Einführung in die Anwendung Statistischer Methoden in der analytischen Chemie

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1 Einführung in die Anwendung Statistischer Methoden in der analytischen Chemie Analytisch Chemisches Grundpraktikum

2 1. Beschreibende Statistik 1.1 Einleitung 1.2 Standardform der Angabe von Analysenresultaten 1.3 Signifikante Stellen 2. Beurteilende Statistik 2.1 Signifikanztests 2.2 F-Test 2.3 t -Test 2.4 Ausreißertest nach Dean und Dixon 3. Kalibration von Analysenverfahren 3.1 Kalibrierfunktion - Analysenfunktion 3.2 Bestimmung der Kenndaten eines Analysenverfahrens Definition der Kenndaten eines Analysenverfahrens Ermittlung des Analysenresultats 3.3 Lineare Kalibrierfunktionen - Statistik der Regressiongeraden 4. Anhang Statistische Tabellen Analytisch-chemisches Grundpraktikum 1

3 1. Beschreibende Statistik 1.1 Einleitung Statistische Methoden in der analytischen Chemie In der analytischen Chemie müssen - wie in allen anderen empirischen Wissenschaften - statistische Verfahren dazu angewandt werden, um aus den anfallenden Daten Informationen zu gewinnen, welche die Daten charakterisieren und die Gültigkeit von Hypothesen im Licht der vorliegenden Daten beurteilen lassen. Dazu braucht man Methoden der beschreibenden Statistik und der beurteilenden Statistik (in der Analytik am häufigsten in Form der Signifikanztests). Jedes Analysenresultat ist mit zufälligen Fehlern behaftet. Die Beschreibung der durch diese zufälligen Fehler verursachten Streuung der Meßwerte macht es möglich, das Ausmaß der Unsicherheit von Analysenresultaten anzugeben. In Abwesenheit von systematischen Fehlern wird diese Unsicherheit durch das Vertrauensintervall der Analysenmittelwerte beschrieben. Die Qualität der Analysen ist nur dann zu beurteilen, wenn ihre Resultate in der vollständigen Standardform angegegeben werden Standardform der Angabe von Analysenresultaten x ± (, ) t P f s n ( n, s, P) [ Dimension ] Mittelwert x ± Vertrauensbereich VB n.zahl der Meßwerte x i.meßwert x.arithmetisches Mittel der Meßwerte x n x = 1 1 n s.standardabweichung f.zahl der Freiheitsgrade = n-1 s = n 1 ( x x) i n 1 2 P.statistische Sicherheit (laut Konvention meist P = 0,95) t(p,f).student Faktor, für zweiseitige Fragestellung, mit statistischer Sicherheit P und f Freiheitsgrade Analytisch-chemisches Grundpraktikum 2

4 Kommentar 1. Die Angabe eines Analysenresultates ist ohne die Angabe seines Unsicherheitsbereichs unvollständig, da die Qualität des Analysenresultats nicht ersichtlich ist. Es müssen daher mindestens noch n und s angeführt werden. 2. Der Unsicherheitsbereich wird - in Abwesenheit systematischer Fehler durch den Vertrauensbereich beschrieben. Dieser gibt das Intervall an, innerhalb dessen sich der wahre Wert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit befindet. Je größer der Vertrauensbereich, desto größer ist das Ausmaß der Unsicherheit. 3. Auch die Formel für den Vertrauensbereich zeigt, daß ein Einzelwert zu wenig ist: er kann ein Ausreißer sei. Sie zeigt aber auch, daß es nicht viel bringt, aus einer Probe mehr als 4-5 Parallelbestimmungen zu machen, da der Vertrauensbereich nur mit 1/ n und daher nur mehr langsam kleiner wird. 1.3 Signifikante Stellen Ein weiterer wichtiger Punkt, der oft nicht beachtet wird, ist die Angabe des Ergebnisses mit der korrekten Anzahl an Dezimalstellen den signifikanten Dezimalstellen. Nur weil das Rechenprogramm eine große Anzahl von Kommastellen liefert, macht es in den allerwenigsten Fällen Sinn, diese anzugeben. Diejenigen Dezimalstellen gelten als signifikant, die mit Sicherheit bekannt sind, plus der ersten unsicheren Stelle. Beispielsweise ist die Mengenangabe einer Auswage von 23,854 g gleichbedeutend mit 23, ,001 g. Bei der Anwendung einer Addition oder Subtraktion kann das Ergebnis maximal so hoch sein wie die Ungenauigkeit des Parameters mit den wenigsten signifikanten Stellen ( schwächstes Glied in einer Kette). Beispiel: 4, = 27 und nicht 27,231! Rechenbeispiel Bromidbestimmung Im folgenden ist die korrekte Angabe des Analysenergebnisses anhand eines Rechenbeispiel einer Bromidbestimmung veranschaulicht: Es wird von einer Normalverteilung der Messwerte ausgegangen. Zunächst wird der Mittelwert berechnet: 5,31+ 5,08 + 5,44 x = 3 = 5,28 Analytisch-chemisches Grundpraktikum 3

5 Danach die Standardabweichung: x = (5,31 5,28) 2 + (5,08 5,28) (5,44 5,28) 2 = 0,1823 Die Angabe von 4 Stellen ist nicht signifikant, aber es handelt sich noch nicht um das Endergebnis. Da noch weitergerechnet wird, ist es vorsichtshalber günstiger, mit höherer Genauigkeit zu arbeiten. Die Berechnung des Vertrauensbereichs wird für P = 95 % durchgeführt. 0,1823 x ± 4,303 = 5,28 ± 0,45 3 Ein korrektes Ergebnis könnte danach folgendermaßen angegeben werden: Die Konzentration von Brom in wässriger Lösung wurde mittels gravimetrischer Fällung bestimmt und beträgt 5,28 + 0,45 mgl -1 (bei P = 95 %). Standardform der Angabe von Analysenresultaten Für den Fall von Analysenresultaten, die mittels einer linearen Kalibrierfunktion erhalten wurden, wird das Analysenresultat angegeben als: x P ± VB xp [ Dimension] (n, m, P, s x0 ) Analytisch-chemisches Grundpraktikum 4

6 2. Beurteilende Statistik In der beurteilenden Statistik geht es darum, Hypothesen im Licht des vorliegenden Datenmaterials zu beurteilen. Die in der Analytik am häufigsten angewandten Methoden der beurteilenden Statistik sind Signifikanztests. Dabei wird die Signifikanz eines bestehendes Unterschieds getestet Ausreißertest nach Dean und Dixon Gegeben: eine Meßserie aus n Werten, die einen ausreißerverdächtigen Wert x 1 enthält. Durchführung des Tests: 1 Man ordnet die Meßwerte x i der Größe nach an, wobei man mit dem ausreißerverdächtigen Wert x 1 beginnt. 2. Man bildet nun den Quotienten Q exp aus der Distanz des ausreißerverdächtigen Wertes zu dem benachbarten Wert und der Spannweite der Meßserie. x 1 - x 2 Q exp = x 1 - x n Die berechnete experimentelle Größe Q exp wird dann mit dem kritischen Tabellenwert Q krit (P;n) für einseitige Fragestellung verglichen: 3. Entscheidung: x 1 ist ein Ausreißer, wenn Q exp > Q krit (P;n) Tabellenwerte wurden der Arbeit von D. Rorabacher [Analytical Chemistry 69 (1991) 139] entnommen. 3. Kalibration von Analysenverfahren Analytisch-chemisches Grundpraktikum 5

7 3.1 Kalibrierfunktion - Analysenfunktion Statistische Methoden in der analytischen Chemie Fast alle Analysenverfahren müssen kalibriert werden. Dazu mißt man die Signale einer Reihe ein Kalibrierstandandards und ermittelt daraus die Kalibrierfunktion y = f(x) Kalibrierfunktion durch Auftragen der Signalgröße als Funktion des Gehalts (Menge, Konzentration) der Kalibrierstandards. Zur Durchführung der Analyse einer unbekannten Probe geht man den umgekehrten Weg: man mißt das Analysensignal und bestimmt dann den Gehalt der Probe mittels der Analysenfunktion, welche die Umkehrfunktion der Kalibrierfunktion ist: x = f -1 (y) Analysenfunktion 3.2. Bestimmung der Kenndaten des Analysenverfahrens: Aus der Kalibrierfunktion bestimmt man die Kenndaten des Analysenverfahrens: Nachweisgrenze x N Erfassungsgrenze x E Empfindlichkeit b Verfahrensstandardabweichung s VF Arbeitsbereich (Bestimmungsgrenzen) Zur Ermittlung der Nachweisgrenze und der Erfassungsgrenze benötigt man zwei wichtige Hilfsgrößen Leerwert x 0 und Reproduzierbarkeit des Leerwerts s x0 Bestimmung von Leerwerten und ihrer Reproduzierbarkeit Leider wird die Nomenklatur im Hinblick auf Signale, die man in Abwesenheit des Analyten messen kann, nicht einheitlich verwendet. Es ist aber unumgänglich, drei verschiedene Typen von Messungen zu unterscheiden: Analytisch-chemisches Grundpraktikum 6

8 den Blindwert des Meßgerätes den Reagentienblindwert den Leerwert Der Blindwert des Meßgeräts ist das Signal des Meßgeräts, das man mit einer leeren Meßzelle - ohne Analyten, Matrix oder Reagentien - mißt. Seine Standardabweichung ermittelt man durch wiederholte Messung des Blindwertsignals oder - bei kontinuierlicher Messung - durch die Aufzeichnung der Abhängigkeit des Ausgangssignals von der Zeit. Der Reagentienblindwert ist das Signal, welches man mit einer Lösung nach Zusatz aller Reagentien, aber in Abwesenheit des Analyten, mißt. (Die Varianz des Reagentienblindwerts ist die Summe der Varianzen des Blindwerte des Meßgeräts plus dem Beitrag zur Gesamtvarianz, den der Zusatz der Reagentien verursacht). Der Leerwert ist das Signal, welches man durch Messung einer Lösung erhält, die alle Reagentien und die Probenatrix, aber keinen Analyten, enthält. (Die Varianz des Leerwerts ist die Summe der Varianzen des Blindwerts des Meßgeräts plus dem Beitrag verursacht durch den Zusatz der Reagentien plus dem durch die Matrix verursachten Beitrag zur Gesamtvarianz) Zur Ermittlung der Kenndaten eines Analysenverfahrens benötigt man daher Leerwerte und ihre Reproduzierbarkeit. Es gibt zwei Methoden zur Bestimmung des Leerwertes und seiner Reproduzierbarkeit: Direkte Ermittlung (Experimentelle Methode) durch Mehrfachbestimmung an einer Leerprobe, Berechnung des Vertrauensbereichs des Mittelwertes der Leerwertmessungen. Indirekte Bestimmung (Rechnerische Methode) durch Extrapolation einer Kalibrierfunktion (und ihres Vertrauensbereichs) auf die Ordinate. Analytisch-chemisches Grundpraktikum 7

9 3.2.1 Kenndaten eines Analysenverfahrens (nach DIN ) Nachweisgrenze: Wegen der zufälligen Fehler der Leerwertmessungen ist es notwendig, ein Nachweiskriterium zu formulieren: ein Stoff gilt erst dann als nachgewiesen, wenn das Meßsignal das Leerwertsignal statistisch signifikant überschreitet. Dieses Kriterium legt eine kritische Signalgröße y K fest: sie ist die obere Grenze des Vertrauensbereiches des Leerwertsignals. Die Nachweisgrenze x N ist der zur kritischen Signalgröße y K gehörende Wert der Analytkonzentration und damit die kleinste Konzentration, die sich vom Leerwert mit einer definierten statistischen Sicherheit unterscheiden läßt. Übersteigt die Konzentration die Nachweisgrenze, so ist die Wahrscheinlichkeit, einen extrem hoch ausfallenden Leerwert irrtümlich bereits für einen Analysenwert zu halten, nur mehr klein. Allerdings würde die Hälfte aller Proben mit einem Gehalt an der Nachweisgrenze auf Grund der zufälligen Fehler bei der Messung Signale liefern, die kleiner sind als y K und damit irrtümlich noch als negativ befunden würden - die statistische Sicherheit des Nachweises ist noch klein. (Das Risiko, ein Vorhandensein des Analyten zu übersehen und damit einen Fehler 2. Art zu begehen, ist noch zu groß) Man braucht daher eine Konzentrationsgrenze, die mit größerer statistischer Sicherheit bestimmt werden kann. Dazu hat man die Erfassungsgrenze definiert. Erfassungsgrenze Die Erfassungsgrenze x E ist jene Konzentration, die mit vorgegebener bereits hoher statistischer Wahrscheinlichkeit - und daher einem nur mehr kleinen Risiko, einen Fehler 2. Art zu begehen, - erfaßt wird. Diese Festlegung einer Erfassungsgrenze macht es möglich, bei negativen Analysenresultaten anzugeben: Analyt nicht nachgewiesen, Gehalt < Erfassungsgrenze. Empfindlichkeit: Die Empfindlichkeit b ist die Steigung der Kalibrierfunktion bei einer bestimmten Konzentration. Sie ist für lineare Kalibrierfunktionen von der Konzentration unabhängig und daher eine Konstante. Arbeitsbereich und Bestimmungsgrenzen: Der Arbeitsbereich eines Analysenverfahrens ist der Konzentrationsbereich, in dem - in Abwesenheit systematischer Fehler - der Vertrauensbereich von Analysenresultaten eine maximal hinnehmbaren Bereich der Ergebnis-unsicherheit nicht überschreitet. Der Arbeitsbereich liegt zwischen der unteren und der oberen Bestimmungsgrenze, die durch den Vertrauensbereich der Kalibrierfunktion (und damit durch die Präzision der Kalibrierung) bestimmt sind. Analytisch-chemisches Grundpraktikum 8

10 (Die untere Bestimmungsgrenze ist also eine reine Präzisionsgrenze, die mit der Nachweisgrenze direkt nichts zu tun hat. Sie darf allerdings nicht kleiner sein als die Nachweisgrenze - was sich aber gelegentlich rein rechnerisch ergeben kann). Verfahrensstandardabweichung Sie ist ein Maß für die kleinsten Unterschiede in der Konzentration von Analyten, die mit dem Analysenverfahren als unterschiedliche Konzentrationen erkannt werden können. Die Verfahrensstandardabweichung s VF ist der Quotient s y / b aus der Standardabweichung der Streuung der Signalwerte bei der Messung der Kalibrierstandards um die Ausgleichsgerade und der Empfindlichkeit Ermittlung des Analysenergebnisses Nach der Bestimmung der Kalibrierfunktion durch Messung von Kalibrierstandards der Konzentration i errechnet man - im Fall linearer Kalibrierfunktionen durch lineare Regression der gemessenen Signalgrößen y i auf die Konzentration der Kalibrierstandards x i - die Kalibriergerade und mit ihrer Hilfe das Analysenresultat y P = a + b x p x P = y p a b x p.konzentration der Analysenprobe y P.Erwartungswert der Signalgröße für eine Probe der Konzentration x P a.ordinatenabschnitt ( Leerwert y L ) b.steigung (Empfindlichkeit des Analysenverfahrens) Die Analysenprobe wird m Mal gemessen und dann mit Hilfe der aus der Regressionsgeraden erhalten Daten und des Mittelwertes der m Meßwerte der Analysenprobe das Analysenergebnis x P und sein Vertrauensbereich errechnet. In diesen Vertrauensbereich gehen sowohl die durch die Streuung der Kalibrierstandards verursachte Unsicherheit in Steigung und Ordinatenabschnitt der Kalibrierfunktion als auch die Reproduzierbarkeit bei der Messung der Analysenprobe ein. Analytisch-chemisches Grundpraktikum 9

11 3.2.3 Berechnung der Kenndaten Statistische Methoden in der analytischen Chemie Nachweisgrenze Die Nachweisgrenze x N errechnet man aus der kritischen Signalgröße y K, welche die obere Grenze des Vertrauensbereiches des Leerwertsignals ist. x N = y K a b a) Leerwertsignal bestimmt durch n wiederholte Messung des Leerwertes: y K = y L + t(p,f) s L t(p,f),,,,,,,student Faktor für die statistische Sicherheit P (einseitige Fragestellung) und f = n-1 Freiheitsgrade b) Leerwert errechnet aus dem Ordinatenabschnitt der Kalibrierfunktion: a = y - b x y K = a + t(p,f) s a t(p,f).studentfaktor für f = n-1 Freiheitsgrade und die statistische Sicherheit P (einseitige Fragestellung). Erfassungsgrenze Setzt man bei der Definition der Erfassungsgrenze dieselben Fehlerrisken voraus wie bei der Definition der Nachweisgrenze, so gilt X E = 2 x N Analytisch-chemisches Grundpraktikum 10

12 Anhang: Statistische Tabellen Zweiseitige Student t-verteilung f P = 95 % P = 99 % 1 12,706 63, ,303 9, ,182 5, ,776 4, ,571 4, ,447 3, ,365 3, ,306 3, ,262 3, ,228 3, ,201 3, ,179 3, ,160 3, ,145 2, ,131 2, ,120 2, ,110 2, ,101 2, ,093 2, ,086 2, ,060 2, ,042 2,750 1,960 2,576 Analytisch-chemisches Grundpraktikum 11

13 Ausreißertest nach Dean & Dixon Q kritisch n P = 95 % P = 99 % 3 0,970 0, ,829 0, ,710 0, ,625 0, ,568 0, ,526 0, ,493 0, ,466 0, ,444 0, ,426 0, ,410 0, ,396 0, ,384 0, ,342 0, ,317 0, ,298 0,372 Analytisch-chemisches Grundpraktikum 12