fall ist, dass beide lachen. Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 5

6 .6 Natürliches Schließen in AL Hans lacht nicht oder Maria lacht nicht, wenn es nicht der Fall ist, dass beide lachen. Symbolisierung: ( p q) p q Einfachere Lösung: ( p q) p q Ableitung:. ( p q). ( p q ) 4. ( p q) p q Vor.: ein bewiesenes de Morgansches Gesetz 5. p q B, 4 6. p q ( p q ) E 5, Wid. 7. p q B Voraussetzung zur Ableitung: ( p q) p q (de Morgansches Gesetz) Beweis:. ( p q ). p 3. p q E 4. ( p q) ( p q ) E 3, Wid. 5. p B 6. q 7. p q E 6 8. ( p q) ( p q ) E 7, Wid. 9. q B 6 0. p q E 5, 9. ( p q) p q E, 0 Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 6

7 Aussagenlogik (AL) Komplexere Lösung: ( p q) p q Beweis:. ( p q ). ( p q ) 3. ( p q ) 4. p 5. p q E 4 6. ( p q) ( p q ) E 5, 3 Wid. 7. p B 4 8. q 9. p q E 8 0. ( p q) ( p q ) E 9, 3 Wid.. q B 8. p q E 7, 3. ( p q) p q E 3, 4. p q B, 3 5. p q ( p q) E 4, Wid. 6. p q B 7. ( p q) p q E, 6 Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 7

8 Übungen Übungen Ü.7 Beweise im SNSAL, dass folgende Ableitbarkeitsbehauptungen gelten. (5 P.) (a) p ( q r), p, q r (b) p ( q r), r p, p p (c) p ( q r) ( q p ) ( p p ) (d) p q r, ( q r) p (Hinweis: Benutze die AL-Äquivalenz ( φ ψ) φ ψ.) (e) ( p q) ( r s), p r q s (Hinweis: Benutze die de Morganschen Gesetze.) Ü.8 Zeige im SNSAL, dass folgende Beweisbarkeitsbehauptungen gelten. Benutze bei (j) die AL-Gesetze ( φ ψ) ( φ ψ) ( φ φ ψ) und ( φ φ). (3 P.) (a) (( p q) r) ( p ( q r)) (b) ( p q) ( q p) (c) ( p ( p q)) ( p q) Zusatz: (d) p p (e) ( p ( q r)) (( p q) r) (f) ( p q) ( p q) (g) ( p q r) ( q r q) (h) ( p q r) ( p q) ( p r) (i) ( p q) p q (j) ( p q) ( p q) Ü.9 Beweise im SNSAL, dass folgende Schlussschemata gültig sind. (a) φ ψ, φ ψ, φ ψ / φ ψ ( P.) Zusatz: φ ψ, ψ φ, ( φ ψ) ψ / φ ψ (b) Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 8

9 Übungen Ü.30 Symbolisiere die folgenden Schlüsse und prüfe im SNSAL, ob sie gültig sind. (a) (b) (c) Der Butler oder der Koch oder der Chauffeur hat den Baron umgebracht. Wenn der Koch den Baron umgebracht hat, dann war der Eintopf vergiftet, und wenn der Chauffeur den Baron umgebracht hat, dann war eine Bombe im Auto. Der Eintopf war nicht vergiftet und der Butler hat den Baron nicht umgebracht. Also hat der Chauffeur den Baron umgebracht. (5 P.) Maria oder Klara gehen morgen ins Kino. Wenn Maria morgen ins Kino geht, dann verabredet sie sich heute mit Hans. Klara muß sich von Paul Geld leihen, falls sie morgen ins Kino geht. Klara braucht sich von Paul kein Geld zu leihen. Also verabredet sich Maria heute mit Hans. (6 P.) Wenn ich anständig bin, dann bin ich naiv. Ich bin anständig oder naiv, oder aber Sam hatte recht und jener Illustriertenverkäufer ist ein Schwindler. Ich bin nicht naiv, und der Illustriertenverkäufer ist sicherlich ein Schwindler. Also hatte Sam recht. (5 P.) Zusatzaufgaben: Ü.3 Gegeben seien folgende Voraussetzungen: (a) (b) (c) Peter bekommt in der Prüfung eine gute Note genau dann, wenn er lernt, alle Konsultationen besucht und genügend schläft. Peter kann nicht genügend schlafen, wenn er ständig in die Disko geht. Peter besucht alle Konsultationen, lernt, geht ständig in die Disko und wird dort von seinem Professor gesehen. Bekommt Peter in der Prüfung eine gute Note? Zu welchem Ergebnis kommt man, wenn man die erste Voraussetzung durch folgende ersetzt: (a') Wenn Peter lernt oder alle Konsultationen besucht oder genügend schläft, so bekommt er in der Prüfung eine gute Note. Ü.3 Gegeben seien folgende Voraussetzungen: (a) (b) (c) (d) Wenn der Himmel wolkig ist oder wenn der Mond nicht zur Zeit aufgeht, so sehe ich die Mondfinsternis nicht. Wenn das Wetter sich nicht ändert, so ist der Himmel wolkig. Wenn das Wetter sich ändert, so sehe ich die Mondfinsternis. Genau dann, wenn der Mond zur Zeit aufgeht, ändert sich das Wetter nicht. Was folgt daraus? Ist der Himmel wolkig? Geht der Mond zur Zeit auf? Ändert sich das Wetter? Sehe ich die Mondfinsternis? Johannes Dölling: Formale Methoden. Institut für Linguistik, Universität Leipzig. 9