Invariance is bliss! Was ist algebraische Topologie?
|
|
- Eduard Kaufer
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Invariance is bliss! Was ist algebraische Topologie? Clara Löh Universität Regensburg 29. Juli 2011
2 Was sind Invarianten? Clara Löh Was sind Invarianten? 2 / 17
3 Was sind Invarianten? Clara Löh Was sind Invarianten? 2 / 17
4 Was sind Invarianten? Problem Commander Blorx möchte dem hundertköpfigen Drachen Siegfried den Garaus machen. Clara Löh Was sind Invarianten? 2 / 17
5 Überlebt Siegfried? Problem Commander Blorx möchte dem hundertköpfigen Drachen Siegfried den Garaus machen; ihm stehen dazu die Schwerter Notung, Gram und Balmung zur Verfügung. Clara Löh Was sind Invarianten? 3 / 17
6 Überlebt Siegfried? Problem Commander Blorx möchte dem hundertköpfigen Drachen Siegfried den Garaus machen; ihm stehen dazu die Schwerter Notung, Gram und Balmung zur Verfügung. Ein Hieb mit Notung entfernt genau 36 Köpfe des Drachen; genetisch bedingt wachsen dann jedoch 12 Köpfe nach. Gram entfernt genau 42 Köpfe, es wachsen 27 nach. Balmung entfernt genau 9 Köpfe, es wachsen 21 nach. Clara Löh Was sind Invarianten? 3 / 17
7 Überlebt Siegfried? Problem Commander Blorx möchte dem hundertköpfigen Drachen Siegfried den Garaus machen; ihm stehen dazu die Schwerter Notung, Gram und Balmung zur Verfügung. Ein Hieb mit Notung entfernt genau 36 Köpfe des Drachen; genetisch bedingt wachsen dann jedoch 12 Köpfe nach. Gram entfernt genau 42 Köpfe, es wachsen 27 nach. Balmung entfernt genau 9 Köpfe, es wachsen 21 nach. Kann Blorx alle Köpfe von Siegfried abschlagen? Clara Löh Was sind Invarianten? 3 / 17
8 Überlebt Siegfried? Was passiert, wenn Blorx und Notung, Gram, Balmung in Aktion treten? Clara Löh Was sind Invarianten? 4 / 17
9 Überlebt Siegfried? Was passiert, wenn Blorx und Notung, Gram, Balmung in Aktion treten? Notung: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 24 bzw. 36. Gram: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 15 bzw. 42. Balmung: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 12 bzw. 9. Clara Löh Was sind Invarianten? 4 / 17
10 Überlebt Siegfried? Was passiert, wenn Blorx und Notung, Gram, Balmung in Aktion treten? Notung: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 24 bzw. 36. Gram: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 15 bzw. 42. Balmung: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 12 bzw. 9. Der Rest der Anzahl der Köpfe von Siegfried bei Division durch 3 ist also eine Invariante. Clara Löh Was sind Invarianten? 4 / 17
11 Überlebt Siegfried? Was passiert, wenn Blorx und Notung, Gram, Balmung in Aktion treten? Notung: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 24 bzw. 36. Gram: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 15 bzw. 42. Balmung: Anzahl der Köpfe ändert sich um = 12 bzw. 9. Der Rest der Anzahl der Köpfe von Siegfried bei Division durch 3 ist also eine Invariante. Da Siegfried zu Beginn genau 100 Köpfe hat und 100 im Gegensatz zu 0 nicht durch 3 teilbar ist, kann Blorx den Drachen Siegfried nicht vollständig enthaupten! Clara Löh Was sind Invarianten? 4 / 17
12 Was sind Invarianten? Invarianten sind einfache mathematische Objekte (z.b. Zahlen) oder Eigenschaften, die sich unter gewissen Transformationen der betrachteten Objekte nicht oder nur kontrolliert ändern. Clara Löh Was sind Invarianten? 5 / 17
13 Was ist Topologie? Clara Löh Was ist Topologie? 6 / 17
14 Was ist Geometrie? Geometrie: Untersuchung/Klassifikation geometrischer Objekte und geometrischer Transformationen. Geometrische Objekte: Objekte, auf denen es Längen-, Winkel- und Volumenbegriffe gibt. Geometrische Transformationen: ändern Längen/Winkel/Volumina nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 7 / 17
15 Was ist Geometrie? Geometrie: Untersuchung/Klassifikation geometrischer Objekte und geometrischer Transformationen. Geometrische Objekte: Objekte, auf denen es Längen-, Winkel- und Volumenbegriffe gibt. Geometrische Transformationen: ändern Längen/Winkel/Volumina nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 7 / 17
16 Was ist Geometrie? Geometrie: Untersuchung/Klassifikation geometrischer Objekte und geometrischer Transformationen. Geometrische Objekte: Objekte, auf denen es Längen-, Winkel- und Volumenbegriffe gibt. Geometrische Transformationen: ändern Längen/Winkel/Volumina nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 7 / 17
17 Was ist Geometrie? Geometrie: Untersuchung/Klassifikation geometrischer Objekte und geometrischer Transformationen. Geometrische Objekte: Objekte, auf denen es Längen-, Winkel- und Volumenbegriffe gibt. Geometrische Transformationen: ändern Längen/Winkel/Volumina nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 7 / 17
18 Was ist Geometrie? Winkelsumme: 180 Grad Geometrie: Untersuchung/Klassifikation geometrischer Objekte und geometrischer Transformationen. Geometrische Objekte: Objekte, auf denen es Längen-, Winkel- und Volumenbegriffe gibt. Geometrische Transformationen: ändern Längen/Winkel/Volumina nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 7 / 17
19 Was ist Geometrie? Winkelsumme: 180 Grad a 2 + b 2 = c 2 Geometrie: Untersuchung/Klassifikation geometrischer Objekte und geometrischer Transformationen. Geometrische Objekte: Objekte, auf denen es Längen-, Winkel- und Volumenbegriffe gibt. Geometrische Transformationen: ändern Längen/Winkel/Volumina nicht oder nur kontrolliert. b a c Clara Löh Was ist Topologie? 7 / 17
20 Was ist Geometrie? Winkelsumme: 180 Grad a 2 + b 2 = c 2 Geometrie: Untersuchung/Klassifikation geometrischer Objekte und geometrischer Transformationen. Geometrische Objekte: Objekte, auf denen es Längen-, Winkel- und Volumenbegriffe gibt. Geometrische Transformationen: ändern Längen/Winkel/Volumina nicht oder nur kontrolliert. b a c Clara Löh Was ist Topologie? 7 / 17
21 Was ist Topologie? Topologie: Untersuchung/Klassifikation topologischer Objekte und topologischer Transformationen. Topologische Objekte: Objekte, auf denen es nur einen qualitativen Begriff von Nähe gibt, keinen quantitativen ( Gummi-Objekte ). Topologische Transformationen: ändern die prinzipielle Form nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 8 / 17
22 Was ist Topologie? Topologie: Untersuchung/Klassifikation topologischer Objekte und topologischer Transformationen. Topologische Objekte: Objekte, auf denen es nur einen qualitativen Begriff von Nähe gibt, keinen quantitativen ( Gummi-Objekte ). Topologische Transformationen: ändern die prinzipielle Form nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 8 / 17
23 Was ist Topologie? Topologie: Untersuchung/Klassifikation topologischer Objekte und topologischer Transformationen. Topologische Objekte: Objekte, auf denen es nur einen qualitativen Begriff von Nähe gibt, keinen quantitativen ( Gummi-Objekte ). Topologische Transformationen: ändern die prinzipielle Form nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 8 / 17
24 Was ist Topologie? Topologie: Untersuchung/Klassifikation topologischer Objekte und topologischer Transformationen. Topologische Objekte: Objekte, auf denen es nur einen qualitativen Begriff von Nähe gibt, keinen quantitativen ( Gummi-Objekte ). Topologische Transformationen: ändern die prinzipielle Form nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 8 / 17
25 Was ist Topologie? Topologie: Untersuchung/Klassifikation topologischer Objekte und topologischer Transformationen. Topologische Objekte: Objekte, auf denen es nur einen qualitativen Begriff von Nähe gibt, keinen quantitativen ( Gummi-Objekte ). Topologische Transformationen: ändern die prinzipielle Form nicht oder nur kontrolliert. Clara Löh Was ist Topologie? 8 / 17
26 Wozu Topologie? Welche Form hat das Universum? Und wie können wir das überprüfen, ohne das Universum zu verlassen? Existenzaussagen für die Lösbarkeit gewisser Gleichungen Modellierung von kombinatorischen/diskreten Problemen; z.b. Einbettungs- und Färbungsprobleme für Graphen, untere Schranken für verteilte Algorithmen... Clara Löh Was ist Topologie? 9 / 17
27 Was ist algebraische Topologie? Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 10 / 17
28 Was ist algebraische Topologie? Problem Im allgemeinen ist es sehr schwer, herauszufinden, ob zwei gegebene topologische Objekte topologisch gleich sind oder nicht da es sehr viele topologische Transformationen gibt. Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 10 / 17
29 Was ist algebraische Topologie? Idee Übersetzung der Topologie in ein starreres mathematische Gebiet. Algebraische Topologie: Topologie Algebra topologische Objekte algebraische Objekte topologische Transformationen algebraische Transformationen 2 Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 11 / 17
30 Beispiel: Die Euler-Charakteristik Zellenzerlegungen der Kugeloberfläche: Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 12 / 17
31 Beispiel: Die Euler-Charakteristik Zellenzerlegungen der Kugeloberfläche: Definition Die Euler-Charakteristik eines topologischen Raumes bezüglich einer Zellenzerlegung ist definiert als Anzahl der 0-dimensionalen Zellen (Ecken) Anzahl der 1-dimensionalen Zellen (Kanten) + Anzahl der 2-dimensionalen Zellen (Flächen)... Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 12 / 17
32 Topologische Invarianz der Euler-Charakteristik Satz Die Euler-Charakteristik ist eine topologische Invariante; insbesondere hängt sie nicht von der gewählten Zellenzerlegung ab! Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 13 / 17
33 Topologische Invarianz der Euler-Charakteristik Satz Die Euler-Charakteristik ist eine topologische Invariante; insbesondere hängt sie nicht von der gewählten Zellenzerlegung ab! Eulersche Polyederformel Für jede überkreuzungsfreie Einbettung eines Graphen G in die Ebene oder in die Kugeloberfläche gilt: 2 = Anzahl der Ecken von G Anzahl der Kanten von G + Anzahl der Flächen dieser Einbettung. Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 13 / 17
34 Wie sieht der Planet Goleos aus? Problem Blorx, Blyrx und Blurx leben auf dem Planeten Goleos. Es gelingt ihnen, Hochgeschwindigkeitsstraßen zu bauen, die ihre Domizile jeweils mit den drei Hauptattraktionen auf Goleos zu verbinden Clara Lo h Was ist algebraische Topologie? 14 / 17
35 Wie sieht der Planet Goleos aus? Problem Blorx, Blyrx und Blurx leben auf dem Planeten Goleos. Es gelingt ihnen, Hochgeschwindigkeitsstraßen zu bauen, die ihre Domizile jeweils mit den drei Hauptattraktionen auf Goleos zu verbinden Clara Lo h Was ist algebraische Topologie? 14 / 17
36 Wie sieht der Planet Goleos aus? Problem Blorx, Blyrx und Blurx leben auf dem Planeten Goleos. Es gelingt ihnen, Hochgeschwindigkeitsstraßen zu bauen, die ihre Domizile jeweils mit den drei Hauptattraktionen auf Goleos zu verbinden Clara Lo h Was ist algebraische Topologie? 14 / 17
37 Wie sieht der Planet Goleos aus? Problem Blorx, Blyrx und Blurx leben auf dem Planeten Goleos. Es gelingt ihnen, Hochgeschwindigkeitsstraßen zu bauen, die ihre Domizile jeweils mit den drei Hauptattraktionen auf Goleos zu verbinden Clara Lo h Was ist algebraische Topologie? 14 / 17
38 Wie sieht der Planet Goleos aus? Problem Blorx, Blyrx und Blurx leben auf dem Planeten Goleos. Es gelingt ihnen, Hochgeschwindigkeitsstraßen zu bauen, die ihre Domizile jeweils mit den drei Hauptattraktionen auf Goleos zu verbinden ohne dass sich diese Straßen u berkreuzen oder Tunnel/Bru cken no tig sind.??? Clara Lo h Was ist algebraische Topologie? 14 / 17
39 Wie sieht der Planet Goleos aus? Welche Schlüsse können wir daraus über den Planeten Goleos ziehen???? Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 15 / 17
40 Kann Goleos eine Kugel oder eine Scheibe sein? Sei G der Graph, der diese Situation beschreibt: Angenommen, Goleos wäre eine Kugel oder eine Scheibe. Dann folgt: Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 16 / 17
41 Kann Goleos eine Kugel oder eine Scheibe sein? Sei G der Graph, der diese Situation beschreibt: Angenommen, Goleos wäre eine Kugel oder eine Scheibe. Dann folgt: Der Graph G besitzt eine Einbettung in die Kugeloberfläche/Ebene. Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 16 / 17
42 Kann Goleos eine Kugel oder eine Scheibe sein? Sei G der Graph, der diese Situation beschreibt: Angenommen, Goleos wäre eine Kugel oder eine Scheibe. Dann folgt: Der Graph G besitzt eine Einbettung in die Kugeloberfläche/Ebene. Also beträgt die Anzahl der Flächen dieser Einbettung: 2 Ecken von G + Kanten von G = 2 (3 + 3) + (3 3) = 5. Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 16 / 17
43 Kann Goleos eine Kugel oder eine Scheibe sein? Sei G der Graph, der diese Situation beschreibt: Angenommen, Goleos wäre eine Kugel oder eine Scheibe. Dann folgt: Der Graph G besitzt eine Einbettung in die Kugeloberfläche/Ebene. Also beträgt die Anzahl der Flächen dieser Einbettung: 2 Ecken von G + Kanten von G = 2 (3 + 3) + (3 3) = 5. Andererseits hat jeder Kreis in G mindestens 4 Kanten, und jede Kante benachbart höchstens 2 Flächen. Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 16 / 17
44 Kann Goleos eine Kugel oder eine Scheibe sein? Sei G der Graph, der diese Situation beschreibt: Angenommen, Goleos wäre eine Kugel oder eine Scheibe. Dann folgt: Der Graph G besitzt eine Einbettung in die Kugeloberfläche/Ebene. Also beträgt die Anzahl der Flächen dieser Einbettung: 2 Ecken von G + Kanten von G = 2 (3 + 3) + (3 3) = 5. Andererseits hat jeder Kreis in G mindestens 4 Kanten, und jede Kante benachbart höchstens 2 Flächen. Also kann diese Einbettung von G höchstens 2 Kanten von G 4 Flächen besitzen. Widerspruch! = < 5 Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 16 / 17
45 Goleos kann keine Kugel oder Scheibe sein! Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 17 / 17
46 Goleos kann keine Kugel oder Scheibe sein! Clara Löh Was ist algebraische Topologie? 17 / 17
Gruppen, Graphen, Symmetrie Was sind negativ gekrümmte Gruppen?
Gruppen, Graphen, Symmetrie Was sind negativ gekrümmte Gruppen? MNU-Landestagung. 02/2012. Regensburg Clara Löh Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Überblick Zwei Paradigmen der modernen (theoretischen)
MehrTriangulierungen und Kartographie
Triangulierungen und Kartographie Ein Einblick in geometrische und topologische Methoden Stefan Krauss, Clara Löh Fakultät für Mathematik, Universität Regensburg, 93040 Regensburg 30. Oktober 2015 Was
MehrTriangulierungen und Kartographie
Triangulierungen und Kartographie Ein Einblick in geometrische und topologische Methoden Stefan Krauss, Clara Löh Fakultät für Mathematik, Universität Regensburg, 93040 Regensburg 23. Juli 2014 Was verraten
MehrLernmodul 2 Modelle des Raumes
Folie 1 von 21 Lernmodul 2 Modelle des Raumes Bildnachweis: www. tagesschau.de Folie 2 von 21 Modelle des Raumes Übersicht Motivation Was ist Raum? Formalismus und Invarianz Metrischer Raum/Euklidischer
MehrTeilgebiete der Abbildungsgeometrie
Teilgebiete der Abbildungsgeometrie In der Abbildungsgeometrie wird zur Klassifizierung von Eigenschaften des Raumes (bzw. der Ebene) und der in ihm enthaltenen Objekte (Geraden, Kreise, Polytope, usw.)
Mehr(In)Varianten. Warum Drachen überleben und Ufos kollidieren. Clara Löh September 2008
(In)Varianten Warum Drachen überleben und Ufos kollidieren Clara Löh September 2008 Invarianten sind einfache mathematische Objekte (z.b. Zahlen) oder Eigenschaften, die sich unter gewissen Operationen
MehrIdeen der algebraischen Topologie
Prof. Dr. Stefan Wewers Christian Steck Institut für Reine Mathematik Seminar im SS 13 Ideen der algebraischen Topologie vorläufiges Programm Stand: 9.4.2013 1 Einführung Ziel des Seminars ist, die Teilnehmer
MehrAchilles und die Schildkröte Sommersemester 2008
Achilles und die Schildkröte Sommersemester 2008 Färbbarkeit planarer Graphen Alexander Damarowsky 20.05.2008 V6, 15.05.2008 Problemstellung /Ziel des Vortrags: Wie viele Farben werden benötigt, um jeden
MehrGeoinformation I Landkarten
Folie 1 von 17 Geoinformation I Landkarten Folie 2 von 17 Landkarte Übersicht! Tesselation: Definition! Landkarte " Definition " Einschränkungen " Topologische Beziehungen " Euler-Formel " Topologische
MehrGeoinformation I Landkarten
Folie 1 von 17 Geoinformation I Landkarten Folie 2 von 17 Landkarte Übersicht Tesselation: Definition Landkarte Definition Einschränkungen Topologische Beziehungen Euler-Formel Topologische Fehler Integritätsbedingungen
MehrWie druckt man eine Mannigfaltigkeit? Über die Topologie des 3D-Drucks
Wie druckt man eine Mannigfaltigkeit? Über die Topologie des 3D-Drucks MNU-Landestagung. 02/2016. Regensburg Clara Löh Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Überblick Ziele Verständnis des Grundprinzip
MehrPolyeder, Konvexität, Platonische und archimedische Körper
Unter einem Polyeder verstehen wir einen zusammenhängenden Teil des dreidimensionalen Raumes der durch Polygone begrenzt wird. Seine Oberfläche besteht also aus Punkten (Ecken genannt), Strecken (Kanten
MehrHöher, Schneller, Weiter!
Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Höher, Schneller, Weiter! Das Extremalprinzip Das Extremalprinzip ist eine vielseitig einsetzbare Lösungstechnik für mathematische
Mehr3 Planare Graphen die Eulersche Polyederformel
3 Planare Graphen die Eulersche Polyederformel Planare Graphen sind solche Graphen, die sich ohne Überkreuzungen von Kanten in eine Ebene zeichnen lassen. Wir nehmen hierbei an, dass die Knoten als Punkte
MehrVom Satz des Pythagoras zu aktueller Algebraischer Geometrie
Vom Satz des Pythagoras zu aktueller Algebraischer Geometrie Universität des Saarlandes, Saarbrücken, E-Mail: Labs@Math.Uni-Sb.de, mail@oliverlabs.net, Web: www.oliverlabs.net Saarbrücken, Otto Hahn Gymnasium,
MehrLernmodul 2 Topologie. Lernmodul 2: Geoobjekte und ihre Modellierung - Topologie
Folie 1 von 71 Lernmodul 2 Topologie Folie 2 von 71 Topologie Übersicht Topologie - Allgemeines Punktmengentopologie Nachbarschaft Beispiele zur Nachbarschaft Nähe, offene/geschlossene Menge Abschluß,
MehrGruppenstruktur und Gruppenbild
Prom. Nr. 2155 Gruppenstruktur und Gruppenbild VON DER EIDGENÖSSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE IN ZÜRICH ZUR ERLANGUNG DER WÜRDE EINES DOKTORS DER MATHEMATIK GENEHMIGTE PROMOTIONSARBEIT VORGELEGT VON Hans
MehrUnendliche Gruppen als geometrische Objekte
Unendliche Gruppen als geometrische Objekte Ralf Meyer Georg-August-Universität Göttingen 12. November 2004 1 Endlich erzeugte Gruppen und die Wortmetrik Wir definieren endlich erzeugte Gruppen und führen
MehrAlgebraische Topologie
Kurzbeschreibung des Zyklus Algebraische Topologie Thomas Schick 22. Juni 2012 1 Studienobjekte (beispielsweise) (1) topologische Räume (2) Mannigfaltigkeiten, z.b. Flächen (3) Knoten in R 3 (4) Beziehungen
Mehr1 Rund um die Kugel. a) Mathematische Beschreibung
Rund um die Kugel a) Mathematische Beschreibung Die Punkte der Oberfläche haben vom Mittelpunkt M alle die Entfernung r. Oder, mit den Mitteln der analytischen Geometrie: Für alle Punkte der Kugeloberfläche
MehrEin Turnierplan mit fünf Runden
Mathematik I für Informatiker Graphen p. 1 Ein Turnierplan mit fünf Runden c b a c b a c b a c b a c b a d e d e d e d e d e Mathematik I für Informatiker Graphen p. 2 Definition: Graph Ein (schlichter)
MehrVorlesung Algorithmen für hochkomplexe Virtuelle Szenen
Vorlesung Algorithmen für hochkomplexe Virtuelle Szenen Sommersemester 2012 Matthias Fischer mafi@upb.de Vorlesung 12 26.6.2012 Matthias Fischer 374 Übersicht Motivation Modell der Sichtbarkeit Eigenschaft
Mehr11: Die Euler sche Polyederformel für planare Graphen
Chr.Nelius: Graphentheorie (WS 2016/17) 38 11: Die Euler sche Polyederformel für planare Graphen (11.1) BEM: a) Ein Polyeder (auch Vielflach oder Vielflächner) ist ein geometrischer Körper, der nur von
MehrDer Fünffarbensatz Proseminar: Graphentheorie Sommersemester 2006 Isa Topac, Markus Kunder, Tim Hahn
Der Fünffarbensatz Proseminar: Graphentheorie Sommersemester 2006 Isa Topac, Markus Kunder, Tim Hahn 1. Geschichte - Frage kommt Mitte des 19 Jahrhunderts auf Wie viele Farben benötigt man um eine Karte
MehrTropische Kurven zählen. Enumerative Geometrie. Alg. Geometrie. Beispiel Strategie. Geometrie. Kurven Multiplizität Correspondence Theorem Ergebnisse
Alg. Ebene e Hannah Markwig Technische Universität Kaiserslautern 6. Juli 2006 Alg. Inhalt 1 () 2 3 Der Algorithmus zum Zählen ebener 4 Der Algorithmus Alg. Algebraische Geometrische Objekte sind Nullstellengebilde
Mehr8. Modelle für feste Körper
8. Modelle für feste Körper Modell: Abbild der Realität, welches bestimmte Aspekte der Realität repräsentiert (und andere ausblendet) mathematische Modelle symbolische Modelle Datenmodelle Experimentalmodelle
MehrKantengraphen und Planare Graphen. Seminararbeit
Kantengraphen und Planare Graphen Seminararbeit in Mathematisches Seminar für LAK 621.378 SS 2018 vorgelegt von Anna Maria Gärtner bei: Baur, Karin, Univ.-Prof. Dr.phil. Graz, 2018 Inhaltsverzeichnis 1
MehrÜbung zur Vorlesung Diskrete Mathematik (MAT.107) Blatt Beispiellösungen Abgabefrist:
Svenja Hüning, Michael Kerber, Hannah Schreiber WS 2016/2017 Übung zur Vorlesung Diskrete Mathematik (MAT.107) Blatt Beispiellösungen Abgabefrist: Hinweise: Dieses Blatt präsentiert Beispiellösungen zu
MehrPolyeder und Platonische Körper
Polyeder und Platonische Körper Ausarbeitung zum 30.11.2016 Linus Leopold Boes Matrikelnummer: 2446248 Algorithmen für planare Graphen Institut für Informatik HHU Düsseldorf Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung
MehrDiskrete Mathematik Graphentheorie (Übersicht)
Diskrete Mathematik Graphentheorie (Übersicht) Dr. C. Löh 2. Februar 2010 0 Graphentheorie Grundlagen Definition (Graph, gerichteter Graph). Ein Graph ist ein Paar G = (V, E), wobei V eine Menge ist (die
MehrGraphen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden
Graphen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Ein Turnierplan mit fünf Runden c d b e a c d b e a c d b e a c d b b c a a d e e Das Diagramm beschreibt
Mehr6 Einige Beweisprinzipien. Themen: Das Invarianzprinzip Das Extremalprinzip
6 Einige Beweisprinzipien Themen: Das Invarianzprinzip Das Extremalprinzip Das Invarianzprinzip In einem Problem wird ein Objekt behandelt, das sich ständig ändert, beispielsweise eine Zahlenfolge oder
MehrTag der Mathematik Trainingslager Themenkomplex 1: Geschickt Gleichungen aufstellen
Themenkomplex 1: Geschickt Gleichungen aufstellen Bei vielen Aufgaben lohnt es sich, die Aufgabenstellung in eine Gleichung (oder mehrere Gleichungen) zu überführen. Ob diese Gleichungen dann am Ende hilfreich
MehrDiskrete Mathematik. Hamiltonsche Graphen Teil I. Karina Arndt
Diskrete Mathematik Hamiltonsche Graphen Teil I Karina Arndt 21.06.2006 Übersicht Einleitung Hamiltonsch und eulersch Hamiltonsche Kreise Hamiltonsche Graphen neu zeichnen Kreise und Wege Reguläre Graphen
MehrWann hat ein gleichschenkliges Dreieck drei gleich große Winkel? Erkläre.
Aufgabe 1: Es ist ein Schneekristall abgebildet. Kreuze die wahren Aussagen an: Die abgebildete Figur ist achsensymmetrisch. Die abgebildete Figur ist drehsymmetrisch. Die abgebildete Figur ist keines
MehrEtwas Topologie. Thomas Jahn. LV Algebraische Topologie am 1. Dezember 2014
Etwas Topologie Thomas Jahn LV Algebraische Topologie am 1. Dezember 214 1 Eulerscher Polyedersatz [2] Satz 1.1 (Eulerscher Polyedersatz). Sei G ein ebener Graph. (Multikanten und Schlingen sind erlaubt,
MehrNaiver Algorithmus für Hamiltonkreis
Naiver Algorithmus für Hamiltonkreis Algorithmus HAMILTON EINGABE: G = ([n], E) in Adjazenzmatrixdarstellung 1 Für alle Permutationen π : [n] [n]. 1 Falls (π(1), π(2),..., π(n)) ein Kreis in G ist, AUSGABE
MehrGRUNDZUGE DER MATHEMATIK
40483 GRUNDZUGE DER MATHEMATIK FÜR LEHRER AN GYMNASIEN SOWIE FÜR MATHEMATIKER IN INDUSTRIE UND WIRTSCHAFT BAND II GEOMETRIE Mit zahlreichen Abbildungen GÖTTINGEN VANDENHOECK & RUPRECHT 1960 INHALT Zeichen
MehrAlgorithmische Geometrie, SoSe 2005 Skriptmitschrift vom 29. April 2005
Algorithmische Geometrie, SoSe 2005 Skriptmitschrift vom 29. April 2005 Antonia Wittmers Igor Savchenko Konvexe Hüllen Inkrementeller Algorithmus für die konvexe Hülle Dabei heißt inkrementeller Algorithmus,
MehrBeweisen und Argumentieren für Lehrer(innen) Die Aufgaben, die hier vorgestellt werden, befassen sich mit den folgenden Punkten:
1 Beweisen und Argumentieren für Lehrer(innen) Die Aufgaben, die hier vorgestellt werden, befassen sich mit den folgenden Punkten: Beweise, die eine Behauptung nicht nur bestätigen, sondern auch erklären,
MehrBemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1)
Bemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1) 2 Kanten. Bew: Abzählen! Definition 111. Graphen mit n paarweise zyklisch verbundenen Kanten heißen Kreise (vom Grad n) und werden mit C n bezeichnet. Beispiel
MehrChromatosaurier Lösungen
Schülerzirkel Mathematik Fakultät für Mathematik. Universität Regensburg Chromatosaurier Lösungen Aufgabe 1 (Tetrachromatosaurier (nur für die Klassen 7/8) [4 Punkte]). Bei Ausgrabungen wurde der folgende
MehrDiagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen
¾ Diagonalisierbarkeit symmetrischer Matrizen a) Eigenwerte und Eigenvektoren Die Matrix einer linearen Abbildung ³: Î Î bezüglich einer Basis ( Ò ) ist genau dann eine Diagonalmatrix wenn jeder der Basisvektoren
MehrAngewandte Mathematik am Rechner 2 WINTERSEMESTER 2017/18 *#$?!! Kapitel 5. Symmetrie. Michael Wand Institut für Informatik.
Michael Wand Institut für Informatik. Angewandte Mathematik am Rechner 2 WINTERSEMESTER 2017/18 *#$?!! Kapitel 5 Symmetrie Symmetrie Geometrische Symmetrie Beispiele Symmetrische geometrische Objekte (2D)
MehrInvarianten in der Mathematik
Prof. Dr. A. Beliakova, 23. Schweizerischer Tag über Mathematik und Unterricht Was ist eine Invariante? Invarianten in der Mathematik Aufgabe 1 Können die 11 gezeichnenten Zahnräder sich gleichzeitig drehen?
MehrWS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphen (Planare Graphen, Färbung)
WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphen (Planare Graphen, Färbung) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15
MehrGraphentheorie Graphentheorie. Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke
Graphen Graphentheorie Graphentheorie Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke 2 Was ist ein Graph? Ein Graph ist in der Graphentheorie eine abstrakte Struktur,
MehrBeweise und Widerlegungen
Beweise und Widerlegungen Alberto Abbondandolo Ruhr-Universität Bochum Tag der offenen Tür 2015 Einige Polyeder Einige Polyeder V = 4, S = 6, F = 4 V = 8, S = 12, F = 6 Einige Polyeder V = 4, S = 6, F
MehrDie Poincaré-Vermutung
Die Poincaré-Vermutung Dipl.-Math. Bastian Rieck Arbeitsgruppe Computergraphik und Visualisierung Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen 19. Mai 2014 Warum dieser Vortrag? Mehr als 100
MehrEULER-CHARAKTERISTIK KONVEXER POLYEDER
MINI-IKM 1998 EULER-CHARAKTERISTIK KONVEXER POLYEDER Eberhard-Karls-Universität Tübingen, März 1998 Richard Bödi Inhalt 1. Der euklidische Raum, affine Räume...........................................1
MehrWie bügle ich ein Tischtuch? Prof. Dr. Uwe Jannsen
Auflösungen von Singularitäten, oder: Wie bügle ich ein Tischtuch? Prof. Dr. Uwe Jannsen (Universität Regensburg) Vortrag 10.12.2010 Bayerische Akademie der Wissenschaften Prof. Dr. Uwe Jannsen (Regensburg)
MehrUniv.-Prof. Dr. Goulnara ARZHANTSEVA
Diskrete Mathematik Univ.-Prof. Dr. Goulnara ARZHANTSEVA SS 2018 c Univ.-Prof. Dr. Goulnara Arzhantseva Kapitel 08: Menger, König und Hall / Planare Graphen 1 / 30 Der Satz von Menger: s t trennende Kantenmenge
MehrKurzer Überblick. Ortslehre ). Veraltet: Topologie (griechisch, analysis situs
Kurzer Überblick (griechisch, Ortslehre ). Veraltet: analysis situs Kurzer Überblick (griechisch, Ortslehre ). Veraltet: analysis situs Königsberger Brückenproblem, 1736 gelöst von Euler [1707 1783] Gibt
MehrEinführung in das Invarianzprinzip
15.03.2016 Motivation Betrachtet diesen Kreis, der in sechs Sektoren eingeteilt ist. Wir erlauben, die Zahl in je zwei benachbarten Feldern um jeweils 1 zu erhöhen. In welcher Reihenfolge muss man die
MehrWS 2010/ Januar Mathematisches Institut der Universität München Prof. Dr. Rudolf Fritsch
Mathematisches Institut der Universität München Prof. Dr. Rudolf Fritsch WS 2010/2011 14. Januar 2011 Geometrie mit Übungen Übungsblatt 9, Musterlösungen Aufgabe 33. Es werden Kreise in der Euklidischen
MehrVolumen und L 2 -Bettizahlen asphärischer Mannigfaltigkeiten
Volumen und L 2 -Bettizahlen asphärischer Mannigfaltigkeiten Roman Sauer WWU Münster Stuttgart Oktober 2008 Topologie und Geometrie von Mannigfaltigkeiten Topologie: Studium von Eigenschaften und Invarianten,
MehrBRP Mathematik VHS Floridsdorf Gruppe A / Seite 1/5
BRP Mathematik VHS Floridsdorf Gruppe A / 16.6.212 Seite 1/5 1. Uhrturm des Palace of Westminster a) Bei Aufnahme dieses Fotos sah der Betrachtende den unteren Rand der Uhr unter einem Höhenwinkel von
MehrEine Einführung in die Differentialgeometrie
Eine Einführung in die Differentialgeometrie Nach einer Vorlesung von Prof. Helga Baum 1 Getippt haben Luise Fehlinger und Carsten Falk 4. Mai 2006 1 Der Inhalt dieses Skriptes beruht auf den Vorlesungen
MehrVon den Kanten von Gewicht 4 wird nur noch eine ausgewählt, die zu dem letzten nicht ausgewählten Knoten führt: 1. Juni
CHAPTER. GRAPHEN.. B Ä UME.. Bäume Ein schlichter Graph ohne Kreise heisst Wald, ist er noch zusätzlich zusammenhängend so wird er Baum genannt. Bevor wir Bäume genauer beschreiben ein kleines LEMMA...
Mehr1 Die Strahlensätze 2. 2 Winkel 3. 3 Rechtwinklige Dreiecke 3. 4 Kreise 6. 5 Trigonometrische Funktionen 8. 6 Kurven in Parameterdarstellung 10
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Geometrie Inhaltsverzeichnis 1 Die Strahlensätze 2 2 Winkel 3 3 Rechtwinklige
MehrModulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie
FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften Prof. Dr. R. Frank/ Dr. D. Habeck Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie 06.02.2013 Name: Vorname:
MehrKapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson. 8 Der Satz von Euler
Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson In diesem Kapitel wollen wir nun die eulersche -Funktion verwenden, um einen berühmten Satz von Euler zu formulieren, aus dem wir dann mehrere interessante
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 2 Beispiele für Gruppen Aus der Vorlesung Mathematik I sind schon viele kommutative Gruppen bekannt. Zunächst gibt es die additiven
MehrAlgorithmische Graphentheorie
Algorithmische Graphentheorie Vorlesung 7 und 8: Euler- und Hamilton-Graphen Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 17. April 2018 1/96 WIEDERHOLUNG Eulersche
MehrVorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen
Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden Modul
MehrElemente der Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2015 Elemente der Algebra Vorlesung 1 Der Gruppenbegriff Definition 1.1. Eine Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung : M M M, (x,y) (x,y) = x y. Statt (x,y)
MehrDie Faszination der Primzahlen
zu Die der Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin 27. April 2015 zu zu zu zu Die natürlichen Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen: N = {0, 1, 2, 3,... }. zu zu Die natürlichen Zahlen.
MehrWS 2013/14. Diskrete Strukturen
WS 2013/14 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws1314
MehrKapitel 3. Kapitel 3 Graphentheorie
Graphentheorie Inhalt 3.1 3.1 Grundlagen 3.2 3.2 Das Das Königsberger Brückenproblem 3.3 3.3 Bäume 3.4. 3.4. Planare Graphen 3.5 3.5 Färbungen Seite 2 3.1 Grundlagen Definition. Ein Ein Graph besteht aus
MehrParallele Algorithmen in der Bildverarbeitung
Seminar über Algorithmen - SoSe 2009 Parallele Algorithmen in der Bildverarbeitung von Christopher Keiner 1 Allgemeines 1.1 Einleitung Parallele Algorithmen gewinnen immer stärker an Bedeutung. Es existieren
MehrAlois Fichtl, Julius Vogelbacher 10. Juni Voronoi und Johnson-Mehl Mosaike
Alois Fichtl, Julius Vogelbacher 10. Juni 2008 Voronoi und Johnson-Mehl Mosaike Seite 2 Voronoi- und Johnson-Mehl-Mosaike Alois Fichtl, Julius Vogelbacher 10. Juni 2008 Inhaltsverzeichnis Einführung Mosaike
MehrWas und wie zählt man im Alltag und in der modernen Mathematik?
Was und wie zählt man im Alltag und in der modernen Mathematik? Wolfgang Lück (Bonn) Greifswald Januar 2014 Hinweis Dies ist keine Vorlesung. Dies ist ein interaktiver Vortrag. Mitmachen und Mitdenken
MehrPlanare Graphen und Färbungen. Kapitel 7. Peter Becker (H-BRS) Graphentheorie Wintersemester 2018/ / 296
Kapitel 7 Peter Becker (H-BRS) Graphentheorie Wintersemester 2018/19 256 / 296 Inhalt Inhalt 7 Färbungen Peter Becker (H-BRS) Graphentheorie Wintersemester 2018/19 257 / 296 Jordankurve Zentrale Frage
MehrBrückenkurs Mathematik. Jörn Steuding (Uni Würzburg), 13. Januar 2018
Brückenkurs Mathematik Jörn Steuding (Uni Würzburg), 3. Januar 08 unser Programm. November:. Zahlen und einfache Gleichungen Zahlen, Rechengesetze, lineare u. quadratische Gleichungen, Dezimalbrüche, ein
MehrSymmetrien, gerade und ungerade Funktionen
Symmetrien, gerade und ungerade Funktionen Wir Menschen fühlen uns von Symmetrien angezogen. 1-E1 1-E2 Vorausgesetzte Kenntnisse Definition einer Funktion, einer Relation, des Definitionsbereiches einer
MehrStoffverteilungsplan Mathematik 7 auf der Grundlage des Lehrplans Schnittpunkt 7 Klettbuch
K5: Symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt K4: Verschiedene Formen der Darstellung von mathematischen Objekten und Situationen anwenden und interpretieren K6: Die
MehrChristian Rieck, Arne Schmidt
Institute of Operating Systems and Computer Networks Algorithms Group Algorithmen und Datenstrukturen Wintersemester 207/208 Übung#2, 09..207 Christian Rieck, Arne Schmidt Organisatorisches Anmeldung Mailingliste
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 3 Geometrie Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mi 8.10.2008 1 Geometrie des Dreiecks 2 Vektoren Länge eines Vektors Skalarprodukt Kreuzprodukt
MehrKörper zum Selberbauen Polydron
Körper zum Selberbauen Polydron Was versteht man unter Polydron? Polydron ist ein von Edward Harvey erfundenes intelligentes Spielzeug, mit dem man verschiedene geometrische Figuren bauen kann. Es ist
MehrTutorial Laserscanning: Automatisierung der Modellierung
Tutorial Laserscanning: Automatisierung der Modellierung Dr.-Ing. Fredie Kern Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Wolfgang Niemeier Dipl.-Ing. Martin Zumstrull 1 Inhaltsverzeichnis 1. Was kann modelliert werden
Mehrmit. Wir definieren (Skalarprodukt = Winkel).
1 Grundidee des Simplexverfahrens (von George Dantzig): Man bestimmt eine beliebige Ecke (Extremalpunkt) einer Lösungsmenge eines Ungleichungssystems. Nun geht man an den Kanten vom Punkt entlang und kontrolliert
Mehr1.2 Gitter: Grundlegende Konzepte
Gitter und Codes c Rudolf Scharlau 16. April 2009 5 1.2 Gitter: Grundlegende Konzepte Es sei V ein n-dimensionaler R-Vektorraum. Auf V sei ein Skalarprodukt gegeben, dessen Werte mit x, y R, dabei x, y
MehrWestfählische Wilhelms-Universität. Eulersche Graphen. Autor: Jan-Hendrik Hoffeld
Westfählische Wilhelms-Universität Eulersche Graphen Autor: 21. Mai 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Das Königsberger Brückenproblem 1 2 Eulertouren und Eulersche Graphen 2 3 Auffinden eines eulerschen Zyklus
MehrWie man Diophantische Gleichungen löst. Anna-Maria Chiavetta Seminar 28. Oktober 2013
Wie man Diophantische Gleichungen löst Anna-Maria Chiavetta Seminar 28. Oktober 2013 Inhaltsverzeichnis 1. Einführung in das Thema 2. Lösbarkeit Diophantischer Gleichungen - Beispielgleichung 3. Ein anderer
MehrKrümmung in der Mathematik und Physik. Relativitätstheorie im Alltag
Krümmung in der Mathematik und Physik Relativitätstheorie im Alltag Justus-Liebig-Universität Giessen Dr. Frank Morherr Was ist Krümmung? Gerade soll Krümmung Null haben. Prototyp Kreis - großer Radius,
MehrDrei Anwendungen der Eulerschen Polyederformel
Drei Anwendungen der Eulerschen Polyederformel Seminar aus Reiner Mathematik Viktoria Weißensteiner 04. Dezember 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Vorbereitende Theorie 3 2.1 ebene Graphen..........................
MehrProf. Dr. Elmar Grosse-Klönne Institut für Mathematik
Prof. Dr. Elmar Grosse-Klönne Institut für Mathematik Lineare Algebra Analytische Geometrie I* Übungsaufgaben, Blatt Musterlösungen Aufgabe. Es seien A, B, C Teilmengen einer Menge X. Zeige: i A B C =
MehrJahrbuch 2003/2004 Baues, Hans-Joachim; Jibladze, Mamuka Abbildungen zwischen Sphären
Abbildungen zwischen Sphären Maps between spheres Baues, Hans-Joachim; Jibladze, Mamuka Max-Planck-Institut für Mathematik, Bonn Korrespondierender Autor E-Mail: baues@mpim-bonn.mpg.de Zusammenfassung
MehrDiskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Euler-Hamilton)
WS 2015/16 Diskrete Strukturen Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15
MehrLineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n
Lineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n Fachbereich Mathematik WS 2010/2011 Prof. Dr. Kollross 19. November 2010 Dr. Le Roux Dipl.-Math. Susanne Kürsten Aufgaben In diesem Tutrorium soll
MehrPlanungsblatt Mathematik für die 4B
Planungsblatt Mathematik für die 4B Woche 39 (von 1.06 bis 19.06) Hausaufgaben 1 Bis Dienstag 14.06: Mache die Aufgaben 105 und 1053. Bis Freitag 16.06: Mache die folgende Aufgaben: Zeichne eine Strecke
MehrVorlesungen vom 5.Januar 2005
Vorlesungen vom 5.Januar 2005 5 Planare Graphen 5.1 Beispiel: Gas, Wasser, Elektrik Drei eingeschworene Feinde, die im Wald leben, planen Trassen zu den Versorgungswerken für die drei Grundgüter Gas, Wasser
MehrKAPITEL 1: ENDLICHE KÖRPER 1 ALLGEMEINES 2 GLEICHUNGEN ÜBER EINEM ENDLICHEN KÖRPER
RUPRECHT-KARLS-UNIVERSITÄT HEIDELBERG MATHEMATISCHES INSTITUT SEMINAR: QUADRATISCHE FORMEN ÜBER DEN RATIONALEN ZAHLEN SOMMERSEMESTER 2007 DOZENT: PROF. DR. KAY WINGBERG ASSISTENT: JOHANNES BARTELS KAPITEL
MehrPrüfungsfragen zur Vorlesung Algebra und Diskrete Mathematik. Sommersemester 2018
Prüfungsfragen zur Vorlesung Algebra und Diskrete Mathematik Sommersemester 2018 Erläutern Sie die Sätze über die Division mit Rest für ganze Zahlen und für Polynome (mit Koeffizienten in einem Körper).
MehrKonfigurationsraum eines Gestänges. Diana Khoromskaia
1 Universität Leipzig, 29. Juni 2005 Konfigurationsraum eines Gestänges Diana Khoromskaia Wilhelm-Ostwald-Gymnasium Leipzig Betreuer: Herr Prof. Dr. Schwarz (Universität Leipzig) Inhalt D. Khoromskaia,
MehrWS 2009/10. Diskrete Strukturen
WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
MehrDie Anfänge der Mathematik als Wissenschaft Logik und Geometrie im antiken Griechenland (I) 2010 Prof. Dr. Fridtjof Toenniessen
Die Anfänge der Mathematik als Wissenschaft Logik und Geometrie im antiken Griechenland (I) Die Anfänge der Mathematik als Wissenschaft Logik und Geometrie im antiken Griechenland (I) Thales von Milet
Mehr