Aussagenlogik. Aussagenlogik

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1 Aussagenlogik 153 Syntax Semantik Formeln, Modelle, Tautologien und Anwendungen Folgerungen, Wissen Syntaktisch besondere Formeln und Formelgraphen, wichtige Algorithmen Axiomatiken, Kalküle

2 verwendet: Jeder korrekte axiomatisch-deduktive Kalkül 154 Junktorenbasis Ju definiert repräsentative Formelmenge Form(Ju): o sie produzieren alle Wahrheitswerteverläufe, und o zu jeder AL-Formel gibt es eine äquivalente Ju-Formel. Menge Ax von Axiomen, ausgewählte AL-Tautologien über Ju Menge Reg von Inferenz- oder Ableitungsregeln, ausgewählte AL-Folgerungen aus endlichen Formelmengen { ϕ 1,..., ϕ n } = ψ, allesamt Ju-Formeln.

3 Ableitungsschritt 155 Anwendung eines Axioms ψ bedeutet: Wahl einer Substitution z = A 1,..., A k / π 1,..., π k und Aufnahme von ψ [z] in die Menge der abgeleiteten Formeln. Man schreibt auch ψ [ z]. ψ Anwendung einer Regel R: { ϕ 1,..., ϕ n } = ψ bedeutet: Wahl einer Substitution z = A1,..., A k / π 1,..., π k, derart, dass ϕ 1 [ z],..., ϕ n [ z] bereits abgeleitet sind, und Aufnahme von ψ [z] in die Menge der abgeleiteten Formeln. Man schreibt auch 1 [ z],..., ϕ n [ z] ϕ [ z] Rψ. Anwendungsbeispiel: Ist R : A B = A B und z = A, B / C, D E und die Formel C ( D E) bereits abgeleitet, so erzeugt ein Ableitungsschritt mit R die Formel C ( D E) : C ( D E) C ( D E)

4 Regeln 156 Axiome sind praktisch spezielle Regeln = ψ mit leerer Menge von Prämissen. Wir reden daher jetzt oft einfach nur noch von Regeln. Die wichtigste Inferenzregel ist der Modus Ponens MP : A, A B = B. Vollständigkeit Den Kalkül nennt man vollständig, wenn es möglich ist, durch wiederholte Anwendung der Axiome und Regeln alle Tautologien über Ju und bei Vorgabe einer Wissensbasis M Form(Ju) alle Folgerungen aus M (über Ju) abzuleiten.

5 Ableitbare Formeln 157 Aus Formelmenge ableitbare Formeln: Induktiv Iterativ ϕ ist mittels eines Kalküls (Ju,Reg) aus M Form(Ju) ableitbar, wenn: ϕ M oder es existiert Menge M aus M ableitbarer Formeln und Regel R Reg derart, dass ϕ mittels R (und Substitution) in einem Schritt aus M ableitbar ist, M R ϕ. Menge der mittels eines Kalküls (Ju,Reg) aus M Form(Ju) ableitbaren Formeln: Abl 0 ( M) : M Reg = n+ 1 Reg ( M) : = Abl AblReg ( M) U R Reg AblReg ( M ) : = U n= 1 AblReg ( M). n n { ϕ Form Abl n Reg ( M) R ϕ }

6 Ableitung, Beweis 158 Ableitung/Beweis einer Formel ϕ (aus M mit Reg) := endliche Folge ϕ 1,..., ϕn mit ϕ = ϕn und derart, dass jedes ϕ k in M oder aus davorstehenden Formeln unmittelbar ableitbar ist: 1 ϕ k AblReg ({ ϕ1,..., ϕk 1}).

7 Kalkülbeispiele (1) 159 Junktorenbasis Axiome Inferenzregeln Hilbert-Ackermann, ( A A) A A ( A B) ( A B) ( B A) ( A B) ( ( C A Modifizierter Modus Ponens MMP =, A) ( C A B B B)) Mendelson Junktorenbasis, Axiome A ( B A) ( A ( B C)) (( A B) ( A C)) ( B A) (( B A) B) Inferenzregeln Modus Ponens Beide sind ableitungs- (und beweis-) korrekt und vollständig.

8 Kalkülbeispiele (2) Mit Geschick reicht ein einziges (recht langes) Axiom. 160 Es gab schon sportliche Wettläufe um das jeweils kürzeste einzige Axiom in einer Junktorenbasis. Andere Axiomensysteme spendieren mehr Axiome: Hilbert-Bernays, Kleene, de Swart,...

9 Beweisbeispiele (1) 161 Beweis = Ableitung aus den Axiomen! A A im Mendelson-Kalkül 1. ( A ( B C)) (( A B) ( A C)) Axiom 2. ( A (( A A) A)) (( A ( A A)) ( A A)) 1, [ B, C / A A, A] 3. A ( B A) Axiom 4. A (( A A) A) 3, [ B / A A] 5. (( A ( A A)) ( A A)) 2, 4, MP 6. A ( A A) 3, [ B / A] 7. A A 5, 6, MP

10 Beweisbeispiele (2) 162 A A (d.h. A A ) im Hilbert-Ackermann-Kalkül 1. ( A B) ( ( C A) ( C B)) Axiom 2. ( A B) ( ( C A) ( C B)) 1, C / C 3. A ( A B) Axiom 4. A ( A A) 3, B / A 5. ( ( A A) A) ( ( A ( A A)) ( A A)) 2, A, B, C / A A, A, A 6. ( A ( A A)) ( A A) 4,5,MMP 7. A A 4,6,MMP Leichter nachzuprüfen als darauf zu kommen! Ü36

11 Berechtigte Fragen (1) 163 Wozu Kalküle und Beweise? Wir haben doch unsere Wahrheitstafeln und sonstigen Algorithmen! :-) (1) Komplexität Man beweist lieber ( A B C D E F G) A in wenigen Schritten im Kalkül als mittels Wahrheitstafel mit 128 Zeilen und 1792 Feldern. (2) Berechenbarkeit In der vollen Prädikatenlogik handeln die Formeln von Eigenschaften von potentiell unendlich vielen verschiedenen Objekten. Die kann man nicht mehr alle in einer Tabelle erfassen und durchrechnen. Da gibt es (beweisbar!) keinen sicher terminierenden Algorithmus zur Überprüfung der Erfüllbarkeit etc. wir sind auf Beweise angewiesen. :-(

12 Berechtigte Fragen (2) 164 Na gut, dann umgekehrt: Wozu diese ganzen Wahrheitstafeln und sonstigen Algorithmen? :-( In vielen praktischen Fragen gelingt es, das Ganze in Aussagenlogik auszudrücken. Und dann kann man zum Glück den Computer die algorithmische Arbeit erledigen lassen. :-)

13 Natürliches Schließen und unser Werkzeugkasten 165 In den 1930er Jahren erweiterte Gerhard Gentzen die axiomatischen Kalküle gewissermaßen um das Deduktionstheorem und erhielt so seinen (formalen) Kalkül des natürlichen Schließens, der weitgehend das formlose Beweisen in Mathematikbüchern streng formal nachbildet. Seine Beweise sind nicht reine Folgen von Formeln, wie im Vorigen, sondern haben teilweise eine Blockstruktur: Annahme: ϕ Hier darf ϕ benutzt werden. M ψ ϕ ψ + die bisher abgeleiteten Formeln, + die noch von oben geltenden Annahmen (aus umgebenden Blöcken) bedingter Beweis

14 GNS-Beispiel Ableitung von ( A B) (( B C) ( A C)) nach unserer GNS-Definition, annotiert, in einer Baumschreibweise mit Einrückung (traditionelle Schreibweise anders): 166 Nr. Formel Regel,-Pr. 1 Ann: A B AE 2 Ann: B C AE 3 Ann: A AE 4 B FB,1,3 5 C FB,2,4 6 A C FE,3,5 7 ( B C) ( A C) FE,2,6 8 ( A B) (( B C) ( A C)) FE,1,7

15 GNS-Beispiel, historisch Ableitung von ( A B) (( B C) ( A C)) 167 traditionelle Schreibweise [A]1 [ A B]3 B FB [ B C ]2 C A C ( B C) ( A C) ( A B) (( B C) ( A C)) FB FE1 FE2 FE3

16 Zielformulierung begin Ziel erreicht end Beispiel in Werkzeugkastenversion Zeige ( A B) (( B C) ( A C)) 1. A B Ann Zeige ( B C) ( A C) 2. B C Ann Zeige ( A C) 3. A Ann 4. B MP,1,3 5. C MP,2,4 6. A C BB 7. ( B C) ( A C) BB 8. ( A B) (( B C) ( A C)) BB 168 Unser Werkzeugkasten (erweitertes GNS) wird noch weitere Regeln enthalten, und die damit gebauten Beweise werden sehr natürlich und doch exakt sein.

17 Werkzeugkasten Beweisaufbau Zeilentypen 169 ohne Ableitungsbegründung: 1. Zuerst die Prämissen Ausgangsannahmen, aus denen gefolgert werden soll sofern vorhanden: keine bei Beweisen von Tautologien: ϕ Gegeben 2. Zielformeln (eine erste unmittelbar nach den Prämissen): Zeige ϕ 3. ad hoc angenommene Formeln, für IB/BB-Blöcke: ϕ Annahme mit Ableitungsbegründung: 4. abgeleitete Formeln: ϕ Regel, Prämissennummer(n) speziell: Erfüllungszeilen ϕ Beweistyp (DB/IB/BB) Alle (außer Zielformeln) sind jeweils durchnummeriert wegen späterer Verweise als Prämissennummern.

18 Werkzeugkasten Beweisaufbau Blöcke 170 Auf die Prämissen folgt der Haupt-Block. 5. Ein Block beginnt mit einer Zielzeile (Zeige ϕ), dann kommt (eingerückt) der Blockkörper, Die letzte Formel im eingerückten Blockkörper muss jeweils abgeleitet sein. am Ende (nicht mehr eingerückt) die Erfüllungszeile ϕ. Es gibt 4 Blockschemata, den 4 Beweismethoden entsprechend, Tabelle. Im Blockkörper stehen angenommene Formeln und Erfüllungszeilen nur dort, wo im Blockschema gezeigt (oder entsprechend in Unterblöcken), abgeleitete Formeln und Unterblöcke (Zwischenbeweise) aber nach Belieben.

19 Wie wird abgeleitet? 171 per Blockschema/Beweismethode oder per Ableitungsregeln/Schlussregeln Tabelle In der Regelanwendung verfügbare Voraussetzungen (Prämissen) sind frühere Formeln aus dem laufenden oder dessen umgebenden Blöcken.

20 Beweis-Methoden (1) a) Direkter Beweis Blockbeginn: Zeige ϕ. Sobald im Blockkörper ϕ abgeleitet, Blockende: Erfüllungszeile ϕ DB. dienen der Zerlegung in Teilaufgaben. b) Bedingter Beweis Blockbeginn: Zeige ϕ ψ, Annahmezeile ϕ Ann Sobald im gleichen Block ψ abgeleitet, Blockende: Erfüllungszeile ϕ ψ BB. 172 Direkter Beweis: Bedingter Beweis: Zeige ϕ Zeige ϕ ψ M ϕ Ann ( ϕ) weglassbar s.u. M ϕ DB ψ ϕ ψ BB

21 (Zwischen) Beweis-Methoden (2) c) Indirekter Beweis 1 Blockbeginn: Zeige ϕ, im Blockkörper unmittelbar gefolgt von ϕ Ann Sobald im Blockkörper (Widerspruch) abgeleitet, Blockende: ϕ IB1 d) Indirekter Beweis 2 Blockbeginn: Zeige ϕ, im Blockkörper unmittelbar gefolgt von ϕ Ann Sobald im gleichen Block (Widerspruch) abgeleitet, Blockende: ϕ IB2 173 Indirekter Beweis 1: Indirekter Beweis 2: Zeige ϕ Zeige ϕ ϕ Ann ϕ Ann M M ϕ IB1 ϕ IB2

22 Oder- Einführung Und- Einführung Und- Benutzung Doppelte Negations- Einführung DN E Doppelte-Negation-Benutzung ϕ Gdw- Einführung Widerspr.- Einführung Folgerungs- Benutzung Modus Ponens Werkzeugkasten Schlussregeln (1) ϕ OE, ϕ ψ ψ ϕ ψ Oder-Benutzung ϕ ψ, ϕ ϕ ψ, ψ OB 1, ψ ϕ ϕ, ψ ϕ ψ, ϕ, UE Oder-Benutzung ϕ OB ψ 2 2 ρ ϕ ψ ϕ ψ UB, Wieder- ϕ WDH ϕ ψ ϕ holung ϕ ϕ ψ, ψ ϕ G E Gdw-Benutzung ϕ ψ links/ rechts W E ϕ, ϕ Widerspruch- Benutzung ϕ, ϕ ψ Folgerungs- MP ψ Benutzung Modus Tollens DNB G B WB MT ϕ ϕ ϕ ψ, ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ ϕ ψ, ψ ϕ ρ ψ ρ

23 Werkzeugkasten Schlussregeln (2) 175 Nicht-Und- Benutzung ( ϕ ψ ) ( ϕ ψ ) NUB, Nicht-Oder- ϕ ψ ψ ϕ Benutzung ( ϕ ψ ) NFB Nicht-Gdw- ϕ ψ Benutzung Nicht- Folgerungs- Benutzung NOB NGB ( ϕ ψ ) ( ϕ ψ ), ϕ ψ ( ϕ ψ ) ( ϕ ψ ), ϕ ψ ϕ ψ Weitere Regeln sind aus Äquivalenz- und Implikation-Tautologien herleitbar. Modularität: Sinnvoll ist in der Praxis auch das Einfügen von anderswo bewiesenen Tautologien oder Folgerungen aus M (mit einer Quellenangabe an Stelle der Ableitungsbegründung). Autoren von Mathematikbüchern zitieren z.b. oft früher (im gleichen Buch oder anderswo) bewiesene Sätze in Beweisen späterer Sätze, anstatt deren komplette Beweise in den neuen Beweis einzubauen.

24 Werkzeugkasten 3 Beweisstrategien 176 Zeige ϕ ψ Zeige ϕ ψ Zeige ϕ ψ Zeige ϕ Zeige ϕ ψ ( ϕ ψ ) AE M M ϕ NOB ϕ ϕ ψ ψ NOB Zeige ψ Zeige ψ ϕ M M M ψ ψ ϕ ϕ ψ IB1 ϕ ψ UE ϕ ψ GE

25 Werkzeugkasten Nutzen 177 Satz: Der Werkeugkasten für Aussagenlogik ist (ableitungs- und beweis-) korrekt und vollständig. Der Werkeugkasten formalisiert die manuell üblichen Beweise und macht sie dadurch maschinell überprüfbar. Aber er führt (wie manuelle Beweisversuche) nicht zwingend zum Beweis einer korrekten Tautologie oder Folgerung. Er verwendet implizit das Deduktionstheorem (siehe bedingter Beweis). Dies erlaubt kürzere Beweise als z.b. nur mit Axiomen und Modus Ponens.

26 Vergleich axiomatischer und Werkzeugkasten-Beweis Erinnerung: A A im Mendelson-Kalkül 1. ( A ( B C)) (( A B) ( A C)) Axiom 2. ( A (( A A) A)) (( A ( A A)) ( A A)) 1, [ B, C / A A, A] 3. A ( B A) Axiom 4. A (( A A) A) 3, [ B / A A] 5. (( A ( A A)) ( A A)) 2, 4, MP 6. A ( A A) 3, [ B / A] 7. A A 5, 6, MP 178 Neu: A A mit Werkzeugkasten Zeige A A 1. A Ann 2. A Wdh, 1 3. A A BB Ü37 Ü38 Ü39

27 Exkurs: Interessante mathematische Sätze über AL 179 Interpolationssätze Kompaktheitssätze Mathematiker Nichtmathematiker

28 Interpolationssätze der AL 180 Craigs Interpolationssatz für AL Wenn für zwei Formeln ϕ, ψ gilt: = ϕ ψ, dann kommt entweder eine Aussagevariable P sowohl in ϕ als auch in ψ vor, und dann existiert auch eine Formel π, deren sämtliche Aussagevariablen sowohl in ϕ als auch in ψ vorkommen, derart dass = ϕ π und = π ψ. oder sie haben keine Aussagevariable gemeinsam, und = ϕ oder = ψ. Beweis (mit Konstruktion für ein π): Wikipedia (englisch) Craig interpolation Lyndons Interpolationssatz für AL Wenn sich zwei Theorien S, T widersprechen, d.h. wenn für zwei Theorien S, T Theo( S T ) unerfüllbar ist, dann existiert eine Formel ϕ, deren sämtliche Aussagevariablen sowohl in S als auch in T vorkommen und derart dass S = ϕ und T = ϕ... (+ weitere Eigenschaften von ϕ ) E12

29 Kompaktheitssätze der AL 181 Eine Formelmenge M ist erfüllbar genau dann, wenn jede endliche Teilmenge von M erfüllbar ist. Aus einer Formelmenge M folgt eine Formel ψ, M = ψ, genau dann, wenn ψ bereits aus einer endlichen Teilmenge N M folgt: N = ψ. Ein möglicher Beweisweg der oberen Aussage für abzählbare M verwendet Königs Lemma. Für beliebige M aber verwendet man das Lemma von Zorn: In jeder nicht-leeren partiellen Ordnung, in der jede Kette nach oben beschränkt ist, existiert ein maximales Element. nette Übung in Prädikatenlogik und Mengenlehre Das geht aber nur in einer Mengenlehre mit Auswahlaxiom. Das Auswahlaxiom kommt den meisten intuitiv selbstverständlich vor, hat aber Konsequenzen, die den meisten (zunächst?) intuitiv falsch vorkommen. Banach-Tarski-Paradoxon