Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV VI: Kalibrierung 1 (9)

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1 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV VI: Kalibrierung 1 (9) Auszug aus MDV VI: Kalibrierung Begriffe und Ziele 1.1 Kalibration Bei der Kalibrierung (oder Kalibration) wird ein Zusammenhang hergestellt zwischen einer physikalische Grösse, die man ermitteln will, der Merkmalsgrösse, und einer messbaren Grösse, der Signalgrösse. Belastet man z.b. einen Biegebalken durch eine Kraft, dann erhält man über die Dehnungsmessstreifen ein elektrisches Spannungs-Signal. Der Wert der Signalgrösse (elektrische Spannung) hängt von der Merkmalsgrösse (Kraft) ab. Das Ergebnis der Kalibration ist eine mathematische Funktion, mit der man aus dem Merkmalswert den Signalwert berechnen kann. Für eine Messung mit dem kalibrierten System (Kraftmessung mit Biegebalken) muss der Vorgang umgekehrt werden, so dass man hier aus einem gemessenen Signalwert (Spannung) den zugehörigen Merkmalswert (Kraft) berechnen kann. Das am Beispiel der Kalibration dargestellte Verfahren findet auch Anwendung bei der Bestimmung von Verfallsdauern (Lebensmittel, Chemikalien, Medikamente) oder bei der Auswertung von Aufstockverfahren der chemischen Analytik. 1.2 Lineare Kalibration Der einfachste Zusammenhang zwischen Merkmalswert und Signalwert wird durch eine Gerade beschrieben. Dazu wird für 1 Kräfte (Standard, Normal, Referenzwert, Bezugswert, Einstellmeister, Master Value) mit gleichem Abstand voneinander (äquidistant) die zugehörige Spannung gemessen. Man erhält ein Punktefeld, durch das sich eine Ausgleichsgerade y(x) = b*x + a legen lässt. Dies ist die Kalibriergerade. Man kann die zufälligen Schwankungen verringern, wenn man die Spannung für jede Kraft mehrmals (z.b. fünf mal) misst. An jeder Stelle wird dann mit dem Mittelwert aus diesen Messungen weitergerechnet. Die Parameter b und a der Geradengleichung sind dann sicherer, bzw. ihre Unsicherheitsbereiche kleiner. Typische Fragen, die mit dem hier beschriebenen Verfahren beantwortet werden können sollen, sind: Welcher Merkmalswert gehört zum gemessenen Signalwert? Wie gross ist die zugehörige Messunsicherheit? Welcher kleinste Merkmalswert kann noch von Null unterschieden werden (5%)? Welcher kleinste Merkmalswert kann mit festlegbarer Sicherheit von Null unterschieden werden? Für welchen kleinsten Merkmalswert kann ein festlegbares Unsicherheitsintervall garantiert werden? Wie wirkt sich eine Veränderung des Signifikanzniveaus auf die Grenzen aus? Erhöht eine Wiederholung der Kalibrierung die Präzision? Erhöht eine Wiederholung der Probenmessung die Präzision? Hängt die Präzision vom Kalibrierbereich ab? 1.3 Kalibrierbereich Durch die 1 Standards wurde der Kalibrierbereich bereits festgelegt. Es ist sinnvoll, nur in diesem Bereich unbekannte Proben zu vermessen. Ausserhalb des Kalibrierbereichs werden die Unsicherheiten rasch sehr groß. 1.4 Varianzenhomogenität und Grubbstest Die möglichen Unsicherheiten der Kalibriergeraden können hier nur ermittelt werden, wenn die Streuung (die Varianz) über den gesamten Kalibrierbereich etwa gleich gross ist (Varianzenhomogenität=Homoskedastizität). Daher wird der Signalwert an der Untergrenze des Kalibrierbereichs und an dessen Obergrenze je 1 mal gemessen. Nur wenn der statistische Test (F-Test) die Varianzen als etwa gleich gross akzeptiert, ist es sinnvoll, weiter zu machen. auszug_kalibrierung.odt Nov 21 Seite 1 von 9

2 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV VI: Kalibrierung 2 (9) Jede der beiden 1-er-Reihen wird auf Ausreisser (outliner) getestet. Der Test hierzu heißt Grubbs-Test. Meldet dieser einen Ausreisser, dann wird der entsprechende Wert entfernt (besser: als Text in der Tabelle belassen). Es wird nicht nachgemessen. Können die Varianzen nicht als vergleichbar betrachtet werden, kann die Kalibrierung nicht weitergeführt, sondern muss mit einem kleineren Kalibrierbereich versucht werden. 1.5 Linearitätstest Das Rechenverfahren liefert nur dann zuverlässige Ergebnisse, wenn die Kalibrierpunkte durch eine Ausgleichsgerade beschrieben werden können. Es wird nur getestet, ob eine Parabel besser geeignet wäre (möglicherweise wären andere Funktionen noch besser geeignet). Aber schon bei der Parabel müsste das Verfahren mit einem anderen Kalibrierbereich von vorne begonnen werden. Wird der Lineare Ausgleich akzeptiert, kann es weiter gehen. 1.6 Vertrauensband (CI: Confidence Intervall) auch: Unsicherheits-Schlauch, Unsicherheits-Trompete Sowohl die Steigung b als auch der y-abschnitt a der Ausgleichsgeraden (oder Kalibriergeraden) sind mit Unsicherheiten behaftet. In der Mitte des Kalibrierbereichs sind die (absoluten) Fehler am kleinsten. Um die Gerade lässt sich ein Vertrauensband angeben, der nach oben bzw. nach unten immer weiter wird. Hierzu ist ein Prozentsatz (Signifikanzniveau) festzulegen. Ein typischer Wert ist 95%. Dann wird die Breite des Bandes so gewählt, dass bei weiteren Messungen 95% der Punkte innerhalb des Schlauchs zu erwarten sind. Je höher man dieses Signifikanzniveau wählt, desto breiter wird das Band. 1.7 Nachweisgrenze NG (auch LOD: Limit of Detection oder LLD: Lower Limit of Detection) Bis zu einer bestimmten Grösse des Signals (hier Spannung) kann man nicht sagen, ob es durch einen von Null verschiedenen Merkmalswert (hier eine Kraft) oder durch zufällige Schwankungen entstanden ist. Bis hierher ist nicht einmal ein qualitativer Nachweis möglich. An dieser Nachweisgrenze ist (beim festgelegten Sicherheitsniveau) das Vorhandensein einer Kraft genau so wahrscheinlich wie deren Fehlen. Im amerikanischen Sprachgebrauch heisst diese Grenze MDL (Method Detection Limit). Wegen des grossen Aufwandes werden manchmal auch andere Verfahren zur Abschätzung der Nachweisgrenze verwendet, die jedoch zu deutlichen Abweichungen führen können. Eine solche Vorschrift verlangt z.b. die 3-fache Standardabweichung bei 11-maliger Messung einer Nullprobe (Blindwert). 1.8 Erfassungsgrenze EG (auch BLD: Biological Limit of Detection) In der Praxis wird der Wert der Nachweisgrenze verdoppelt, um zur Erfassungsgrenze zu kommen. An der Erfassungsgrenze ist die Wahrscheinlichkeit für ein rein zufällig erzeugtes Signal dieser Grösse auf eine Wahrscheinlichkeit gesunken, die sich (durch 1% minus Sicherheitsniveau) angeben lässt. Ab hier können auch quantitative Aussagen (allerdings oft mit noch grosser Unsicherheit) gemacht werden. Liegen Kalibrierpunkte unterhalb der Erfassungsgrenze, dürfen sie nicht zur Berechnung verwendet werden. Die Kalibration ist dann ungültig. Ist der erste Kalibrierpunkt oberhalb der doppelten Erfassungsgrenze, dann lassen sich Nachweis- und Erfassungsgrenze nicht sicher festlegen. Die Kalibration ist dann aber trotzdem gültig. 1.9 Bestimmungsgrenze BG (auch LOQ: Limit of Quantification oder FS: Functional Sensitivity)) An der Untergrenze des Kalibrierbereichs ist die relative Unsicherheit am grössten. Häufig setzen sich Anwender selbst Grenzen (z.b. 33%) für die maximale relative Unsicherheit. Ab einem bestimmten Wert der Merkmalsgrösse (hier ab einer bestimmten Masse) ist die relative Unsicherheit dann immer kleiner als dieser festgelegte Prozent-Wert. Dieser Merkmalswert ist die Bestimmungsgrenze. auszug_kalibrierung.odt Nov 21 Seite 2 von 9

3 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV VI: Kalibrierung 3 (9) 1.1 Kalibrierte Messung an unbekannter Probe Nachdem die Kalibration mit Erfolg abgeschlossen ist, und damit auch das Vertrauensband festliegt, kann eine Messung an einem unbekannten Objekt durchgeführt werden. Aus dem gemessenen Signalwert (hier Spannung) wird über die Umkehrung der Kalibrierfunktion (auch als Analysenfunktion bezeichnet) der zugehörige Merkmalswert (hier Kraft) berechnet. Über das Vertrauensband erhält man auf der Merkmalsachse das zugehörige Vertrauensintervall (CI: Confidence Intervall). Neben den Unsicherheiten der Kalibriergeraden ist aber auch die Messung am unbekannten Objekt unsicher. Ein geeignetes Maß hierfür ist die Reststandardabweichung (in y-richtung), die sich bei der Aufnahme der Kalibrierdaten ergeben hat, bzw. die auf die Merkmalsachse projizierte Verfahrensstandardabweichung. Vertrauensintervall + Verfahrensstandardabweichung (geometrisch addiert) ergeben das Prognoseintervall (PI: Prediction Intervall). Wiederholungen der Messung am unbekannten Objekt können dieses Prognoseintervall in Richtung Vertrauensintervall verkleinern. Der tatsächliche Merkmalswert liegt jetzt mit einer statistischen Sicherheit, wie sie im Signifikanzniveau festgelegt wurde im berechneten Unsicherheitsintervall. Der Merkmalswert kann jetzt also vollständig angegeben werden mit Merkmalswert mit Einheit + Grenzabstand + statistische Sicherheit Bei einem Signalwert von U=,72mV hat die zugehörige Kraft F einen Wert von: F = 167.5mN * (1 ± 9.3%) (95%) F = 167.5mN * (1 ± 9.3%) (k=2) 2. Vorgehensweise zur Linearen Kalibrierung 2.1 Erfassung der Kalibrierdaten Alle hier angegebenen Schritte beziehen sich auf das Tabellenblatt "kalibra.xls". Die Vorgehensweise in der Praxis ist mit folgender Reihenfolge sinnvoll: Merkmalsgrösse festlegen Signalgrösse festlegen Kalibrierbereich festlegen Zehn Messungen an der Untergrenze durchführen Zehn Messungen an der Obergrenze durchführen 2.2 Durchführung von Testverfahren Evtl. vorhandene Ausreisser eliminieren (Grubbs) Nachsehen, ob Varianzenhomogenität erfüllt ist Kalibrierdaten erfassen und eingeben (einfach bis fünffach) Nachsehen, ob ein Linearer Ausgleich akzeptiert ist 2.3 Festlegung der Kalibrierparameter Legen Sie ein Sicherheitsniveau (Signifikanzniveau) fest Prüfen Sie, ob die Kalibrierpunkte oberhalb der Erfassungsgrenze liegen Legen Sie einen maximalen Wert für den relativen Fehler fest Lesen Sie den Wert für die Bestimmungsgrenze aus dem Diagramm ab Die Kalibration ist jetzt abgeschlossen und gültig. auszug_kalibrierung.odt Nov 21 Seite 3 von 9

4 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV VI: Kalibrierung 4 (9) 2.4 Unbekannte Probe Folgende Schritte sind für die Messung durchzuführen: Nehmen Sie die unbekannte Probe. Messen Sie den Signalwert. Ermitteln Sie den zugehörigen Merkmalswert. (weiter bei quantitativer Bestimmung:) Ermitteln Sie die zugehörige relative Unsicherheit. Ermitteln Sie die zugehörige absolute Unsicherheit. Geben Sie den ermittelten Merkmalswert mit Unsicherheitsintervall und Signifikanzniveau an. 2.5 Hinweise Ergibt das Signal eine Messgrösse, die unterhalb der Nachweisgrenze liegt, gilt die Messgrösse als nicht nachweisbar (weder qualitativ noch quantitativ erfassbar). Qualitativer Bereich Ergibt das Signal eine Messgrösse, die zwischen der Nachweisgrenze und der Erfassungsgrenze liegt, kann die Messgrösse qualitativ nachgewiesen werden. Die Wahrscheinlichkeit für das Vorhandensein des Merkmals ist größer als die für den Wert Null. Quantitativer Bereich Ergibt das Signal eine Messgrösse, die oberhalb der Erfassungsgrenze liegt, kann die Messgrösse quantitativ nachgewiesen werden. Die Messunsicherheit kann dabei immer noch sehr groß sein. Bestimmungsbereich Ergibt das Signal eine Messgrösse, die oberhalb der Bestimmungsgrenze liegt, kann die Messgrösse mit einer angebbaren maximalen relativen Ergebnis-Unsicherheit nachgewiesen werden. Bei einem Signifikanzniveau von 68% können in der Mitte des Kalibrierbereichs in y-richtung die Reststandardabweichung und in x-richtung die Verfahrensstandardabweichung abgelesen werden. Das Signifikanzniveau von 68% wird auch durch die Angabe Erweiterungsfaktor k=1 beschrieben. Ein Erweiterungsfaktor von k=2 entspricht einem Signifikanzniveau von 95%. Dabei verdoppelt sich die Breite des Vertrauensbandes. Ein Erweiterungsfaktor von k=3 entspricht einem Signifikanzniveau von 99%. Dabei verdreifacht sich die Breite des Vertrauensbandes (gegenüber 68%). Ein Verfahren, das immer noch anzutreffen, aber nicht genormt ist, vergleicht die Streuung der Messung mit der des Blindwerts (Probe ohne Anteil der zu untersuchenden Substanz). Die meist verwendete Regel dazu besagt, dass sich der Schnittpunkt der beiden Häufigkeitsverteilungen mindestens drei Standardabweichungen von den Mittelwerten entfernt befinden soll. Literatur: Tabellenblatt dazu: Satz mit verschiedenen Sätzen von Messdaten: kurze, überischtlich Darstellung (ohne Tests) kalibra.xls kalibdat.xls linkalibra.xls Gottwald,Wolfgang: Statistik für Anwender. Wiley-VCH Verlag, Weinheim, 2 Küster-Thiel: Tabellenbuch Chemie Rechentafeln 15.Auflage (im nachfolgenden Tabellenblatt zur Linearen Kalibration wurden die Größenbezeichnungen nach Küster- Thiel verwendet) auszug_kalibrierung.odt Nov 21 Seite 4 von 9

5 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV VI: Kalibrierung 5 (9) auszug_kalibrierung.odt Nov 21 Seite 5 von 9

6 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV VI: Kalibrierung 6 (9) 3. Quadratische Kalibrierung Die Beschreibung der Kalibrierfunktion durch einen quadratischen Zusammenhang (Parabel) ist inzwischen ebenfalls genormt und erfordert einen erhöhten Rechenaufwand (siehe Datei quadkalibra.xls). auszug_kalibrierung.odt Nov 21 Seite 6 von 9

7 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV VI: Kalibrierung 7 (9) 4. Merkmalsgrenzen am Vertrauensband Die Unsicherheit bei der Bestimmung von Größen über eine lineare Kalibrierfunktion lässt sich über das Vertrauensband abschätzen. Die richtige Kalibriergerade liegt mit einer statistischen Sicherheit von α innerhalb des Vertrauensbandes. So gilt z.b. für ein Signifikanzniveau von α=9% für die Lage des benötigten Punktes der Kalibriergeraden: 5% oberhalb der oberen Grenze des Vertrauensbandes 45% zwischen der Kalibriergeaden und der oberen Grenze des Vertrauensbandes 45% zwischen der Kalibriergeaden und der unteren Grenze des Vertrauensbandes 5% unterhalb der unteren Grenze des Vertrauensbandes 12 1 Massenkonzentration in mg/l Vertrauensband zum Signifikanzniveau von α=9% Reaktionsdruck in bar Wählt man für das Vertrauensband z.b. das sonst übliche Signifikanzniveau von α=95%, wird das Vertrauensband breiter. Bei der in diesen Beispielen vorliegenden einseitigen Fragestellung erhält man jedoch beim Signifikanzniveau von α=9% für das Vertrauensband (wie oben) für die getroffene Aussage eine 95%- ige statistische Sicherheit Massenkonzentration in mg/l Vertrauensband zum Signifikanzniveau von α=95% Reaktionsdruck in bar auszug_kalibrierung.odt Nov 21 Seite 7 von 9

8 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV VI: Kalibrierung 8 (9) 5. Übung zum Vertrauensband Beispiel 1: Ein Medikament verliert im Lauf der Zeit seinen Wirkstoff. Das Vertrauensband zur Abhängigkeit des Wirkstoffgehalts von der Zeit ist zu einem Signifikanzniveau von 9% eingezeichnet. Innerhalb der Verfallszeit wird ein Wirkstoffgehalt von mindestens 6% garantiert. Wie groß ist dieses Zeitintervall mit 95%-iger Sicherheit? Wirkstoffgehalt in % Zeit in Tagen Beispiel 2: Bei der Produktion einer Substanz ist die Anreicheung einer Komponente von der Reaktionstemperatur abhängig. Das Vertrauensband zur Abhängigkeit des Anteils der Komponente von der Reaktionstemperatur ist zu einem Signifikanzniveau von 9% eingezeichnet. Bei welcher Reaktionstemperatur erreicht man mit 95%-iger Sicherheit einen Massenanteil von 7g/kg? Massenanteil in g/kg Reaktionstemperatur in C auszug_kalibrierung.odt Nov 21 Seite 8 von 9

9 Carl-Engler-Schule Karlsruhe Auszug aus MDV VI: Kalibrierung 9 (9) Beispiel 3: Radioaktive Abfälle verbleiben in einem Abkling-Bunker, bis die spezifische Aktivität mit 95%- iger Sicherheit auf unter 6Bq/kg gesunken ist. Das Vertrauensband zur Abhängigkeit der spezifischen Aktivität von der Zeit ist zu einem Signifikanzniveau von 9% eingezeichnet. Wie lange muss bei einer spezifischen Anfangsaktivität von 8Bq/kg mindestens gewartet werden? spez. Aktivität in Bq/kg Zeit in Stunden Massenkonzentration in mg/l Reaktionsdruck in bar Beispiel 4: Bei der Produktion einer Substanz ist die Anreicheung einer störenden Komponente vom Reaktionsdruck abhängig. Das Vertrauensband zur Abhängigkeit der Volumenkonzentration der störenden Komponente vom der Reaktionsdruck ist zu einem Signifikanzniveau von 9% eingezeichnet. In welchem Bereich des Reaktionsdrucks erreicht man mit 95%-iger Sicherheit höchstens eine Massenkonzentration von 7mg/L? auszug_kalibrierung.odt Nov 21 Seite 9 von 9